广东省深圳市某中学2025-2026学年高一年级上册期中考试数学试卷（解析版）

沙井中学2025-2026学年度第一学期期中考试

高一年级数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.

2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求

作答的答案无效.

4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一

个是符合题目要求的）

1己知集合AH。」,},B={x\-\<x<txeZ}则叫JB=（）

A.{0}B.{-1,0,1,2}C.[-1,2]D.[-1,2）

【答案】B

【解析】

【分析】应用并集定义计算求解.

【详解】•・•集合A={0,l,2},

B={x\-\<x<],xeZ]={-\,0},

故选:B.

2.命题）1的否定是（）

A.3x>l,x2-in<1B.3x<l,x2-m<\

C.V.r>1,x2-m<1D.Vx<1,x2-tn<1

【答案】A

【解析】

【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可.

【详解】命题>1是全称量词命题，其否定是存在量词命题,

所以所求否定是三1>\,x2-m<].

故选：A.

3.函数/（"=虫二1的定义域为（）

x~~~2

A.[1,2）D（2,+8）B.（1,+8）C.[1,2]D.[l,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】利用偶次根式和分式的意义来求定义域即可.

x-l>0x>\

【详解】由题意得:="

x-2^0无力2

故函数的定义域为[L2）U（2,T8）,

故选：A.

4.设XER,贝I」“一!一21”是的（）

x-\

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解出不等式，通过充分条件与必要条件的概念即可判断出关系.

【详解】由」一Z1得直二240,则（工一2）（工一1）<0且XW1,解得：1CXW2,

X—1X—1

而集合｛x11VX42｝是｛x11KxW2｝的真子集，

・•・“一匚21”是“14x42”的充分不必要条件.

x-\

故选:A.

5.品函数/（力二（/—〃7-1）/十大3在（0,+8）上是增函数，则实数”的值为（）

A.2或一1B.-1C.2D.一2或一1

【答案】C

【解析】

【分析】根据黑函数的定义，结合箱函数的单调性列式即可求解.

【详解】/(X)二(/一〃2一1)/+，T为基函数，

所以m2-w-1=1»即nr-/n-2=0»

即(〃2-2)(根+1)=0,解得加=2或一1,

又/'(x)在(0,+。)上是增函数，

所以加2+加一3>0，

当机=2时，4+2—3=3>0,

当加=一1时，1一1一3=—3<0,

所以机=2.

故选：C.

6,下列各组函数中，表示同一个函数的是()

A./(x)=X,g(x)=(«)2

B./")二—1,g(x)=x+l

x—1

c./")=%g(x)=E

D-“X)4g(x)={K

【答案】c

【解析】

【分析】由两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断各选项的正误.

【详解】A：/(力的定义域为R,g(x)的定义域为［0,+8),则A错误;

B：/(戈)的定义域为{x|xwl},g(x)的定义域为R,则B错误；

C：/。)和g(x)的定义域均为R,且g(x)=G"=W，则C正确；

D：/(力的定义域为{x|x/()},g(R)的定义域为R,则D错误.

故选：C

7.己知函数/(l—x)=L^(xwO),则/("=()

A.—T-1(r*o)B./12T(〈Hl)

(1)(I)、

44

C.%~^T(xwO)D.-~~

(1)(1)

【答案】B

【解析】

【详解】换无法求解析式即可.

【解答过程】设，=l—x,则，/1,x=\-t,

所以/(1)=-~[=1,

(1-)(一)2

1

所以一(力

(if

故选：B.

8.若函数/(“同时满足：①对于定义域上的任意1,恒有/(力+/(—x)=0；②对于定义域上的任意

为，X2,当工产超时，恒有氏/(内)+苍/(9)＞内/(9)+&/(%).则称函数/'(力为"理想函数''.给出

卜•列四个函数：

①.d；©/(x)=x3；③/(x)=|^|；④/")=['I；'"：

2x+1[-X+4x,x<0

其中是“理想函数”的有()

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解

【分析】先分析条件①②得到函数的奇偶性和单调性.然后逐个验证四个函数是否满足条件.

【详解】由①可知函数/(X)为奇函数，

由②为[/(氏)_/(工2)]＞戈2[〃N)_/(4)]，即(％―/2)[/(%)―/(超)]＞°，所以函数/(另在定

义域上单调递增.

①函数/("二/为偶函数，不满足条件①，排除；

②函数/(X)=f为奇函数，在定义域内单调递增，是“理想函数”；

v-_19r4-1or-1

@Vf(-x)=——二=一。一/(1)，函数/(x)=w—不是奇函数，排除；

—2A+12A—12A+1

«x*2_JCx〉0

224

④当x>0时，-x<0,/(-x)=-(-x)+4(-x)=-x-4^=-/(x),函数/(x)=«2，

人+x<0

是奇函数，

x?+4/x20

，函数/(x)=L2'一在(一8，°)单调递增，在(。，转)上单调递增，且当％=()时，

—寸+41=/+4工=0，，函数/(力=1'：4在定义域内单调递增，是“理想函数”；

-x+4.r,x<0

故为“理想函数”的函数有：②®;

故选：B.

二、选择题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.下列命题正确的有()

A.若。>人，则ac>Zx?B.若4vbvO,则a?

C.若ac2>Z?c?,则々〃D.若4>b>0,。>0,则一<一’

aa+c

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据不等式的性质，利用作差法，举反例等方法逐一判断各选项即可.

【详解】对于A,若取c=0,则。。=仇・=0,故A错误；

对干B,由。<〃<()可得1〃1>1勿，即可得后>〃，故B正确；

对于C,由加2>权可得，>0，由不等式性质，可得。>匕，故C正确；

bb+cb(a+c)-a(b+c)c(b-a)

对干D,由--------=-------;----;-----=------7，

a。+ca(a+c)a(a+c)

因〃>〃>(),c>0,则c(b-a)vO,a(a+e)>Of

故2-妇£<(),即得故D正确.

aa+caa+c

故选：BCD

10.若。>0/>0M+匕=3,则下列不等式对一切满足条件的a*恒成立的是()

A.ab<-B.+几£瓜

4

114

C.a2+/?29D.—F—>—

ah3

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用给定条件，结合基本不等式，逐项分析、计算判断作答即可.

【详解】对于A,因为〃=3（。>0,〃>0）,

所以，心《（"2）2=3,当且仅当。=/,=?时取等号，故A正确；

242

对于B,因为（，?+6尸=a+b+2y/abWa+A+（4+Z?）=6,

3

所以当且仅当〃=〃=5时取等号，故B正确；

对于C,因为匕直2（土也）2=2,所以"+从之苫，当且仅当〃=〃=1时取等号，故C错误;

22422

T,11I/I1'/4

对于D,因为一十;=;(一十丁)(。+加=72+-+-

ab3ab31ab)3

所以当且仅当2=即a=h=3时取等号，故D正确.

ab3ab2

故选：ABD

|（3w-l）x+4/n,x<1

11.已知函数/（x）={,cci，为定义在R上的减函数，下列说法正确的是1）

\—x~+2/Jix-2m+\,x>1

A.的取值范围为

BVtzGR,/(tz2)</(«-1)

C.若/（。―4）>〃3。），则〃的取值范围是（-2,+a）

D.函数的值域为R

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A,分析出要使定义在R上的函数人大）是减函数，须满足一次函数的斜率3m-1<0,二

次函数的对称轴x=m<1,且函数在x=1左侧的最小值大于等于在x=1右侧的最大值，进而列出不等式

组，求出加的取值范围，即可判断：对于B,C,利用函数/（X）在R上的单调性，将不等式

f(a2)<4)>/(3。)转化为关于。的不等式，求出。的取值范围，即可判断；对于D,

取符合题意的得到函数『(%)的确切解析式并求出其值域，即可判断.

【详解】对于A,当时，函数/(/)=一X2+2mx-2〃2+1=-(x，

对称轴为X=〃?，且/(1)=。.

所以要使定义在R上的函数/(©是减函数，

m<-

3m-1<0

须满足〈m<\，即，m<1,

(3/77-l)x1+4/72>/(1)=0

m>—

7

1111、

解得一《〃?<一,即，〃的取值范围为，故A正确；

73L73J

对于B,因为函数/(x)是定义在R上的减函数，

所以fg2)<-1)等价于a2>a-b整理得/一。+1>0，

其判别式△=(一1『-4x1x1=-3v(),故片一〃+1恒为正，

即a2>a对所有的aeR都成立，

所以V〃eR,f(a2)<f{a1)恒成立，故B正确；

对于C,因为函数/(工)是定义在R上的减函数，

所以/(«-4)>“3〃)等价于〃一4v3a,解得a>—2,

即。的取值范围是(-2,+8),故C正确;

对于D,由选项A可知，当团£函数/(九)在R上是减函数,

—x+l,x<1

所以令…“此时人)=

211.

~X~H--X4--,X>1

22

13

当上<1时，可得一一x+l>-；

44

11(\\Q

当工上1时，因为f(A)=—X~H---XH----=—IX---十-----

22I4J16

所以/(©max=/⑴=°，

所以函数/*）的值域为不是R,故D错误.

故选：ABC

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上）

|x-l|,x<1

12.已知函数/（同=,则/(/(-1))=

x2+x-\,x>

【：笑】5

【解析】

【分析】根据解析式，将自变量代入求值即可.

【详解】由解析式知/（一1）引一1一1|=2,则/（/（一1））=〃2）=22+2-1=5.

故答案为：5

13.若〃X）=F3X+3（X〉］）,则函数八力的值域为

X—1

【答案】［1,心）

【解析】

【分析】化简函数解析式为+结合基本不等式可求得函数/'（%）的值域.

X—1

【详解】因为x>l,则x—l>0,

所以/⑴「23「+2+］="1）（1）+1=工_2+!=（1）+」__1

X—1X-1工一1X—1

当且仅当x-l=」一（x>l）时，即当x=2时，等号成立,

x-\

因此，/（另二工一3"+3（X〉］）的值域为［1,y）

X—1

故答案为：［1,+8）.

14.已知函数y=/（x）的定义域为R,满足+=且y=/（x）在[1,+s）上为严格减函

数，则不等式/（一/）>/（—1）的解集为.

【答案】（—1/）

【脩析】

【分析】根据题设有），=/（另关于X=1对称，在（-8,1）上为严格增函数，利用对称性和单调性有

IX2+11<2,即可求解.

【详解】由/（1+力=〃1一力，即y=/（x）关于x=l对称，

又y=/（x）在口，+8）上为严格减函数，则在（y）,1）上为严格增函数，

由/（一/）>/（-1）,则|r2Tgp（）<x2<l=>-l<x<b

所以不等式的解集为

故答案为：（T，l）

四、解答题（本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.已知集合4={大厂-4x+3<。},4={乂2〃2cx<1

（1）当〃7=-1时，求：①A.B,②A1（4B）；

（2）若AjB,求实数，〃的取值范围.

【答案】（1）①47后={乂-2<〃?<3},②4c他片）一{乂24工<3}

（2）（-oo,-2]

【解析】

【分析】（I）根据集合的并集，交集，全集，补集的定义计算即可；

（2）利用集合间的包含关系列不等式，求解即可.

【小问1详解】

由上2-4X+3V0，解得1cx<3,则4=

当加=一1时，^={^-2<x<2|,

所以ADB={X-2V〃<3},43={小<-2或122},

则Ac&3）={X2Wx<3}.

【小问2详解】

由（I）知A={x|lvx<3},

2m<!-???

由AqB,得,解得加工一2,

m>3

因此，实数〃？取值范围是（-8,-2].

16.己知函数“力是定义在R上的偶函数，当xNO时，/（X）=-X2+4X.

（1）求函数/（x）的解析式:

（2）在给定的坐标系中画出函数/（1）在R上的图象（不用列表）;

（3）若关于x的方程/（x）=〃?有4个不同的实数解，求实数”的取值范围.

【答案】（D/（x）=rx+4x,x>0

-x-4x,x<0

（2）图象见解析（3）（0,4）

【解析】

【分析】（1）利用偶函数的性质公式/（x）=/（-x）可得当x<0时的函数表达式，则即可得到函数/（戈）

的解析式；

（2）可将第（1）题中函数/（另的解析式化为顶点式，即可画出/（力的图象;

（3）根据（2）中/（大）大致图象，对，”分类讨论即可得到交点个数.

【小问1详解】

当工<0时，贝U-x>0,可得/（一亲）=一（一+4（—工）二一工2一4工，

又因为函数/（x）是定义在R上的偶函数，

当工<0时，则/（工）=/（一1）=一/一4工，

-W+4x,xN0

所以函数/（X）的解析式为：/（'）=■

-x2-4x,x<0

【小问2详解】

当工v0时，/(x)=-x2-4x=一(x+2)~+4；

当工20时，/(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4；

-(x-2)?+4,x>0

所以/(»=•大致图象如下:

-(X+2)2+4,X<0

小问3详解】

根据（2）中广（X）大致图象，可知:

①当机<0或加=4时，直线y二机与），=/（x）的图象有2个交点;

②当〃z=0时，直线）'=〃2与y=/（x）的图象有3个交点；

③当0<m<4时，直线）'=m与y=/（x）的图象有4个交点；

④当团〉4时，直线）=根与），=/（x）的图象没有交点；

若关于X的方程/（x）=m有4个不同的实数解，所以实数，〃的取值范围为（0,4）.

17.“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提

出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某新能源沉车配件公司为

扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产X（XEN"）万

件，需另投入成本G（x）万元，且0vx<30时，G（X）=10X2+1600X；当％之30时，

32000

G（x）=202（）x+----------6000,由市场调研知，该产品每件的售价为2（X）0元，且全年内生产的该产品当

年能全部销售完.

（1）年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；

（2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？

-1Ox2+400J;-2000,0<x<30

【答案】（1）——鬻，共3。

（2）50；2200

【解析】

【分析】（1）由题意，分0vxv30和xN30两种情况求利润;

（2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解.

【小问1详解】

由题意可知y=2000x-G(x)-2(X)0,

当0vx<30时，y=2000x-(10x2+l600x)-2000=-10x2+400x-2000,

f32000\32000

当xN30时，y=2000x-2020x+---------6000-2000=4000-20A:----------

Ix-10Jx-10

-1OP+400x-2000,0cx<30

所以年利润y（万元）与年产量工（万件）的关系式为）

4000-20%---------,x>30

x-10

【小问2详解】

当0vxv30时，y=-10x2+400x-2000=-10(x-20)2+2000,开口向下,

所以当20时，ymax=2000；

当20时，）,=4。。。-2。尸整38。。-阳1。）+篝

32000

<3800-2J20（x-10）x=2200,

32000

当且仅当20（工—1（））=­即*=50时，等号成立，此时%^=2200,

X—7170T

因为2000<2200,

所以，该产品的年产量为50万件忖，公司所获年利润最大，利润最大为2200.

V,1

18.已知函数/（司=71•是定义域（一覃）上的奇函数.

（1）确定/（R）的解析式；

⑵用定义证明：/（X）在区间（一1,1）上是减函数;

（3）解不等式/（，-+<0.

V

【答案】（1）/（上）二丁：；（2）证明见解析；（3）

x—1

【解析】

【分析】

⑴利用奇函数的定义/.（一%）二—“X）,经过化简计算可求得实数人进而可得出函数>=/"）的解析

式;

（2）任取4、x2e（-l,l）,且％<9，作差/（%）—/（/），化简变形后判断/'（百）一）（七）的符号，

即可证得结论;

（3）利川奇函数的性质将所求不等式变形为/（，—1）</（T）,再利用函数y=/（x）的定义域和单调性

可得出关于/的不等式组，即可解得实数/的取值范围.

【详解】（1）由于函数/（»=空•是定义域（一1,1）上的奇函数,WJ/（-x）=-/（x）,

A"-1

-x+hx+bY

即百71二-771，化简得分=0,因此，/（.r）=-7-y；

任取演、,且即一

（2）x24<9，

X（考-1）-当（¥T）_（々一%）（痞+1）

羽

则/（%）一/伍）=王

x：T*T储一。住一1）（内一1乂%+1乂々一。（％+1）'

V-1<%）<x2<I,/.X2-X1>0,内42+1>°，内一1<°，Xj4-1>0,x2-1<0,x2+1>0.

・••/（百）一/（4）>0，・.•/（不）>/仇），因此，函数y=/（x）在区间（T』）上是减函数:

（3）由（2）可知，函数），=/（.。是定义域为（一1,1）的减函数，且为奇函数,

由/（，―1）+/（。<0得/（，_1）<―/（，）=/（一/），所以解得;</<1.

-1</<!

因此，不等式/“-1）+/«）<0的解集为.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查

推理能力与运算求解能力，属于中等题.

19.已知函数/（工）=必2-（a+2）x+b.

⑴若/•（力40的解集为｛x|lWxW2｝,求明b的值;

（2）若）=2,求不等式〃力40的解集；

（3）在（1）的条件下，若对任意x>l,不等式工处+&恒成立，求实数％的取值范围.

ax-1

4=1,

【答案】（1）<。

b=2.

（2）答案见解析（3）-I,：

【解析】

【分析】（1）根据不等式解集得到方程加一（a+2）x+Z?=0的两根为1,2,代入后得到方程组，求出答

案；

⑵变形为（"1）（仆一2）<0,分々=0.4Vo.0<r〃v2,。=2和〃>2五种情况，得到不等式的解

集；

X2-3X+3

只需---------->2k2+k换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到2公+攵41，求

I1f

出答案.

【小问1详解】

因为关于1的不等式依2-（々+2•十〃〈（）的解集为31工工02｝,

所以关于工的方程公2-（々+2卜+。=（）的两根为1,2,

a-(a+2)+b=0,4=1,

所以4。-2(。+2)+8=0产母］

b=2.

【小问2