2025-2026学年浙江省温州市6日荆山公学高二下册学业考试考模拟卷数学试卷（含解析）

/数学考试时间：80分钟一、单选题（共36分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.已知复数满足，则（）A. B. C.4 D.83.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A. B. C. D.4.已知，，，则（）A. B.1 C.2 D.45.已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.6.已知，则下列不等式一定正确的是（）A. B. C. D.7.“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.学校组织研学，学生可以从内蒙、上海、杭州、陕西4个研学地点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个研学地点，则三人选到同一研学地点的概率是（）A. B. C. D.9.已知，则（）A. B.7 C. D.10.如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（）A. B.2 C. D.11.已知函数，若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.12.已知函数，定义在上的函数满足，对任意的，均有成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题（共12分）13.下列结论正确的有（）A. B.C. D.14.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的有（）A. B.C. D.15.如图，已知正方体的棱长为2，则（）A.直线与为异面直线B.平面C.三棱锥的体积为D.平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的面积为三、填空题（共16分）16.函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则_________17.相互独立事件，满足，，则________．18.在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____．19.已知函数，若函数有四个不同的零点，且有如下关系，，则的取值范围是__________．四、解答题（共36分）20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，（1）求角A的大小；（2）若D为BC中点，，，求边a；（3）若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值．21.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点．（1）当为的中点时，求证：平面．（2）若平面，①试确定点的位置并说明理由；②求三棱锥的体积．22.设，．（1）证明：；（2）令．①解关于实数a的不等式：；②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

数学考试时间：80分钟一、单选题（共36分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：结合一元二次不等式的解法求出集合，根据补集的定义求解即可.解答过程：，所以.2.已知复数满足，则（）A. B. C.4 D.8答案：A解析：思路：首先化简复数，再代入模的公式.解答过程：由条件可知，，所以.3.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：的定义域为，的定义域需要满足解得，且．的定义域为．4.已知，，，则（）A. B.1 C.2 D.4答案：B解析：思路：通过向量线性运算求出和向量的坐标，利用垂直向量的数量积为零建立方程，求解参数的值.解答过程：由向量线性运算，得.由，得，即，化简得，解得.5.已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用扇形周长公式、弧长公式求出半径和弧长，再代入扇形面积公式计算即可.解答过程：设扇形的半径为，弧长为，已知圆心角，由题意可得，，解得，；代入扇形面积公式，计算得.6.已知，则下列不等式一定正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：选项A：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故A错误；选项B：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故B错误；选项C：仅知道，无法确定与的大小关系，例如：若，则；若，则，故C不一定正确；选项D：用作差法验证：，因为，所以，若且（成立，因为），则分母，因此，差，即，可得，故D一定正确．7.“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.解答过程：函数，函数的单调递增区间是，由函数在上单调递增，得，则，因此，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.8.学校组织研学，学生可以从内蒙、上海、杭州、陕西4个研学地点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个研学地点，则三人选到同一研学地点的概率是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意，三人选到同一研学地点的概率是.9.已知，则（）A. B.7 C. D.答案：D解析：思路：利用二倍角公式和降幂公式进行化简，利用商数关系转化为求值即可，注意“1”可以转化为进行计算．解答过程：10.如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（）A. B.2 C. D.答案：A解析：思路：过点作直线，使得，通过平行线分线段成比例定理得出​的比值，再结合，得到​的值.解答过程：因为，直线与分别交于点和点，过点作直线，使得，交于点，所以，所以，故.11.已知函数，若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用指数函数图像及反比例函数图象，通过数形结合可得出参数范围.解答过程：在同一平面直角坐标系中画出的图象及直线，如图所示，由图可知，要使方程有且仅有三个不等实根，即的图象与直线有三个不同的公共点，则只需.故选：B12.已知函数，定义在上的函数满足，对任意的，均有成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：首先根据方程组的方法求函数是解析式，再根据不等式恒成立转化为，再转化为二次函数问题，即可求解.解答过程：，函数在区间单调递减，所以的最大值为，对任意的，均有成立，对任意的恒成立，对任意的恒成立，，解得：.故选：A方法提示：关键点点睛：本题的关键一是求函数的解析式，关键二是利用不等式恒成立，转化为求的最值.二、多选题（共12分）13.下列结论正确的有（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：根据指数、对数的运算法则，化简计算，即可得答案.解答过程：对于A，由对数恒等式知，故A正确；对于B，因为，故B正确；对于C，因为，故C正确；对于D，，故D错误.14.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的有（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：根据偶函数的定义，以及当时，函数的单调性逐一判断.解答过程：A选项，，则，又定义域为，故是偶函数，当时，，显然在上单调递增，故A正确；B选项，显然在上不是单调递增，故B错误；C选项，，则，又定义域为，故是偶函数，当时，，显然在上单调递增，故C正确；D选项，，则，又定义域为，故是偶函数，当时，，显然在上单调递增，故D正确.故选：ACD15.如图，已知正方体的棱长为2，则（）A.直线与为异面直线B.平面C.三棱锥的体积为D.平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的面积为答案：ABD解析：解答过程：对于A，∵直线平面，与平面交于点，且，∴直线与无公共点且不平行，为异面直线，故A正确；对于B，∵正方体中，平面，平面，由线面平行的判定定理可得平面，故B正确；对于C，∵正方体棱长为，，三棱锥的高为，∴，故C错误；对于D，∵平面平面，结合正方体面面平行的性质，可知平面截正方体所得截面为三角形，该三角形为边长为的正三角形，∴截面面积，故D正确.三、填空题（共16分）16.函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则_________答案：5解析：思路：先由函数的奇偶性与对称性推出周期，再计算一个周期内的函数值之和，最后利用周期性对所求求和式进行化简计算.解答过程：由为奇函数，得.由，得，故，即的周期为.，，，.因此，一个周期内的和为.，故.代入得.17.相互独立事件，满足，，则________．答案：##解析：解答过程：由对立事件的性质得，则，解得，已知事件，相互独立，则，解得．18.在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____．答案：12解析：思路：先求总均值，再用“层内方差+均值差平方”按样本占比加权求和解答过程：由题，设第1层样本量为，第2层样本量为，则，分层抽样方差19.已知函数，若函数有四个不同的零点，且有如下关系，，则的取值范围是__________．答案：解析：思路：本题可利用数形结合，先画出分段函数的图像，将函数有四个不同的零点的问题，转化为函数与有四个不同的交点，可得出的范围；再根据函数性质及对数函数的性质，化简目标表达式，最后利用函数单调性求出取值范围.解答过程：解：令，则，由函数有四个不同的零点，则方程有四个不同的解，即函数与有四个不同的交点.当时，，易知对称轴为，顶点为，结合图像可知，方程有四个不同解时，，因为，所以根据二次函数对称性可知，，当时，由时，或，由函数图像可知，，，，则，所以，因此，，，所以，当且仅当，即时等号成立，此时取最小值为，又函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，，所以的取值范围为.四、解答题（共36分）20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，（1）求角A的大小；（2）若D为BC中点，，，求边a；（3）若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值．答案：（1）（2）（3）6解析：思路：（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式可得；（2）利用以及余弦定理可得；（3）利用正弦定理得，结合三角函数求值域.（1）因为，所以由正弦定理可得，在中，，所以，即，因为，所以，因为，所以；（2）因为，所以，，又，所以，所以，又因为，所以．（3）由正弦定理得，可得，，，，因为是锐角三角形，且，则，得，得，，，故的周长最大值为6．21.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点．（1）当为的中点时，求证：平面．（2）若平面，①试确定点的位置并说明理由；②求三棱锥的体积．答案：（1）证明见解析（2）①点为上靠近点的三等分点，理由见解析；②解析：思路：（1）利用线面平行的判定证明；（2）①利用线面平行的性质得，再结合相似比得解；②先利用线面垂直的判定证得平面，再结合棱锥的体积公式计算求解.（1）证明：如图，取的中点为，连接，．在中，为的中点，为的中点，，．在平行四边形中，为的中点，，，且，四边形为平行四边形，．平面，平面，平面．（2）①如图，连接交于点，连接．平面，平面，平面平面，．．四边形是平行四边形，为的中点，，，，即点为上靠近点的三等分点．②在四边形中，，，，．取的中点，连接．是正三角形，，且．平面平面，且平面平面，平面，平面．为上靠近点的三等分点，点到平面的距离为．三棱锥的体积．22.设，．（1）证明：；（2）令．①解关于实数a的不等式：；②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．答案：（1）证明见解析；（2）①；②解析：思路：（