苏科版中考数学总复习《圆新定义题型》专项测试卷（带答案解析）

苏科版中考数学总复习《圆新定义题型》专项测试卷（带答案解析）

一.解答题（共23小题）

1.定义：如图1,AB是。。的直径，若弦CD〃AB,则称弦C。为。。的纬线.

（1）如图1,弦C。是。。的纬线，求证：AC=BD；

（2）弦CZ）和弦E/都是半径为5的O。的纬线，CD〃EF、CD=6,EF=8,求这两条纬线之间的距

离；

（3）如图2,弦MN和弦PQ是直径A8两侧的纬线，连接。M、ON、OP、OQ、PM、QN,00的半

径为八记四边形MPQN,AOMN,△OP。的面积依次为S51,S2,若同时满足下列两个条件时，求

S的最大值（用含，•的式子表示）.

①Si+S2=为；

②其中的一条纬线长不超过半径r.

2.阅读下列材料

【材料一】我们知道，求数轴上两点之间的距离，可借助这两个点所表示的数来求.

例如：如图1,数轴上点A表示的数是可，点3表示的数是门，则点A,3之间的距离为A4=|w-X2|.

问题：如何求在平面直角坐标系中任意两点之间的距离？

探究：如图2,A（xi,y\）,B（4，心）是平面直角坐标系中任意两点，过A,B两点分别向x轴、），

轴作垂线，过A垂直于轴的直线与过B垂直于x轴的直线相交于点C.在RlZXABC中VAC=|xi-

221222xx2-2

回，BC=\y\-必AB=AC+BC.\AB=（打-x2）+-y2）=V（i-2）+（7i72）-

结论：平面直角坐标系中任意两点水处,〉1）,8（m,），2）之间的距离公式为：＞48=5/（%一》2）2+（%-%）2

【材料二】如图3,在平面直角坐标系中，以点P（小b）为圆心，以广为半径的圆上有任一点Q（x,

.V）,由【材料一】及“圆上任一点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）”可得：r=PQ=

y/（x—a）24-（y—b）2.整理得：（x-。）？+（）,-/?）2=r^.

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我们称此等式为以点p（。，b）为圆心，以，•为半径的圆的方程.

根据上面的信息，回答问题：

（1）填空：以点（2,-3）为圆心，以3为半径的圆的方程是；

（2）求点M（2,-6）,N（-1,8）之间的距离；

（3）判断』+『+5「8），+16=0是否是表示圆的方程？如果是，求出圆的圆心坐标与半径：如果不是,

请说明理由.

3.在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，如图①，AB、CD是0。的弦，如果AB=

CD,ABLCD,垂足为£,则A3、CO是等垂弦.

（1）如图②，A8是。。的弦,作OC_LOA、ODLOB,分别交。。于点C、D,连接CO,求证：A3、

CO是。。的等垂弦；

BE1

（2）在图①中，的半径为5,七为等垂弦A8、CO的分割点，—=-求44的长度.

AE3

r

与矩形一•边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第I类圆与矩形两边相切（切

点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第I【类圆.

【初步理解】

（1）如图①〜③四边形A6C。是矩形。0|和。。2都与边相切。。2与边相相切。0|和

。。3都经过点B003经过点D3个圆都经过点C.在这3个圆中是矩形ABCD的第I类圆的是

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是矩形ABCD的笫H类圆的

是_______________________________________________________________

【计算求解】

（2）己知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6直接写出它的第I类圆和第II类圆的半径长.

【深入研究】

（3）如图④已知矩形4BCZ）用直尺和圆规作图.（保留作图痕迹并写出必要的文字说明）

①作它的1个第I类圆

②作它的1个第II类圆.

5.【数学概念】

我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形.例如如图①四边形A4CO内接于且每

条边均与OP相切切点分别为EFGH因此该四边形是双圆四边形.

【性质初探】

（I）双圆四边形的对角的数量关系是依据是.

（2）直接写出双圆四边形的边的性质.（用文字表述）

（3）在图①中连接GEHF求证GEJL〃E

【揭示关系】

（4）根据双圆四边形与四边形平行四边形矩形菱形正方形的关系在图②中画出双圆四边形

的人致区域并用阴影表示.

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【特例研究】

(5)已知PM分别是双圆四边形A8CD的内切圆和外接恻的圆心若A8=lZBCD=60°ZB

=90°则PM的长为.

6.如图1在平面上给定了半径为，•的。0对于任意点P在射线OP上取一点P使得OP・OP'

=J这种把点P变为点P'的变换叫做反演变换点P与点P'叫做互为反演点。0称为基

(1)如图2。。内有不同的两点4B它们的反演点分另J是A'B'则与NA'一定相等的角是

(A)NO(8)AOAB(C)NOBACD)ZB'

(2)如图3OO内有一点M请用尺规作图画出点M的反演点〃'(保留画图痕迹不必写画法).

(3)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形那么这两个图形叫做互为反演

图形.已知基圆O的半径为〃另一个半径为”的0。作射线OC交0。于点AB点人8关于

的反演点分别是A'B'点M为。。上另一点关于。。的反演点为M'.求证：NA'M'B'=

90°.

7.定义：经过已知直线外一点巨和这条直线相切的圆称为点和直线的等距圆圆心称为点和直线的等距

点.

例如图IOG过点。且与直线/相切OG为点。和直线/等距圆.

【概念理解】(1)在图2中用尺规法作出点A和直线〃?的等距圆。尸且与直线机的切点为台点.(不

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写作法但要保留作图痕迹）

【初步运用】（2）如图3已知点用（02）N（06）。。既为点M和x轴的等距圆又为点N

和x轴的等距圆求点。的坐标.

【探索发现】（3）如图4已知点M（（）2）为点M和x轴的等距圆易见等距圆和等距点均有

无数个设等距点。（x），）求出），与K的函数关系式.

【拓展提高】（4）已知点M（02）为点M和x轴的等距圆圆。被y轴分得的较大部分的弧

长不小于O。周长的直接写出。点横坐标工的取值范围_______________________.

4

8.△ABC中DE分别是△4BC两边ABAC的中点若经过QE的OM与△4BC有〃个公共点（相

切算一个公共点）则称OM为△4BC关于DE的“中〃点圆”.例如图1中的圆是AABC关于Z）

£的''中4点圆”.

（1）①如图1则△A5C的“中〃点圆”中〃可以取的值为（写所有可能的值）

②在所给图1中画出一个“中3点圆”

（2）如图2在平面直角坐标系X。），中已知点A（a6）点3（（）0）C（40）0M为△ABC

的“中〃点圆”.

①当a=0〃=4时求圆心M纵坐标的取值范围.

②若〃=3时圆心M总在△ABC外直接写出。的取值范围.

9.在平面直角坐标系：X。,•中OC的半径为r尸是与圆心C不重合的点点〃关于OC的限距点的定

义如下：若P'为直线PC与OC的一个交点满足则称P为点尸关于。。的限距点如

图为点。及其关于OC的限距点产的示意图.

（1）当。。的半径为1时.

①分别判断点M（34）N（|0）7（1注）关于。。的限距点是否存在？若存在求其坐标

②点。的坐标为（20）DE。尸分别切。0于点七点、F点Q在尸的边上.若点P关于

的限距点P'存在求点户的横坐标的取值范围

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(2)保持(1)中。E尸三点不变点P在△/)£尸的边上沿的方向运动。。的圆心

C

的坐标为(10)半径为广若点。关于OC的限距点。存在且产随点。的运动所形成的路径长为

10.对于平面内的两点KL作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点则称点。是点L关

于点K的旋转点若旋转角小于90°则称点。是点L关于点K的锐角旋转点.如图I点。是点L

关于点K的锐角旋转点.

图I备用图

(1)已知点A(40)在点Q(04)Qi(22V3)0(-22V3)04(2V2・2鱼)中

是点A关于点O的锐角旋转点的是

(2)己知点8(50)点C在直线y=2x+〃上若点C是点8关于点。的锐角旋转点求实数

的取值范围.

(3)点。是x轴上的动点DCt0)ECt-30)点F(m〃)是以。为圆心3为半径的圆

上一个动点且满足〃20.若直线丁=2计6上存在点尸关于点E的锐角旋转点请直接写出，的取值

范围.

II.概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其刈边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”

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如图1XABCOO经过点八并与点A的对边8c相切于点。则该。0就叫做△ABC的切接圆.根

据,上述定义解决下列问题：

理解应用

(I)已知RtZLAAC中ZBAC=90°A8=6BC=10.

①如图2若点。在边上以。为圆心4。长为半径作圆则OD是△4BC的“切接

圆”吗？请说明理由.

②在图3中若点。在△ABC的边上以。为圆心C。长为半径作圆当。。是RlZ\4BC的“切接

圆”时求OD的半径(直接写出答案).

思维拓展

(2)如图4△A8C中A8=12.AC=8C=10把△A8C放在平面直角坐标系中使点C落在)，轴

上边AB落在x轴上.试说明：以抛物线产表/+4图象上任意一点为圆心都可以作过点C的^ABC

12.在平面直角坐标系宜为，中0。的半径是4.对于点P和0。给出如下定义：

过点。的直线与。。交于不同的点MN如果点P为线段MN的中点我们把这样的点尸叫做关于

MN的“弦中点”.

(1)如图1已知点C(-20)

①点Pi(-11)Pi(01)P3(-20)中是关于MN的“弦中点”的是

②若一次函数y=2r+〃的图象上只存在一个关于MN的“弦中点”直接写出匕的值

(2)如图2正方形4BC。的中心为(-10)其各边平行于坐标轴点。横坐标为，其中，满足

-8W/W-4若对于任意的点C都存在正方形4BCO其边上有关于MN的“弦中点”直接写出正

方形ABCD边长48的取值范围.

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13.新定义：在平面直角坐标系上仍，中若几何图形G与OA有公共点则称几何图形G的叫OA的关联

图形特别地若OA的关联因形G为直线则称该直线为。A的关联直线.如图为OA的关联

图形直线/为0A的关联直线.

(1)己知OO是以原点为圆心2为半径的圆下列图形：

①直线)，=2计2②直线)，=r+3③双曲线是。。的关联图形的是(请直接写出

正确的序号).

(2)如图107的圆心为7(10)半径为I直线/：y=7+〃与x轴交于点N若直线/是。丁

的关联直线求点N的横坐标的取值范围.

(3)如图2已知点8(02)C(20)D(0-2)经过点C。/的关联直线经过

点、B与O/的一个交点为P。/的关联直线”。经过点D与。/的一个交点为。直线”8HD交

于点H若线段PQ在直线

x=6上且恰为的直径请直接写出点，横坐标h的取值范围.

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14.如图①点C在线段AB上若8C=TTAC则称点C是线段AB的圆周率点线段ACBC称作互为

圆周率伴侣线段.

（1）若AC=2求A8的长

（2）若点。也是图①中线段A3的圆周率点（不同于点C）并判断4c与6。的数量关系

图①图②

（3）如图②现有一个直径为I个单位长度的圆片将圆片上的某点与数釉上表示1的点重合并把

圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周该点到达C的位置求点C所表示的数若点MN是线段OC

的圆周率点求MN的长.

15.在平面直角坐标系xO.v中对于点力）和正实数k给出如下定义：当心2+bx）时以点P为

圆心k?+b为半径的圆称为点P的“4倍雅圆”

例如在图1中点、P（I1）的“1倍雅圆”是以点尸为圆心2为半径的圆.

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(1)在点Pi(3I)Pi(I-2)中存在“1倍雅圆”的点是.该点的“1倍雅圆”

的半径为.

(2)如图2点M是丁轴正半轴上的一个动点点N在第一象限内且满足NMON=30°试判断直

线ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系并证明

(3)如图3已知点A(03)B(-10)将直线4/5绕点4顺时针旋转45°得到直线/.

①当点C在直线/上运动时若始终存在点C的“左倍雅圆”求k的取值范围

②点。是直线A8上一点点。的倍雅圆”的半径为R是否存在以点。为圆心为半径的

圆与直线/有且只有1个交点若存在求出点。的坐标若不存在请说明理由.

16.如图在平面直角坐标系xOy中己知3(014)C(20)E(80)A(〃0)：a>8)连

接/W点、P为OBA/3上的动点(OA点除外)连接EPCP我们规定：线段CE所对的NCPE

叫做线段CE的可视角把经HCE夕三点的圆叫做线段CE的可视圆.

(1)若CE的可视角NCPE=60。求线段CE的可视圆的半径.

(2)已知点P在08上存在最大的可视角NCPE求出此时点尸的坐标.

(3)在(2)的可视圆中探究A8上是否存在唯一的可视角NCP'E.若存在求出。的值若不存

在请说明理由.

17.在平面直角坐标系工0)，中对于点例N与角a(0。WaW180°)给出如下定义：

点M绕点O顺时针旋转a得到点M'点O绕点M'顺时针旋转(180°-a)得到点0'若点N

在线段O'M'上称点N是点M的“a-双旋点”.

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已知点4(02).

(1)在图1中画出点A的所有“60°■双旋点”所在的线段O'A'线段O'A'与。力的位置关系

是

(2)①对于点7(/I)若存在不相等的角ap使得点7既是点4的“a-双旋点”又是点A

的“0-双旋点”直接写出/的取值范围

②对于半径为，•的OR若对于OR内任意一点P都存在不相等的角ap使得点P既是点A的“a

・双旋点”又是点A的“0-双旋点”直接写出，•的最大值为

(3)点Q是坐标平面内一点满足OQW2若存在0°WaWl800使得点A是点Q的“a-双旋点”

直接写出所有满足要求的点。形成的封闭区域的面积.

y

4

3

2

1

0

-2

图1备用图

18.对于平面内0C和OC外一点夕若过点夕的直线/与有"两个不同的公共点MN点Q为直线/

图1图2

已知在平面直角坐标系xOy中。。的半径为2点、P(40).

1

(1)在点O(-2I)E(I0)F(3-)中是点P关于0。的密切点的为

2

(2)没直线/方程为旷=心+。如图2所示

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①仁-寺时求出点P关于0的密切点Q的坐标

②OT的圆心为7C0)半径为2若。7上存在点P关于。。的密切点直接写出，的取值范围.

19.在平面直角坐标系xQy中00的半径为1.对于。0的弦A8和不在直线AB上的点C给出如下定

义：若点C关于直线48的对称点C'在。。上或其内部且NAC8=a则称点。是弦A8的“a关联

点”.

(1)点4(一4，竽)，B(一*'—^)«

①在点a(00)Ci(01)C3(1,一易中点是弦AB的“a关联点”其中a

_O

②若点D是弦AB的“60°关联点”记点D的横坐标为m则m的取值范围为

(2)已知点P是直线y=-2x+l上一点且存在0。的弦MV使得点P是弦MN的“90°关联点”记

备用图

20.在平面直角坐标系中对于。户内的一点M若存在点N使得线段MN的中点恰好在。。上则

称点N是点M关于OP的“关联点”：特别地当点N是点M关于。尸的“关联点"且为直角

三角形时则称点N是点M关于的“直角关联点”.

(1)如图己知点A(01)OO的半径为2.

①在点反(一6，0)4(-孝，9)83(0-4)中点A关于。。的“关联点”是

②若点3是点A关于。。的“直角关联点”且点8在第一象限直接写出点8的坐标

③若直线)，=履+力(&>0)上有旦只有一个点是点A关于。。的“关联点”且该点恰好为点A关于。0

的“直角关联点”直接写出々的值

(2)已知OP的半径为3若存在半径为「的07对于07上的任意一点。都存在。P上的点。与

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G)P内一点D满足CO=1且点。为点3关于OP的“直角关联点”直接写出，•的取值范围.

—

—f

0

\y

备用图

21.在平面直角坐标系xOy中对于半径为1的。。线段48及直线/给出如下定义：若线段A8关于

直线/的对称线段A'夕是。。的弦则称线段八8为。。关于直线/的引入弦.

(1)如图1点4(-21)Bi(03)A2(12)82(32)A3(2-1)By(2-2)

线段A/iA2B2A3S中是OO关于某条直线的引入弦的为.

(2)如图2点4(-13)B(-31)点C在直线y=%+2上若线段48AC和8c中至

少有一条线段是。0的引入弦直接写出点C的纵坐标"的取值范围.

(3)如图3线段WN是。0关于直线)，=的引入弦且MN=1.以点E(11)F(12)G

(22)H(21)为顶点的正方形EFG〃与线段MN有公共点请直接写出力的取值范围.

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yt

图2

平面内M为图形/上任意一点N为。。上任意一点招MN两点间距离的最小值称为图形r到

OO的“最近距离”记作d（7-。0）.例：如图I在直线/上有AC。三点以八C为对角线

作正方形ABC。以点0为圆心作圆与/交于EF两点若将正方形4BCD记为图形7则CE

两点间的距离称为图形7到。的“最近距离”.

数学理解：

（1）在平面内有A8两点以点A为圆心5为半径作OA将点8记为图形/若d（r・OA）=2

则A5=.

（2）如图2在平面直角坐标系中以0（00）为圆心半径为2作圆.

①将点C（43）记为图形T则d（T-。0）=.

②将一次函数），=辰+2遮的图记为图形丁若"（7-O）＞0求k的取值范围.

推广运用：

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(3)在平面直角坐标系中。的坐标为([0)。尸的半径为2DE两点的坐标分别为(55)(5

-5)将△OOE记为图形7若d(T・G)P)=1Mt=.

23.在平面直角坐标系中对于点P和。C给出如下定义：若OC上存在点。使得ACOQ是直角三

角形且NPCQ=a(aW90°)则称点。是。。的关联点称a为点P与。C的关联角.

(1)如图。。的半径为2.

①判断：点P(鱼0)P2(40)是。0的关联点吗？若是请直接写出该点与。0的关联角度若

不是请说明理由

②点B是平面内一点点。(加3)当-3W〃?W3时以D为圆心为半径的圆上的所有点都是

圆。的关联点则线段BD的长度I的取值范围为

(2)已知点E(12)F(34)T(r3-t)t>0圆/的半径为4若线段EF上的所有点都

是阿丁的关联点且这些点与圆7的关联角度都不超过60°直接写出i的取值范围.

参考答案与试题解析

I.【解答】解：(1)如图连接

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,:CD〃AB

：.^DCB=ZABC

JNOCB和N4BC所对的弧相等

：.AC=BD

(2)•・•弦CO和弦E/都是00的纬线

:.CD"ABEF//AB

作交)于/则。/_L*连接OF

VCD=6EF=8OD=OF=5

根据勾股定理可得0"=401=3

有两种情况：

当弦CD和弦£尸在圆心的同一侧时HI=0H-01=4-3=1

当弦C。和弦E”在圆心的两恻时HI=OH+OI=4+3=7

・・・8和斯的距离是1或7

(3)过点作OE_LMN于点EOFJLPQ于点尸

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则Si=%"?S2=^bn5=：：〃+〃)(in+n)

VSi+S2=1s

•1,1；11Z,Xz、

..-〃〃？+-^bn=3x刁(a+b)(.m+n)

22L2

即(a-b)(in-n)=0

:・a=b或m=n

若m=n则a=b

若a=b则in=n

S=2am

则S2=4〃2"『

•・•OEIMN

：.ME=』MN=£

乙乙

在RtAOEM中。炉+七序=0/

・・・七+〃』

4

则m2■尸2■号

令t=a2

AS2=4/(r2--^)=-r+4r2/

4

对称轴为t=2r

••・OVaWr

•••OV/Wr2

当1=尸时§2有最大值为3-

・・.S的最大值为75M.

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2.【解答】解：（I）根据题意得以点（2-3）为圆心以3为半径的圆的方程是（.1-2）2+（广3）

故答案为：(x-2)2+()叶3)2=9.

(2)根据题意得MN=/(一1一2尸+(8+6尸=V205

(3)是.

"+)2+5工-8y+16=0

整理得(x+5)2+(>'-4)2=(-)2

2-2

・•・是圆的方程且圆心坐标为(-?4)圆的半径为|.

3.【解答】(1)证明：如图①连接BC

yOCIOAODLOB

JNAOC=NBOD=90°

/.NAOB=NCOD

：,AB=CD

•：AC=AC

：,ZABC=^Z-AOC=45°

同理，/BCD=^BOD=45°

，ZAEC=乙48C+N5c0=900即AHVCD

*：AB=CDAB工CD

：.AB。。是OO的等垂弦.

（2）解：如图②作垂足为H作OGJ_C。垂足为G则四边形OHEG为矩形

,：ABCO是OO的等垂弦

：,AB=CDABICD

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.\AH=DG=^AB

OA=0DNA”0=NDGO=90°

.,.RtAAHO^RtADGO(HL)

：.OH=OG

・•・矩形O〃£G为正方形

：.OH=HE

BE1

••__AH=BH

'AE~3

：,AH=2BE=2OH

在RtZXAOH中AO2=AH2+OH2

即(2OH)2+OH2=AO1=25

解得：OH=衣MAB=4HO=4V5.

©

4.【解答】解：(1)由定义可得①的矩形有一条边AO与001相切点、BC在圆上

・•・①是第I类圆

②的矩形有两条边ADAB与。3相切点。在圆上

・••②是第II类圆

故答案为：①②

(2)如图1设AO=6AB=4切点为E过点。作EFJ_BC交BC于F交A。于E连接80

设8。二厂贝l」0E=r0F=4-r

由垂径定理可得BF=CF=3

在RtZXB。尸中r=(4-r)2+32

解得r=笄

如图2设AO=4BC=6切点为E过点。作E凡L8C交8c于产交AO于E连接80

设80=r贝ijOE=rOF=6-r

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由垂径定理可得BF=CF=2

在RlZXB。"中t2=(6-r)2+22

解得学

综上所述：第【类圆的半径是字或¥

83

如图3AD=6AB=4过点。作MALL4。交于点M交BC于点N连接0。

设A8边与。。的切点为G连接0G

：.GOLAB

设0M=r则0C=r则ON=4-r

•；0G=r

：,BN=r

:,NC=6-r

在R【40CN中r=(4-r)2+(6-r)2

解得/•=1()-4A/5

工第n类圆的半径是io-4V3

(3)①如图4

第一步作线段4。的垂直平分线交A。于点E

第二步连接EC

第三步作EC的垂直平分线交E尸于点。

第四步以。为圆心EO为半径作圆

・・・。0即为所求第【类圆

②如图5

第一步：作的平分线

第二步：在角平分线上任取点E过点E作ERLA。垂足为点尸

第三步：以点E为圆心E尸为半径作圆E交AC于点G连接FG

第四步：过点C作C“〃/GCH交A。于点〃

第五步：过点”作A。的垂线交N8A。的平分线于点。

第六步：以点。为圆心。〃为半径的圆。。即为所求第II类圆.

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ED

图2

5.【解答】（1）解：双圆四边形的对角的数量关系是：对角互补

理由：圆的内接四边形的对角互补

故答案为：互补圆内接四边形对角互补

（2）解：双圆四边形的边的性质：双圆四边形的对边之和相等

（3）证明：连接PHPGPEPFHE设“F石G交于点N如图

•••AD为的切线

PH1AD

同理：PG1CDPF1BCPE1AB

/.ZDHP=ZDGP=ZPEB=ZPFB=90°.

NPHD+ND+NPGD+NHPG=360°

：,ZHPG+ZD=180°.

同理：Z£PF+Z^=180

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/.ZHPG+ZD+ZEPF+ZB=\SOa+180°=360°

VZD+ZB=180a

:,NHPG+NEPF=180°.

NHEG=^ZHPGZEHF=^ZEPF

AZEHF+ZHEF=1(NHPG+NEPF)=90°

・・・N"NE=180°-(ZEHF+ZHEF)=90°

:.GE工HF

(4)解：双圆四边形的大致区域用阴影表示如下:

平行四边形

矩形匕菱形

(5)解：连接ACMEMF如图

\G/4

\AM卜尸/

)\J/

AB

•・•四边形A8CD是双圆四边形

・・・/。+/8=90°

VZB=90°

・・・NQ=9()°

JAC为G)P的直径.

VCGC/为OM的切线

，CM平分NBCQ

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同理：AM为ND48的平分线

利用对称性可知：AMPC在一条直线上

ZBCD=ar

・•・ZACB=^ZBCD=30a

在RtAABC中

AC=2AI3=2

：,BC=yjAC2-AB2=V3.

：,AP=^AC=\.

〈BA8厂为0M的切线

:・MEtABMFIBC

VZB=90°

，四边形ME8F为矩形

;ME=MF

，四边形ME8厂为正方形

:・BE=BF=ME=MF.

设BE=BF=ME=MF=x则CF=V3-x

,:MF〃AB

.MFCF

''AB~CB

Xy/3-x

.3—月

••x——2—■

.3一6

..ME=―2--

,:ME〃BC

：,ZAME=ZBCA=30Q

・••在Rtz^AME中

cosZAME=器

・AM-ME_M._/3_j

,，AM-cos^AME~我一",r

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：,PM=PA-AM=\-（V3-1）=2-V3.

故答案为：2—\/3.

6.【解答】（1）解：・・・。0内有不同的两点4B它们的反演点分别是4'夕

•_O_A__0_B_

•・OB，-OAi

又

•・•△AO8sOA'

=ZOBA

故答案为：（C）

（2）解：过M作MN_LOM交。。于点N连ON.过N作NAf_LON交射线OM于点M.点M即为

所求.如图所示:

(3)证明：连BMAM.

是0C直径

AZBMA=90°

VNOA'Mf是△■'M'B'的外角

：,ZOA'M'-NA'B'M'=N4'"B'

,・•点4M关于OO的反演点分别是A'M'.

：.OA*OA'=?=OM・OM，

•・・/O=NO

:.△OMksXoZM'

・・・N0M4=N0A'M'

同理：ZOMB=ZOB'M'

由等式性质知：ZOMA-ZOMI3=ZOA'M'-NOB'M'

，N8VM=NA'M1B'即NA'M'B'=90°.

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OcJAAfB'

7.【解答】解：（1）作法如图所示。尸即为所求.

（2）根据题意。。既为点M和x轴的等距圆又为点N和x轴的等距圆.

，⑷“经过MN两点且与x轴相切.

过圆心。作的垂线交），轴于点E作。E_Lx轴垂足为£

，：MD=NDMN=6-2=4

MN

:.MF=NF=等=2.

•・•四边形OEQ尸为矩形

，DE=FO=MF+MO=2+2=4.

在RtADFM中DF=VMZ）2-FM2=26.

同理点。关于y轴对称点。左侧也符合条件.

，点。坐标为（2V54）或（-2百4）.

（3）如图所示。。为点M和x轴的等距圆.。。和y轴交于MN两点.

过圆心D作MN的垂线交y轴于点/作。EJ_x轴E为垂足.

点。的坐标（xy）.点M坐标为（02）.

*：MD=DE=yDF=|.r|MD1=DF2+MF2MO=2MF=DE-MO

，）2=/+（y-2）2.

整理得）=%2+]

故y与x的函数关系式为y=；/+1.

（4）设点力坐标为（大y）OD周长为CD.

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由（3）可知MQ=MN=），y="+lMF=\y-MO\=\y-2\.

根据题意<|CD则NMOV4X36（）°=90°.

•••△MQN为等腰直角三角形.

，：MF=NF

AZA/DF<45°.

T7・・•zAxnrMF|y-2|•。42

乂.sinZMDF==y.sin45=-2

工叱用工孝.

解得：4-2^2<v<4+2^

A4-2V2<i?+l<4+2V2

-2-2V2<A<2-2或或2企一2WxW2或+2.

8.【解答】解：(1)①经过。£两点的圆与aABC的交点个数可能为2或3或4或5或6

故答案为：2或3或4或5或6

②如图1(a)圆经过ADE三点、图1(〃)经过。£的圆与8c相切

均是△人关于。E的“中3点圆”

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A

图1(a)

(2)①当a=0〃=4时A<06)点A(()0)C(40)O/W为△HHC的“中4点圆”.

如图2(«)OM经过点A时

VDE分别是ABAC的中点

J.DE//BCD(03)E(23)

・・.NADE=ZABC=90a

9

/.圆心M在AE上即M(1-)

2

如图2(mOM与A8相切于点。时M(13)

如图2(c)OM与AC相切时过点”作加几LOE于/连接EM

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y

图2(c)

则NMEF+NAEO=90°NE4O+NAEO=90°

・•・/MEF=ZEAD

：AanZMEF=tanZEAD

MFOCMF4

，一=—即一=-

EFOA16

2

；・MF=W

7

A33

当OM经过点8时如图2(d)

图2(d)

则M是OE的中点

3

(1-)

2

当OM经过点。时如图2(e)

y

D

O一…

2(e)

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由勾股定理得：MET=EF2+MF1MC2=MG2+CG2

*：ME=MC

：,EF1+MF2=MG1+CG1

EF=IMF=3-yMG=-yCG=3

/.12+(3・)，)2=(-y)2+32

解得：y=i

a71a

综上所述圆心M纵坐标y的取值范围为3<），V2或:<），V3或;<y<i.

,36乙

②当72=3时OM为△A4C的“中3点圆”

*.M（一。+1V）

2­

•••且圆心M总在△ABC外

，当OM经过点A时△人?£是钝角三角形且NAD£>90°或N4EO>900

KO或“>4.

9.【解答】解：（1）①如图

。加N

从图中可以看出点M（34）点7（1/）关于。。的限距点不存在

点N关于。。的限距点存在其坐标为（10）

②如图所示连接E0并延长交OO于点E'连接FO并延长交。。于点尸

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•・•点。的坐标为（20）

：.OD=2.

YOE切00于点石

，OELDE.

,：OE=\

AZODE=30°OE=OO・cos30°=V3.

•:DE。”分别切O。于点E点F

：.DF=DE=V3DH1EFZFDH=ZEDH=30°.

:・EH=FH=次=苧.

DH=DE,cos30°=

：.0H=0D-HD=1

1V31./3

：,E（--）F（-一浮）.

2222

••㈤T-鄂F，（4枭

设点尸关于。0的限距点P'的横坐标为x

I当点P在线段E尸上时

直线PO的延长线与七下，点交点P满足1WPP'02

・••点P关于OO的限距点存在其横坐标满足-IWxW—2

II当点P在线段OEOE（不包括端点）上时

直线PO与OO的交点P'满足OVPP'VI或2VPP'<3

・•・点P关于OO的限距点不存在

III当点产与点。重合时

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直线P。与(DO的交点P'(10)

:・PP'=1.

・••点。关于OO的限距点存