北师版八年级数学下册期末专项训练：分式方程及应用（含参数问题）

专题06分式方程及应用（含参数问题）

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题型1解分式方程（重点）题型5不等式与分式方程综合含参数解的问题（难点）

题型2已知分式方程的增根求参数的值（难点）题型6不等式与分式方程的实际应用（重点）

题型3已知分式方程无解求参数的值（难点）题型7分式方程有关的规律性问题（难点）

题型4已知分式方程的解的情况求参数的取值范围（难点）题型8分式方程中的新定义型问题（难点）

［题型通关•靶向提分

题型一解分式方程（共5小题）

1.（25-26八年级上•黑龙江鹤岗•期末）解方程

,21

（1）---=----；

x-4x+\

【答案】（l）x=-6

（2）分式方程无解

【分析】（1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果;

（2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果.

【详解】（I）解：去分母可得：2（r+l）=.r-4,

去括号可得：2A+2=x-4,

移顶可得：2x-x=-4-2,

合并同类项可得：x=-6,

检验，当x=-6时，（x-4）（x+l）^0,

，分式方程的解为x=-6；

（2）解：将方程整理可得：==-一1-2,

x-2x-2

去分母可得：1一1二一1一2（工一2）,

去括号可得：l-x=-l-2x+4,

移顶可得：-x+2x=-l+4-l,

合并同类项可得：x=2,

检验，当x=2时，x-2=0,

1

・••分式方程无解.

2.(25-26八年级上•湖南株洲•期末)解下列方程：

⑴」工；

x+12x+l

x8-i

(2)X^2-X(X-2)~•

【答案】(l)x=-2

⑵“4

【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键思想是去分母，把分式方程转化为整式方程，求

出解后再代入最简公分母检验是否增根.

(1)首先把方程两边同乘(x+D(2x+l),化为一元一次方程，可得：3U+l)=2x+l,解一元一次方程求出

工的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根；

2

(2)首先把方程两边同乘Mx-2),化为整式方程，可得：X-8=X(X-2),解整式方程求出”的值，再

把求出的解代入最简公分母检验是否增根.

13

【详解】(1)解：-

x+\2x+l

方程两边同乘(x+l)(2x+l),

可得：2x+l=3(x+l),

去括号可得：2x+1=3x+3,

移顶得：2x-3x=3-l,

合并同类项得：-x=2,

系数化为1得：x=-2,

检验：把x=-2代入(x+l)(2x+l),

可得：(x+l)(2x+l)=(-2+l)(-2x2+l)=3w。,

.•./=-2是原分式方程的解；

x8,

⑵解:口-而0="

方程两边同乘Mx-2),

可得：X2-8=A(X-2),

去括号得：X2-S=X2-2X^

移项得：x2-x2+2x=8.

合并同类项得：2x=8,

系数化为1得：x=4,

2

检验：把x=4代入x（x—2）,

可得：x(x-2)=4x(4-2)=4x2=8*0,

.••入=4是原分式方程的解.

3.（25-26八年级上•山东临沂・期末）解方程:

24

15

(2)—

23x-\6x-2

【答案】（I）无解

⑵甘

【分析】（I）先将方程两边乘（2x+l）（2x-l）转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的

根:

（2）先将方程两边乘2（31-1）转叱为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根.

2A

【详解】⑴解:

2x-l4X2-1

方程两边乘(2x+l)(2x-l),得2(2v+l)=4,

解得出

检验:当％时，(2x+l)(2x_1)=0,

所以,原分式方程无解;

315

⑵解：二不!=⑪

方程两边乘2（3工一1）,得3（3x7）-2=5,

解得尸与，

检验：当时，2（3X—1）HO,

所以，原分式方程的解为工=?

4.（25-26八年级上•湖南常德・期末）解方程:

I4

(1)——=——

x-2X2-4

2=5.

Q)--------1--------

3x-22-3x

【答案】（1）无解

3

4

(2)x=-

【分析】（1）先变形，再方程两边同乘（x+2乂/-2）,将分式方程化为整式方程求解即可:

（2）先变形，再方程两边同乘3x-2,将分式方程化为整式方程求解即可.

【详解】（1）解：

14

=

方程可化为口（x+2）（x-2）'

方程两边同乘（x+2）（x-2）,得x+2=4,

解得x=2.

检验：当x=2时，（x+2）（x—2）=0,

所以x=2是分式方程的增根,

所以原分式方程无解;

x2

(2)解:------1------=5,

3x-22-3x

v2

方程可化为，一不2=5

方程两边同乘（3%-2）,得x-2=5（3x-2）,

4

解得K二,，

4

检验：当x=,时，3x-2w0,

所以原分式方程的解是x=]4.

5.（25-26八年级上•江西宜春•期末）解方程

⑴*+

x-9x-3

x_3

Q）R一_（A-1）（X+2）'

【答案】（l）X=T

（2）无解

【分析】本题考查了解分式方程.

（1）方程两边同乘最简公分母5-3）。+3）,化为整式方程，解方程，并检验，即可求解;

（2）去分母方程两边同乘最简公分母*-1）。+2）,化为整式方程，解方程，并检验，即可求解.

3x

【详解】⑴解:~;1=1

X2-9x-3

方程两边同乘最简公分母*-3）*+3）,得：3+MX+3）=W_9

4

3+x~+3x=x2-9,

解得：x二T

当x=T时，*-3)*+3)工0.因此x=T是原方程的解.

x3

⑵解：h[i)a+2)

方程两边同乘最简公分母(x-D@+2),得：x(x+2)-(x-l)(,v+2)=3

x2+2x-(x2+x-2)=3,

解得x=l

当x=l时，(x-l)(x+2)=0,因此x=l是增根，原方程无解.

题型二已知分式方程的增根求参数的值(共5小题)

6.(25-26八年级上•河北石家庄•期末)关于x的方程丝2=2+」一有增根，则增根是___________,

X+lX+1

m=__________

【答案】x=-l-5

【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为0的

根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解，〃的值.

【详解】解：分式方程包的最简公分母为x+1,

X+lX+1

令分母x+1=0,

解得x=T,因此增根为x=—l,

方程两边同乘最简公分母x+1,亿为整式方程得：3x-2=2(x+l)+m,

将增根x=-l代入整式方程得：3x(-l)-2=2x(-l+l)4-,n,

解得〃?=一5.

7.(25-26八年级上•河南许昌•期末)若关于4的分式方程二■；+产=1有增根，则〃=________.

x-33-x

【答案】-1

【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到

x=±芸，分式方程有增根的条件是分母为零，则可得到关于〃的方程，解方程即可得到答案.

【详解】解：三十之=1

x-33-x

方程两边同时乘以工一3得2-(x+a)=x-3,

去括号得2-汇一1=工一3,

5

移项，合并同类项得-2戈=。-5,

解得”=

•・•原方程有增根，

/.x-3=0,即x=3

••一/,

2

:.d=-1,

故答案为：-1.

8.(25-26八年级上•河南周口・期末)若关于x的分式方程*x+4k=3有增根，则〃=________.

x-22-x

【答案】2

【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，先确定分式方程的增根，再将分式方程去分母化为整式

方程，把增根代入整式方程即可求出A•的值.

【详解】解：原方程可变形为展-一二=3,

x-2x-2

两边同乘最简公分母(x-2),得x-Z=3(x-2),

因为分式方程有增根，所以最简公分母x-2=0,即增根为x=2,

将x=2代入整式方程1一左=3(4-2),得2-A=3x(2-2),

即2-攵=0,

解得k=2.

故答案为；2.

9.(25-26七年级上.上海.期末)若关于1的方程上;有增根，则，〃的值为________.

x-4x+4-16

2

【答案】或22

【分析】本题考查了分式方程的增根.首先把分式方程化为整式方程3(X+4)+〃7(X-4)=2+",然后根据

分式方程有增根，得至Ijx-4=0或x+4=0,据此求出x=4或x=T,分别代入整式方程求出的值即可.

【详解】解：方程两边都乘以(X+4)(X-4),得

3(/+4)+"©-4)=2+〃?，

•••方程二7+1=与三有增根，

x-4x+4X"-16

:.x-4=0或x+4=0,

解得x=4或x=-4,

6

当x=4时，3（4+4）+"［（4-4）=2+"?,

解得川=22；

当工=-4时，3（T+4）+/w（-4-4|=2+m,

2

解得加=一§；

2

故答案为：-与或22.

10.（25-26八年级上•全国•期末）解分式方程2+J—=/一会产生增根，则加=_____.

x+11-x%--1

【答案】T0或T

【分析】本题考查了分式无解的情况.分式方程产生增根时，增根为使最简公分母为零的未知数的值，代

入去分母后的整式方程可求参数的值.

【详解】解：•・•-7+合一=4,

x+\\-xr一1

25_m

**7+T-7^7"（x-i）（x+i），

整理得2（x7）-5（x+l）=〃?，

化,简得一3x-7=/〃.

•・•解分式方程二7+—一=3会产生增根，

x+1l-xX-1

工工一1=0或x+1=0,

解得X=1或％=-1.

将x=1代入整式方程，得•，篦=3x17=10；

将x=-\代入整式方程，得〃?=_3x（T）_7=3_7=T.

故用的值为-10或T.

故答案为：TO或Y.

题型三已知分式方程无解求参数的值（共5小题）

11.（25-26八年级上•陕西延安•期末）若关于x的分式方程一三-2〃=兽无解，则。的值为

x-33-x

【答案】g或T

【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解。的值：一种是整理后整式方程中x的系数

为0,整式方程无解，此时原分式方程无解；另一种是整式方程有解，但解为原分式方程的增根，此时原

7

分式方程无解.

x3〃

【详解】解：*-24=3，

x-33-x

方程两边同乘最简公分母（x—3）,得x—加（x—3）=-3%

整理得（1—2a）x=-9。，

19

当1-方=0,即。=：时，方程左边为＞x=0,右边为-9。=-；=0,整式方程无解，因此原分式方程无

22

解，符合题意.

当1-2〃±0时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根.

分式方程的增根使最简公分母为0,即x-3=O,得x=3,

将H=3代入(I—2a)x=-9〃，得3(1-2a)=—9a,

解得。=一1.

综上，。的值为g或-1.

12.（25-26八年级上.山东日照.期末）若关于x的分式一一+」二二3无解，则a的值是______

2-戈x-2

【答案】1或3

【分析】本题考查分式方程的解法与恒等变形，分式方程的无解问题，分式方程无解的情况包括化简后的

整式方程无解或解出的根为增根，据此解答即可.

2ax

【详解】解:---+---=-3,

2—xx-2

2(IX

----+----=-3,即竺心=3,

x-2x-2x-2

整理得：（〃-3）x=T,

当4-3=0时，即。=3时,方程无解;

当叱3时，x=—,

4-3

若1=2,则二=2,解得4=1.此时x=2为增根，方程无解：

综上，a=l或。=3,

故答案为：1或3.

13.（25-26八年级上•陕西商洛・期末）若关于x的分式方程M；+W=2无解，则.

x-33-x

【答案】T

【分析】本题考查了解分式方程，关键是将分式方程化为整式方程后，讨论无解的条件；将分式方程化为

整式方程得到3x+/〃=8,把增根x=3代入求解”.

8

【详解】解：上；+产=2,

x-33-x

两边同乘x-3（工工3）得：

2-x-rn=2（x-3）,

整开!得2-x-m=2x-6,

移项得2+6=2x+x+ni,

即3x+/n=8»

解得x=手，

•・•分式方程无解时，

工根为增根，即%=3,

代入得3==%,

解得m=-\.

故答案为：-1.

1m2m+2

14.（25-26八年级上•河北邯郸•期末）若关于x的方程^^+工二=（.1）“_2）无解'则〃?为值

【答案】一1,-2,-43

2

【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题的关键.

分式方程无解的情况有两种：整式方程无解或整式方程的解为增根.先化为整式方程，再分别讨论系数为

0时整式方程无解，以及解为增根1或2的情况.

1m2m+2,、，、

【详解】解：方程二y+£i=（Li）（.2）两边同乘最简公分母（“一1）（、-2），得

（工-2）+-1）=2m+2

整理得（1+〃。工一（2+〃?）=2m+2

移项得（1+〃?）x=3”?+4

当1+加=0且3切+4=0时，整式方程无解

解得，片T；

当整式方程的解为增根时，原方程无解，

增根为x=l或x=2

若”=1,代入整式方程得

1+，〃=3〃?+4

9

3

解得m=

若”=2,代入整式方程得

2(1+"?)=3"?+4

解得〃?=-2：

3

综上，，〃的值为-1,――1—2.

15.(25-26八年级上•黑龙江大兴安岭•期末)若关于x的分式方程」不+-L-=一工无解.，则满足

x-2>+2x-\

条件的〃值为.

【答案】一1或-彳3

4

【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键.

分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是增根(使原方程分母为

零)，分别求解即可.

【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母(x-2)(x+2),得：

(x+2)+A(x-2)=3

整理得：

(14•少+(2-24)=3

移项得：

(l+&)x=1+2々

当1+2=0即k=-l时，

方程左边为0,右边为1+2(-1)=-1,即0=-1,矛盾，整式方程无解，故原分式方程无解，

1+2上

当1+人=0时，x=

1+我

若解为增根，则x=2或x=-2,

1।2〃

当A-2时，-----=2,解得2(l+A)=U2h即2十2左一1十24，得2=1,不成立，无解，

\+k

1121c

当x=-2时，Y^=-2,解得—20+2)=1+23即-2-2k=\+2k,整理得-4k=3,所以

&=-3[,此时解为增根，故原方程无解，

4

综上，满足条件的k值为-1或-：.

4

3

故答案为：T或一丁

10

题型四已知分式方程的解的情况求参数的取值范围（共5小题）

16.（25-26八年级上•江苏南通・期末）若关于x的分式方程」--3=4的解为正数，则〃?的取值范围是

x-l\-x

【答案】〃〉一3且用工一1

【分析】本题考查了解分式方程.熟练掌握解分式方程是解题的关键.

解分式方程得工=字，检验，将”=学代入工一1=当一1/0,解得，m^-1,由题意知

222

x=二'>0,计算求解.，然后作答即可.

2

【详解】解：」7一3二产，

x-\\-x

x-3（x-1）=-/«,

解得，工二等，

检验，将.r=代入x—1=字一1*0,解得,加力一1,

•・•分式方程=7-3=4的解为正数，

x-\I-X

.3+in

x=---->0,

2

解价，m>-3,

..m的取值范围为m>-3且m工一1,

故答案为；m>3且5K1.

1LQ

17.（25-26八年级上•山东临沂•期末）若关于x的分式方程二^+二^=一^有解，则太需满足的

x-2x+2x-4

条件是___________.

【答案】攵且攵~二

4

【分析】解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根.根据分

式方程无解的情况可知,分式方程有解需满足分母不为零n化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方

程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解.

1k3

【详解】解:-----+------=—;-----

x-2x+2z2-4

方程两边同乘（x+2）（x—2）,得（工+2）+攵（工一2）二3,

展开并整理，得（Z+l）x=24+1,

当1十A=O,即A=T时，方程无解,

11

，上工一1,

2Z+1

当人工一1时,x=-------

k+\

又；分母不为零，需工工2且XH-2,

检验增根：若方程有增根，则x=2或工=-2,

若工=2,代入整式方程(k+l)x=2攵+1,得2(4+1)=2攵+1,化简得2=1,不成匕所以解不可能是2,

若工=-2,代入整式方程得-2(2+1)=2八1,解得左=一,，故当上=-《时，方程产生增根，无解，

3

因此，分式方程有解的条件为攵工-1且女工-^.

4

18.(25-26八年级上•四川绵阳•期末)若关于％的分式方程==与宫的解为非负数，则实数。的最小

x-22-x

值为.

【答案】

1

【分析】本题考查分式方程的解，解分式方程得到解x=a-l,根据解为非负数和分母不为零的条件，确

定。的取值范围，进而求出。的最小值。

【详解】解：=r—1=//—2x

x-22-x

解得x=a-1,

,・•解为非负数,得a—1N0,即

又"2=0,

"K2,

•••"1工2,即。工3,

；・a21月.a。3,

故。的最小值为1,

故答案为：I.

19.(25-26八年级上•河南商丘・期末)己知关于上的分式方程一一+二==1的解为负数，则攵的取值范

x+\x+1

围是.

【答案】且

【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

先求出方程的解，再根据解为负数列不等式即可.

【详解】解：々+生牛=1,

X+lX+1

12

k+2x+k=x+\

2x-x=\-2k

1-22<0

由寇意知,

解得叱且E.

故答案为：且女工1.

2。.（25-26八年级上•山东临沂・期末）如果关于”的分式方程誓=1的解是正数,那么实数机的取值

范围是______

【答案】m>-\

【分析】本题考查了解分式方程，-元一次不等式.先解分式方程得到解x=〃?+l，再根据解为正数列不

等式，并考虑分母不为零的条件.

【详解】解：解方程生产=1，

x+1

去分母得2x-〃?=x+l,

解得x=/〃+l.

由于方程的解是正数，所以m+1>0,即〃?>-1.

又因为分母x+1工0,即工工一1,则"2+lw-l,解得加工一2,

综上所述，〃，的取值范围是小>-1.

故答案为：机>-1.

题型五不等式与分式方程综合含参数解的问题（共5小题）

八一23

21.（25-26八年级上•重庆・期末）若关于x的分式方程一^+「=1的解为非负数，关于了约一元一次

x-l1-x

y-1I>）'_3

不等式组.2有解且最多有3个整数解，则所有满足条件的整数攵的值的和是.

3v-Z:<l

【答案】22

【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式组，先解分式方程得到x与2的关系，根据解为非负数确定

%的范围；再解不等式组，根据有解且最多有3个整数解确定攵的范围；综合两个范围得到整数%的值并求

它们的和.掌握一元一次不等式组的整数解的定义以及分式方程的解法是解题的关键.

z-v-23

【详解】解：将分式方程+六=1去分母得：区—2-3=x-1,

x-lI-X

即（I）x=4,

13

•・•关于1的分式方程J+合一=1有解，

x-\\-x

工/w1且xwI,

解得：x=~r~i,

k-l

3

•・•关J”的分式方程Jkx-y+S-=1的解为非负数，

x-ll-x

44

/.x=--->0,」Lx=----#1,

k-1k-\

•」>1且Zw5,

•・•不等式组r2,

3y-y②

解不等式①，得：y>-h

解不等式②，得：）”号，

•・•关于y的一元一次不等式组，—>~有解且最多有3个整数解,

3y-k<\

...-4vZ<8,

综上所述，攵的取值范围是1<%<8且女工5,

・•・整数人可取2,3,4,6,7,且2+3+4+6+7=22,

，所有满足条件的整数攵的值的和是22.

故答案为；22.

22.（25-26八年级上•江西南昌•期末）若关于V的不等式组,3有且只有3个整数解，且关于工

4）：+1-/〃NO

的分式方程3-丁匚=」、的解为非负整数，则符合条件的所有整数〃?的和为___________.

1-xx-\

【答案】4

【分析】本题主要考查已知不等式组解集求参数，已知分式方程解求参数，先解不等式组，得到解集范

围，根据有且只有3个整数解，确定〃，的取值范围；再解分式方程，得到%关于〃?的表达式，根据解为非

负整数且不为增根，确定〃?的值；最后求满足条件的整数，〃的和.

【详解】解：解不等式组:

由广2<苫2得y<4；

由4y+1一川之0,得）'之一T-

4

14

所以不等式组的解集为-wy<4.

4

因为有且只有3个整数解，所以整数解为1,2,3,故。

4

解得1<〃区5,所以整数〃?的值为2,3,4,5.

解分式方程:

方程3-；=白化为3+々=9,

i-xx-】x-1X-1

解得X=竺

由解为非负整数且X±1.

所以二匚20且为整数，且竽工1，

33

即加>-211m+2是3的倍数且m*1.

4

当加=2时，x=§不是整数；

当加=3时，x=g不是整数；

当〃?=4时，x=2符合要求；

7

当次=5时，x=］不是整数.

所以符合条件的整数机只有4,故和为4.

故答案为:4.

23.（25-26八年级上•重庆渝北•期末）若关于％的不等式组36有且仅有3个整数解，且

4（x-2）<-2x4-a+l

关于y的分式方程弋一『二2有非负整数解，则所有满足条件的整数。的值之和是_____.

y-ii一

【答案】o

【分析】本题考查解不等式组和解分式方程，准确的计算是解决本题的关键.

先解不等式组，解得。取-3<〃W3的整数，再解分式方程，根据分式方程的解，确定。的取值范围，最后

综合两个取值范围，即可解题.

x.、x+5

-+!>----

【详解】解：-6,

4（x-2）<-2x+a+l

x>-l

a+9

x<---

6

•••不等式组有且仅有3个整数解,

15

,a+9

1<---<2,

6

••~3vciW3,

4vci—1

由题意得，「一^—=2

)，-1\-y

4yl”一7

>,-1)'T~

4y+a—7=2y-2

2y=5-a

解得），=?，

4Va—1

•.•关于）'的分式方程——二2有非负整数解,

有y-iwo,

解得丁制，即宁工上

；•4工3,

5-«>0

-a>-5

解得。45,且5—a为2的倍数，。为整数，

综上所述，”可取-1,1,

则所有满足条件的整数。的值之和是-1+1=0，

故答案为：0.

x+2<2r

24.（25-26八年级上•重庆淹南•期末）若关于x的不等式组"3无解，且关于工的分式方程

3x>m

4-X—1

「，-0」=3的解为非负数，则满足条件的所有整数〃?的和是_____.

x-33-x

【答案】-2

【分析】本题考杳解一元一次不等式组和分式方程的知识点，解撅关键是根据不等式和无解的条件和分式

方程解的非负性确定整数的取值范围.

先解不等式组，根据无解条件求出机的取值范围；再解分式方程，根据解为非负数且分母不为零求出，〃的

取值范围，最后求公共范围内所有整数的和.

x+2<^^-

【详解】解：解不等式组）~3：

3x>in

16

由x+2W《一得：x<-l,

由3x>tn得x>—,

•・•不等式组无解，

Ay>-1,即加之一3;

解分式方程々-k=3,

x-33-x

去分母得：如+3=3(x-3),

整理得：(〃?-3)%=一12.

解得：户二

〃?一3

•・•解为非负数且工―3/0,

-12-12

^>O,kL—^-3*0,

in-3m-3

解得：〃2<3月.〃7。一1.

，步的取值范围为:-3<m<3且mw-1,

・••满足条件的所有整数机为-3,—2,0,1,2,

满足条件的所有整数机的和为一3+(-2)+0+1+2=-2.

故答案为：-2

x-\11

--->-.r+-

25.(25-26八年级上.重庆.期末)若关于x的一元一次不等式组;；6的解集为x>4,且关于y

2X-—>x+l

I2)

的分式方程一4=2+：；—有正整数解，则所有满足条件的整数。的值之和是________.

【答案】-2

【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，读懂题意，正确解不等式组和分

式方程是做题的关键.首先根据不等式组的己知解集求出〃的取值范围，然后利用分式方程的正整数解求

出”的取值范围，最后结合两个条件即可得出答案.

【详解】解：解不等式组：

Y-111

解第一个不等式一〉;X+：,可得X>4,

236

解第二个不等式2(x4)>X+l,可得X>1+-

又•••不等式组的解集为x>4,

二•1十aS4,HPa<3：

17

解分式方程:

，5=2+F—可化为—^=2――三,

y-22-yy-2y-2

两边乘y—2（），工2）得，«=2（y-2）-3,即丁=等；

因为要求y为正整数且）心2,

所以5之1且5工2,即々之一5且a工一3,

22

同时a+7为偶数，故。为奇数，

结合a«3,可得满足条件的整数〃为-5、-1、1、3,

故和为—5+（—1）+1+3=-2.

故答案为：—2.

题型六不等式与分式方程的实际应用（共5小题）

26.（25-26九年级下•河南周口•期末）某农户购进甲、乙两种插秧机，已知甲比乙每小时多插I亩，甲插

18由与乙插12由时间相同.

⑴求甲、乙每小时插秧亩数；

（2）安排共10台机器，每小时完成不少于24亩，甲费用80元/台，乙60元/台，求每小时最少费用.

【答案】（1）甲每小时插秧3亩，乙每小时插秧2亩

（2）每小时最少费用680元

【分析】（I）设乙种插秧机每小时插秧x亩，则甲种插秧机每小时插秧（x+1）亩，列出分式方程即可求

解；

（2）设安排甲种插秧机，"台，则安排乙种插秧机。。-，〃）台，先由题意求出〃?的取值范围，再列出费用的

一次函数表达式，即可求解.

【详解】（1）解：设乙种插秧机每小时插秧x亩，则甲种插秧机每小时插秧（x+1）亩，

1Q17

由题意得，3=上，

x+lX

解得x=2,

经检验x=2为原方程解，

/.x+l=3,

・••甲种插秧机每小时插秧3亩，乙种插秧机每小时插秧2亩.

（2）解：设安排甲种插秧机，〃台，则安排乙种插秧机台，

18

3/w+2(10-w)>24

由题意得,

1O-/72>0

解得4«6410,

设费用为第，

由题意得，卬=80/7/+60（10-/7/）=20/??+600,

V20>0,

・•・川随〃］的增大而增大，

・•・当〃2=4时，猊用最少，最少猊用为20x4+600=680元.

27.（25-26八年级上•河北沧州•期末）商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个8玩具进价

多2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进8玩具数量的2倍.

（1）求A、8两种玩具进价分别为多少元？

⑵若A玩具每个售价为13元，8玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2

倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？

【答案】（1M种玩具进价为10元，8种玩具的进价为7.5元

（2）17个

【分析】（I）设B玩具进价为上元，则4玩具进价为（x+2.5）元，结合用200元购进4玩具的数量是用

75元购进8玩具数量的2倍，再建立方程求解即可；

（2）设购进入玩具〃?个，则购进B玩具数量为（2m+4）个，结合总的利润超过120元，再建立不等式求

解即可.

【详解】（1）解：设8玩具进价为x元，则A玩具进价为（x+2.5）元，

「Fk生/日20075.

由题意得：——=—x2

x+2.5x

解得：x=7.5

经校验x=7.5是原方程的解

x+2.5=7.5+2.5=10

・•"种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元.

（2）解：设购进4玩具，〃个，则购进B玩具数量为（2〃?+4）个，由题意得：

(13-10)m+(9.5-7.5)(2m+4)>120

解得〃7>16

机的最小值是17

19

所以最少购进A玩具17个.

28.（25-26八年级上•黑龙江双鸭山•期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注.小明家里计

划购置•辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和8款燃油车，已知8款车每千米行驶费用比4款车

多0.45元.

⑴两款车在相同路段且行驶里程相同时，入款车的总行驶费用为7.5元，8款车的总行驶费用为18.75

元.求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用；

（2）已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，3款车保险费：2900元/年，保养费：0.075jt1

千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？

【答案】⑴纯电动汽车的每千米行驶费用为0.3元，燃油车的每千米行驶费用为0.75元

（2）小明家年平均行驶里程超过9200Q?时，购买纯电动汽车比较划算

【分析】本题考查分式方程与一元一次不等式在实际购车费用问题中的应用，解题关键是根据“行驶里程

相同”“费用比较”等条件建立方程或不等式，理清费用的组成部分.

（1）根据两款车行驶里程相同，建立分式方程求解每千米行驶费用，注意分式方程解完后必须检验；

（2）根据年使用费用的构成（行驶费用+保险费+保养费），分别列出两款车的年费用表达式，再根

据“电动车更划算”的条件建立一元一次不等式求解.

【详解】（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为（白+0.45）元，

3g曰7.518.75

根据题意得：一=——，

aa+0.45

解得：a=0.3,

经检验，。=0.3是所列方程的解，且符合题意，

:.a+0.45=0.3+0.45=0.75,

答：纯电动汽车的每千米行驶费用为0.3元，燃油车的每千米行驶费用为0.75元.

（2）解：设小明家年平均行使里程为以利，

纯电动汽车的年使用费用为0.3x+6500+1230=（0.3x+7730）（元），

燃油车的年使用费用为0.75%+2900+0.075x=（0.825X+2900）（元）,

根据题意得：0.3x+7730v0.825x+2900,

解得：x>9200,

答：当小明家年平均行驶里程超过9200k〃时，购买纯电动汽车比较划算.

29.（24-25八年级上•四川绵阳•期末）“读万卷书，行万里路”，某中学组织学生赴三星堆旅游景区参加研

学活动.为了让学生切身体会到三星堆文化，研学基地特设了青铜器皿制作实践活动.活动中甲、乙两队

均需制作36件青铜器皿，已知乙队每小时比甲队多制作6件，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任

20

务所需时间的1.5倍.

⑴求甲、乙两队每小时各制作多少件青铜器皿？

（2）制作活动开始1小时后，张老师通知所有学生I小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下

的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要

多做多少件才能保证在乘车前完成任务.

【答案】（1）甲队每小时制作12件青铜器皿，乙队每小时制作18件青铜器皿

⑵不能，12件

【分析】（I）设甲队每小时制作x件青铜器皿，则乙队每小时制作（x+6）件青铜器皿，可列出关于x的分

式方程，解之经检验后，可得出X的值（即甲队的工作效率），再将其代入（x+6）中，即可求出乙队的工作

效率；

（2）求出甲、乙两队两小时可完成的工作量，将其与剩下的任务比较后，可得出如果速度保持不变他们不

能在乘车前完成任务，设两队合作后每小时需要多做y件才能保证在乘车前完成任务，根据两队要在乘车

前完成任务，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论.

【详解】（1）解：设甲队每小时制作x件青铜器皿，则乙队每小时制作（x+6）件青铜器皿，

根据题意得：—=-^-xl.5,

xx+6

解得：x=12,

经检验，x=12是所列方程的解，且符合题意，

.•./+6=12+6=18（件）.

答：甲队每小时制作12件青铜器皿，乙队每小时制作18件青铜器皿；

（2）解：第1小时甲、乙两队共制作：12+18=30（件），

总任务为36x2=72（件），

剩下的任务为72-30=42（件）.

合作时，甲、乙两队每小时共制作12+18=30（件），

因为30<42,所以他们不能在乘车前完成任务.

设两队合作后每小时需要多做y件才能保证在乘车前完成任务，

根据题意得:（12+18+y）xl>42,

解得：）后12.

所以y的最小值为12.

答：不能在乘车前完成任务，两队合作后每小时至少需要多做12件才能保证在乘车前完成任务.

30.（24-25八年级上•重庆北储・期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最

21

新购进的A、8两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的

青睐.已知A款电热毯的进价比8款电热毯的进价高g,且商场用8400元购进的4款电热毯的床数比用

4500元购进的B款电热毯的床数多20床.

（1）八、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？

⑵若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进

后，入、△两款电热毯均按高于进价的20%定价出售.若电热毯全部售完，设商场购进4款电热毯〃床，总

利