2025-2026学年重庆市巴南职业教育中心等校高一下册期中考试数学试卷（含解析）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5份，共40分，每小题只有一个选项符合要求1.已知复数，则（）A.4 B. C. D.2.下列几何体是棱台的是（）A. B. C. D.3.下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（）A.， B.，C.， D.，4.如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（）．A.4 B. C. D.85.已知的内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.6.圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.7.已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（）A.4 B.16 C.1 D.3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，其中，是虚数单位，则（）A.当时，为纯虚数 B.当时，C.当时， D.当时，10.下列结论正确的是（）A.平行向量也叫作共线向量B.单位向量都相等C.长度相等且方向相同的向量叫相等向量D.两个单位向量之和仍可能是单位向量11.在中，内角所对的边分别为，，，且恰有一个解，则的值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______．13.已知向量，满足，，且，则______.14.在中，内角所对的边分别为．已知，的面积为，则的最小值为___________四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，.（1）求；（2）若，求与夹角的余弦值.16.如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．（1）求的余弦值；（2）设，求的值．17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B；（2）若，角B的角平分线交AC于点D，，求的周长．18.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．19.已知，，函数，．（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）若，求的值．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5份，共40分，每小题只有一个选项符合要求1.已知复数，则（）A.4 B. C. D.答案：D解析：解答过程：由，得，所以．所以D正确．2.下列几何体是棱台的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台，只有D是棱台3.下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（）A.， B.，C.， D.，答案：B解析：解答过程：因为，所以共线，故A不符合题意；因为，所以不共线，故B符合题意；因为，所以共线，故C不符合题意；因为，所以共线，故D不符合题意；4.如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（）．A.4 B. C. D.8答案：A解析：思路：由题意，还原直观图得原图后，可得，结合三角形面积公式即可求解.解答过程：因为，，所以，如图所示，还原直观图得原图：所以，则原平面图形的面积为.故选：A.5.已知的内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：在中，由及正弦定理，得，则，又，因此，又，所以．6.圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用三角形的面积公式求出圆锥的底面半径r，再利用圆锥的侧面积公式即可得出结果.解答过程：根据题意，设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的母线长，，解得，所以圆锥的侧面积为.7.已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项.解答过程：若，则存在非零实数，使得，此时：，因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立，若，当时，；当时，存在实数，使得：整理得：，所以，若，则，即；若，则，与为非零向量矛盾，因此，必要性成立;综上“”是“”的充要条件.8.已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（）A.4 B.16 C.1 D.3答案：A解析：解答过程：由题设，则，由，则.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，其中，是虚数单位，则（）A.当时，为纯虚数 B.当时，C.当时， D.当时，答案：BCD解析：解答过程：对A：当时，，故A错误；对B：当时，，故B正确；对C：当时，，此时，故C正确；对D：当时，，所以，故D正确.10.下列结论正确的是（）A.平行向量也叫作共线向量B.单位向量都相等C.长度相等且方向相同的向量叫相等向量D.两个单位向量之和仍可能是单位向量答案：ACD解析：思路：根据向量的定义判断.解答过程：长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量，单位向量的方向不确定，B错误.平行向量也叫作共线向量，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，两个单位向量之和仍可能是单位向量，如图，菱形的边长为1，，则，都是单位向量，且，因此ACD正确.11.在中，内角所对的边分别为，，，且恰有一个解，则的值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.答案：CD解析：解答过程：在中，过点作于点，则为中边上的高，记为..根据三角形解的个数判断法则，当时或者时，恰有一个解，即或，故选项C和选项D符合题意.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______．答案：解析：思路：利用球体表面积公式可求得结果.解答过程：设该球的半径为，则该球的大圆面积为，故该球的表面积为.13.已知向量，满足，，且，则______.答案：解析：思路：由向量垂直得到，再通过，平方即可求解.解答过程：因为，所以，展开得：，代入得：，对两边平方得：，展开左边：，代入、，​计算：，即，因为模长为非负数，所以.14.在中，内角所对的边分别为．已知，的面积为，则的最小值为___________答案：6解析：思路：结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，再结合的面积为可得，进而根据基本不等式求解即可.解答过程：因为，所以，由正弦定理边化角得，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为的面积为，所以，解得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为6四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，.（1）求；（2）若，求与夹角的余弦值.答案：（1）（2）解析：（1）已知，..则.（2）已知，.，，设与夹角为，则16.如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．（1）求的余弦值；（2）设，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，根据向量夹角公式，即可得答案.（2）由题意得、、坐标，根据三点共线的性质，计算求解，即可得答案，（1）以A为原点，AB、AD为x，y轴正方向建系，如图所示，则，所以，则，因为就是的夹角，所以的余弦值为.（2）由题意得，，因为D、M、E三点共线，所以，且，则，解得.17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B；（2）若，角B的角平分线交AC于点D，，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）由结合三角形的面积公式得出，结合余弦定理可求得的值，即可得出的周长.（1）因为及正弦定理，得，而，则，所以，即，因为、，则，所以，可得，故.（2）因为，即，可得①，由余弦定理可得②，联立①②可得，即，因为，解得，故的周长为.18.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：(1)利用中位线的性质、线面平行的判定定理即可证明；(2)利用等体积法求解即可.（1）如图，连接交于点，再连接,在中，为中点，为的中，所以,且平面，平面,所以平面.（2）因为该几何体为正方体，所以点到平面的距离等于