离散型随机变量及其分布大题专项训练【六大题型】-人教A版高中数学选择性必修第三册（解析版）

专题7.6离散型随机变量及其分布大题专项训练【六大题型】

【人教A版(2019)]

姓名：班级：考号：

题型一求离散型随机变量的分布列。|

I.(2023上•辽宁沈阳•高二校考阶段练习)学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分,

没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是土

(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；

(2)求小明在4次投篮后的总得分j的分布列

【解题思路】(1)小明在投篮过程中直到第三次才投中说明前两次没有投中，第三次投中，由此根据独立

事件的乘法公式求出概率；

(2)小明在4次投篮后的总得分。的可能取值为0,2,4,6,3,根据独立重复事件的概率公式得出各概

率即可得出分布列.

【解答过程】(1)设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件4,

事件力说明小明前两次没有投中，第三次投中，

••・P⑷

二小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为卷.

(2)小明在4次投篮后的总得分j的可能取值为0,2,4,6,8,

P«=O)=(1-1)4=«

P«=2)=Cj(l-l)3xi=^

p(4=4)=&(i一i)2xGy=%

3

P«=6)=Ci(l-l)xQ)=2;

P(，=8)=G)'=!

则总得分的分布列为:

02468

1632881

p

8181278181

2.(2023上•山东德州•高二校考阶段练习)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,

3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.2,各部件的状态相互独立.

(1)求设备在一天的运转中，部件I,2中至少有1个需要调整的概率：

(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X,求随机变量X的分布列.

【解题思路】(1)根据概率的乘法公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可；

(2)根据概率的乘法公式，通过计算列出分布列即可.

【解答过程】(I)部件1,2都不需要调整的概率为(1-0.1)(1-0.2)=0.72,

则部件I,2中至少有1个需要调整的概率为P=1—0.72=0.28：

(2)由题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,且

P(X=0)=0.9x0.8x0.8=0.576,

P(X=1)=0.1x0.8x0.8+0.9x0.2x0.8+0.9x0.8x0.2=0.352,

P(X=2)=0.1x0.2x0.8+0.1x0.0x0.2十0.9x0.2x0.2=0.068,

P(X=3)=0.1x0.2x0.2=0.004,

X0123

P0.5760.3520.0680.004

3.(2023上•辽宁沈阳•高二校考阶段练习)已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全

部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得。分.每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2

项或3项.为了研窕多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为点

正确答案是“选三项''的概率为去现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.

(1)已知某题正确答案是“选两项“，求学生甲不得0分的概率；

(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项“，试写出甲、乙两名学生得分的分布

列.

【解题思路】(1)利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解；

(2)中得分的可能取值为0,2；乙得分的可能取值为0,2,5,分别计算概率，列出分布列.

【解答过程】(1)某题正确答案是“选两项”的条件下，他不得0分的情况有两种：

①只选一个选项得2分的概率为：0i=1=4；

②选两个选项，得5分的概率为：%=口=3；

所以某题正确答案是“选两项”的条件下，学生甲不得o分的概率为：p=p1+p2=Ui=1

263

(2)结合题意：设学生甲得分为X,则X的可能取值为0,2,

P(X=0)=ix1+lxl=1；

P(X=2)=ixl+lx^=|；

学生甲得分的分布列为：

设学生乙得分为匕则y的可能取值为0,2,5,

P(y=2)=|xg=l;

P(y=5)=ix=-；

'，2或12，

P(V=O)=I十醇；

学生乙得分的分布列为：

4.(2023上•全国•高三专题练习)设离散型随机变量X的分布列为

X01234

P0.20.10.10.3rn

(1)求随机变量〃=|X—1|的分布列；

(2)求随机变量6=X2的分布列.

【解题思路】(1)根据分布列的性质可得m=0.3,结合X与〃=囚一1|之间的关系分析求解;

(2)根据题意结合X与f=X2之间的关系分析求解.

【解答过程】(1)由分布列的性质知：0.2+0.1+0.1+0.3+m=l,解得m=0.3,

列表为

X01234

|XT|10123

即随机变量的可能取值为0,1,2,3,

可得P(〃=0)=P(X=1)=0.1,

P(〃=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,

pg=2)=P(X=3)=0.3,P(〃=3)=P(X=4)=0.3,

故”=|X-1|的分布列为

70123

P0.10.30.30.3

（2）列表得

X01234

X2014916

即随机变量S=X2的可能取值为0,1,4,9,16.

从而《=X?的分布列为

014916

P0.20.10.10.30.3

5.（2023・陕西汉中•校联考模拟预测）教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展

的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚，扶贫

先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与

支教活动.支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随

机抽选.已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验.

⑴求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；

（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数X的分布列；

【解题思路】（1）根据二项分布的概率公式即可求解•，

（2）根据超几何分布的概率公式即可求解概率，进而可求解分布列.

【解答过程】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为|,

2

则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为2=髭乂（，X（1）=

（2）X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0,1,2.

P（X=0）*MP（X=1）=誓号;P（X=2）=并

所以分布列为：

X012

P0.10.6().3

题型二；求离散型随机变量的均值

6.（2023下•广东肇庆•高三广东肇庆中学校考阶段练习）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围,

某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只

能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：

个人赛

奖项组别团体赛获奖

一等奖二等奖三等奖

高一20206050

高二162910550

（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；

（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望;

【解题思路】（1）设出事件，利用条件概率公式求出答案；

（2）求出X的可能取值及相应的概率，得到分布列和数学期望.

【解答过程】（1）记,,任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A,••任取1名学生，该生为高一学生”为事

件8,

PQ）=瑞，P（4B）=券

故P（8⑷=需=拿=*

350

（2）由己知可得,X的可能取值为0,1,2,

_c、1001501

P(\X=0)7=—150x—200=2

v、10050,501505

''15020015020012

F(/)=0xl+7xA+2x.L=±.

7.（2023上•安徽•高三校联考期末）在当今信息泛滥的时代，很多因素容易分散孩子们的注意力.某儿童

注意力训练机构从2~14岁的学员中随机抽取了50名学员，得到相关数据如图所示：

（1）若抽取的这50名学员的平均年龄为6.2岁（每组数据以所在区间的中点值为代表），求图中小〃的值.

⑵从所抽取的年龄在[2,4）,[6,8）,[8,10）内的学员中，按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取7人，再

从这7人中任选3人，记这3人中年龄在[6,8）内的学员人数为X,求X的分布列和数学期望.

【解题思路】（1）结合频率分布直方图的性质及平均数的定义计算即可得；

（2）结合分层抽样与超几何分布的分布列及期望性质计算即可得.

【解答过程】（1）由图可得（0.01+0.02+。+8+0.12+0.20）x2=1,即有a+b=0.15,

由抽取的这50名学员的平均年龄为6.2岁，

可得（3b+5x0.12+7x0.20+9Q+11x0.02+13x0.01）x2=6.5,

即可得3Q+b=0.25,又a+b=0.15,故Q=0.05,b=0.10；

（2）由频率分布直方图可得：[2,4）,[6,8）,[8,10）三组的频率之比为:

0.10:0.20:0.05=2:4:1,

故抽取的7人中，年龄在[2,4）内的有7x：=2人,

年龄在［6,8)内的有7x?=4人，生龄在［8,10)内的有7x：=1人,

故X的可能取值为0,1,2,3,

有「。=0)=等=5P(X=1)*=、,

P(X=2)=警=弟P(X=3)=^=^

故其分布列为：

X0123

112184

P

35353535

F('X),=0x35—+lx35—+2x35—+3x35—=7—.

8.(2023・湖南株洲•株洲二中校考一模)民航招飞是指普通高校飞行技术专业(本科)通过高考招收飞行

学生，报名的学生参加预选初检、沐检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔等5项流程，其中前4

项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学

生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲、

433

乙、丙三人报名民航招飞.

(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；

(2)求甲、乙、因三人中恰好有一人被确认为有效招K申请的概率；

(3)根据甲、乙、丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招E院校录取的概率分别为|,|,|,设甲、乙、丙三

人能被招飞院校录取的人数为X,求X的分布列及数学期望.

【解题思路】(1)由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得；

(2)可看成3次独立重复试验模型求解概率；

(3)分别计算出甲、乙、丙能被招飞院校录取的概率，按步骤求出离散型随机变量的分布列.

【解答过程】(1)因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为旦能否通过相互独立，

433

所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率P=^x|x|xl=i

4336

(2)因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为：，

6

2

所以甲、乙、丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率P=禺X；X(1—9=算.

6\6/7Z

(3)因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为g且预估甲、乙、丙三人的高考成绩能被招飞院校录

6

取的概率分别为

ODO

所以甲能被招飞院校录取的概率R=；X[=3

639

乙能被招飞院校录取的概率P2=：X；L

651V

丙能被招飞院校录取概率P3=：X==白

6510

依题意X的可能取值为0,1,2,3,

^P(X=0)=(l-l)x(l-A)x(l-±)=12,

P(X=1)=1x(1-^)x(1-+2xx(1-1)x(1-=i,

P(x=2)=2x-x—x(1--4-(1x—x—=—,

''910\10/\9/1010450

P(X=3)=-x—X—=—.

'791010900

所以X的分布列为:

X0123

181131

P

254450900

所以E(X)=。噂+lx；+2x急+3x*=*

9.(2023上•贵州贵阳・高三贵阳一中校考阶段练习)3月14日为国际数学日，也称为n节，为庆祝该节日，

某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班

级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三(6)

班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是通过第二轮比赛的

45

概率分别是强，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.

(1)若高三(6)班获得决赛资格的小组个数为X,求X的数学期望；

(2)已知甲、乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10()分，答错一题扣

100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，

且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是5，|,假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙己在第一道题中

得100分的情况下甲获胜的概率.

【解题思路】(1)先算出甲乙通过两轮制的初赛的概率，X的取值有0,1,2分三种情况解决：

(2)先分别算出甲，乙抢到并答时•题的概率，然后再算出乙已得10分，甲若想获胜的3种情况，最后

由分类加法计数原理求解即可.

【解答过程】(1)设甲、乙通过两轮制的初赛分别为事件为M2，

则P(A1)="(力2)=7X1=p

由题意可得，X的取值有。,1,2,

P(X=O)=(1-1)(1-1)=^,

P(X=l)=(l-1)x|+|x(l-1)=^

P(X=2)=9合*

所以E(X)=0x-+lx-+2x-^=l.

252525

(2)依题意甲、乙抢到并答对一题的概率分别为P(B])=^x^=|,

P】2)="合奋

乙已得100分，甲若想获胜情况有：

①甲得200分：其概率为"：二白；

55/5

②甲得100分，乙再得TOO分，其概率为

③甲得()分，乙再得一200分，其概率为(|x|)2=^,

故乙先得100分后甲获胜的概率为卷+卷+卷=白

10.(2023上•广东惠州•高三惠州一中校考阶段练习)杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们

分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海

纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神.某经销商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式

购买，每个盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只

有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元.

(1)小明若以方式•购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开.求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的

吉祥物款式相同的概率；

(2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案

先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物.若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？

【解题思路】（1）根据古典概型求取概率；

（2）分别分析两种方案的分布，然后求取期望值比较；

【解答过程】（1）设小明第3次购买是恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为P,

则分为有空盒和无空盒两种情况，。=聿等产=1.

4X4X432

（2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的息费用为X.

X的可能取值为80,110.

则P（X=80）=^=-,

44

P（X=110）=-.

4

所以E（X）=80x-+110x-=—.

442

方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为Y.

依题意，y的可能取值为70,100,130,

则p（y=70）=2=$=?,

'74X4168

p（y=loo）=C+G='

'，4X416

p（y=130）.

''4X416

所以E（y）=70x—+100x—4-130x—=

1616168

175725

因为丁NV丁o.

所以小明应该选择方案一.

题型三Z求离散型随机变量的方差、标准差

11.（2023上・浙江杭州•高二期中）根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种

新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则

认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.

（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽

到痊愈的人的个数为X,求X的概率分布.

（2）在第（1）题的条件下求随机变量X的期望与方差.

（3）如果新药有效，将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率，并根据P的值解释该试验

方案的合理性.(参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件).

【解题思路】(1)求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列；

(2)在(1)的基础上，利用期望和方差公式求出答案；

(3)新药无效的情况有：10人中1人瘁愈，10人中。人痊愈，求出概率P、0.01<0.05,得到答案.

【解答过程】(1)X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=等=芯p(x=l)=器p(x=2)=昌=京

5。》JorJor

故分布列如下：

力(X)=(0-I)2x+(1-I)2x1+(2-I)2x|

(3)新药无效的情况有：10人中1人痊愈，10人中0人痊愈，

故P=C?。©°XG)‘°+CloG)'X©9=冷001<005.

所以通过试验却认定新药无效为小概率事件，该试验方案合理.

12.(2023上•江西上饶•高二校考期末)某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30

天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击品变化时，用力”表示“上涨”，即当天新闻点击量比

前一天新闻点击量高；用"I”表示"下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低：用“一”表示“不变”，

即当天新闻点击量与前•天新闻点击量相同.

时段新闻点击量

第1天到第15天t-t1T-It-It1-II

第16天到第30天-t-t-tIt1T-ItIT

用频率估计概率.

⑴试估计该网站新闻点击量”下降，的概率；

(2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记X表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求X的

分布列和数学期望E(X)；

(3)从样本给出的30天中任取1天，用"=1”表示该天新闻点击量“上涨"，-<=0”表示该天新闻点击量”下

降，，或，，不变，，，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天，上涨”、3天“下降”、1天“不变”，

相应地，从这40天中任取1天，用力=1”表示该天新闻点击量“上涨“，”=0”表示该天新闻点击量“下降”

或“不变”，直接写出方差以，4大小关系.

【解题思路】（1）30天中，有卜。天点击量下降，从而估计出相应的概率；

（2）求出X的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望；

⑶求出P（《=l）=城P«=0）=|,得到D4，同理得到%,比较出大小.

【解答过程】（1）30天中，有的天点击量下降，故估计该网站新闻点击量“下降”的概率为非二/

（2）前15天中，有5天的点击量上涨，后15天中，有7天上涨,

故X的可能取值为Ql,2,

则0(X=o)=/x卷=挣P(X=l)=^x^+^x^=^

P(X=2)=—=套

故＞的分布列如下:

0□□p□l

0同

FOT=oxi1+ix^+2x^=l：

(3)以<与，理由如下：

由(2)知，样本给出的30天中点击量上涨的天数为12,

«(/>«=1)=^=P«=0)=12=1.

mE«)=|xi|xo=|22

+(D«)=(I-?)X|+(O-1)X|=A,

这40天中点击量上涨的天数为12+6=18,

故PS=1)=^=^-»P5=0)=宾=芥

''z4020''y4020

故E(〃)=2x1+1x0=2,DS)=(I—2)?x?+(o_2)2、［二工,

202020l”120/20\20720400

由呼/焉故

13.（2023上•北京顺义・高三校考价段练习）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000

名顾客进行回访，调查结果如表：

运动鞋款式ABCDE

回访顾客(人数)700350300250400

满意度0.40.50.60.50.6

注：

I.满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值：

2.对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度.假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用

顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率.

(1)从所有的回访顾客中随机抽取I人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率：

(2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X,求X的分布列和数学期

望；

(3)用“f=1”和“f=0”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“〃=「和=0”分别表示对B款运动满意

和不满意，试比较方差D(f)与。(〃)的大小.(结论不要求证明)

【解题思路】(1)求出C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数，然后求解顾客是。款式运动鞋的回

访顾客且对该款鞋满意的概率.

(2)X的取值为0,1,2,设事件M为“从4款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”,

事件N为“从E款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意“，说明事件M与N相互独立.然

后求解X的概率，得到分布列，然后求解期望.

(3)由两点分布的方差公式计算比较D(f)与DS)的大小.

【解答过程】(1)由题意知，是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为300x0.6=180,

故从所有的同访顾客中随机抽取1人,此人是。款式运动鞋的I可访顾客且对该款鞋满意的概率是墨=京.

(2)X的取值为()，I,2.设事件M为“从A款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”,

事件N为“从E款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，

且事件M与N相互独立.

根据题意，P(M)=0.4,P(N)=0.6.

则P(X=0)=P(MN)=(1-P(M))(1-P(N))=0.6x0.4=0.24,

P(X=1)=P(MN)+P(MN)=P(M)(1-P(N))+(1-P(M))P(N)=0.4x0.4+0.6X0.6=0.52,

P[X=2)=P(MN)=P(M)P(N)=0.4x0.6=0.24,

所以X的分布列为：

X012

p0.240.520.24

X的期望是:E(X)=0x0.24+1x0.52+2x0.24=1.(3后,〃都服从两点分布,P(f=1)=0.4,P(TJ=1)=

0.5,

D(O=0.4x(l-0.4)=0.24,。(〃)=0.5x(1-0.5)=0.25,

所以。(打＜。⑺.

14.(2023下•广西河池•高二统考期末)为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二

十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡

教育高质量共同发展.某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活

动.这6名老师中，英语老师、化学老师、数学老师各2名.

(1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率；

(2)设X表示选出的3人中数学老师的人数，求X的均值与方差.

【解题思路】(1)根据组合数的计算，结合古典概型和互斥事,牛的概率计算公式，可得答案；

(2)根据超几何分布的概率计算公式，以及均值和方差的计算公式，可得答案.

【解答过程】(I)推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本事件总数九=Cj=20,

这6名老师中，数学老师2名，英语老师2名，化学老师2名，

设事件/表示“选出的数学老师人数多「英语老师人数”，

久表示“恰好选出1名数学老师和2名化学老师”，力表示“恰好选出2名数学老师”，

41，人2互斥，且P(，l)=号?=卷=aP(，2)=等1=*'

•••选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为P=P(A)+P(4)=白+；=右

JLVDAV

(2)由于从6名老师中任选3名的结果为髭，

从6名老师中任选3名，其中恰有m名数学老师的结果为C£第-'气相=0,1,2),那么6名中任选3人，

恰有m名数学老师的概率为P(X=m)=笔二

L6

所以P(X=0)=萼=：,P(X=1)=警=|,P(X=2)=等］

E(X)=0x-+lx-+2x-=1,

555

D(X)=(0-1)2xg+(1-1)2Xg+(2-1)2X那.

ODOD

15.（2（）23上・北京西城•高三校考开学考试）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）

班~（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名

学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（X轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：

0

9

8

7

6

5

4

3

2

（1）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高•年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成

绩达到优秀的概率；

（2）若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1人，设X表示2人中身体素质监测成绩达到

优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；

（3）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中

分别随机抽取1名同学，用“&=1”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“短=0”表示第k班抽到的这

名同学身体素质不是优秀（k=1,2，…,8）.写出方差。©）,。&）,0&），。（储的大小关系（不必写出证明

过程）.

【解题思路】（1）由频率即可估计概率，

（2）根据独立事件的概率乘法公式即可求解概率，

（3）根据两点分布的方差公式以及二次函数的单调性即可求解.

【解答过程】（1）从高一年级（1）班~（8）班学生中抽测了80人，

其中身体素质检测成绩优秀的人数有8+6+9+4+7+5+9+8=56人，所以，优秀的概率是高

因为是随机抽样，所以用样本估计总体，可知从高一年级学生中任意抽测一人，

该生身体素质检测成绩达到优秀的概率是看

（2）因为高一（2）班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有6人，不优秀的有4人，

因为高一（4）班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有4人，不优秀的有6人，

所以从中抽出2人，X的可能取值为0,1,2

n/tz八、236c八/4、33.2213八八,326

P（X=0）=-x-=—,P（X=l）=-x-+-x-=—,P（X=2）=-x-=—,

'75525'7555525'75525

所以X的分布列为

数学期望E(X)=0x-+lx-+2x-=1

252525

(3)DQDQDQg，

理由：由于尸(fi=1)=08「(A=1)=0.6,P«3=1)=09P(覆=1)=04

且&服从二点分布，所以D&)=P&)(1-P&))=-(P&)-丁+；，

由于P(A=1)>P(G=1)=0.8>P(f2=1)=0.6>|>P(%=1)=04D(藐)=-(P(&)-02+(在

6，1)单调递减，

所以D(&)=D&)>D&)>D(f3).

题型四二项分布的均值与方差

16.(2023・全国•高三校联考专题练习)在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同

学轮流一人一次独立竞猜，甲同学猜对概率为0.6,乙同学猜对概率为0.4,假设猜对每道灯谜都是等可能

的，试求：

(1)在选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率；

⑵任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率；

⑶记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为X,求X的期望.

【解题思路】(1)设出事件，得到pQ4)，p⑻,利用P(画=P(Z)P(M求出结果;

(2)根据独立重复性试验求概率公式求出结果；

(3)判断出X服从二项分布，代入公式即可.

【解答过程】(1)设事件A表示“甲猜对”，事件8表示“乙猜对"，则PQ4)=SP(B)=j

任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：

P(通)=尸⑷P⑻=(1一§X(1-1)=W

(2)任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次，乙猜对1次的概率为:

P=QOSxc10.4X0.6=0.1728.

(3)甲猜对的次数为X〜8卜0,§,期望为EX=20x|=12.

17.(2023上•内蒙古呼伦贝尔・高二校考期末)我校高二年级决定从2024年起实现新的奖励评审方案，方

案起草后，为了了解学生对新方案的满意度，决定采取如下“随机化回答技术''进行问卷调查：每名学生抛掷

一枚质地均匀的股子，连续抛掷两次.约定“如果两次的点数恰好有一次的点数能被3整除，则按方式I回答

问卷，否则按方式II回答问卷”

方式1：若第一次点数能被3整除，则在问卷中画、、△“，否则画“x”

方式II：若你对奖励评审方案满意，则在问卷中画“△”，否则画“x”.

当所有学生完成问卷调查后，统计画△,画x的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得学生对新奖

励评审方案的满意度的估计值.其中满意度;(满意的学生数/学生总数)x100%.

(1)若高二年级-共有900名学生，用X表示其中用方式1回答问卷的人数，求X的数学期望；

(2)若高二年级的调查问卷中，画公与画x的人数的比例为5：4,试估计学生对新的奖励评审方案的满意度.

【解题思路】(1)先根据古典概型的概率公式计算每名学生按方式I回答问卷的概率，再根据题意分析可

得方式I回答问卷的人数X〜8000,3,利用二项分布的期望的公式运算求解.

(2)根据题意结合条件概率公式和全概率公式运算求解.

【解答过程】⑴先后抛掷两枚骰子，出现的点数情形共有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),

(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5).(5,6),(6,1).(6,2),(6,3),(6,4),(6,5).(6,6),

共36种,

其中两次的点数恰好有一次的点数能被3整除的情形有：(1,3),(1,3),(2,3),(2,6),(3,1),⑶2),(3,4),

(3,5),(4,3),(4,6),(5,3),(5,6),(6,1),(6,2),(6,4),(6,5),

共16种，故其概率为P=^=:

由题意可得：该高二年级900名学生中按方式I回答问卷的人数X〜8(900,J，

所以X的数学期望E(X)=900xg=400；

(2)记事件力为“按方式I回答问卷”，事件B为“按方式H回答问卷”，事件。为“在问卷中画

由(1)知PG4)=g,P⑻=1—PG4)=京P⑹=京P(C|A)=5

则PQ4G=P(A)P(C|4)=gx；*

由全概率公式,得P(C)=P(AC)+=P(A)P(C\A)+P(B)P(C\B),

所以3=：+P（C|8）,所以P（C|B）=：=60%.

故由调查问卷估计，该中学高二年级学生对新的奖励评审方案的满意度估计值是60%.

18.（2023上•浙江杭州•富三统考期中）第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，某学校为持

续营造全民参与亚运、服务亚运、奉献亚运的浓厚氛围举办“心心相融・爱答亚运”知识挑战赛.挑战者向守

擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜.若赛制要

求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是U.5,且每次答题互不影响.

（1）若在不多门两次答题就决出胜负，则挑战者获胜的概率是多少？

（2）在此次比赛中，挑战者获胜的概率是多少？

⑶现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战8位守擂者，每次挑战之间相互独立，当战胜至少三分之

二以上的守擂者时，则称该挑战者胜利.若再增加1位守擂者时，试分析该挑战者胜利的概率是否增加?并

说明理由.

【解题思路】（1）根据独立事件的概率公式求解即可；

（2）设P为先答题者获胜的概率，根据独立事件的概率公式列出方程，进而求解；

（3）分别求出增加1位守擂者前后挑战者胜利的概率，进行比较即可求解.

【解答过程】（1）在一轮答题中，挑战者获胜的概率为匕=：x守擂者获胜的概率为「2=%

所以在一轮中若有胜者，则挑战者获胜的概率尸=3=3

设事件•力为挑战者获胜，事件B为不多于两次答题比赛结束.

P（川8）=（

（2）由（1）可得在一轮中若有胜者，则挑战者获胜的概率P=£=；,

所以挑战者最终获胜的概率是条

（3）设随机变量X为挑战者连续挑战8人时战胜得守擂者人数，P3为此时挑战者获胜的概率；

y为挑战者连续挑战9人时战胜得守擂者人数，为此时挑战者获胜的概率.

%=。46）=犹）6针+於）7包+魂（丁审，

…P-7）=碇）'（1）2+田守（守+洸）丁詈，

显然，p3>p4,即该挑战者胜利的概率没有增加.

19.（2023上•广东深圳•高三深圳中学校考阶段练习）某自行车厂为了解决复合材料制成的自行车车架应力

不断变化问题，在不同条件下研究结构纤维按不同方向及角度黏合强度，在两条生产线上同时进行工艺比

较实验，为了比较某项指标P的对比情况，随机地抽取了部分甲生产线上产品该项指标的P值，并计算得到

其平均数元=74,中位数％=72,随机地抽得乙生产线上100件产品该项指标的p值，并绘制成如下的频率

分布直方图.

(1)求乙生产线的产品指标p值的平均数?与中位数y(每组值用中间值代替，结果精确到0.01),并判断乙生

产线较甲生产线的产品指标p值是否更好(如果|y-y|<|元-;v|,则认为乙生产线的产品指标p值较甲生产

线的产品指标p值更好，否则不认为更好).

(2)用频率估计概率，现从乙生产线上随机抽取5件产品，抽出指标p值不小于70的产品个数用X表示，求X

的数学期望与方差.

【解题思路】(I)根据直方图估计平均数和中位数的公式计算即可，再判断即可；

(2)先求出指标p值不小于70的概率，由题意可得X服从二项分布，再根据二项分布的期望与方差公式计

算即可.

【解答过程】(1)歹=10x(55x0.01+65x0.02+75x0.034+85x0.026+95x0.01)=75.60,

因为(0.01+0.02)x10=0.3<05,(0.01+0.02+0.034)x10=0.64>0.5,

所以中位数在区间［70,80)上，

则(0.01+0.02)x10+0.034X(y-70)=0.5,解得y«75.88,

即中位数y=75.88,

因为历-y|=0.28<|x-x|=2,

所以乙生产线较甲生产线的产品指标p值更好；

(2)指标p值不小于70的概率为(0.034+0.026+0.01)X10=5，

由题意可得X〜8(5,2)，

所以E(X)=5xV"X)=5'示(1-3)二弟

20.(2()23・广东肇庆•统考二模)在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序歹IJ.现连续发射信号九次，

每次发射信号"0"和力''是等可能的•记发射信号1的次数为X.

(1)当？1=6时,求P(X=2)

(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量匕若其数学期望E(Y)和方差D(y)均存在，则对任意正实数。，

有P(|y—E(y)|<a)21一黑.根据该不等式可以对事件“卜—E(y)|<a”的概率作出下限估计.为了至少有

98%的把握使发射信号”「的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数日的最小值.

【解题思路】(1)根据二项分布公式计算；

(2)运用二项分布公式算出E(X)和。(X),再根据题意求出|X—E(X)|VQ中〃的表达式，最后利用切比

雪夫不等式求解.

【解答过程】(1)由已知X〜可6,》

所以P(X<2)=P(X=0)4-P(X=1)+P(X=2)

=C2(；)6+%©+C檐)飞)

(2)由已知X〜所以E(X)=0.5n,D(X)=0.25九，

若0.4工4工0.6,ljlijo,4n<X<06n,即一O.lnWX—0.5nWO.ln,

n

BP|.¥-0.5n|<O.ln.

由切比雪夫不等式P(|X-0.5n|<O.l/i)>1一器5，

要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则1-黑20.98,

(O.ln)2

解得n>1250,所以估计信号发射次数九的最小值为1250；

综上，P(XW2)=端，估计信号发射次数n的最小值为1250.

题型五iTryl佥布的均值与方差€)|

21.(2023上•河南南阳•高三南阳中学校考阶段练习)假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司

对该地区〃名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都

在区间［0.5,1.1］内,其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的〃,c,d满足d=c+0.5=b+l=

a+1.5,且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400.

⑵现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，

①求在各组应该抽取的人数；

②在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X,求随机变量X的分布列与数

学期望.

【解题思路】(1)结合题意及频数与频率，频率之和为1等知浜建立方程组，计算即可；

(2)根据分层抽样的定义即可求得各组应该抽取的人数；根据古典概型概率公式结合组合数可求得分布列,

进一步求得数学期望.

【解答过程】(I)根据频率分布直方图可知，第五小组的频率为0.8x0.1=0.08,又因为第五小组的频数

为2400,所以样本容量n=鬻=30000.

0.08

因为第六小组的频率为0.2x0.1=0.02,所以第六小组的频数是30000x0.02=600.

由频率之和为1.得(a+b+c+d++0.2)x0.1=1,所以a+b+c+d=9.

因为频率分布直方图中的a,4c,d满足d=c+0.5=b+l=a+1.5,

所以b=a+0.5,c=a+l,d=a+1.5.

所以代入a+b+c+d