不等式的性质与解法（知识清单+4典例讲义+6方法技巧+分层训练）原卷版

第07讲不等式的性质与解法

（知识清单+4典例精讲+6方法技巧+分层训练）

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近3年考查情况题型分值

一元二次不等式解法（因式分解）、集合交集运算单选题/填空5分/10分

题/解答题

不等式性质判断、比较大小单选题/填空5分

题

含参一元一次不等式组求解、整数解判断单选题填空5分/10分

题/解答题

分式不等式转化、解集求解（结合定义域限制）单选题5分

【知识点01】不等式的基本性质

核心性质（前提：Q,4CW网重点区分“可加性”“可乘性”条件）:

1.对称性：若Q>仇贝仍<Q,反之亦然（双向等价），

2.传递性：若Q>b,b>c,则a>c（注意：同向不等式可传递，异向不可）；

3.可加性：若Q>b,贝lja+c>b+c（两边加同一个数/整式，不等号方向不变）；

4.可乘性：若ac>0,则ac>bc；若a>b,c<0,贝Ijac<be（关键：乘负数，不等号方向改变）；

5.同向可加：若a>b,Od,则a+c>b+d；

6.同向同正可乘：若a>b>0,c>d>0,贝Ijac>bd；

7.乘方性质：若。>匕>0,则an>8n（neW）；

8.开方性质：若a>b>0,则（nGW*）o

易错提醒：口可乘性必须注意c的符号，无符号则无法判断不等号方向；□异向不等式不可传递（如Q>b,b<C,

无法推出Q>c）。

【例1】判断下列命题的真假，并说明理由。

(1)若a>b,则ac>be；(2)若Q>b,c>d,则QC>bd；(3)若Q>b>0,贝%<g。

【知识点02】一元一次不等式（组）的解法

先化简不等式，转化为数>匕（或ax<b、ax>b.ax<b）的标准形式，再根据a的符号求解，重点关注Q=0的

特殊情况。

标准解法步骤：

1.去分母（两边同乘各分母的最小公倍数，注意分母不为0,且乘负数时不等号方向改变）；

2.去括号（遵循去括号法则，符号不变）；

3.移项（把含未知数的项移到边，常数项移到另边，移项要变号）；

4.合并同类项（化简为以>匕形式）；

5.系数化为1（根据a的符号，判断不等号方向是否改变）。

【例2】解不等式等-字>1,并写出它的整数解。

，O

【知识点03】一元二次不等式的解法

一元二次不等式的标准形式为a/+加+c>0（或v0、20、30）,其中。*0,解题核心是“结合二次函数图像”,

2

根据判别式A=b-4ac判断方程a/+bx+c=0的根，再结合a的符号确定不等式的解集。

核心步骤（以a>0为例）：

1.计算判别式△=b2-4ac；

2.求方程a/+.+c=o的根（求根公式》=乎，或因式分解）；

2a

3.根捱△的符号，结合二次函数开口方向，确定解集：

若A>0,方程有两个不相等实根勺V%2,贝+bx+C>0的解集为（一8,右）U（无2，+8）,aM+bx+eVO的

解集为（4，工2）；

若A=0,方程有两个相等实根/=%2=-萤，贝+以+c>0的解集为u（%i，+8）,ax2+bx+c<

0的解集为0；

口若A<0,方程无实根，则a/+以+。>o的解集为脓，a/+bx+c<0的解集为0；

4.若QVO,先两边同乘-1（不等号方向改变），转化为。>0的情况求解。

【例3】：解下列一元二次不等式：

22

（1）x-3x-4>0；（2）-2x+5x-2>0o

【知识点04】分式不等式的解法

分式不等式的标准形式为整>0（或<0、>0.<0）,解题核心是“转化为整式不等式”，注意分母不能为0。

核心转化规则（等价转化）

1.%>o=fQ）,gQ）>o（且。。）工。）；

2.黑<o=/Q)・ga)vo(且g(x)HO);

^>o«/(x)^(x)-0-

3.tgW工o'

/(x)f(x)gQ)wo

4.<o«{

丽g(X)工°

【例4】解分式不等式登wo。

【知识点05】绝对值不等式的基础解法

核心要点：绝对值不等式的核心是“去掉绝对值符号”，转化为不含绝对值的不等式，常见形式及解法如下（a>0）

1.\x\>ax<-a或3>a；

2.|x|<a<=>—a<x<a；

3.|QX+b|>c=QX+bv-c或ax+b>c

4.\axb\<c—c<ax+b<c0

注意：若QWO,需结合绝对值的非负性判断（如因>-2,解集为眩；|x|V-2,解集为0）。

［例5］解下列绝对值不等式：

（1）|2x-l|>3；（2）|3x+2|<4O

畲心典向精讲

【题型一】不等式的性质

【例1】（2026・重庆•二模）已知则（）

A.ac<beB.ac<b1

C.2a+b<2b+cD.b-a<c-b

【例2】（多选）（2024.江西•模拟预测）已知则下列不等式一定正确的是（）

A.a+b<c+dB.ac<beC.ab<cdD.—<—

cd

【例3】（2025・吉林长春•二模）正整数满足3<a<〃<9,则畔的最大值为______.

ab

【变式1］（2026•辽宁盘锦•一模）若实数eR且则下列不等式恒成立的是（）

A.a2<b'B.*<TC.-2a>-2bD.Ig（〃-a）>0

【变式2】（多选）（2026.陕西.模拟预测）如果。也c/wR"心工。，则下列说法正确的是（）

A.若a>b,则,<■!"

ab

B.若4c2>反一则

C.若a>b,c>d,贝ijac>bd

D.若人>4>0,c>0,则

a+ca

【变式3】（2025•福建福州•模拟预测）已知AiR，对于任意的,5〉0,都有4-2区5,则4=

【题型二】一元二次不等式的解法

【例4】（2026・江苏•三模）已知集合A={0,1,2,3},-4x+3wo},则Ac8中元素的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【例5】（2026•陕西榆林•模拟预测）已知集合4=1,一4工+340}*8=[£2]«<2},则A「Z?=（）

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.(0.1,2,3,4}

【例6】（2026•陕西渭南•二模）不等式/+2|刈-3<0的解集为

【变式1]（2026.陕西榆林.模拟预测）已知集合知=伊/工7},"={-3,-2,0,1,3},则知|1乂=()

A.{-3,-2}B.{-2,0,1}C.{0,1,3}D.{-3,—2,0,1)

【变式2】(2026.陕西咸阳.模拟预测)已知关于x的不等式aP+/M+c>0的解集为卜|lvx<2},则关于x的不等式

加_奴+-0的解集为()

22

A.0B.RC.{x|x<-lugx>-}D.-1<x<--

J

【变式3】（2026•海南省直辖县级单位•模拟预测）若关于“的不等式f+心._6<0的解集为㈠,6）,则实数〃?=

【题型三】一元一次不等式恒成立问题

【例7】（2026•陕西西安・模拟预测）若命题“心£!</2+办+“+320”为真命题，则实数。的取值范围是（）

A.[-6,2]B.[-6,-2]C.[-2,6]D.12-77,2+«]

【例8】（2026•广东汕头•模拟预测）已知加+加+。之0的工0,对任意实数x恒成立.若。（1+力-如+3）-。=0,

则/的取值范围是

【例9】（2025•广东梅州・模拟预测）已知函数/（“=小2"2+履+：的定义域为实数集R,则实数攵的取值范围为

【变式1】（2026・甘肃张掖・模拟预测）命题P：“3xeR,使得不等式加+2分+2<。成立“为假命题，则实数。的取

值范围为（)

A.(0,4]B.[2,4)C.(1,2)D.[0,2]

【变式2】（2025•河南南阳・模拟预测）己知〃,”R,若当xe[0,2]时，不等式|〃（/+1）+1卜2恒成立，则7P+3q

的取值范围是

【变式3】（2024.陕西西安・模拟预测）当14x42时，不等式/一仆+1工（）恒成立，则实数〃的取值范围是

【题型四】其他不等式

【例10】（2025•全国二卷•高考真题）不等式二22的解集是（）

x-\

A.{,d-2<A<1}B.{xlx<-2}

C.{d-2<x<1}D.{AIA>1}

【例11】（2026•新疆・三模）不等式二>-1的解集为__________.

J-1

【例12】（2026・安徽安庆•二模）设/（司=©，-0.

⑴解不笔式〃lnx）<2；

⑵设g（"=/（x）+sin2x,若存在xe[-2,2],使得g（"+g（Y+。）>0,求实数。的取值范围.

【变式1】(2026•甘肃张掖・模拟预测)设集合A={T0J,2,3,4},8=卜则八。8=()

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,04}

【变式2](2025•江苏宿迁•二模)设函数/(x)=(x—a)(x—A)(x—。)，其中〃vc.若不等式〃l+x)〃2—x)«0

对任意xwR恒成立，则a+〃+c=.

【变式3】(2025・四川•模拟预测)关于％的不等式f+2<3(x+2)的解集记为4.关于)，的不等式匕;<0的解集

记为B.

(1)求集合4:

⑵若“zA”足的必要不充分条件，求实数々的取值范围.

Q方法技巧

【解题大招01】性质判断法——抓条件、避陷阱

判断不等式命题真假、比较大小，核心是紧扣不等式8条基本性质，重点关注3个易错陷阱：口可乘性中“乘数

符号、口同向不等式不可直接相减、异向不可传递；□乘方、开方仅适用于“正数同向,避免忽略特殊情况(如

c=0、负数底数)。

性质应用优先“找条件、举反例”，遇到无明确符号的参数(如c),必分类讨论。

【例1】已知。、b、c为实数，判断下列命题的真假，并说明理由。

(1)若。〉b,则oc>bc;(2)若〃>b>0,RIJ-<7；(3)若。〉b,c<d,贝lja-c>b-d0

ab

【解题大招02】分步化简法——定步骤、防出错（适配一元一次不等式/组）

解一元一次不等式（组），严格遵循“5步标准化流程”，避免跳步出错：口去分母（乘最小公倍数，注意符号）；

n去括号（符号不变）；n移项（变号）；n合并同类项；口系数化为1（注意不等号方向）；解不等式组需

“分别解、求交集”，最后结合整数解、参数范围筛选。

易错点集中在“去分母漏乘、移项不变号、系数化为1变号失误:每一步都需核对符号。

【例2】解不等式乎-等之1,并写出它的非负整数解。

46

【解题大招03】图像辅助法——定开口、找根定解集（适配一元二次不等式）

解一元二次不等式的核心是“数形结合”，3步快速求解：口化标准形式（保证二次项系数，/0,优先转化为a>0,

方便判断开口）；□求方程。x2+bx+c=0的根（因式分解优先，无法分解用求根公式）；匚结合二次函数开

口方向，“大于取两边、小于取中间”（注意等号是否包含根）。

当时，务必先转化为。>0,避免开口方向判断错误；△=（）时，注意“大于0取两边（不包含等根）、小于0

无解”。

2

【例3】解下列一元二次不等式：（1）x2・4x+3<0；（2）-2x+5x+3>0o

【解题大招04】等价转化法——化分式为整式、避分母为0（适配分式不等式）

分式不等式不能直接去分母（分母符号未知），核心是“等价转化为整式不等式”，同时严格保记'分母不为0”，4

类核心转化（g（x）#o）：

1.怒>00八%).9(%)>°；2.彩v0=fQ)・g(%)v0；

/(x)fW-gQ)<0

3.？（）；4.<0<=>

的°{9%工0g(x)g(x)工0

易错点是忘记排除分母为o的情况，转化后需单独标注“g(x)#T,最后筛选解集。

【例4】解分式不等式打工0。

X-Z

【解题大招05】绝对值拆分法——定符号、去绝对值

解绝对值不等式的关键是“去掉绝对值符号”，核心拆分规则(a>0)：

1.|x|>a□xv-a或x>a；2.|x|<a\J-a<x<a；

3.|«x+b|>c□+b<-c或«x+b>c;4.|«x+b|<c□-c<«x+b<c;

若aWO,结合绝对值非负性判断(如冈>-2,解集为R；|x|v・2,解集为空集)。

拆分后注意解两个不等式("或'取并集、“旦”取交集)，系数化为1时关注不等号方向。

【例5】解下列绝对值不等式:(1)|3x-2|>4;(2)|2x+1|<3o

【解题大招06】分类讨论法——定参数、分情况

解含参数的不等式GDax2+bx+c>0),核心是“按参数影响解集的关键节点分类”，优先分类依据：口二次项

系数。的符号(。=0、。>0、a<Q)；□判别式△的大小(A>0、A=0、A<0)；□方程根的大小(含参数的根)，

分类时不重不漏。

分类讨论的关键是“找分类节点”，优先判断二次项系数是否为0,再判断A,最后比较根的大小，避免重复或遗漏。

［例6］解关于x的不等式ax?-2x+1<0(aDR)0

格>分层训练

【基础过关】(共8题)

一、单选题

1.(2026•广西贵港•三模〉已知集合人=卜,2一4—240},"={0,123),则()

A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3)

2.(2026•山东枣庄•二模)已知集合6=卜卜7vdv7bB={x|x<2),则()

A.ACB=BB.AB=BC.AC\B=0D.八：8=R

3.(2026.重庆.三模)已知集合4=卜々工。|，8={2,345},贝iJ@A)cB;()

I4一3

A.{5}

B.{4,5}

C.{3,4,5}

D.{2,3,4}

二、多选题

4.(2024•河南新乡•二模)已知集合朋={x|x<3},N={x|f-3.iN0〉,则()

A.McN=0B.MDN=RC.QND.Q(M1N)=(0,+S)

5.(2024•广东•模拟预测)已知全集。="6力必+2%-3&0},集合8=伸V-1=0},若Q,A有4个子集，且

408=0,则()

A.IwAB.集合A有3个真子集

C.-3eAD.AuB=U

三、填空题

6.（2024・湖南衡阳•三模）己知集合4={«.+1},集合5={xwN|V-X-2W0},若则〃=

7.（2024.全国.模拟预测）已知实数“，了满足-Ivxvyvl,则％+丁的取值范围是.

四、解答题

8.（2023•河南南阳•模拟预测）设p：实数x满足/_4仆+3/<0,q：实数x满足可一6x+8«0.

（1）若4=1,且〃和。均为真命题，求实数X的取值范围：

（2）若。>0且力是F的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【拔高选练】（共6题）

一、单选题

1.（2026・江苏•模拟预测）己知实数。则是“"J”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（2026・云南昆明•二模）已知集合A=1xl+—

2.4={-2,0,1,2},则AB二()

x-1

A.{-2,0,1}B.{0,1,2}C.{-2,1,2}D.{-2,0,2）

二、多选题

3.（2025・云南昆明•模拟预测）已知关于工的不等式/+6+北。的解集为{M-3KXK4},则下列说法正确的有

（）.

B.不等式<。的解集为卜

A.a<0

C.a+b+cvOD.9a-3b+c>0

三、填空题

4.（2025•江苏苏州•模拟预测）已知“