2025~2026学年甘肃省陇南市宕昌县第一中学、第二中学、两当县第一中学高二下册期中考试数学试题【含答案】

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.1.某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（）A.2 B.3 C.4 D.52.已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（）A. B.C. D.3.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.4.已知，则（）A. B. C. D.5.已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（）A.0 B.1 C.0或 D.0或16.林老师希望从中选2个不同的字母，从中选3个不同的数字编拟车牌号鄂J×××××的后五位，要求数字互不相邻，那么满足要求的车牌号有（）A.576个 B.288个C.144个 D.72个7.已知定义在上的函数的导函数为，且的图象如图所示，则在上的极值点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（）A. B.展开式的二项式系数和为C.展开式的各项系数和为 D.10.若点是函数f（x）的图象上任意两点，且函数f（x）在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（）A.x1＜0 B.0＜x1＜1C.最小值为e D.x1x2最大值为e11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数有三个零点B.C.曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则D.若方程有三个不同的实数根，，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为______________．（用数字作答）13.考古时在埃及金字塔内发现“142857”这组神秘的数字，其神秘性表现在具有这样的特征：，，，．且．这类数因其“循环”的特征，常称为走马灯数．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数构成一个三位数，则满足是剩下的3个数字构成的一个三位数的的个数为____________14.已知函数，若，则函数的零点个数是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．16.已知函数，．（1）令，讨论在的单调性；（2）证明：，.17.解决下列问题（1）包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排，求甲、乙相邻，丙、丁不相邻的情况总数；（结果用数字作答且书写出步骤）（2）一支医疗小队由名医生和名护士组成，现将他们平均分配到三家不同的医院工作，每家医院分到名医生和名护士，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，求不同的分配方法种数；（结果用数字作答且书写出步骤）（3）请你构造一个实际背景，对等式作出解释.（请注意不要使用生活中的真人名，以及用语规范）18.根据下列条件求值：（1）已知，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.19.已知函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）已知，函数，对任意，存在，使，求实数的取值范围；（3）已知，函数有两个不同的零点，，且有唯一的极值点，记，，，判断是否可能为等腰三角形，并说明理由.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.1.某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：B解析：思路：根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解.解答过程：依题意，服从超几何分布，则，当取得最大值时，，即，解得，，所以.故选：B2.已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：求出根据导函数的几何意义，分别解以及，得出切点坐标，代入点斜式方程求解，即可得出答案.解答过程：由已知可得，，由导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率.对于A、B项，由可得，，解得.当时，切点为，此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故B项正确.当时，切点为，此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故A项正确；对于C、D项，由可得，，解得，切点为，此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故C项正确，D项错误.故选：D.3.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出导函数后代入计算.解答过程：由已知，所以，故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：设，令，得；令，得；故．5.已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（）A.0 B.1 C.0或 D.0或1答案：D解析：思路：根据切线重合列方程，求得切点的横坐标，进而求得的值.解答过程：设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①.分别对两函数求导可得及，由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等，即，即，解得或.将代入①可得；将代入①可得，解得，所以的值为0或1.6.林老师希望从中选2个不同的字母，从中选3个不同的数字编拟车牌号鄂J×××××的后五位，要求数字互不相邻，那么满足要求的车牌号有（）A.576个 B.288个C.144个 D.72个答案：C解析：思路：利用先选后排及插空法，结合分步乘法计数原理即可求解.解答过程：依题意，从中选2个不同的字母有种，然后从中选3个不同的数字有种，再从选出的2个不同的字母有种排法，最后从选出3个不同的数字插空有种，根据分步乘法计数原理知，满足要求的车牌号有种.故选：C.7.已知定义在上的函数的导函数为，且的图象如图所示，则在上的极值点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：解答过程：由图可得在上有2个变号零点，所以在上的极值点个数为2.8.已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求解即可得到结论.解答过程：构造函数，，当时，，所以，所以在上单调递减，因为，函数是定义在区间上，所以，即，不等式化为，即，所以，即，所以不等式解集为.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（）A. B.展开式的二项式系数和为C.展开式的各项系数和为 D.答案：AD解析：解答过程：对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确；对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确；对于D：令，得，令，得，所以，故D正确．10.若点是函数f（x）的图象上任意两点，且函数f（x）在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（）A.x1＜0 B.0＜x1＜1C.最小值为e D.x1x2最大值为e答案：CD解析：思路：根据,分三种情况讨论:,或.对函数求导,由导数的几何意义及函数在点A和点B处的切线互相垂直,即可得的关系,进而判断选项即可.解答过程：因为,点所以因为在点A和点B处的切线互相垂直由导数几何意义可知,在点A和点B处的切线的斜率之积为所以时,满足,即.因为,所以所以,所以A、B错误;对于C,可知,令,所以令,得所以当时,,则在时单调递减所以在时取得极小值,即最小值为,所以C正确;对于D,可知令,则令,解得所以当时,,则在时单调递减当时,,则在时单调递增所以在时取得极小值,即最小值为.当时取得最大值,,所以D正确.当时,满足,即此方程无解,所以不成立.综上可知,D为正确选项.故选:CD方法提示：本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数有三个零点B.C.曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则D.若方程有三个不同的实数根，，，则答案：BCD解析：思路：求导，根据导数得函数单调性，根据零点的存在性定理判断A；根据对称性质及单调性计算判断B；根据导数的几何意义解方程判断C；根据题意化简计算判断D.解答过程：由，得，令，得，令，得或，所以在区间单调递减，在区间，单调递增.对于A，因为，，，所以在区间内存在1个零点，故在上有2个零点，故A错误；对于B，因为，所以的图象关于点中心对称，令，得，又，所以，故B正确；对于C，依题意，即，所以，因为，所以.故C正确；对于D，设，所以，所以为定值，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为______________．（用数字作答）答案：解析：思路：利用二项展开式的通项公式，分析的展开式中含项的系数，含项的系数，即可得解．解答过程：由二项式的展开式的通项为，其中含项的系数为0，含项的系数为，所以的展开式中的系数为．13.考古时在埃及金字塔内发现“142857”这组神秘的数字，其神秘性表现在具有这样的特征：，，，．且．这类数因其“循环”的特征，常称为走马灯数．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数构成一个三位数，则满足是剩下的3个数字构成的一个三位数的的个数为____________答案：48解析：思路：把这6个数按和为9分成三类：，，，，，，只要每类中取一个数字然后组成三位数即符合题意，由此可得结论．解答过程：根据题意，注意到1，4，2，8，5，7这6个数中，，将它们分成三组：，，，，，，由题意知满足“是剩下的3个数字构成的一个三位数“的为每组中取1个数的不同排列，其个数，故答案为：48．14.已知函数，若，则函数的零点个数是___________．答案：解析：思路：本题需要先分析函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性和极值，得到函数的图象，然后再通过换元法，把零点问题转换成两个函数图象的交点问题.解答过程：函数的定义域为，由，得，所以函数是偶函数，当时，，当时，，当时，，故在上单调递增，上单调递减，又为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又时，，所以的值域为．令，则，由，得，因为，所以，画出与的图象如图所示，所以在区间有唯一零点，令，,函数的图象与函数的图象有4个交点，故函数的零点个数是4．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．答案：（1）（2），切点为解析：思路：（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解.（1）由，得，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）设切点为，由（1）得，所以切线方程为，因为切线经过原点，所以，所以，．则，所以所求的切线方程为，切点为．16.已知函数，．（1）令，讨论在的单调性；（2）证明：，.答案：（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）证明见解析解析：思路：（1）求导后，分、、、讨论即可；（2）构造函数，根据导数与最值的关系得到，当且仅当，等号成立.令，得到，从而有，即，结合等比数列的前项和公式即可证明.（1），，则，①当时，恒成立，所以在上单调递减；②当时，令，则，解得.若，即时，，则，所以在上单调递增；若，即时，当时，，单调递减；当时，，单调递增；③当时，在上恒成立，即在上恒成立，所以在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时，取极小值，所以，即，所以，当且仅当，等号成立.令，则，所以，则.所以.综上，，.17.解决下列问题（1）包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排，求甲、乙相邻，丙、丁不相邻的情况总数；（结果用数字作答且书写出步骤）（2）一支医疗小队由名医生和名护士组成，现将他们平均分配到三家不同的医院工作，每家医院分到名医生和名护士，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，求不同的分配方法种数；（结果用数字作答且书写出步骤）（3）请你构造一个实际背景，对等式作出解释.（请注意不要使用生活中的真人名，以及用语规范）答案：（1）（2）（3）解释见解析解析：思路：（1）直接由分步乘法原理：先把甲乙捆绑和除丙丁外的三人排序，最后再将丙丁插空排列可得.（2）先分三个医生有，再分配护士，先分甲乙组有种，再分其余4人有种，最后由乘法原理可得.（3）构造排一个六位数的问题，一种是用间接法计算，一种是用直接法计算，从而可得结果.（1）分三步完成：第一步：将甲、乙捆绑成一个整体有种不同结果，第二步：再把剩下的三人和甲、乙整体进行排列有种不同结果，第三步：最后将丙、丁两人插空进入刚才的队伍，有种不同结果，根据分步乘法计数原理，因此一共有种；（2）先将三名医生分配到三家医院有种，再分配护士：先分甲乙两人组有种，再分其余4人有种，护士共有种不同分配方法，因此一共有种；（3）用六个数字排成一个六位数.先个数全排列，有种排法，再去掉占最高位的方法数，即.也可以分步先排的位置，除了最高位，剩下的个位置选一个去占，有种，剩下的个数，个位置随便安排有种，根据分步计数原理，一共有种同一个问题，结果一样，因此.18.根据下列条件求值：（1）已知，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）通过赋值法即可求解；（2）由二项展开式通项公式即可求解；（3）通过令，，再联立两式，即可求解.（1）令，即，得.（2）因为的展开式的通项为，，，，，，所以，，，，，，则为偶数时，，为奇数时，，.令，得.（3）令，得；①令，得.②（①+②），得；（①-②），得.所以.19.已知函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）