幂函数与二次函数-高考数学重难点题型讲义（新高考地区专用）解析版

专题2.9幕函数与二次函数•重难点题型精讲

衣

。妙幼处?必

♦•«MBaa■■*••a•«MB•・«■*••a•••OBBa-a^B••••MB>••••a

1.0函数

(1)塞函数的定义

一般地，形如y=f的函数称为‘幕函数，其中x是自变量，a是常数.

(2)常见的五种基函数的图象和性质比较

1

}

函数y=xy=xy=/y=x~l

不*«令

图象

定义域RRR3G0)一仅近。｝

值域R｛小'训R｛vIv^O)1丫e0］

奇偶性宜函数假函数宜函数非奇非偶函数查函数

性

在(一8,0］上单调在(一8,())

质在R上单在R上单在［0,+8)上

单调性递减；在(0,+8)和(0,+8)

调递增调递增单调递增

上单调递增上单调递减

公共点(U)

2.二次函数的图象和性质

解析式f(x)=加+bx+。(。>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图象

定义域RR

4ac-b2、4ac—b2

值域/十3)(—co,

4a4a

在入金(-8,-当上单调递减；在在日--8,-当上单调递增；在

2a]2a」

单调性

何-/，+8)上单调递增AG[-£，+8)上单调递减

以对称

对称性函数的图象关于直线尤=一

浮一更三

【题型1求基函数的解析式】

⑴判断一个函数是否为第函数的依据是该函数是否为丁="(〃为常数)的形式，即函数的解析式为一个赛的

形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.

⑵对于塞函数过已知的某一点，求塞函数解析式问题：先设出幕函数的解析式旷={(。为常数)，再将已知

点代入解析式，求出“，即可得出解析式.

[例1](2021秋•临渭区期末)已知鼎函数y=/(x)的图像过点(2,8),则/(-2)的值为()

A.8B.-8C.4D.-4

【解题思路】设所求的暴函数为/(x)=/,由察函数)，=/5)的图象经过点(2,8),解得f(x)=

一,由此能求出/(-2)的值.

【解答过程】解：设所求的累函数为/J)=『，

•・•幕函数y=/(x)的图象经过点(2,8),

(2)=2。=心解得〃=3.

.*./(x)=3

/./(-2)=(-2)3=-8,

故选：B.

【变式1-11(2021秋•阳春市校级月考)已知哥函数)，=/(x)的图象过点(3,V3),则八4)的值为()

A.-2B.1C.2D.4

【解题思路】设骞函数的解析式为/(x)=2，代入点可求a的值，从而可求/(4)的值.

【解答过程】解：设基函数的解析式为/(x)="，

因为哥函数)=/(x)的图象过点(3,V3),所以3a=75,解得a=；.

所以/(x)=点，f(4)=\/4=2.

故选：C.

【变式1-2](2022春•无锡期末)已知宗函数if(x)的图像过点(2.综则/(16)=(

)

11

A.-4B.-C.-4D.4

44

【解题思路】设出函数的解析武，代入点的坐标，求出函数/(X)的解析式，求出函数值即可.

【解答过程】解：令/(x)=/,

将点(2,孝)代入函数的解析式得：

厅11

2。=竽=22解得a=T，

故f(X)=X~2,f(16)=

故选：B.

【变式1-3](2022春•广陵区校级月考)若辕函数/(x)=K的图象经过点(2,V16),则函数/(x)的解

析式是()

4142

A./(x)=B./(x)=C./(x)=D./(%)=

【解题思路】由题意，利用塞函数的定义和性质，用待定系数法求出它的解析式.

【解答过程】解：•・•辕函数/(X)=/的图象经过点(2,¥16),

_344

2a=X/T6=24,解得a=司，，/(%)=x3,

故选:4.

【题型2幕函数的图象和性质】

⑴塞函数的形式是y=k(“GR),其中只有一个参数处因此只需一个条件即可确定其解析式.

⑵在区间(0,1)上，器函数中指数越大，函数图象越靠近X轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+◎上，嘉函

数中指数越大，函数图象越远离工轴.

⑶在比较塞值的大小时，必须结合寡值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个

骞函数的图象和性质是解题的关键.

【例2】(2022春・德州期末)塞函数/(用=(血2+=-5)产2+2^1-5在区间((),+8)上单调递增，则八3)

=()

11

A.27B.9C.-D.—

927

【解题思路】根据呆函数的概念及性质，求出实数〃?的值，得到新函数的解析式，由此能求出结果.

【解答过程】解：•・•暴函数/"(乃=(血2+加一5)“加2+2根-5在区间(0,+8)上单调递增，

••(62+26一5是正数‘

解得m=2,

:・f（x）=/,

•V<3）=33=27.

故选：A.

【变式2-1]（2022春•玉林期末）塞函数,=》而+加-2（ow〃?W3,，淤Z）的图象关于），轴对称，且在（0,

+8）上是增函数，则〃?的值为（）

A.0B.2C.3D.2和3

【解题思路】由题意可得病+川・2>0,且〃尸+加-2为偶数，结合0WmW3,〃?WZ,求出用的值.

【解答过程】解：由题意,可得〃上+〃?-2>0,且加2+7M・2为偶数,

•.•0WmW3,・・・加=2或3.

故选：£）.

【变式2-2]（2021秋•鹿城区校级期中）已知事函数f（x）的图象过点（或，乎），若加则（）

A.f（XI）>f（X2）>1B./（XI）>\>f（Jt2）

C./（XI）</（^2）<1D./（XI）<1>/（.V2）

【解题思路】求出辕函数的解析式，根据基函数的单调性，判断/（XI）,1,/（A-2）的大小即可.

【解答过程】解：暴函数/⑴的图象过点（或，孰所以/=（历）"，

所以a=-],所以幕函数为y=/l,帚函数在时是减函数，

因为XI>X2>1,所以f（xi）<f（X2）<1.

故选：c.

【变式2-3]（2021秋•夥县校级期中）设呜・3,-2,-1,-i,”，2,3},则使产尸为奇函数且

在（0,+8）上单调递减的a值的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】利用幕函数的性质、奇函数的定义、函数的单调性即可得出.

【解答过程】解：只有当a=-3,-1时，满足暴函数为奇函数且在（0,+8）上单调递减.

故选:B.

【题型3求二次函数的解析式】

求二次函数解析式的方法：

⑴已知三点坐标，选用一般式；

(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等条件，选用顶点式；

(3)已知与x轴两交点坐标，选用零点式.

【例31已知二次函数/(X)的图象经过两点(0,3),(2,3),且最大值是5,则该函数的解析式是()

2

A.f(x)=2^-8A+11B.f(x)=-Ir-8x-1

C.f(x)=2?-4x+3D.f(x)=-2?+4%+3

【解题思路】由题意可得对称地x=l,最大值是5,故可设f(x)=a(A-1)2+5,代入其中一个点的

坐标即可求出。的值，问题得以解决.

【解答过程】解:二次函数f(x)的图象经过两点(0,3),(2,3),则对称轴x=l,最大值是5,

可设f<A)=a(A-1)，5,

于是3=a+5,解得a=-2,

故f(x)=-2(x-1)2+5=-2r+4x+3,

故选：D.

【变式3-1】二次函数尸ad+Zu+c,当yVO时，%的取值范围是4V・2或x>3,则二次函数的解析式是

()

A.y=xL-x-6B.y=x2+x-5C.y=-*+x+6D.y=-2x1+3x

【解题思路】根据题意得出。<0,x=-2,x=3是/+灰+c=0的根，判断即可得出答案.

【解答过程】解：•・•二次函数y=o?+陵+c,当y〈0时，k的取值范围是-2或X>3,

x=-2,x=3是ax1+bx+c=O的根，

A,8的开口向上，故不正确，

3

D的零点为0,故不正确，

故选：C.

【变式3-21(2021秋•增城市校级期中)已知二次函数的图象与x轴交于点(-1,0)和(2,0),且与

y轴交于(()，-2),那么此函数的解析式是()

A.y=-}T+X+2B.y=x1-x-2C.y=x2+x-2D.y=2v2-2x-4

【解题思路】由题意知，可用两根式设抛物线的解析式，然后将三点坐标代入抛物线的解析式中，即可

求出待定系数的值.

【解答过程】解：由于二次函数的图象与x轴交于点(-1,())和(2,()),

故可设这个二次函数的解析式是y=a(x+1)(x-2)(〃N0),

又由二次函数的图象与y轴交于(0,・2),则・2=。(0+1)(0-2)

解之得。=1;

所以该函数的解析式为：y=(x+1)(A--2)=?-x-2

故选：B.

【变式3-3](2022•山东模拟)二次函数/(外的图象经过两点(0,3),(2,3)且最大值是5,则该函

数的解析式是()

A.f(x)=2?-8A+11B.f(x)=-公2+8%-1

C.f(x)=2/-4x+3D./(x)=-2V2+4X+3

【解题思路】由题意可得对称地x=l,最大值是5,故可设f(x)=a(A-1)2+5,代入其中一个点的

坐标即可求出a的值，问题得以解决

【解答过程】解：二次函数/(/)的图象经过两点(0,3),(2,3),则对称轴x=l,最大值是5,

可设/(x)=a(x-1)2+5,

于是3=a+5,解得a=-2,

故/(x)=-2(x-1)2+5=-2r+4.r+3,

故选：D.

【题型4二次函数的图象】

⑴研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析;

⑵求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.

【例4】(2021秋•衢州期中)二次函数)，=0?+法+。的图象如图所示，则下列结论正确的是1)

C.a-b\c<0D.<aZ?c>0

【解题思路】由已知结合二次函数的图象及性质分析各选项即可判断.

【解答过程】解：由图象可知，«<0,c>0,一/=1，

所以〃=-2a,4错误：

因为/(-I)=4・0+cV0,C正确，/(I)=a+b+c>0,8错误；

所以HcVO,D错误.

故选：C.

【变式4-1](2021秋•三元区校级月考)二次函数)，=加+笈+c的图象如图所示，下列结论中:

©4acV/A@a+c>b；③2a+Z)>0.

其中正确的是()

【解题思路】结合函数的图象以及二次函数的性质判断即可.

【解答过程】解：y=aF+以+c有2个零点，

故A=b2-4ac>0,故①正确，

结合图象/(-1)<0,故a-HcVO,

故②错误，

函数对称轴是x=-叁>1,(«<0),

4a

故2q+Z?>0,故③正确，

故选：B.

【变式4-2](2021秋-I：蔡县校级月考).次函数)，=a/+6+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是

()

①〃=-2〃；

②a+〃+cVO；

③a-b+c>0；

®abc<0.

C.②④D.®®

【解题思路】结合图像，根据二次函数的性质分别判断即可.

【解答过程】解：结合图像，

对称轴x=-故人=-2小故①正确：

/(I)=a+b+b>0,故②错误；

/(-1)=a-b+cVO,故③错误：

i7<0,b>0,c>0,故abcVO,故④正确：

故选：D.

【变式4-3](2020春•霍邱县校级期末)二次函数f(x)的图象如图所示，则f(x-1X0的解集为()

A.(-2,1)B.(0,3)

C.(-1,2)D.(・8,o)u(3,+oo)

【解题思路】由图象知，当-1VXV2时，则/G)<0,再列出不等式即可.

【解答过程】解：由图象知，当-1VXV2时，则/'(X)<0.

,:f(x-1)<0,

・•・-l<x-1<2,

：.0<x<3,

・••不等式的解集为(0,3).

故选:B.

【题型5二次函数的单调性与最值】

(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，

解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.

(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.

【例5】(2022春•兴庆区校级期末)函数y=/7+1,1,1]的最大值与最小值之和为：)

A.1.75B.3.75C.4D.5

1

【解题思路】数y—x-工+1,对称轴为x=ymin=/(1)=*,/(-1)=3,/(1)=1,故最大值

为3,最小值为0.75,求出即可.

【解答过程】解•：函数y=』-x+l,对称轴为

Fmin=渴)=率

/(-1)=3,/(I)=1,

故最大值为3,最小值为0.75

所以最大值和最小值的和为3.75,

故选：B.

【变式5-1】(2021秋•靖远县期中)已知函数/J)=』-4x在区间[-1,上的最大值为5,则实数〃?

的取值范围是()

A.(2,5]B.(-1,5]C.[2,5]D.(1,5]

【解题思路】根据题意，/(x)=?-4,v=(x-2)2-4的对称轴为x=2,且当尸2时，函数有最小值

f(2)=-4,且/(-I)=/(5)=5,乂函数f(x)=7-在区间[-1,词上的最大值为5,从而可

得■1VZ5.

【解答过程】解：根据题意，/(x)=?-4x=(x-2)2-4的对称轴为尸2,

且当x=2时，函数有最小值/(2)=-4,

令/(x)=5,得4.”5=0,解得x=-1或x=5,

•・•函数/(x)=/-4x在区间[-1,加上的最大值为5,

・•・7VmW5,即〃？的取值范闱是(-1,5J.

故选:B.

【变式5-2](2021•天心区校级开学)二次函数/(「满足/(2+x)=/(2-x),且外外在[0,2]上是

减函数，若/(。)</(0),则实数〃的取值范围为()

A.[0,4]B.(-8,()]

C.[0,+8)D.(-8,0]U[4,+8)

【解题思路】根据题意知/(上的对称轴为x=2,由/(〃)&于(0)得出|4-2|W2,从而求得。的取值

范围.

【解答过程】解：函数/(x)满足/(2+工)=f(2・幻，则/(#的对称轴为4=2；

又f(x)在「0,2]上是减函数，则f(%)在⑵41上是增函数;

若/'(a)Wf(0),则有|a・2|W2,

解得：0WaW4,

即a的取值范围是[0,4].

故选:A.

【变式5-3](2022•东湖区校级模拟)已知二次函数/(%)=»-2ar+5,若八x)在区间(・8,2]上是

减函数，且对任意川，4曰1,a+1],总有|f(xi)-/(m)|W4,则实数〃的取值范围是()

A.[2,3]B.[1,2]C.[-1,3]D.[2,+~)

【解题思路】先由函数的解析式求出其对称轴及单调区间：然后根据/(x)在区间(-8,2]上是减函

数，得出。的一个取值范围；

再对任意的XI，X2日1，4+1],|f(XI)-f(X2)\max=\f(fl)■『⑴|W4,又可求出。的一个取值范围;

最后两者取交集，则问题解决.

【解答过程】解：函数/(x)=/・2ai+5的对称轴是x=a,则其单调减区间为a],

为为/(X)在区间(-8,2]上是减函数，所以2W”，即心2.

则|a・1|2|(a+1)-«|=1,

因此任意的xi,X26[ha+1],总有，(笛)-fCn)|W4,只需If(a)-f(1)|W4即可,

即|(J2a2+5)(12(7+5)\=\a22a+l\=(a1)2<4,亦即2於a1C2,

解得-又42,

为此。42,3］.

故选:A.

【题型6二次函数的恒成立问题】

【方法点拨】

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.

⑵两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的

依据是：句>)恒成立Qa/x)max，。4幻恒成立Oa9(X)min.

【例6】(2020秋♦宁波期末)已知函数/(X)=4av2+4x-1,VAG(-1,1),/G)V0恒成立，则实数

口的取值范围是()

33

Q<-<c-

A.--4F<4D.aW-1

【解题思路】对二次项系数〃的取值进行分类词论，分。=0,«>0,4V0三种情况分别求解，即可得到

答案.

【解答过程】解：当。=0时，/(x)=4A-1<0,解得工号，

故当时，/(x)>0,故不符合题意；

当心0时，则有保2蓝工毒°，无解；

/△>0/△>0

当〃<0时,则有卜UHST①,或卜磊"②，或A=I6+I6〃VO®'

V(-i)<0g)<0

解得①无解，②无解，③aV-1,

故-1,

综上所述，实数。的取值范围是a<-1.

故选：B.

【变式6-1］(2020春•玉林期末)已知函数/(%)=f+(4-A)x,若/(x)<八2对.隹［1,2］恒成立，

则k的取值范围为()

7、7、1414

A.(-8—)B.(―,+8)C.(-8,——)D.(——，+8)

2233

【解题思路】由题意可得』+14-4)广氏+2<0在在［1,2］恒成立，可设g(x)=/+(4-k)A--k+2,

结合(x)的图象，只需g(1)VO,且g(2)<0,解不等式可得所求范围.

【解答过程】解：函数/(x)+(4-Dx,若f(x)对大日1,2］恒成立,

可得)+(4-左)x・r+2Vo在x£[l，2]恒成立,

可设g(x)=/+(4-k)x-A+2,

由于y=g(x)的图象为开口向上的抛物线，只需