乘法公式【十大题型】-七年级数学下册专项提升练（浙教版）

专题3.3乘法公式【十大题型】

【浙教版2024]

＞题型梳理

【题型1利用乘法公式进行简便运算】............................................................2

【题型2利用乘法公式求代数式的值】............................................................3

【题型3由完全平分式求字母的值】..............................................................5

【题型4平方差公式的几何背景】................................................................7

【题型5完全平方公式的几何背景】..............................................................II

【题型6乘法公式的应用】......................................................................16

【题型7乘法公式的证明]......................................................................19

【题型8由乘法公式求最值】...................................................................23

【题型9乘法公式的规律探究】.................................................................25

【题型10乘法公式中的新定义问题】.............................................................29

院举一反三

知识点：乘法公式

1.平方差公式

（1）平方差公式

（a+b）（a-b）=a2-b1

语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫做（乘法的）平方差公

式.

（2）平方差公式的特点

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.

②右边是相同项的平方减去相反项的平方.

③公式中的。和。可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式.

2.完全平方公式

（I）完全平方公式

（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-lab+b2

语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公

式叫做（乘法的）完全平方公式.

(2)完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二

次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二

者也仅有一个“符号”不同.

【题型1利用乘法公式进行简便运算】

【例1】(23-24七年级•江苏盐城•期中)用简便方法计算：502-49x51=

【答案】1

【分析】考查平方差公式的相关应用，熟练掌握平方差公式是解题的关犍；

按照平方差公式将49x51进行转化为(50-l)x(50+1),即可简便计算结果.

【详解】502-49x51

=502-(50-1)x(50+1)

=502-(502-1)

=502-502+1

=1.

故答案为：1.

【变式1-1](23-24七年级•宁夏银川•阶段练习)计算：

(1)99x101；

(2)200#_1

【答案】(1)9999

⑵4004000

【分析】本题考查平方差公式，(1)利用平方差公式进行计算即可；

(2)利用平方差公式进行计算即可.

【详解】(1)解：原式=(100-1)(100+1)

=1002-I2

=10000-1

=9999：

(2)解：原式(2001+1)(2001—1)

=2002X2000

=4004000.

【变式1-2］（23-24七年级.上海徐汇・阶段练习）计算：2。＞一黑）X2018

【答案】2019.

【分析】原式利用数的变形化为平方差公式2020x2018=（2019+1）（2019-1）=20192-1,计算即可求

出值.

【详解】解：V2020X2018=(2019+1)(2019-1)=20192-1

20192019把=2019

20192-2020X201820192-(20192-1)

故答案是:2019.

【点睛】此题考杳了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键.

【变式1-3］（23-24七年级.湖南怀化.期末）计算：1012+｛（1-3（1-3（1-专）...（1一募）。一

20232)}一

【答案】2023

【分析】利用平方差公式将1-专变形为（1一）（1+；），通过相邻的项约分化简即可求解.

1详解】解：1012+{(1-*)(1-*)(1-*)…(1一募)(1-册)}=

=1。12+{(1-3(1+3(1-9(1+3(1-；)(1+3・・・(1-/)(1+康)(1-募)(1+康)}=

10124--1X3-X2-X4-X-3X-5X...X2--0-2-1X-2-0-2-3-X-2--0-2-2-X-2-0-2-4-、

.22334420222022202320237

2024\

1012+X

2023/

1012

=1012+

2023

2023

=1012x

1012

=2023

故答案为：Z023.

【点睛】本题考查利用平方差公式进行简便运算，解题的关键是将1-专变形为（1-J（1+：）.

【题型2利用乘法公式求代数式的值】

【例2】（23-24七年级♦重庆渝中•阶段练习）已知f=2y+5,产=2计5（/y）,则丁+源产中的值为一.

【答案】-12

2

【分析】首先根据题意得出炉—/=（%+y）（x一丫）=2（y-x）Ax卜y2=2（x+y）।w,从而进一步得

出x+y=-2,由此进一步求出xy的值，最后再通过将所求式子分解为(x+y)(x24-y2-xy)+2进一步计

算即可.

【详解】Vx2=2y+5,y2=2x4-5,

••x2-y2=(x+y)(x-y)=2(y-x),x2+y2=2(x+y)+10,

Vx*y,而(％+y)(x—y)=2(y—x),

.*.x+y=—2,

.*.x2+y2=2(x+y)+10=6=(x4-y)2-2xy,

/.xy=—1,

；・％3+2%2y2+y3=(%+y)(%2+y2―盯)+2=-2x7+2=-12,

故答案为：—12.

【点睛】本题主要考查了乘法公式的综合运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键.

【变式2-1](23-24匕年级•山东聊城•期末)若为+2y=8,x24-4y2=36,贝by=.

【答案】7

【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.根据完全平方公式进行计算即

可.

【详解】解：无+2y=8,x2+4y2=36,

:*(r+2y)2=64,

：•x2+4xy+4y2=64,

:.xy=7,

故答案为:7.

【变式2-2](23-24七年级.江苏盐城.期中)如果小一2a=1,那么代数式a(a-2)+(a-1产的值为()

A.-1B.1C.3D.2

【答案】C

【分析】本题考查了整式的化简求值；分别利用单项式乘多项式法则与完全平方公式展开，再合并同类项，

最后整体代入即可.

【详解】解：a[a一2)+(a-I)2

=a2—2a+a2—2a+1

=2a2—4a+1

=2(a2—2a)+1；

当a?-2a=1时

原式=2x1+1

=3.

故选：C.

【变式2-3](23-24七年级.重庆北陪.期末)已知a,b满足(M+1)(川+4)=8ab,则a仅+；)=.

【答案】|

【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.由3-I/二。，(b-2)2>0,

(a2+1)(/?2+4)=8ab,得a=1,b=2,代入求解即可.

【详解】解：・・・(。-1)2NO,S-2)2N0,

/.G2+1>2a,b2+4>4b,当a=1及8=2时，等号成立，

/.(a2+1)(/?2+4)>8ab,当a=l及b=2时，等号成立，

V(a2+l)(d2+4)=8a/?,

/.a=1,b=2,

工a(b+目=1x(2+J=

故答案为:

【题型3由完全平分式求字母的值】

【例3】(23-24七年级•全国♦课后作业)若多项式4/+Q+1是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项

式。是•

[答案1±4%,4x4,-1,-4AT

【分析】根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q，①如果这里首末两项是2%和1这两个数

的平方，那么中间一项为加上或减去2A•和1积的2倍，故Q==4x;②如果如果这里首末两项是Q和1,则

乘积项是4f=2x2x2,所以Q=4xt

【详解】解：•••4f+l±4x=(2x±l)2

4/+1+444=(2产+1)2；

，加上的单项式可以是±4x,-41中任意一个，

故答案为：±4x,4f,-1,-4x2

【点睛】本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的关键.

【变式3-1](23-24七年级•山东青岛・期末)若X2一收+36是一个完全平方式，则/c=.

【答案】±12

【分析】本题主要考查完全平方式，利用完全平方式的结构特征即可求出结果.

【详解】解：/—kx+36是一个完全平方式

即(X±6)2=x2±12%+36

k=±12

故答案为:±12.

【变式3-2](23-24七年级•陕西宝鸡・期末)已知/+2(4+1)%+16是一个完全平方式，则k的值为()

A.2B.3或一5C.1D.±2

【答案】B

【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.利用完全平方公式的结构特征判

断即可确定出k的值.

【详解】解：•・22+2(k+l)x+16是一个完全平方式，

/.2(/c+1)=±4x2,

解得：k=3或攵=—5>

故选：B.

【变式3-3](23-24七年级.上海长宁•期中)填空：已知多项式是一个完全平方.(请在横线

上填上所以的适当的单项式.)

【答案】；3

44;2x

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可.

【详解】解：完全平方公式(a+b)2=小+2助+庐，分情况讨论：

(1)当P相当于2ab项时，x2+r4+^x6=(x+1x3)2,可满足题意；

(2)当好相当于2ab项时，/+/+：=(/+}2,可满足题意；

(3)当P与/相当于a与b,则需要求的是2ab项，贝博+/+2/=(无+/)2,可满足题意.

故答案为次；1.3

442X

【点睛】本题考查了完全平方式，以及单项式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

【题型4平方差公式的几何背景】

【例4】(23-24七年级•安徽六安•期中)如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形

状大小完全相同的梯形组成.

(1)用含人的代数式表示其中一个梯形的面积：;

(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面枳，由此，你能得到一个怎样的公式?

【答案】(l)j(a+b)(a-b)或[(标一炉)

(2)方法一：(。+匕)(。一匕)，方法二：a2-b2；公式：(a+b)(a—b)=标一非

【分析】本题主要考杏的是平方差公式的几何背景，整式的运用，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的

关键.

(1)根据梯形的面积公式求解即可；

(2)方法一：用(1)中梯形面积乘以4即可：方法二，用大正方形的面积减去小正方形的面积即可.

【详解】(1)解：根据题意得：梯形的面枳为一尸二二；(a+b)(a-b),

或：(a2-b2)+4=；(a2—b2)；

故答案为:；(a+b)(a-b)或：(小一非)；

44

(2)解：方法一：用梯形面积乘以4,即[；(a+b)(a-b)]x4=(Q+b)(a—b)：

方法二：用大正方形的面积减去小正方形的面积，即02一/.

【变式4-1](23-24七年级•浙江杭州•期中)两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，AB=a,。。=力.现

有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用Q,8表示为()

（图1）（图2）

A.4Q2-4b2B.4abC.a2—b

【答案】B

【分析】本题考查了整式的运算，设正方形②的边长为",正方形①的边长为y,由图1可得x+y=a,=

22222

b,即可得（无+y）（x-y）=abt得到/-y=ab,再由图2可得S阴影=4x-4y=4（x-y）=4ab,

即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键.

【详解】解—：设正方形②的边长为Y,正方形①的边长为y,

由图1可得，x+y=a,x-y-

.*.(x+y)(x-y)=ab,

即_y2=ab,

，S阴影=4x2-4y2=4(x2-y2)=4ab,

故选:B.

【变式4-2](23-24七年级.陕西咸阳•阶段练习)【知识生成】

(1)我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉

一个边长为b的正方形如图1,然后将剩余部分拼成一个长方形如图2.图1中剩余部分的面积为,图2

的面积为，请写出这个代数恒等式；

【知识应用】

(2)应用(1)中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知IP=(a+2m)(a—2m),Q=

(a+m)(a-m),比较P、Q大小；

【知识迁移】

(3)事实上，通过计算几何图形的体枳也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为工的正方体挖

去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式.

【分析】(1)分别用代数式表示图1,图2的面积即可；

(2)利用(I)中得到的等式计算P—Q的值即可；

(3)分别用代数式表示图3中左图和右图的体枳即可.

【详解】解:(1)图1中剩余部分的面积为a?-b2,

图2的面积为(a+b)(a-b),

所以代数恒等式为(a+bXa-b)=a2-b2；

(2)P=(Q+2m)(a-2m),Q=(a+m)(a-m),

•••P-Q=(a+2m)(a—2m)—(a+m)(a—m)=a2—4m2—(a2—m2)=-3m2

因为m是不为0的有理数，

所以一37n2vo,即p-Qvo,所以p〈Q；

(3)图3中左图的体积为xrr-1x1xx=x3-x,

图3中右图是长为x+1.宽为x,高为工-1的长方体，

因此体积为(％+l)-x(x-l),所以有“(%+l)(x-l)=x3-x.

【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，利用代数式表示

图形的面积和体积是正确解答的美键.

【变式4-3](23-24七年级.河南濮阳•阶段练习)如图1,边长为Q的大正方形内有一个边长为匕的小正方形.

(1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为;

(2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了•个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形

的面积为;(多项式乘枳的形式)

(3)比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式；

(4)结合(3)的公式，计算：①(4—2)(%+2)(公+4)；

②(1+3(1+3(1+9(1+白+为

【拓展】

直接写出Q+1)(22+1)(24+1)(28+1)…与32+1)+1结果的个位数字.

2222

【答案】(Da-/)；(2)(a+b)(Q—b)；(3)a-b=(a+b)(a-Z));(4)①/一16；②2；拓展:

6.

【分析】(1)用大正方形面积减去小正方形面积，即可得到图1中阴影部分的面积；

(2)由图1可知，长方形的长为a+b,宽为a-b,即可求出此长方形的面积；

(3)根据图1中阴影面积与图2反方形面积相等，结合(1)和(2)的结论，即可得到答案：

(4)①利用(3)中的整式乘法的公式直接计算，即可得到答案：

②将原式乂2(1-3变形，再利用(3)中的整式乘法的公式计算，即可得到答案；

拓展：将原式x(2-1)变形，再利用(3)中的整式乘法的公式计算，得到结果263再分析*结果的个位

数字4次为一个循环，进而得到264结果的个位数字，即为答案.

【详解】解：(1)由图1可知，阴影部分的面积为a?-垓，

故答案为：滔—人2：

(2)由图1可知，长方形的长为a+b,宽为a-b,

.•.图2中长方形的面积为(a+b)(a-b),

故答案为：(a+b)(a—b)；

(3)由题意可知，图1中阴影面积与图2长方形面积相等，

•••a2——=(Q+b)(a-b),

故答案为：a2-b2=(a+d)(a-d)；

(4)①。-2)(无+2)(/+4)

=(x2-4)(/+4)

=x4—16：

②(1+3。+£)(1+套)(1+盘)+会

=2（1-1）（1+1）（1+颉1+£）（1WKA

=2(1-1)(1+1)(1+1](1+1)+^

=2(】一台(1+白(1+磊)+白

=20-m(1+£)+击

=2。-击)+东

11

=2一天+萍

=2；

拓展：(2+1)(22+1)(24+1)(26+1)-(232+1)+1

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-(232+1)+1

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)-(232+1)+1

=(24-1)(24+1)(28+1)-(232+1)+1

=(28-1)(28+1)-(232+1)+1

=(216-1)(216+1)(232+i)+i

=(232-1)(232+1)+1

=264-1+1

=264,

•••21=2,22=4.23=8,24=16,25=32,26=64,27=128...

•••2n结果的个位数字4次为一个循环，

•••64+4=16,

・•.264结果的个位数字为6.

【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键.

【题型5完全平方公式的几何背景】

【例5】(23-24七年级・江苏扬州•阶段练习)我们知道，通过几何图形的面积可以表示一些代数慎等式.

例如：如图1得到(a+b)2=Q2+2Q/,+b2,基于此，请回答下列问题.

hAC

(1)【直接应用】

若《+y=3,x2+y2=5,贝by=.

(2)【类比应用】

若%(3-%)=1,则X2+(3—x)2=.

(3)【知识迁移】

两块完全一样的直角三角板(乙40B=4C。。=90。)如图2放置，其中A,O,。在一条直线上，连接

AC.BD.若4。=16,△AOC^LBOD^^ShAOC+ShB0D=68,求四边形力8co的面积.

【答案】(1)2

(2)7

⑶128

【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用：

(1)利用完全平方公式求解；

(2)利用完全平方公式将原式变形为[X+(3-切]2-2x(3-幻，即可求解.；

22

(3)设0A=0C=a,OB=0D=b,则a+b=力。=16,ShA0C+S^B0D=1a+|b=68,利用完全平

方公式的变形计算出ab,则SA.OB+SMOD=\AI)+"b=ab,由此可解.

【详解】(1)解：xy=1[(x+y)2-(x2+y2)]=1x(32-5)=2,

故答案为:2；

(2)解：x2+(3-x)2=[x+(3-x)/-2x(3-x)=32-2x1=7,

故答案为：7：

(3)解：设OA=OC=a,OB=0D=b,

22

由题意知，a+b=AD=16,S^A0C+S^B0D=^a+^b=68,

•••a2+b2=136,

:.ab[(a+b)2—(a2+b2)]=|x(162—136)=60,

•••S^AOB+S.OD=-ab+^ab=ab=60,

二四边形ABCD的面积=SAAOC+SABOD+S^AOB+SACOD=68+60=128.

【变式5-1](23-24七年级.江苏宿迁.期末)现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1,已

知点〃为力E的中点，连接FH,将乙纸片放到甲的内部得到图2,已知甲、乙两个正方形边长之和为

12,图2的阴影部分面积为10,则图1的阴影部分面积为()

DC

【答案】C

【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，设中正方形的边长为七乙正方形的边长为)，，根据题意得

(x4-y)2=144,(x-y)2=10,两式相加可得/+y?=77,在图1中利用两正方形的面积之和减去两个

三角形的面积，代入计算即可.

【详解】解:设甲正方形的边长为x,乙正方形的边长为y,

则4。=%,EF=y,AE=x+y=12,

/.(x+y)2=144,

C,x2+V+2xy=144,

•・•点〃为HE的中点,

：.AH=EH=6,

•・•图2的阴影部分面积为a-y)2=x2+y2-2xy=10,

A(x+y)2+(x-y)2=144+10,

：.x2+y2=77,

:.图1的阴影部分面枳为％24-y2-^x6-x-1x6-y=x2+y2-3(%+y)=77-3x12=41,

故选：C.

【变式5-2](23-24七年级♦浙江杭州•期中)在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片(长

为a，宽为A,a>b)搭成如图一个大正方形，面积为132,中间空缺的小正方形的面积为28.下列结论

中，不正确的有()

C.a2+b2=80D.a2-b2=64

【答案】D

【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，根据拼图得出，(a+b)2=132,(a-b)2=28,

再根据公式变形逐项进行判断即可.

【详解】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为a+4中间的小正方形的边长为上

/.(a+b)2=132,(a-6)2=28,

:.(a+b)2—(a—b)2=132—28,a2+2ab+b2=132,

.*.a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=104,

4ab=104,

1・ab=26,

.•・/+b2=132-2ab=132-2x26=80,

V(a4-b)2=132,(a—b)2=28,

[(a+b)(a—b)]2=(a+Z?)2(a—b)2=132x28=3696,

,:a>b,

'•a2—b2=(a+b)(a—b)=V3696H64,

故选项A、B、C正确，选项D错误，

故选：D.

【变式5-3](23-24七年级.安徽合肥・期中)某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式

(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图Q)的面枳关系来解释：图(1)的面积为(2a+b)(a+匕)，

222

各部分的面积之和为2a2+3ab+bf故(2a+b)(a+b)=2a+3ab+b.

⑴根据图(2)的面积关系可以解释的一个等式为；

(2)己知等式(无+p)(x+q)=/+⑴+q)%+请你画出一个相应的几何图形;

(3)请你设计一个几何图形,并解释：(a+b)(a-b)=Q2一接.

［答案］(l)(a+力尸=a2+2ab+b2；

⑵见解析；

⑶图见解析，解释见解析.

【分析】本题主要考查完全平方公式及多项式乘以多项式与几何图形的关系；熟练掌握完全平方公式是解题

的关键；

(1)利用正方形的面积公式即可证明.

(2)画一个长为x+p,宽为x+q的长方形即可；

(3)把边长为4的正方形中减去一个边长为〃的正方形后，拼成一个长为Q+b,宽为Q-b的长方形即可.

【详解】(1)解：在图2中，大正方形的边长为(a+6)2,

组成大正方形的5个部分的面枳和为小+2ab+b2,

所以有(a+b)2=a2+lab+b2,

故答案为:(a+b)2=a24-2ab4-b2：

(2)解：如图3所示:

q

图3

整体大长方形的长为4+p，宽为％+q，组成长方形的4个部分的面积和为％2+(p+q)%+pq,

因此有(x+p)(x+q)=/+(p+q)%+pq.

(3)解：如图4,

-a“

1*14

把边长为a的正方形中减去一个边长为的正方形后，拼成一个长为Q+b,宽为Q-b的长方形，

因此可以验证（a+b）（a—b）=a2—b2.

【题型6乘法公式的应用】

【例6】（23-24七年级•山东青岛•期中）已知长方形金鱼池的面枳为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池

相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是.

【答案】7

【分析】设金鱼池的长与宽各为。米和〃米，得ab=l,a+b=3,由完全平方公式变形得M+垓=（a+力产一

2ab,整体代入数据即可求解.

【详解】解：设金鱼池的长与宽各为。米和》米，得M=l,a+b=3,

由完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2得,

小+/=（。+匕）2-=32—2x1=9—2=7,

故答案为：7.

【点睛】此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形和完全平方公式灵活变式应用.

【变式6-1]（23-24七年级.湖南邵阳•期中）如图，某校一块边长为2am的正方形空地是七年级四个班的清

洁区，其中分给七年级（1）班的清洁区是一块边长为（a-2b）m的正方形.（0<2bVa）

七⑴七⑵

lam

七⑶七⑷

(1)分别求出七年级(2)班、七年级(3)班的清洁区的面积.

(2)七年级(4)班的清洁区的面积比七年级(I)班的清洁区的面积多多少？

【答案】(1)七年级(2)班、七年级(3)班的清洁区的面积均为(a+2b)(a-2b)=(a2-4b2)(m2)

⑵多8abm2

【分析】(1)根据图形可知：七年级(2)班、七年级(3)班的清洁区为长方形，通过2a-(a-26)=(a+2b)(m),

可求出对应的长，(a+2b)(a-2b)=(a2-4fe2)(m2),即可解答此题.

(2)由正方形的面积公式可得到:(a+2b>—(a-2d)2=a2+4ab+4b2—(a2-4ab+4b2)=8ad(m2)>

从而解答此题.

【详解】(1)解：(1)因为2Q-(a-2b)=(a+2b)(m),

所以七年级(2)班、七年级(3)班的清洁区的面积均为(a+2b)(a-2b)=02-4b2)(m2).

222222

(2)因为(a+2b尸-(a—2b)=a+4ab+4b—(a—4ab4-4b)=8ab(m)f

所以七年级(4)班的清洁区的面积比七年级(1)班的清洁区的面积多8abm2.

【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键.

【变式6-2](23-24七年级.浙江温州•期中)学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地力BCD上搭建一个表

演舞台，如图所示，正中间是“红五月''三个正方形平台.其中“五”字正方形和“月''字正方形边长均为。米，

“红”字正方形边长为8米.I号区域布置造型背景，II号区域设置为乐队演奏席.

B

(1)用含m》的代数式表示阴影部分的面积(即I和II面枳之和)并化简；

(2)若阴影部分的面积(即【和II面积之和)为288平方米，且a+b=20米，求“红”字正方形边长〃的值.

【答案】⑴2a2+4油

⑵16

【分析】(1)根据题意，分别表示出正方形空地ABCD的面积和“红五月”三个正方形平台的面积，相减即为

阴影部分的面积；

2

(2)根据阴影部分的面积求出a?+2ab=144,再根据Q+b=20,得到小+2ab+b=400,进而求得非=

256,即可求出正方形边长人的值.

【详解】(1)解：由题意可知，正方形空地A8CD的边长为2a+b,

•••正方形空地A8CD的面积为(2a+b)2,

•产红五月”二个正方形平台的面积为/十/十=2a2十b2t

••・阴影部分的面积为(2Q+b)?-(2a2+d2)=4a2+4ab+b2-2a2-b2=2a2+4ab；

(2)解：阴影部分的面积为288平方米，

2a2+4ab=288,

:.a2+2ab=144,

•••Q+b=20,

A(a+b)2=a2+2ab+b2=400,

b2=400-144=256,

vb>0,

•••b=16.

【点睛】本题考查了正方形的面积公式，列代数式，完全平方公式，平方根知识，根据题意正确得出阴影部

分的面积是解题关键.

【变式6-3](23-24七年级•广东佛山•期中)某楼盘推出“主房+多变入户花园”的两种户型.即在图1中边长

为a米的正方形主房进行改造.户型一是在主房两侧均加长b米(0<b<a).阴影部分作为入户花园，如

图2所示.户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园，如图3所示，设

户型一与户型二的主房面积之差为M,入户花园的面积之差为N.请计算M-N.

b

图1图3

【答案】-2b2

【分析】分别计算两种户型的主房面积，相减可得M,再计算两种户型的入户花园的面积，相减可得N,最

后计算M—N.

【详解】解：(1)M=a2-a(a-b)—a2-a2+ab—ab,N=(a+力)2-a2-b(a-h)=+lab+b2-a2-ah

+b2=ab+2b2,

Z.M-N=ab-（ab+2b2）=-2b2.

【点睛】此题主要考查了完全平方公式的几何背景和整式的混合运算，正确利用完全平方公式是解题关键.

【题型7乘法公式的证明】

【例7】（23-24七年级•辽宁沈阳•期末）如图，将大正方形通过剪、害k拼后分解成新的图形，利用等面积

法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（）

图③图④

A.®®B.®®C.①②③D.①②④

【答案】C

【分析】本题考杳平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示两个面积相等的部分是解决

问题的关键.

根据各个图形的拼图的面积计算方法分别用等式表示后，再进行判断即可.

【详解】图①的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面枳差，即。2一炉，拼成的如图阴影部分是底为

a+b,高为。一匕的平行四边形，因此面积为(a+b)(a-b),所以有a2-b2=(a+b)(a-b),所以图①可

以验证平方差公式；

图②的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a?-/,拼成的如图阴影部分是长为a+匕，

宽为Q—b的矩形，因此面积为(a+b)(a—b),所以有。2一匕2=(0+切(。一6),所以图②可以验证平方差

公式；

图③的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即/-川，拼成的如图阴影部分是底为Q+从

高为a—b的平行四边形，因此面积为(a+b)(a—b),所以有

a2-b2=(a+b)(a-b),所以图③可以验证平方差公式；

图④的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即(Q+b)2-(a-b)2，，拼成的如图阴影部分是

长为2a,宽为2b的长方形，因此面积为4ab,所以有(a+b/-(a-匕尸=4汕，所以图④不能验证平方差

公式；

综上所述，能验证平方差公式的有①②(⑨，

故选：C.

【变式7-1](23-24七年级•山西吕梁・期末)初中数学中很多公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行

直观推导和解释，如图，请你利用这个图形的几何意义证明某个数学公式.

⑴利用这个图形可以证明的数学公式是;

(2)在证明(I)中数学公式的过程中，渗透的主要数学思想是什么？

⑶请你写出完整的证明过程.

【答案】(I)平方差公式或(a+b)(a-h)=a2-b2

(2)数形结合

(3)证明见解析

【分析】本题考查/公式与几何图形的意义，数形结合思想，公式的证明.

(1)根据图形整体而枳等于各部分面积之和即可解答.

(2)根据数形结合思想解答即可.

(3)根据面积的意义，证明即可掌握面积法是解题关键.

【详解】(I)解：根据题意，得平方差公式或(。+匕)(。一匕)=d一匕2,

故答案为：平方差公式或(a+b)(a-b)=a?一匕2

(2)解：主要思想是数形结合思想.

(3)解：由题意可知:

长方形/18C。的长=Q+b,宽OC=Q-b,

'S矩形4BCD=4°•=(。+b)(a-b),

•・•长方形8GHM的长BM=a-b,宽MH=b,

・・・长方形BGHM与长方形FECD的面积相等，

•・5长方形48。。=$氏方形ABEF+S氏方形8G”M

=S正方形AGNF-S正方形MHNE)

・••5正方形46/7尸二。2'S正方形MHNE=b3

:.(a+b)(a-b)=a2-b2

【变式7-2](23-24七年级.江苏南京.期末)⑴求证：(a2+h2)(c2+d2)=(ac-bd)2+(ad+be)2.

(2)已知41x53=2173,证明2173是两个正整数的平方之和.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】本题考杳了整式的运算，解题的关键是：

(1)利用多项式乘以多项式计算左边，利用完全平方公式计算右边，然后验证即可；

(2)把41,53分别写成两个正整数的平方和,然后利用(1)中(彦+b2)(c2+d2)=(ac-M)2+(ad+be)2

求解即可.

【详解】证明：(1)二•左边=a2c2一卜a2d2+b2c2_卜b2d2,

右边=a2c2—2acbd+b2d2+a2d2+2adbc+b2c2

=G2c2+a2d2+b2c2+b2d2,

，左边二右边，

/.(a2+b2)(c2+d2)=(ac—bd)2+(ad+be)2；

(2)V41=16+25=42+52,53=4+49=22+72,

由(1)知：(a2+b2)(c24-d2)=(ac—bd)2+(ad+bc)2>

(42+52)(22+72)=(4x2+5x7尸+(4x7—5x2尸=432+182,

或(42+52)(22+72)=(4x2-5X7)2+(4X7+5X2)2=272+382

又41x53=2173,

A2173=432+182=272+382,

即2173是正整数43,18的平方之和或正整数27,38的平方之和.

【变式7-3](23-24七年级•山东聊城•期末)如图I,^ADC^,=90°,乙4、乙。、乙C的对边分别记为

小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形.

(1)在图2中，正方形CUE尸的面积可表示为二正方形〃KL的面积可表示为一(用含/〃的式子表示)

(2)请结合图2,用面积法说明(a+b)2,ab,(a-匕产三者之间的等量关系.

实验二：

小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形.他们根据面积法得到了一个关于边a、b.

c的等式，整理后发现，a2+b2=c2.

(3)请你用面积法证明:a2+b2=c2.

【答案】(1)(a+b)2,(a—b)2：(2)(a4-b)2=4ab+(a—b)2；(3)见解析

【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的变形是解题的关键.

(I)直接表示出正方形的面积即可解题;

(2)运用两种不同的方法表示正方形的面枳，然后整理解题；

(3)运用两种不同的方法表示图形的面积，然后整理即可.

【详解】解：(1)在图2中，正方形CDEF的面积可表示为3+匕)2,正方形〃KL的面积可表示为(a-8)2.

故答案为：(Q+/?)2,(Q—匕)2;

(2)由图可知：(a+6)2=8x[ob+(Q-6)2,即(a+6)2=4如+(a—b)2；

(3)选择是图3,正方形的面积为小+2x+b2=2x-rc2

即M+ab+b2=ab+c2,

：.a2+b2=c2.

【题型8由乘法公式求最值】

【例8】(23-24.江苏南通•二模)已知实数a,b满足a?+ab+b?=1,若p=ab+2a+2b,则〃的最小值

为.

【答案】-2

【分析】本题考查完全平方公式的运用、平方式的非负性，先利用完全平方公式将已知等式化为必=

(a+6)2-1,再将p=ab+2a+2匕配方为p=(a+d+l)2-2,利用平方式的非负性求解即可.

【详解】解：・・・a2+Qb+b2=i,

/.(a+b)2—ah=1,即ab=(a+b)2—1,

.*.p=ab+2a+2b

=(a+b)2—1+2(a+b)

=(a+b+1)2-2>—2,

当a+b+1=0时取等号，

••沙的最小值为一2,

故答案为:-2.

【变式8-1](23-24七年级.山东威海•期中)当多项式一为2一；％+；存在最大值时，x的值为_______.

24

【答案】

4

【分析】将该多项式配方，转化为非负性的形式即可；

【详解】解：-(X2+；%+，)+,+；=-(X+；)2+m

4q，xoXoQqJLo

V-（x+；）2<0

当《=-：时，原代数式有最大值，最大值为盘

416

故答案为：一］

4

【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握配完全平方式的方法是解题的关键.

【变式8-2］(23-24七年级.江苏常州.期末)已知：x+v=l2,则代数式3/+丁的最小值为.

【答案】108

［分析］根据题意把尸12-x代入式子中化简求最值即可.

【详解】解：由题意可得：y=\2-x,代入式子3/+产中，

3『+)，2

=3?+(12-x)2

=3『+144-24,V+『

=4?-24x+144

=(2x-6)2+108>108,

工婷+)，2的最小值为108.

故答案为：108.

【点睛】本题考杳的是完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键.

【变式8・3］(23-24七年级.全国•竞赛)已知实数a,b满足2a+6b=5,则a+3b的最大值为

【答案"

【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质.利用配方法和非负数的性质求解即可.

【详解】解：6b=5,

，a?—4Q+4+2Q+6b=9,

(a-2尸+2(a+3b)=9.

V(a-2)2>0

A2(a+3b)<9.

可得Q+3b<，，

・・・a+3b的最大值为之.

故答案为：?

【题型9乘法公式的规律探究】

【例9】(23-24七年级•宁夏银川期末)观察下列等式，并回答问题.

4xl=22-02,

4x2=32-

4x3=42-22,

4X4=52-32,

(1)洛2024写成两整数平方差的形式：

2024=4X=-

(2)用含有字母九(九21的整数)的等式表示这•规律，并用己学的知识验证这一规律.

(3)两邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由.

【答案】⑴506,5072,5052

(2)见详解

(3)相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由见详解

【分析】本题考查了实数的规律运算，平方差公式的应用，解题的关键是整理题目给出的规律.

(1)根据题意给出的规律即可求出答案：

(2)利用平方差公式的应用即可验证；

(3)根据题意列出式子即可求证.

【详解】(1)解：2024=4x506=507z-5052,

故答案为:506,5072,5052.

(2)由题意可知：4n=(n+I)2-(n-l)2(nNl的整数)，

证明：右边=(n+I)2-(n-l)2=[(n4-1)+(n-l)][(n4-1)-(n-1)]=2nx2=4n=左边;

(3)相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由如下：

设相邻的两个整数分别：Q,Q+1,

根据题意可知：(a+一M=(0+1++1-a)=2a+1,

VG>1的整数，

...2a+1为奇数，

・••相邻的两个整数的平方差不是4的倍数.

【变式9-1](23-24・辽宁大连•一模)如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第

2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第〃个图形比第(止1)个

图形多用了72个小正方形,

□H

第1个图形第2个图形

【答案】10

【分析】依次观察前几个图形以及正方形的个数，进而归纳得到拼成第九个图形需要(272-1)2个正方形，即

可得出结论.

【详解】第1个图形是一个小正方形；

第2个图形由9=(2x2