高考数学 计数原理、概率及其分布 二项式定理及其应用 （学生版）

二项式定理及其应用

激活思维

1.（教材经典题）（工一1）1°的展开式的第6项的系数是（）

A.—C%B.C%

C.-C?oD.C?o

2.（教材经典题诺二项式（x+l）〃（〃£N）的展开式中『项的系数为15,则〃

=（）

A.4B.5

C.6D.7

3.（1—21-）。+2）3的各项系数和为（）

A.-27B.27

C.16D.-16

4.（教材经典题改编）在（1一x）5+（l—1）6+（1—#7+（1一幻8的展开式中，含丁

的项的系数是（）

A.74B.121

C.-74D.-121

5.（教材经典题）在-3）4）。-5）的展开式中，含f的项的

系数是.

聚焦知识

1.二项式定理

二项式定理(a-\-b)n=________(〃£N")

二项展开式的通项公式Tk+\=_______—，它表示第_________项

二项式系数展开式中各项的二项式系数为CJi（A£{0,1,2,…，〃}）

2.二项式系数的性质

(1)C9=1,a=1,C^1=,CT=

(2)二项式系数先增后减中间项最大.当〃为偶数时，第々+1项的二项式系

〃+1it+3

数最大，最大值为q；当〃为奇数时，第丁项和第丁项的二项式系数最大，

最大值为卡和CV.

(3)各二项式系数和：0)+以+或+…+C片,c9+G+c!+・・・=

以+&+&+・・•=.

题型突破思维拓展

▲

举题说法

目标11展开式中的特定项

视角1(〃+/?)"的展开式

例1-1(1)(2025•张家口三模)若(2—幻"的展开式中f项的系数为240,

则〃=()

A.4B.5

C.6D.8

(2)(2025•杭州期末)若二项式(2r+§7的展开式中%项的系数是84,则实数

a=___

・总结提燎A

求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求

(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数厂+1,代回通

项公式即可.

视角2(4+6)叫°+")”的展开式

例1-2（1）（2025•广州二模）（X+/）（1—ZT）4的展开式中，x2项的系数为

（）

A.24B.-24

C.-36D.-40

（2）（2026・青岛期初）（工+），）（工一），）5的展开式中,心，2项的系数是

＜总结提燎a

对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规

律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.

视角3（〃+b+c）〃的展开式

例1-3（2025•漳州三模）9+5一3）的展开式中，常数项为

＜总结提燎A

要求三项展开式中指定的项，常有这几种做法：

（1）两项看成一项，利用二项式定理展开；

（2）因式分解，转化为两个二项式再求解；

（3）看作多个相同因式的乘积，用组合的知识解答.

目帧阳二项式系数与项的系数问题

视角1二项式系数和与所有项系数和

例2—1（1）（2026♦唐山期初）（多选）在。一丁）5的展开式中，下列说法正确的

是（）

A.一共有5项B.第3项为-10必产

C.所有项的系数和为0D.所有项的二项式系数和为32

（2）（多选）若（l-Ziy.nao+mx+al+i+soz了.,则下列结果正确的

是()

A.〃o+〃l+s+…+。2026=1

1+32026

B.40+42+44-!------F42026=2

「£1I_P-026

C.2'22'***'L22026-n

D.ai+2。2+3。3+…+2026s026=4052

・总结建燎》

一般地，对于多项式(〃+加+----1~小炉，令式¥)=(。+辰)〃,

则(。+法)〃的展开式中各项的系数和为g(l),奇数项的系数和为:[g(l)+g(—1)],

偶数项的系数和为:旧(1)一g(—1)].

变式2(2025・上饶二模)(多选)若。+2)。-1)8=制+川。+1)+。2。+1)2+

4。+1)3+…+〃9。+1)9,则下列结论正确的是()

A.+02+03+…+。9=2

B.“7=96

C.4o+2m+2%2+23〃3H-F2%9=4

D.0+2〃2+3〃3-1---F9〃9=-15

视角2二项式系数与项的系数的最值

例2—2(1)(3+%)”的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则〃的

值为()

A.8B.7

C.6D.5

(2)(2024•全国甲卷)(；+x)0的展开式中，各项系数的最大值是—.

♦总结建烁A

求m+法）scR）的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展

Ak^Ak-\,

开式各项系数分别为4,A2,…，A“+i,且第k项系数最大，应用J,从

Ak^Ak+\,

而解得A

目帧回二项式定理的综合应用

例3（1）已知今天是星期三，则6:一1天后是（）

A.星期一B.星期二

C.星期三D.星期五

（2）（2025•枣庄3月模拟）已知Gx+iyozSum+mx+aMH-------1~a2025X2°25,

则，71+（3）242H-------|-（jj2025«2025被4除的余数为（）

A.3B.2

C.1D.0

随堂内化

1.在（/一5）4的展开式中，X3的系数为（）

A.6B.—6

C.12D.-12

2.（2026•济南期初）（〃+2X）（1+X）4的展开式中x的奇数次累项的系数之和

为32,则4=（）

A.1B.2

C.3D.4

3.（2026•福州一检）（多选）若《一1）的展开式中，二项式系数的和为256,

则（）

A.77=8

B.展开式中各项系数的和为38

C.展开式中存在常数项

D.展开式中x6的系数为16

4.已知（女一3）9=如+。|（九一1）+〃2（X—-----F〃8（X—1）8+〃9（X—1）9,则40

+2m+3s+…+9痣+10。9=（）

A.9B.1（）

C.18D.19

A组夯基精练

一、单项选择题

1.（2025•泰州一模）若Q—书）展开式中的常数项为60,则常数。的值为

（）

A.4B.5

C.6D.8

2.（2025•福州三模）设（1—21）5=〃0+。1工+〃涓+〃娟+〃414+。5/，则。|+。2

+43+44+45=（）

A.—2B.-1

C.0D.1

3.（2025•济宁一模）（2+=）（2r—1）”的展开式中的常数项为（）

A.18B.20

C.22D.24

4.（1展开式中/），一2的系数为（）

A.—840B.-420

C.420D.840

5.（2025•镇江期初）若（3+x）5=4o+m（］+x：（+a2（l+x）2+a3（l+x）3+ai（l+

X)4+〃5(l+1)5,x£R,则〃|一或+如一。4+。5=()

A.-31B.31

C.-32D.32

6.(2025•汕头一模)在(x—2()21)。+2022)(工一2023)(x+2()24)(x—2()25)的

展开式中，含f的项的系数是()

A.-2025B.-2023

C.-2021D.2025

二、多项选择题

7.（2026•益阳期初）若（x+l）（x—Z—nao+aix+oi/H----\-aix1>则（）

A.的=64B.m=64

C.ao+ai+G+…+G=2D.41+43+45+47=42+44+46

8.（2025•马鞍山二模）已知二项式停一：）的展开式中，各项系数之和为吉,

则（）

A.展开式中共有6项

B.展开式中二项式系数的和为64

C.展开式中常数项为H

D.展开式中系数最大的项是第2项

9.已知（f+x+iynao+aix+QdH-Faisx%则下列说法正确的有（）

A.tzo=1B.s=42

39+l

D.。|+2。2+3。3+…+18ai8=3"

C.s+aiH----Fai8=2

三、填空题

1（）.（2（）25•北京卷）已知（1一2_¥）4=。0—2小%+4。2^—843%3+16。封4,贝ij

，01+42+43+44=.

11.(2025•苏州期末)已知公二金+⑶。一1)+G(X—1)2+…+制。-1)8,则

ai=.

12.(2025•保定二模)若的展开式各项系数的绝对值之和为

512,则(x+11)”的展开式中一的系数为.

13.(2025•梅州质检)9户的末三位数是____.

14.杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.他在《详解九章算法》一书

中，画了一个由二项式5+切〃(〃=1,2,3,…)展开式的系数构成的三角形数阵，称

作”开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”.在“杨辉三用”中，从第2

行开始，除1以外，其他每一个数值都是它“肩上”的两个数值之和，每一行第

〃，上N*)个数组成的数列称为第2斜列.该三角形数阵前5行如图所示,

则该三角形数阵前2026行第k斜列与第Z+1斜列各项之和最大时，上的值为

第I行II

第2行I2I