诱导公式【六大题型】-人教A版高中数学必修第一册（原卷版）

专题5.3诱导公式【六大题型】

【人教A版(2019)]

＞题型梳理

【题型1三角函数的诱导公式】.................................................................2

【题型2三角函数的化简、求值——诱导公式】...................................................3

【题型3三角函数恒等式的证明——诱导公式】...................................................4

【题型4诱导公式的综合应用】..................................................................5

【题型5诱导公式在三角形中的应用】...........................................................6

【题型6同角基本关系式和诱导公式的综合应用】.................................................7

A举一反三

【知识点1诱导公式】

i.诱导公式

(1)诱导公式

公式—•二三四五六七八

JT33

七+f+a

角2a(%£Z)江+a-a7v—a尸+Q2^~a

正弦sin-sintt-sinasin«cosacosa-cosa-cosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sinasina-sina

正切tanatana-tana-tanacota-cota-cotacota

余切cotacota-cota-cotatana-tana-tanatana

口诀函数名不变，符号看象限.函数名改变，符号看象限.

(2)诱导公式的作用

诱导公式作用

公式一将任意角转化为0〜2江的角求值

公式二将0〜2兀的角转化为0~兀的角求值

公式三将负角转化为正角求值

公式四将3〜江的角转化为（）〜5的角求值

公式五实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化

公式六实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化

2.一组重要公式

(l)sin(〃加+。)=(-1)"sina(〃—Z).

①当〃=2&伏WZ)时，由诱导公式有sin(2%7r+a)=sina=(-1)2ks\na(k^Z).

②当〃=2A+1(%£Z)时，由诱导公式有sin[(24+1)乃+。]=sin(2^+兀+a)=sin(乃+a)=-sina

=(-l)2A+,-sina^GZ).

(2)cos(nitH-a)=(-1)wcosa(nGZ).

①当〃二2左(々£Z)时，由诱导公式有cos(2A;r+«)=cos«=(-1)"cosa(A£Z).

②当n=2k+1(A£Z)时，由诱导公式有cos[(2k+1)乃+a]=cos(2^+乃+a)=cos(乃+a)=-cosa

=(-l)2<+,-cosa伏£Z).

类似地，有：

(3)sin(〃兀—a)=(-I)"-1since(〃WZ).

(4)cos(nn-a)=(-1)Mcosa(n€Z).

3.诱导公式的两个应用

(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.

(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

【题型1三角函数的诱导公式】

【例I】(24-25高一上•全国•随堂练习)已知5而卜一4)=(则85(：—戊)的值等于()

D.

B•一-C.I

【变式1・1】（23-24高一・上海•课堂例题）与sin（0-；）一定相等的是（）

A.sin（y-0）B.cos（。一》

C.cos（2n-0）D.sin（6+》

【变式1-2］（24-25高三上•湖南常德•阶段练习）求值：sin300°+tan6000=（）

A.3B.-更C.这D.-这

2222

【变式1-3］（24-25高一上•全国,课后作业）若5也（180。+a）+85（90。+。）=一%则cos（270。-a）+

2sin（360°-a）的值为（）

3

A、.—1nB.—C.-

686

【题型2三角函数的化简、求值一诱导公式】

【例2】（24-25高一上•上海•随堂练习）求下列各三角值:

（l）sinl320°；

⑵出（一答）：

（3）sin2150°+sin2135°+2sin2100+cos2225°.

【变式2-1］（24-25高一上•全国,课堂例题）化简:

/,,cos(-a)tan(7n+a)

(I)sin(n-a)-；

_sin(14000+ar)cos(a-10800)

cos(-18O0-a>sin(-a-1.8O。).

【变式2-2］（24-25高二上・辽宁沈阳•开学考试）计算

(l)tan(一等)-tan(一等)

(2)tanl200°4-3tan390°+tan765°

(3)cos(-120°)sin(-150°)+tan855°

【变式2・3】（23-24高一上•新疆阿克苏•阶段练习）化简:

八\n।27rl37Tl47r

(1)COS-+COS-+COS-+COS-;

0030

sin(-a-^)cos(^+a)tan(7r-a)

(2)tan(-a-7r)sin(-7r-a)

【题型3三角函数恒等式的证明——诱导公式】

tan(2n-x)sin(-2n-x)cos(6ir-x)cos(n-x)_.

【例】高一上•上海•课堂例题）证明:=S1DX•

3（24-25sin(x+^)cos(J-x)

tan(27T-a)sin(-2〃-a)cos(67r-a)

【变式3-1]（23-24高一上•全国,课后作业）（1）求证:=-tana；

sin(a+当cos(a+当

s、/16n\4?ySin(皇+a)+3cos(a-若)m+3

(2)设1&"。+彳)=m‘求叱谑OR盾=—,

【变式3-2]（23-24高一・全国•课后作业）已知4、B、C为〉4BC的三个内角，求证：sin仁+3=cos（等-力

2sin(ed)cos(8+货Ttan(9;r+6)+l

【变式3-3】（23-24高一.全国.课前预习）求证:

l-2sin2(;r+0)tan(7r+0)-l

【题型4诱导公式的综合应用】

【例4】（23・24高一下•河南•开学考试）已知角a的始边与％轴的非负半轴重合，终边经过点（1,-2）,则

sin(a+-cosQ-+tan(n-a)=()

D10+、行-10+、疗IO+VS

A.等D.---------rN1.X•

5

【变式4-1］（23-24高一下•辽宁葫芦岛•期末）已知a角的始边与％轴非负半轴重合，P（-2,3）是。角终边上

一点，则tan(-n+a)+篝缁的值为，）

AA.---4-77

12cU

【变式4-2］（23-24高一上•山东淄博・期末）己知a角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经

过点P(-4,3).

⑴求sina,cosa,tana：

cos(g+a)-2cos(rr+a)

(2)求f(a)=的值.

sin(7T-a)+2cos(-a)

【变式4-3］（24-25高三_L・福建宁德•阶段练习）如图，以Ox为始边作角a与它们

的终边分别与单位圆相交于点P,Q，已知点Q的坐标为卜,?）.

八"2cos隹+/?)-5cos(n-6)

⑴求—T—£——kTT的值；

-3sin(3n+/?)-2sin^-+/?J

(2)若。PJ.OQ,求P的坐标.

【题型5诱导公式在三角形中的应用】

【例5】（23-24高一下•浙江.期中）已知4&C为△4BC的三个内角，下列各式不成立的是（）

A.sinA=s\n（B+C）B.cosB=-cosM+C）

C.sin-=cos--D.cos-=-sin——

2222

【变式5-1］（25-26高一上•全国,课后作业）已知角48,C为△4BC的三个内角，若sin竺尸=$也土答，

则A48C一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝侑三角形

【变式5-2］（23-24高一•全国•课后作业）在△ABC中，试判断下列关系是否成立，并说明理由.

（1）cos（A+B）=cosC；

（2）sin（/4+B）=sinC；

(4)cos--=cos-.

22

【变式5-3］（23-24高一下•上海•课后作业）已知A、B、C是的三个内角，求证;

(1)cos(2/l+8+C)+cos4=0；

A+B,3n+C

(2)tan------1-tan-0.

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【题型6同角基本关系式和诱导公式的综合应用】

【例6】(23-24高一下•北京•阶段练习)已知角。£(一],。)，且tan2a-3tanasina-4sin2a=0,则

sin(a+2023To等于()

A.叵B.工C.-之D.-叵

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【变式6-1](23-