2025-2026学年山西省朔州市怀仁市怀仁大地高中学校高一下册第二次月考考数学试卷（含解析）

/数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，若，则（）A. B. C. D.22.为庆祝中国共产党成立100周年，上饶市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，某高中学校分别有高一、高二、高三学生1200人、1000人、800人，现欲采用分层随机抽样法组建一个30人的高一、高二、高二学生红歌传唱队，则应抽取高三学生（）A.6人 B.8人 C.10人 D.12人3.已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（

）.A. B.1 C. D.4.把颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球．事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”是()A.对立事件 B.不可能事件C.互斥事件 D.必然事件5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于A.AC B.A1D1 C.A1D D.BD6.由小到大排列的4个数据1，3，5，的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（）A.9 B.7 C.5 D.37.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（）A. B.C. D.8.若个样本、、、、的平均数是，方差为，则对于样本、、、、的平均数与方差分别是（）A.、 B.、 C.、 D.、二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线⊥平面，直线⊂平面．则下列结论正确的是（）A. B.⊥C. D.⊥10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为11.某中学对参加高一年级参加体质测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其中成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为5人．则（）A.的值为0.015 B.C.中位数为75 D.平均数为73三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB、CD的中点，若EF＝，求异面直线AD、BC所成角的大小是__________．13.向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是_____．14.若，，…，的平均数、方差分别是2和1，则的平均数为______，方差为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，，其中.（1）若复数为实数，求的取值范围；（2）求的最小值.16.在中，角所对的边分别为，已知，，（1）求角的大小；（2）若中点为，求的最小值．17.如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点．（1）求证：平面；（2）求点D到平面的距离．18.某单位举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有100人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计年龄落在区间内的人的年龄的平均数（结果保留一位小数）；（2）若这100人的原始数据中第三组的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1.①据此计算这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差.②将所得平均数与（1）中平均数的估计值作比较，解释其有差异的原因.19.如图所示，正方体的棱长为1，，求：（1）与所成角的度数；（2）与平面所成角的正切值；（3）平面与平面所成二面角的大小．

数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，若，则（）A. B. C. D.2答案：C解析：解答过程：，又，，解得．2.为庆祝中国共产党成立100周年，上饶市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，某高中学校分别有高一、高二、高三学生1200人、1000人、800人，现欲采用分层随机抽样法组建一个30人的高一、高二、高二学生红歌传唱队，则应抽取高三学生（）A.6人 B.8人 C.10人 D.12人答案：B解析：思路：利用分层抽样的计算公式即可求解．解答过程：依题意，设应抽取高三学生人，则，解得，所以应抽取高三学生人.故选：B．3.已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（

）.A. B.1 C. D.答案：D解析：思路：求出直观图面积，再根据原图形与直观图面积关系求解.解答过程：根据题意，可知是等腰直角三角形，又，所以，故，所以原平面图形的面积.故选：D.4.把颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球．事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”是()A.对立事件 B.不可能事件C.互斥事件 D.必然事件答案：C解析：解答过程：解：因为颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球.，所以白球只能分给某一个人，那么分给了甲，就不能分给乙，因此不能同时发生，所以是互斥事件，选C5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于A.AC B.A1D1 C.A1D D.BD答案：D解析：思路：在正方体内结合线面关系证明线面垂直，继而得到线线垂直解答过程：，平面，平面，则平面又因为平面则故选D方法提示：本题考查了线线垂直，在求解过程中先求得线面垂直，由线面垂直的性质可得线线垂直，从而得到结果6.由小到大排列的4个数据1，3，5，的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（）A.9 B.7 C.5 D.3答案：B解析：思路：由极差、中位数、百分位数的定义求解即可；解答过程：这四个数据的极差为，中位数为．由题意，得，解得．因为，所以所求为．故选：B．7.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可.解答过程：用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，则样本空间.由题意得，，，，则，，且.即ABC都正确；又，..故D不正确.故选：D.8.若个样本、、、、的平均数是，方差为，则对于样本、、、、的平均数与方差分别是（）A.、 B.、 C.、 D.、答案：D解析：思路：设、、、、的平均数为，方差为，求出、的值，利用平均数和方差公式可求得样本、、、、的平均数与方差.解答过程：设、、、、的平均数为，方差为，则，，由题意可得，则，，所以，样本、、、、的平均数为，方差为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线⊥平面，直线⊂平面．则下列结论正确的是（）A. B.⊥C. D.⊥答案：AC解析：解答过程：对于选项A：若，由，得，又，故，A正确.对于选项B：若，，则或，结合，与可能平行、相交或异面，B错误.对于选项C：若，由，得，又，故，C正确.对于选项D：若，，则或，结合，与可能平行或相交，D错误.10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为答案：CD解析：思路：根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解.解答过程：对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误；对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误；对于C中，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C正确；对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积，球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确.故选：CD.11.某中学对参加高一年级参加体质测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其中成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为5人．则（）A.的值为0.015 B.C.中位数为75 D.平均数为73答案：AB解析：思路：根据题意结合频率分布直方图逐项分析判断.解答过程：由题意可知：每组的频率依次为，所以，解得，故A正确；因为成绩在区间内的学生人数为5人，频率为，所以，故B正确；因为，，所以中位数在内，设为，则，解得，故C错误；平均数为，故D错误；故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB、CD的中点，若EF＝，求异面直线AD、BC所成角的大小是__________．答案：解析：思路：设G为AC的中点,由已知中,E、F分别是AB、CD的中点,若EF＝,根据三角形中位线定理,我们易求出为异面直线AD、BC所成的角(或其补角),解三角形EGF即可得到答案．解答过程：设G为AC的中点,因为E、F分别是AB、CD中点

所以为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)三角形中，即异面直线AD、BC所成的角为方法提示：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,其中根据已知三角形中位线定理得到为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)是解答本题的关键．13.向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是_____．答案：解析：思路：根据和事件的关系定义判断即可.解答过程：设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”“点数为2或4或6”，则.故答案为：.14.若，，…，的平均数、方差分别是2和1，则的平均数为______，方差为______.答案：①.8②.9解析：思路：根据平均值和方差公式计算得到答案.解答过程：，的方差故答案为：；方法提示：本题考查了平均值和方差的计算，记忆公式是解题的关键.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，，其中.（1）若复数为实数，求的取值范围；（2）求的最小值.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）由复数为实数，则，即可求解的取值范围；（2）根据题意，求得，由模的计算公式得，即可求解，得到答案.解答过程：（1）由复数为实数，则，解得，即复数为实数，求的取值范围为；（2）因为，所以，故的最小值为，此时方法提示：本题主要考查了复数的分类，以及复数的模的计算，其中解答中熟记复数的分类，以及复数的模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.在中，角所对的边分别为，已知，，（1）求角的大小；（2）若中点为，求的最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理化简，结合余弦定理计算求解；（2）利用基本不等式求出最大值，根据平面向量基本定理计算求解．（1），由正弦定理得，即，由余弦定理得，，．（2），，，当且仅当时，等号成立，故，D为的中点，，，即，，故AD的最小值为．17.如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点．（1）求证：平面；（2）求点D到平面的距离．答案：（1）证明见解析（2）．解析：思路：（1）先根据已知证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理得出线面平行；（2）根据线面平行判定定理得出平面，再结合等体积法及三棱锥体积公式计算求解.（1）取的中点G，连接，因G、E分别为的中点，所以，又则，所以四边形为平行四边形，即，又平面平面，则平面．（2）因平面平面，所以且，因，所以，又，平面，则平面，又平面，则，由，得，设点D到平面的距离为h，连接．则，即，即，解得，则点D到平面的距离为．18.某单位举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有100人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计年龄落在区间内的人的年龄的平均数（结果保留一位小数）；（2）若这100人的原始数据中第三组的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平