2026年上海市虹口区九年级（中考二模） 数学试题（解析版）

初三数学

（满分150分，时间100分钟）

注意：

1.本练习卷含三个大题，共25题.答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,

在草稿纸、本练习卷上答题一律无效.

2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计

算的主要步骤.

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一

个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.下列各式中，的有理化因式是（）

A.y/a+4B.yja-4C.>/a+2D.y[a-2

【答案】B

【解析】

【分析】只需找到与相乘后积不含根号的选项.

【详解】解：•・•两个含有根式的代数式相乘，若它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式.

又・〃=1二（石二二〃-4,结果不含根号，符合有理化因式的定义.

其氽选项与相乘后，结果仍含有根号，不符合要求.

2.已知氧原子的直径大约是0.00000014亳米，那么数据0.00000014用科学记数法表示是（）

A.0.14x10-8B.0.14x10'C.1.4xl0-8D.1.4x10”

【答案】D

【解析】

【详解】解：0.00000014=1.4x10-7.

3.下列函数中，函数值V随着%增大而减小的是（）

A.y=-x2B.y=--C.y=-xD.y=-\

X

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查不同函数的增减性，只需根据各类函数的性质，逐一判断选项即可得到结果.

【详解】解：对选项A:歹二-，是开口向下的二次函数，对称轴为X=0,•・•当X<0时，随X增大而增

大，1.A不符合要求：

对选项B：y=是反比例函数，左=_i<o,•・•在每个象限内y随x增大而增大，且在整个定义域不满

x

足7随x增大而减小，「.B不符合要求；

对选项c：y=-x是一次函数，比例系数为-i<o,•..在全体实数范围内，y随1增大而减小，c符合要

求；

对选项D：y=-l是常函数，函数值不随X变化而改变，「.D不符合要求.

4.一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，如果搅匀后从中任意摸出

3

一个球，摸到白球的概率为那么红球的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】设红球个数为x,根据摸到白球的概率列方程求解即可.

【详解】解：设红球的个数为巴则袋子中总球数为（3+x）个，

•・・摸到白球的概率等于白球个数除以总球数，已知摸到白球的概率为|,

33

・••可得方程——=-

3+x5

解得x=2,经检验，x=2是原方程的解,

・•・红球的个数为2.

5.如图，RtZ\N3C中，ZJCB=90°,NB=3（）。，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中

一个三角形是等腰三角形，其作法正确的是（）

2

AA

c.D.

BD\""CB/DC

【答案】ACD

【解析】

【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定.时各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断

即可.

【详解】解：A、由图可知，以点力为圆心，4C为半径画弧，交AB于点、D,

AC=AD，

・•・A力CO是等腰三角形，符合题意；

B、由图可知，分别以点4,点。为圆心，大于为半径画圆弧，连接两弧交点，交BC干点、D,

2

・•・3D=DC=-BC,

2

VZC=90°,Z5=30°,

AAC=-AB.

2

VAB>BC,

AAC>CD,

・・・A/iC。不是等腰三角形.

,/AD>CD,

・•・AD>BD，

•••△4BQ不是等腰三角形，不符合题意；

C、由图可知，分别以点从点力为圆心，大于为半径画圆弧，连接两弧交点，交BC于点、D,

2

AD=BD，

・•・△48。是等腰三角形，符合题意；

D、由图可知4。为/。3的角平分线，

VAACB=90°,4=30。，

・•・ZCJ5=60°,

/./D4B=300=NB,

3

，AD-BD,

・•・△力3。是等腰三角形，符合题意：

故迄ACD.

6.如图，在△/AC中，=90°,AB=5,BC=4.以点力为圆心，〃为半径作圆，当点、C在。A

内且点8在04外时，〃的值可能是（）

【答案】C

【解析】

【分析】先利用勾股定理可得AC=3,再根据“点C在04内且点8在。4外”可得3<〃<5,由此即可得

出答案.

【详解】解：•••在A/B。中，N4CB=90。,AB=5,BC=4,

AC=VAB2-BC2=3>

•・•点C在。4内且点3在。力外，

AC<r<AB,即3<r<5,

观察四个选项可知，只有选项C符合，

故选：C.

【点睛】本题考查r勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位

置】

7.2的相反数是.

【答案】-2

【解析】

【详解】解：2的相反数是-2.

8.计算：3々=

4

【答案】-

9

【解析】

【详解】解：3~2=^=-.

329

9.将二元二次方程/一5孙+6/=0化为两个一次方程为.

【答案】x-3歹=0和x-2y=0

【解析】

【分析】二元二次方程X2一5巧；+6/=0的中间项—5号=-2町一3xy,根据十字相乘法，分解即可.

【详解】解：,.・f_5砂+68=0,

/.(x-2y)(x-3y)=0,

x—3y=O,x-2y=0.

故答案为：x-3y=()和x-2y=0.

【点睛】本题考杳了高次方程解法和分解因式的能力.熟练运用十字相乘法，是解答本题的关键.

10.请写出一个常数c的值，使得关于x的方程/+2%-0=0有两个不相等的实数根，那么c的值可以是

【答案】0(答案不唯一.满足即可)

【解析】

(分析】利用一元二次方程根的判别式求出C的取值范围，即可得到符合要求的C的值.

【详解】解：•.■关于X的一元二次方程/+21_。=0有两个不相等的实数根，

?.A=22-4xlx(-c)>0,

整理得4+4c>0,

解得。>一1,

那么c的值可以是：0(答案不唯一，满足。>一1即可).

11.将二次函数y=(x-1>-4的图象向左平移〃?(m>0)个单位后经过原点，则〃?的值为.

【答案】3

【解析】

【分析】本题考壹了二次函数图象的平移，掌握平移规律“左加右减”是解题的关键.根据二次函数图象

5

平移规律“左加右减”，得到平移后的函数解析式，再代入原点坐标求解即可.

【详解】解：将二次函数y=（x—1）2—4的图象向左平移”个单位后，新函数解析式为y=—1）2—4.

由于图象经过原点，代入点（0,0）得：0=（0+〃?-1）2-4,

即（〃?_1）2_4=0,

整理得（〃7-1『二4,

阳一1=2或一1二一2,

/.阳=3或m=~\,

,rm>0，

.,.用=3.

故答案为：3.

12.为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：

本）如下表.根据表中的信息，这20个数据的中位数是.

书籍数量/本4681012

人数/人34562

【答案】8

【解析】

【分析】根据中位数的定义，先确定2（）个数据从小到大排列后中位数的位置，再找到对应位置的数据计算

即可得到结果.

【详解】解：一共有20个数据，将数据从小到大排列后，中位数为第10个和第11个数据的平均数.

分享4本的累计人数为3,

分享6本的累计人数为3+4=7,

分享8本的累计人数为7+5=12,

因此第10个和第11个数据都为8,

则中位数为早=8.

13.如图，已知小明调查了团队中每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了不完整的扇

形统计图和条形统计图，那么喜欢黄色的同学有人.

6

【解析】

【分析】根据条形统计图和扇形统计图中蓝色部分的数据求出调杳的总人数，再计算出红色部分的人数，

最后用总人数减去绿、红、蓝三部分的人数即可得出喜欢黄色的人数.

【详解】解：由统计图可知，喜欢蓝色的有15人，占总人数的15%,则调查的总人数为15・15%=100（人）.

喜欢红色的人数为100x25%=25（人）.

喜欢黄色的人数为100-38-25-15=22（人）.

14.如图，在矩形力3c。中，/8=8,40=11,。。经过点C、。和4。边上的点石，如果。0的半

【解析】

（分析】根据矩形的性质得出CZ）=/〃=8,ZADC=90°,利用90°的圆周角所对的弦是直经可得CE为

直径，在RtZXCQE中利用勾股定理求出QE的长，最后根据线段的和差求解即可.

【详解】解：•••在矩形力8。。中，AB=8,AD=\\,

：.CD=AB=8,ZADC=90°,

••・C£是OO的直径，即C£=10,

7

・•・ED=y!CE2-CD2=VI02-82=6,

AAE=AD-ED=\\-6=5.

15.如图，以正六边形44coEb的顶点4为圆心，43的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为3兀,

那么该正六边形ABCDEF的边长是.

【解析】

【分析】根据正多边形内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可.

【详解】解：•.•正六边形的内角是（6-2）x180。=]20。，阴影部分的面积为34，

6

设正六边形的边长为「，

.120乃•广

••-----------=571，

360

解得尸=3.

则正六边形的边长为3.

16.加图，在o/BCO中，对角线ZC、8。交于点O,G为"CQ的重心，连接CG并延长交力。于点E,

设式=1，BD=b＞那么用向量）、5表示而是

11-

【答案】~a+-b

44

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质三角形法则求出蔗=根据重心的性质，相似三角形的判定与

22

性质求出EO=，8C,即可求解.

2

8

【详解】解：•・•在。力58中，对角线力C、BD交于点、O,AC=a^彷=5,

AD//BC,OC=-AC=-a,~Bd=-~BD=-b,

2222

BC=JO+OC^-a^-b,

22

G为"CO的重心，

・•・EG=LCG,

2

VAD//BC,

，^EDGs^CBG,

,EDEG\

••---=----=—,

BCCG2

：.ED=-BC,

2

...而，宓士+射.

244

17.如图，在RtZ\/BC中，ZC=90°,AC=4,tan6=！.点。在边力8上，点E在边8c上，联

2

结DE，把△8OE沿。E翻折得到△/OE,联结力/、AE,如果四边形/五QE为平行四边形，那么CE

【答案】2

【解析】

A1

【分析】设/。与£尸交于点G,根据正切的定义得到tan8=—=-,求出4c=24C=8,根据勾

BC2

股定理得到AB=JAC?+BC?=475，根据翻折的性质得到ZDFE=/B,FD=BD，设FD=BD=x,

根据平行四边形的性质得到力E〃打），AE=FD=x,AG=DG=-AD=2y/5--x,通过证明

22

Ar-»A「

AAEG—ABE,得到一=—,列出关于X的方程，求出）的值，得到4E=26，最后在RS/CE

ABAE

中利用勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，设/Q与E尸交于点G,

9

AQ|

在RtA/45C中，tan8=——=-,

BC2

BC=2AC=2x4=8»

・•・AB=\IAC2+BC2=4后，

•・•△BDE沿DE翻折得到△FDE,

:,乙DFE=/B，FD=BD，

设FD=BD=x,则43-3。=4逐一工，

V四边形AFDE为平行四边形，

•,*AE//FD,AE=FD=x,AG=DG——AD=2>/5—x,

22

・•・/DFE=/AEG,

・•・/AEG=ZB,

又•；/EAG=NBAE,

L.AEG~AABE，

275-lx

.AE_AG

x二2

4A/5x

整理得：/+2后—40=0,

解得％=2石，x2=-475（舍去）,

AAE=2不，

在Rt△力CE中，CE=yjAE2-AC2=丽--42=2,

即C£的长是2.

18.已知抛物线。|：^=4（%-加）2+〃和。2：^二〃（》一〃）2+，?，它们的顶点分别为（〃"）和（PM）,我

们称q和互为“反顶点抛物线”.如果抛物线G：y=/_2Ax+F+3和互为“反顶点抛物线”，

10

且G的顶点在02上，那么”的值是.

【答案】％=3或4=2

【解析】

【分析】利用二次函数顶点解析式以及待定系数法进行求解.

【详解】解：•••。］：»=/一26+攵2+3=（工一女『+3,

.•.顶点坐标为（左,3）,

2

根据题意得，C2:y=（x-3）+A,

将化3）代入G解析式得，

（〃-3）』二3

解得A=3或左=2.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.先化简，再求值：——一二2+竺9.其中不二方.

x+1x--lx2-2x+l

2

【答案】6-4夜

【解析】

【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可.

【详解】解：J_一工+4*+3

x+11厂―2x+1

1x+3(x+l)(x+3)

工+1(x-l)(x+l)(x-l)

__1_______x+3_______(x-l)2

x+1(x-l)(x+1)(x+l)|x+3)

1x-1

一川(x+1)2

x+1x-1

(X+1)2(X+1)2

11

2

2_2/-

把x=正代入得：原式一(五+［厂2+1+2/一~^

【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算.

3(x+l)>x+5@

20.解不等式组：，，八5+3X/-、

10------>x®

2

【答案】l<x<3

【解析】

【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集.

【详解】解：解不等式①得：3(x+l)>x+5

3x+32x+5

2x>2x>l

5+3x

解不等式②得：10-土二土〉X

2

不等式两边同乘2得20-(5+3x)>2x

15-3x>2x

\5>5x

x<3

，不等式组的解集为

21.加图，在平面直角坐标系X。)，中，已知双曲线经过△0/3顶点8和边04上的一点C,OC=2AC,

OC=石.设边。力与x轴正半轴的夹角为。，且sina=咚.

(1)求双曲线的表达式；

(2)如果x轴，求点/?的坐标.

12

2

【答案】（1）y=-

x

（43、

（2）

（32）

【解析】

【分析】（1）如图：过C作CZ）_Lx轴于。，解直角三角形可得。。=1、0D=2,即C（2,l）；再利用待

定系数法求解即可；

aa

（2）先求得04=一石，如图：过力作力轴于E,再解直角三角形可得二一，即点力的纵坐

22

33

标为大；再根据45〃x轴可得点8的纵坐标为不，然后再求点8的横坐标即可解答.

22

【小问1详解】

解：如图：过。作CQ_Lx轴于/）,

—,解得：。。=1,

5

0D=yloC2-CD2=2,

・•.C（2,l）,

设双曲线的表达式为

x

丁。在双曲线上，

/.!=-,解得：k=2,

2

2

・•・双曲线的表达式为y=一.

x

【小问2详解】

蝌：YOC=5OC=2AC,

13

AAC=—OC=-A/5，

22

：,OA=OC+AC=-yf5,

2

52

.•.$出口=丝=出，即3后一5，解得：AE、，

OA5-x/5J2

乙

3

:.点A的纵坐标为一，

2

,・,,45〃x轴，

・••点8的纵坐标为之，

2

,・•点3在双曲线上，

2__4

・••点8的横坐标为至二3，

2

22.根据以下素材,完成任务.

如图1,如果*k1平面镜二,，入射光线£

素材C尸经平面镜48反射，得到反射光线

―*那么反射角ZDFE等于入射角ACFE,即B

F

ADFE=ZCFE.图1

14

汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取人

镜高悬，置水盆于其下，则见四邻……”.意

素材思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在

它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从

水盆里）看见周围邻居［的景象），如图2所

图2

示.

图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作

点〃，增角记为点P,邻居记作点4,镜子

（平面镜）记作M/V,0DLMN于息O,

入射光线/。经平面镜A/N反射，得到反射LN

素材光线。8,BE_L43于点8,OB又作为入

射光线通过水盆8反射得到反射光线BC,X

飞”年n公

进入观察者的眼中（抽象为点C）.已知图3

OP工4B于点P,ZAOD=45°,

NC8E=37。，水盆到墙角的距离5尸=1.8

米.

素材

参考数据：sin37°«0.6,cos37°«0.8,tan37°»0.75.

四

问题解决：

（1）任务一：求邻居力到墙角P的距离：

（2）任务二：如果入射光线。4天变，将镜子MN绕点。顺时针旋转8。，在O尸左侧的观察者仍能通过水

盆8看到邻居力，那么水盆8应向左还是右平移？平移多少米？

【答案】（1）3.2m

（2）水盆8应向左平移，且平移L4m

【解析】

【分析】（1）先求出NBAO=90°-53°=37°，4B0P=ZOBE=37°，再解直角三角形得出OP=2.4m，

OP

再根据tan/BAO=—,求出乂0=2.4xtan37°=2.4x0.75=1.8（m）即可;

OP2.4

（2）先证明此时0。与OP重合，解直角三角形得出80==3.2（m）,求山结果即可.

tan3700.75

15

【小问1详解】

解：根据题意可得：NBOD=/.4OD=45。,")BE=4CBE=31。,

，"OB=2x45。=90。，//ON=90。-45。=45。，

•・•EBLBP,

・•・/EBP=9。。,

・・・/03尸=90。-37。=53。，

・•・ZZ?JO-90°-53°-37°,

•：OP_LAB,

・•・ZOPA=90°,

:.Z.OPA=4EBP,

：.OP〃BE,

・•・乙BOP=NOBE=31。,

BP

：.tan37°=—,NZOP=90。-37。=53。，

OP

1Q

即0.75=——，

OP

解得：OP=2.4m,

OP

VtanZ.BAO=,

AP

24

tan37°=—

AP

OP_2.4

=3.2(m),

tan37°-O/75

即邻居A到墙角P的距离为3.2m；

【小问2详解】

解:当镜子MN绕点O顺时针旋转旋后,如图所示:

BP(D)A

此时乙4。乙=45。-8。=37。，

・•・乙BOD=ZJOZ)=90o-37o=53o,

16

根据解析（1）可得：ZAOP=53°,

・•・此时。。与OP重合,

:.此时Z.OBP=90°-53°=37°.

np74

・•・BP=---------=^=3.2（m）,

tan37°0.75'f

・••点8向左移动，且移动距离为：3.2-1.8=1.4（m）.

23.如图，△N8C和△4OE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,4B=AC,AD=AE,连

接B。、CE,ZADB=90°,延长BD交CE于点、F,交力C于点G.

（1）求证：四边形NDFE为正方形;

（2）如果NQ?C=N4CE,求证：2心=FG・FB.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先利用已知的两个直角NA/C、NC/E,通过减去公共角ND4C,推导出N区4D=NC4E：

再结合=AD=AE,用S4S证明△氏4。g△C/£,得到=N4£C=90。：凄着结合

ZDAE=90°,判定四边形力。总是矩形，最后根据邻边=得出四边形4。隹为正方形；

（2）连接//，先由（1）中正方形力。在t的性质，结合勾股定理得到力/2=2/。2；再利用等腰直角

△%8C的角度关系和外角定理，推导出NE4G=43产；随后通过两角对应相等证明△力尸,

FGAF

得到比例式一^二=二，交叉相乘后结合4/7?=2/。2,证得24。2二月仃尸台.

AFFB

【小问1详解】

证明：•・・N84C=NQ4E=90。，

工ABAC-ADAC=/DAE-ADAC,即/BAD=/CAE,

•・•在△AB。和中，

AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

17

.・.&BAD沿ACAEISAS）

・•・AAEC=ZADB=90°,

•.•/DAE=90°,AADF=180°-NADB=90°,

・•・四边形力。在1是矩形，

VAD=AE，

・•・四边形4。在'为正方形.

【小问2详解】

证明：连接力/，

•・•四边形/。在'是正方形，4b是正方形的对角线，

：.4D=DF,N4DF=90。,ZJF5=45°,

由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=AD2+AD2=2AD2，

VAB=AC,ZBAC=90°,

・•・/ABC=45°,即乙4BF+£FBC=45°,

•・,4FBC=/ACF,

:.AABF+ZACF=45°,

•・•由（1）知EC人BF,即N8R7=90。，

・•・/CFG=/BAG=9。。,

•••/NG/7是ACG厂的外角，

・•・4GF=NCFG+NACF=90°+Z^CF,

在A4FG中，由内角和定理：ZAGF=\S00-ZAFB-ZFAG=\S00-45o-ZFAG=\35o-ZFAG,

/.90°+ZJCF=135°-Z7^G；

整理得ZACF+NE4G=45°,

•r乙4BF+NACF=45。,

・•・/H4G=ZABF,

18

•••在尸G和〃中

/F4G=/FB4ZAFG=/BFA,

AAFGSABFA,

FGAF

即//2=/6•所，代入//2=2%。2,

AFFB

得：2AD?=FGFB.

（1）画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此

时〃和c之间的数量关系;

X•••-1••・1•••

y・・・2•••2•••

（2）已知点C为抛物线与歹轴的交点，点力、8在抛物线上，连接0/、AC.C8和。4.

①如果四边形04c8为正方形，那么b的值是,。和c之间的数量关系是：

②如图，当。＜0时，己知四边形。4C8为菱形，cot/dOC=2.点尸在抛物线上且横坐标为2,连接P/、

PC,如果△PNC的面积为12,求抛物线的表达式.

【答案】（1）抛物线的对称轴是K=（），”+c=2

（2）①b=0,ac=-2

②v=——x2+16

-2

【解析】

【分析】（1）根据表中两个点的坐标可知，抛物线经过点（-1,2）和（1,2）,并且这两点对称，所以可知对

称轴为戈=0：

（2）根据正方形的性质可知抛物线的对称轴是x=0,所以/）=0：根据正方形的对角线互相平分且相等，

把点力、8的坐标表示出来，并表示出43的长度，根据力5=0。找出。和c的关系；

19

(3)根据菱形的性质，可知点力的坐标把点4的坐标代入抛物线的解析式，可得..・抛物线的

o(24、(8、

解析式为＞二"2-2,点力的坐标一,一一，点p的坐标为2,4。一一，用待定系数法求出直线4尸的

a\aa)\a)

解析式，根据解析式求出点E的坐标，从而可知。尸=4,根据△尸4C的面积为12,可得

1X[£|X44-1X2X4=12,解方程求出c的值，再根据c=-号求出。的值，从而得到抛物线的解析式.

214；2a

【小问1详解】

解：由表可知，抛物线经过点(-1,2)和(1,2),

••・抛物线的对称轴是工=(),

x=--=0，

2a

二抛物线的解析式是y=ax2+c(aw0),

把点(一1,2)的坐标代入可得：a+c=2

【小问2详解】

①解：当x=0时，可得：y=ax2+bx+c=c,

.•.点。的坐标为(0,c),

•••四边形04cB是正方形，OC是正方形的对角线,

•••点4、8关于OC对称，

抛物线的对称轴是x=(),

，6=0；

;.AB=OC,点、4、8的纵坐标是

2

可得：ax2+c=—,

2

整理得：lax2+c=0»

20

a1c1=—lac，

解得：ac=-2^ac=0（不符合题意，舍去）；

②解：如下图所示，连接48,PA、PC,

四边形0/IC8为菱形，

AB10C,AE=BE，CE=OE,

vcotZJOC=2,

:.0E=2AE,

,/OC=c,

:.0E，,AE=J

24

:•点、A的坐标是

把点力的坐标（一I代入歹nQjJ+C,

-TzuCICC

可得：——+C=一，

162

Q

解得：c=—,

2（24

•.・抛物线的解析式为y=一一，点力的坐标一,一一

a\aa

•・•点户的横坐标为2,

，848

/.y=ax----=4a-----,

paa

（Q\

点尸的坐标为2,4。—，

设直线AP的解析式是y=〃优+〃（加w0）,

21

24

—m+n=——

则有《aa

c,8

2m+n=4a----

m=2(a+l)

解得：,8，

n=------4

a

Q

・•.直线AP的解析式是〉=2(a+l)x——4,

a

QQ

当工=0时，可得：y=2(a+\)x----4=----4,

aa

，8、

「•点/的坐标为0,——4,

\a

,1fc]1

=X

S4PAe=S^AFC+S^PFC"l~x4+—x2x4=12,

8

,/c=—,

1(2、1

.\-x——x4+-x2x4=12,

2Ia)2

25.如图1,在扇形中，408=90。，点。是弧48上一点，点。是半径。8上的点，联结C。,

ZOCD的平分线和/COD的平分线相交于点。，联结8P.

22

（1）求讦：ZOPB=90°+-ZODC：

2

（2）联结8C（如图2）.如果Q）_LOB,CP=10,△0P8的外接圆。M与扇形408所在的圆。。相

交.

①当cosNC8Q=，时，求与。。的公共弦的长；

4

②联结4”和/P,4P交0C于点E,当时，求tan/4用的值和0E的长.

【答案】（1）见详解（2）40,-

3

【解析】

【分析】（1）连接P8,由CP平分NOCD,OP平分NCOD,得ZPOC=ZPOD,

NPCO=NPCD：由OC=OB,/POC=NPOB,OP=OP,证△OCg"BP,

得NOPC=NOPB；在&OCD中由内角和定理得ZPOD4-ZPCO=90°--ZODC,在2PC中

2

得NOPC=90°+-NODC,即NOPB=90°+-NODC:

22

（2）①由8108得/。。。=90。，由（1）知/。朋二135。，△OCF&OBP得CP=BP=T0,

/CPB=90。,△。尸8等腰直角，8c=10拒：由cos/C5O=」在RsCDB中求BD、CD,

4

再在心△OOC中求圆。半径R=20O；设两圆另一交点为。，由/。。3=135。得劣弧OB圆心

角ZOMB=90°,乂OM垂直平分公共弦BQ,故8、.“、Q共线，30为圆”直径，由等

腰Rt^OMB求8M=20,8。=40.②8C,延长C。交圆。0于点N,由垂径定理得康=氤，

/BCD=NBNC='/BOC；由4W1OP得AO=AP（垂径定理），三线合一

2

得/P4M二合0”；证△力。尸也△OBC得/CMP=/5OC,OP=BC=IOQ，从

而ZPAM=-ZBOC=ZBCD；延长OP交BC于R,由三线合一得R为BC中点，

2

23

BR=PR=5>/2，OR=15无，在RlaBOR中lanZBOR=；，即lanZP力M二;

JJ

【小问I详解】

解：•・・CP平分NOCD,OP平分ZCOD，

:./POC=NPOD,NPCO=NPCD,

•：OC=OB,ZPOC=ZPOB,OP=OP.

:.—CP知OBP〈SAS),

NOPC=NOPB,

在AOCD中，ZCOD+ZOCD+ZODC=180°,

即2/尸OO+