2025-2026学年四川省德阳市第五中学高二下册第二次定时练习数学试卷（含解析）

/数学（总分150分答题时间120分钟）第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（）A.3 B. C. D.22.（）A.24 B.27 C.36 D.423.设向量，，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.34.已知数列的前项和公式为，则（）A.10 B.12 C.14 D.165.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（）A. B.0 C.1 D.46.展开式中的系数为（）A.-10 B.10 C.-20 D.207.若随机变量，若，则（）A. B. C. D.8.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，函数在区间上有零点，则的值可以是（）A. B. C. D.10.已知数列的前项和，则（）A.是公差为2的等差数列 B.C.数列是等差数列 D.11.已知甲口袋中装有个红球，个白球，个黑球，乙口袋中装有个红球，个白球，个黑球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球、黑球分别为事件、、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量服从正态分布，且，则______．13.有10块糖，每天至少吃1块，不同的吃法有______种.14.设双曲线：的右焦点为，双曲线的一条渐近线为，以为圆心的圆与交于点，两点，，为坐标原点，，则双曲线的离心率的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数是函数的一个极值点．（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最小值．16.某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）当配件的质量指标值不小于分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.17.斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点．（1）求证：；（2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长．18.已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2．（1）求点的轨迹的方程；（2）已知上存在三点，且关于直线对称．①求的取值范围；②若为等边三角形，求．19.已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）函数有两个不同的极值点，，且，（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）证明：.

数学（总分150分答题时间120分钟）第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（）A.3 B. C. D.2答案：C解析：解答过程：复数的虚部为.2.（）A.24 B.27 C.36 D.42答案：C解析：解答过程：.3.设向量，，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：解答过程：由，得，∵，，∴，解得.4.已知数列的前项和公式为，则（）A.10 B.12 C.14 D.16答案：B解析：解答过程：．5.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（）A. B.0 C.1 D.4答案：C解析：思路：求出曲线在点处的切线后结合判别式可求的值.解答过程：因为，故曲线在点处的切线的斜率为，故对应的切线方程为，因为该切线也是曲线的切线，故有两个等根，即有两个等根，故，故，故选：C.6.展开式中的系数为（）A.-10 B.10 C.-20 D.20答案：C解析：思路：写出二项展开式的通项，令x的指数为9，解出r，代入通项中求出其系数.解答过程：展开式的通项，令，可得展开式中的系数为-20.故选：C7.若随机变量，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据二项分布的性质求出，再根据方差的性质即可得结果.解答过程：因为，所以，则，，.8.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD.解答过程：定义域为，，则是偶函数，排除A选项；当时，，则，当时，，则；当时，，则，排除CD选项.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，函数在区间上有零点，则的值可以是（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：根据函数在上有零点可得零点，再由零点的范围及可得，进而再分两类讨论可得.解答过程：函数在区间上有零点，即方程在该区间有解：令，得，因此，整理得，因为，，所以，即，所以，当时，，即，此时零点为；当时，，得，四个选项无符合此条件的值，故无需考虑.对A选项，，则零点，符合题意，故A正确；对B选项，，不符合题意，故B错误；对C选项，，则零点，符合题意，故C正确；对D选项，​，不符合题意，故D错误.10.已知数列的前项和，则（）A.是公差为2的等差数列 B.C.数列是等差数列 D.答案：ABC解析：解答过程：由，当时，，当时，，当时，上式也成立，所以，故B正确；因为，所以是等差数列，故A正确；对于C，，因为，所以数列是等差数列，故C正确；对于D，令，则，所以当时，，当时，，故，故D错误.11.已知甲口袋中装有个红球，个白球，个黑球，乙口袋中装有个红球，个白球，个黑球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球、黑球分别为事件、、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：A选项：由乘法公式计算即得；B选项：运用全概率公式求解即得；C选项：由贝叶斯概率公式计算即得；D选项：利用条件概率公式分别计算和，比较两个概率的大小即可.解答过程：对于A，由概率的乘法公式得，所以A正确；对于B，由全概率公式得，故B错误；对于C，由贝叶斯公式得，故C正确；对于D，由条件概率公式得，，因，故D正确．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量服从正态分布，且，则______．答案：0.4解析：解答过程：随机变量服从正态分布，其对称轴是直线.因为，所以，所以，所以.13.有10块糖，每天至少吃1块，不同的吃法有______种.答案：512解析：思路：由隔板法即可求解.解答过程：按吃糖的天数分类，并用隔板法，可得不同的吃法有（种）.故答案为：512.14.设双曲线：的右焦点为，双曲线的一条渐近线为，以为圆心的圆与交于点，两点，，为坐标原点，，则双曲线的离心率的取值范围是______．答案：解析：思路：取直线的方程为，过点作于，则有，为等腰直角三角形，所以,,,由，可得，即可得，即可得出离心率的取值范围.解答过程：解：由题可知，点，如图所示，不妨取直线的方程为，过点作于，则到直线的距离，，且，为等腰直角三角形，，，，，，，，即，离心率，令，，则，即]，．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数是函数的一个极值点．（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最小值．答案：（1）函数的增区间为和，减区间为（2）解析：思路：（1）根据极值的定义，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合函数最值性质进行求解即可.（1）由题意得，因为是函数的一个极值点，所以，即，当时，解得或，所以在和上单调递增；当时，解得，所以在上单调递减，因此是函数的一个极值点，所以函数的增区间为和，减区间为；（2）由（1）可知：函数的增区间为和，减区间为，所以是函数的极小值点，且，所以是函数的极大值点，且，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，因为，，所以当时，函数的最小值为.16.某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）当配件的质量指标值不小于分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据频率分布直方图的性质可得；（2）直接根据频率分布直方图求平均数可得；（3）根据题意可知随机变量，再由二项分布的性质可得分布列及数学期望.（1）由题知，，解得.（2）设为样本数据的平均数，则，故这组样本数据的平均数为.（3）设表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，因为以频率估计概率，所以，因此，随机变量，的所有可能取值为，则，，， ，的分布列为：随机变量的数学期望.17.斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点．（1）求证：；（2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长．答案：（1）证明见解析（2）．解析：思路：（1）取中点，连接，易得，结合题设关系得，进而得到平面，进而求证即可；（2）建立空间直角坐标系，设，求平面法向量及平面的法向量，再利用空间向量求解即可.（1）取AB中点O，在中，，O为AB中点，所以，在中，，，，由余弦定理可得，所以有，即，所以，又因为，平面，平面，平面，又因为平面，所以；（2）由（1）知且平面平面，平面平面，平面，所以平面，则，如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．，，，，设，，，，设平面法向量为，，，可取，平面的法向量为，所以有，化简得，所以有（舍）或者，所以．18.已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2．（1）求点的轨迹的方程；（2）已知上存在三点，且关于直线对称．①求的取值范围；②若为等边三角形，求．答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）利用斜率公式，列方程化简即可；（2）①利用直线与抛物线联立，求出对称点的中点坐标，利用中点在对称轴上找到参数的相等关系，再利用判别式恒大于0，来求出参数的范围，最后再排除特殊情况即可；②利用弦长公式，结合等边三角形可得到相等关系，再通过坐标满足的方程来求解即可.（1）设点．因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以，，化简得：．（2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2．设直线的方程为，联立消去可得．所以所以中点坐标．因为点在直线上，所以．因为，所以，因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点，即直线不能经过点，若直线过点，则，若直线过点，则．综上所述：的取值范围是．②因为为等边三角形，所以点在直线上．设，则，．所以，即，化简得，①．因为点在直线上，所以②．由①②消得，．因为，所以，所以．19.已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）函数有两个不同的极值点，，且，（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）证明：.答案：（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析解析：思路：（1）根据导数的几何意义求解；（2）化简，求导，