小学数学五年级上册《图形中的规律》教学设计（基于核心素养的深度学习版）

小学数学五年级上册《图形中的规律》教学设计（基于核心素养的深度学习版）一、基本信息与设计理念【课题】：《数学好玩：图形中的规律》深度学习教学设计【授课年级】：小学五年级【教材版本】：北京师范大学出版社（北师大版）五年级上册【课时安排】：第2课时（建议将“图形中的规律”作为一个完整的探究主题，分为2课时，本课为规律深度探究与拓展应用课）【教学内容】：北师大版五年级上册“数学好玩”单元第9798页“图形中的规律”13。本课是在学生已经学习了用字母表示数、初步接触过探索规律的基础上进行的。教学内容主要包含两大核心活动：一是通过摆连续的三角形，探索所用小棒根数与三角形个数之间的关系；二是通过观察正方形点阵，从不同角度发现点阵中隐藏的数的规律，体会“数形结合”的数学思想15。【设计理念】：以发展学生核心素养为导向，践行“做中学、思中悟”的理念。本设计打破传统灌输式的教学模式，将课堂定位为“数学实验室”。通过创设认知冲突，引导学生经历“从简单情形入手——建立模型——解释规律——应用拓展”的完整探究过程【重要】。强调“数形结合”这一数学思想的深度渗透，让学生在动手操作、观察对比、合作交流中，实现从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡，培养模型意识和推理能力15。二、课程标准解读与核心素养落实【课标要求】：《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域的“数量关系”主题中，对第二学段提出要求：探索用字母表示事物的关系、性质和规律，能通过对解决问题过程的反思，说出规律。在“图形与几何”领域，强调要形成量感、空间观念和几何直观。【核心素养落实点】：1.【几何直观】：通过摆小棒和观察点阵图，将抽象的数的规律与直观的图形联系起来，借助图形发现规律、解释规律57。2.【模型意识】：从连续的三角形排列方式中，抽象出“2n+1”的数学模型，并运用这个模型解决同类问题67。3.【推理意识】：通过列表、观察、比较，经历从“特殊”（摆3个、4个三角形）到“一般”（摆n个三角形）的归纳推理过程，并能清晰地表达推理过程38。4.【创新意识】：在点阵探究环节，鼓励学生从不同角度（横看、竖看、斜看、拐弯看）观察图形，发现多样化的规律，培养多角度思考问题的能力13。三、教材与学情分析【教材分析】：“图形中的规律”属于“数学好玩”这一综合实践领域的内容【基础】。它并非孤立的知识点，而是通过富有趣味性的活动，将“数与代数”与“图形与几何”两个领域进行深度融合。教材编排了两大板块：第一板块“摆三角形”，侧重于从操作中发现“数”的变化规律；第二板块“点阵中的规律”，侧重于从观察中发现“形”的排列规律。两部分内容互为补充，共同指向“数形结合”思想方法的渗透15。本课作为第2课时，应在学生初步感知规律的基础上，更侧重于规律的多元表征、深度理解以及灵活运用。【学情分析】：1.【知识基础】：学生已经掌握了用字母表示数的方法，能够列简单的方程。在之前的学习中，也有过一些探索简单数列规律的经验（如探索乘法口诀表、日历中的规律等）6。2.【生活经验】：学生对用小棒摆图形有着天然的兴趣，这种游戏化的操作能有效降低探究的难度。生活中的密铺图案、蜂巢结构等，也让学生对图形排列的美感有了一定的感性认识210。3.【认知特点】：五年级学生正处于具体运算思维向形式运算思维过渡的关键期【重要】。他们依然需要借助具体的实物操作（如摆小棒）来支撑思考，但已经初步具备了抽象概括的能力。对于“由形到数”、“由数思形”的转换，部分学生可能会存在思维障碍，需要教师通过问题链和小组合作来搭建思维的“脚手架”47。学生在探索规律时，往往容易发现规律但难以用规范的数学语言（特别是含有字母的式子）进行表达，这是本课需要突破的难点。四、教学目标（核心指向）1.【基础目标】：通过摆小棒的操作活动，能发现连续摆放的三角形所用小棒根数的规律，并能用不同的方法（如列表、算式、字母表达式）表示这一规律，掌握“2n+1”的数学模型及其变式37。2.【核心目标】：通过观察、分析“点阵”图，能从不同角度（如横看、斜看、拐弯看）发现点阵中点的个数规律，并能用算式和语言描述发现的规律，深刻体会“数形结合”思想的价值【核心】【高频考点】15。3.【思维目标】：经历“特殊——一般——特殊”的探究过程，初步掌握“从简单情形入手寻找规律”的数学探究策略，培养观察、比较、归纳、概括和推理能力3。4.【情意目标】：在小组合作探究中，敢于表达自己的想法，乐于倾听同伴的见解，感受数学的秩序美与规律美，增强学习数学的兴趣和信心。五、教学重难点【教学重点】：探索并发现图形中隐藏的数的规律，并能用含有字母的式子表示规律8。【教学难点】：从不同的角度观察图形，发现多样化的规律；理解“数形结合”的思想，实现“形”与“数”的灵活转换【难点】15。六、教学准备【教师准备】：交互式多媒体课件（PPT）、实物展台、足够数量的小棒（磁性小棒用于黑板演示）、点阵图探究学习单、评价量规。【学生准备】：每两人一盒小棒（至少30根）、彩笔、常规学习用具。七、教学过程（核心环节详细展开）（一）唤醒经验，制造冲突，导入新课（5分钟）

教师活动：课件出示一个用3根小棒摆成的独立三角形。提问：“摆一个这样的三角形需要几根小棒？摆2个独立的呢？10个呢？n个呢？”学生快速回答，复习旧知（3n）。教师接着在黑板上用磁性小棒摆出两个连续（共用一条边）的三角形，提问：“现在摆2个这样的三角形，还是6根吗？仔细观察，你有什么发现？”引导学生发现“共用边”导致小棒根数减少的现象67。

学生活动：观察、对比两种摆法的不同，指出第二个图形中两个三角形共用了一条边，所以只用5根小棒。

教师追问：“看来，图形的摆法变了，所需小棒的根数也随之变化。那如果像这样连续摆下去，摆10个三角形需要多少根小棒？摆100个呢？这里面藏着怎样的秘密呢？”（板书课题：图形中的规律）【重要】通过“3n”这个旧知与眼前“连续摆”的新情境形成认知冲突，迅速激发学生的好奇心和探究欲，为后续学习埋下伏笔。（二）活动一：探究连续三角形的规律（建立模型）（15分钟）....动手操作，填写表格（从简单开始）：教师布置任务：“当我们遇到比较复杂的问题时，数学上常用的方法是从最简单的情况开始，寻找规律。【基础策略】请同桌两人合作，一人摆，一人填表，从摆1个三角形开始，记录下三角形的个数和小棒的根数，看看你们能发现什么？”（出示表格：三角形个数1234...；小棒根数）38。

学生活动：同桌合作，摆小棒并记录数据。教师巡视，指导操作不规范的小组，并收集典型的记录单。

2.汇报交流，发现规律：指名小组上台，利用实物展台展示摆法和填表结果（1个3根，2个5根，3个7根，4个9根……）。教师引导全班观察：“观察表格中的数字，你有什么发现？”引导学生发现：每增加一个三角形，就增加2根小棒。【重要】

3.数形结合，多元表征：教师引导：“这个‘增加2根’的规律，你能结合我们摆的图形，用算式表示出来吗？以摆4个三角形为例，你能列出几个不同的算式？”

小组讨论后，全班交流，教师根据学生回答板书，并结合课件演示【高频考点】：

方法一（递增法）：3+2+2+2=9。引导学生抽象：1个三角形用3根，后面每多1个就加2个。所以摆10个就是3+2×9。摆n个就是3+2×(n1)。（板书：3+2×(n1)）36。

方法二（共用边法）：假设每个三角形都用3根，3×4=12，但数一数实际只有9根，为什么少了3根？引导学生看图发现，每多一个三角形就少1根共用边，摆4个三角形，有3个“共用点”（或者说除了第一个，后面每个三角形都节省了1根），所以节省了(n1)根。算式：3n(n1)7。

方法三（分解法）：换个角度观察，除了最左边第一根小棒，其余的三角形其实都是由2根小棒组成的（指着图形说明：第一个三角形的左边独立，但它的底边和第二个三角形的左边、底边……可以重新组合视角）。因此，小棒总数可以看成：1+2n37。

教师强调：这三种方法虽然思考角度不同，但它们化简后的结果都是“2n+1”。（带领学生化简验证）【核心结论】

4.验证模型，解决冲突：回到课开始的提问：“现在谁能快速算出摆100个这样的三角形需要多少根小棒？”（学生口答：2×100+1=201根）。通过解决这个大数问题，让学生感受模型的价值。（三）活动二：多角度探索点阵的规律（思维拓展）（15分钟）

1.初识点阵，感受“形中有数”：课件出示教材中的正方形点阵图（1×1，2×2，3×3，4×4）。提问：“这是一组点阵图，观察它们点的个数，你有什么发现？”引导学生发现点阵是正方形的，点的个数依次是1、4、9、16，即n×n18。

2.变换视角，发现“数中藏形”：教师引导：“刚才我们是从整体看，发现它是正方形数。如果我们换一种观察方式，比如把它划分成不同的形状，你还能发现新的规律吗？”【难点突破】

发放学习单，上面印有5×5的点阵图。小组合作探究，尝试用“划分”的方法，看看能发现哪些不同的加法算式。

3.汇报展示，精彩纷呈：小组代表上台，利用投影展示自己组的“划分”方法：

方法一（拐弯法/折线划分）：将点阵划分成“L”形。第1个点阵是1，第2个是1+3，第3个是1+3+5，第4个是1+3+5+7。发现规律：第n个点阵的点数就是从1开始的n个连续奇数之和13。

方法二（斜线划分）：沿着对角线划分，发现点阵可以看成对称的形式。如第4个点阵：1+2+3+4+3+2+1。教师顺势引导：利用这个规律，你能快速算出1+2+3+……+99+100+99+……+3+2+1吗？感受规律的魅力13。

方法三（回字法/嵌套划分）：将点阵看成由内向外一圈一圈的正方形“回”字。发现第3个点阵，最外层一圈的点数，等等，渗透“方阵”问题的雏形1。

教师小结并板书：“真是横看成岭侧成峰！观察的角度不同，发现的算式就不同，但最后的结果却是相同的。这就是数学的魅力！”（四）巩固与应用（5分钟）

1.基础应用（摆三角形逆运算）：课件出示问题：“按照刚才的摆法，如果用了37根小棒，你知道一共摆了多少个三角形吗？”引导学生用方程思想或逆推法解决。（方法：(371)÷2=18或(373)÷2+1=18）【重要】37。

2.类比迁移（摆正方形/桌子问题）：课件出示教材或练习中的“摆桌子”问题（即用正方形拼成一排，求椅子数或桌子数）。引导学生思考：虽然图形变了，但思考的方法一样吗？找出这里的“共用边”是如何影响总数的。让学生快速列式解决4。（五）课堂总结与评价（3分钟）

教师引导学生回顾：“这节课我们玩了摆小棒，看了点阵图，大家有什么收获？”

学生从知识（规律）、方法（从简单入手、数形结合、多角度观察）、情感（合作、成功体验）等方面进行总结。

教师升华：“著名数学家华罗庚说过，‘数缺形时少直观，形少数时难入微’。今天我们深刻体会了这句话的含义。希望同学们在以后的学习中，也能像今天这样，用‘数’的眼光去观察‘形’，用‘形’的直观去理解‘数’，做生活的有心人，去发现更多有趣的规律。”【核心素养升华】八、板书设计图形中的规律一、三角形的规律1个：3根2个：5根3个：7根4个：9根…n个：方法一：3+2×(n1)方法二：3n(n1)——>2n+1方法三：1+2n（从简单入手化繁为简）二、点阵的规律整体看：n×n拐弯看：1+3+5+…+(2n1)斜线看：1+2+3+…+n+…+3+2+1（数形结合多角度看）九、教学反思（预设）本节课的设计力求改变传统规律课