高考数学考点预测-解析几何中的定点定值最值问题（解析版）

第13讲解析几何中的定点定值最值问题

高考预测一：最值问题

类型一：弦长或面积问题

1.如图，已知抛物线6：/=2划的焦点在抛物线G：y=/+i上，点尸是抛物线G上的动点・

(I)求抛物线G的方程及其准线方程；

(】1)过点尸作抛物线G的两条切线，4、8分别为两个切点，求”48面积的最小值.

【解析】解：(I)抛物线。户2=2外的焦点(0,9在抛物线•：尸/+]上,

即有5=1,可得〃=2,

即有G的方程为f=4y,

其湮线方程为y=-l.

(H)设P(2f,J),A(x]♦必)，B(X2,y2).

必=x；+1,%=+1，

丁=/+1的导数为_/=2不，直线尸力的斜率为2苔，直线尸8的斜率为2占,

则切线尸4的方程:y—乂=2!(x-X]),

2

即y=2x1x-2^+必，又必=x,+],所以y=2X[X+2—y,

同理切线PB的方程为y=2X2X+2-)，2，

4戊1-必+2-7=0

又」%和P8都过P点，所以

4%一为+2-J=0

所以直线AB的方程为4d-y+2-5=0.

y=4/x+2—2.

联V.,得x~-4/4+广一1=0A,

y=x+\

~+*2二@|_1/(.x)2-4X=712/2+4,

所以x)%2=A+2XJ2

[x(gr2=/--1

所以|力4|=Jl+167-x,|=Vl+16/2V12/2+4.

点P到直线”的距离d=⑻7+2「门=6r^

J1+16厂J1+16/2

所以"AB的面积S=（|月例d=2（3/2+l）^3r+1=2（3/2+1户，

所以当"0时，S取最小值为2.即A/M4面枳的最小值为2.

2.已知椭圆=1（。＞〃〉。）经过点P。，乎），且离心率为当

（1）求椭圆C的方程：

（2）设直线/:y=x+〃?与椭圆C交于两个不同的点4,B,求AO/13面枳的最大值（。为坐标原点）

【解析】解：⑴，•椭圆。:》，=叱八。）经过点时务且离心率为日.

1

±ll

a2+b2=,Ra2=b2+c2,

c_yf2

2

解得/>=(?=1,

.•.椭I员1C的方程为三+/=1.

y=x+m

22

（2）联立《x，得3.d+4/〃工+2m-2=0,

y+r=1

△=16w2-12(2〃/-2)>0,即m2<3，

j02)

设,4区，乂)，B(&,y2),则X[+%2=一-/,V2=-j-

2

2w-2q4-3-机2

-^-]=

3

O到直线的距离"=翳,

:.AOAB面积:

设y=3w2一,则y'=6rn-4〃/，

3

由/=0,得〃？=0或m--

2

134-164

.•・当〃?=5时，ACMb面积取最大值SM

3.已知椭圆C：%/叱…)的长轴长是短轴长的近倍，且椭圆。经过点

(1)求椭圆C的方程；

(2)设不与坐标轴平行的直线/交椭圆。于M,N两点，|MN|=2&,记直线/在)，轴上的截距为加，

求〃？的最大值.

【解析】解：(1)由题意可知：2a=271x26,则/=%叱

将,4(2,奉代入椭圆方程：艰+》=1,解得：/=1,则/=8

桶圆。的方程：^+/=1：

o

(2)设直线/的方程为y=匕+加，设A/(Xj,m)，NG，y2).

X'2

~S+y=,整理得：(1+Sk2)x2+\6kmx+8w2-8=0,

y=kx+m

由△二(16A7〃)2-4X(1+8K)(8〃/—8)>0,解得：/<1+8/，

T6km8W2-8

、一吃二一百,中

则|MN|=百府石』=46氏%-I

1+On

.•.四正”五1.20,解得：—.比坐二蛇，r十|一，(。»则炉则

1+8左-4(K+1)

2-32/+84/-49

m=---------------------，

41

则〃，=21-(8/+竺)”21-1472=(714-5/7)2,即典，VT?-近，

4/

当且仅当&=竺，即/=述时，上式取等号，此时公=逑二则〃?2=7(3-2&),满足/<]+弘2,

4/888

・•.m的最大值为■-6.

4.已知椭圆G经过点P（百1）,且一个焦点为（-b,0）.过点（私0）作圆Y+/=i的切线/交椭圆G于力，

B两点、.

（I）求椭圆G的方程;

（II）将|44|表示为〃?的函数，并求|/用的最大值.

【解析】解：（I）由题意，设椭圆的方程为】v

十万=l[a>b>（））

a"

•.•椭圆G经过点尸（6,；），旦一个焦点为（-JJ,（））.

/.a2=4,b2=\

二.椭圆G的方程为三+丁=1；

4

（n）由题意知，|加|...1

当"1=±1时，切线/的方程为x=±l,此时|力例=6；

当|1时，设/为y=k（x-m），代入椭圆方程可得（1+4左2）x2-Sk2mx+4k2m2-4=0

Xk?m442〃/A

设,4、4的坐标分别为区，y）,（心，/），则再十工,='；―,X]X,=—；——^―

1+4K1+4K

与圆/+/=[相切，.*?=],即〃/标=r+[

VP7T

.•."例=TiTFX1区+吃）2-你居=4中I?=4c2（当且仅当〃?=±JJ时取等号）

w+3.।

1"1+「

力81的最大值为2.

5.已知椭圆的离心率为冬且过点停，当.椭圆。的左、右焦点分别为”，

过耳的直线交椭圆于3,。两点，过鸟的直线交椭圆于力，C两点，且4C上BD.

（I）求椭圆C的标准方程：

（2）求四边形48CQ面积的最小值.

【解析】解：（1）由e=/=?

求得2a1=3b2,

将点（当，乎）代入椭圆方程「■+/=1伍>6>0）可得京+2=1・

解得〃=2»/=3.

椭圆C的标准方程：—+^=1.

32

（2）（i）当8。的斜率k存在且£工0时，4力的方程为j，=A（x+l）,

代入椭圆方程工+匚=1,并化简得（3公+2）x2+6k”+3公一6=0.

32

设8（为，乂），D（X2,%），则「二；；二；

3K।Z3K।L

|BD|=Jl+公、入1-A2|=y/1+A?Ju1十八2>-4人/a=46《+D

3k+2

因为力C与4。相交于点尸，且力C的斜率为-所以，%|=4呵+1）.

k24+3

四边形ABCD的面积S=-gBD\\AC\=一24"、十—一..一?乙（内+1『—=”,

2（2A二+3）（3左2+2）产2+3+3-+2]225

当户=1时，上式取等号.

（ii）当8。的斜率％=0或斜率不存在时，四边形力4。。的面积S=4.

综上，四边形为8c。的面积的最不值为丝.

25

6.设圆/+/+2.丫-15=0的圆心为力，直线/过点以1,0）且与x轴不重合，/交圆片于C,O两点，过4

作4C的平行线交力。于点E.

（I）证明|£川+|£8|为定值，并写出点E的轨迹方程：

（II）设点£的轨迹为曲线G，直线/交C于"，N两点，过6且与/垂直的直线与圆4交于尸，。两点,

求四边形"PN0面积的取值范围.

【解析】解：（I）证明：圆/+/+2》一]5=0即为（X+1）2+/=16,

可得圆心4(-1,0),半径/。=4,

由8E//4C,可得NC=NEBD,

由,4C=40,可得/Z)=NC,

即为ND=NEBD,即有班=即,则|E4|+|E8|=|胡|+|即|=|彳。1=4>|46|,

故E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，

且有2。=4,即a=2,c=1»b=Ja2—c2二百，

则点E的枕迹方程为—+4-=900)：

43'

22

(II)椭圆G:?+g=I,设直线/:%=〃少+1,

由PQ_L/,设PQ:p=-Mx-l),

由产/ny+1可得⑶〃2+4)/+-9=0»

13x~+4v2=12

设”(内，必)，N(X2,外)，

—J-ZH6m

+y=--—y,y=-—9―,

23m+43m2+4

则|MN|=Vl+w2-\y,-y1=J1+比2-

2J、(/3?m+”4)+.3mT+.4

二百$6(4…二⑵X

3nr+43nr+4

A到P0的距离为d=_"7)=芸U

yj\+rn2+

|尸。|=27^7=2J16—也「坐山

1+"Vl+w2

则四边形面枳为S='I。。|-|MN|=■1.4.3〃厂+412.上匕

2

22yl\+m3"+4

-i

"2小=24—

j3〃L+413+

Y+m2

当阳=0时，S取得最小值12,又—1^>0,可得S<24•且=8石，

1+m~3

即有四边形MPN。面枳的取值范围是［12,梅.

22

7.已知椭圆N:—+广~=1(。>方>0)经过点C(O,1)，

a'b~2

（1）求椭圆N的方程;

（2）若点力、8在椭圆N上，且四边形是矩形，求矩形的面积S的最大值

b=\

【解析】解：（1）由题意可得—=,解得a=>>/?,b=c=\>

a2

222

a=b+c

故椭圆N的方程为］+y2=i.

（2）由题意知直线48不垂直于x轴时.，可设直线48:），=依+〃?，

y=kx+in

2??

由x,(1+2k)x-4kmx+2nt-2=0>△>0,

万+，=i

八//\c/、rn,i-4k77?2(〃/一1)

设力区，乂)，B(X2,y2),则须+w=77^7，中2口1“2

1+2A1+

又一CA=(x1,y1-1),CB=(x2,y2-1),

CA匿:B=xxx2+(必一1)(乃一】)=ON+(AX)+m-1)(Ax2+m-1)

2

Z1.2x2(w-1),zf、-4km.八

1।,r---------~7--------4V9p+4

m=--,x,-X21=yl(xi+J2)--4X,X2=-

DDi"1

设，9犬+4=z,/...2,贝ij%，=,

9

4)9公+4⑵

-^2-3lk2+\~lr+\

12r12-24/2

令/."）=E­=<0,

（2『+l）2

I力Q

"（，）=点彳在［2,y）上单调递增，.•.|x「wl2=/（2）/

设直线AB\y=kx-^^y轴交于点E,

4

•.•矩形CADB面积S=2sMsc=1CE|&x,-x2|=y|x,-x2|

二.矩形面积S的最大值为工，此时直线48:歹=」.

93

类型二：涉及坐标、向量数量积等问题

8.已知椭圆二十）户=1的左焦点为尸，。为坐标原点.

2

（/）求过点。、F,并且与椭圆的左准线/相切的圆的方程;

（〃）设过点/且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于力、B两点,线段力8的垂直平分线与x轴交「点G,求点

G横坐标的取值范围.

y个

:.c=\»F（-l,0）»/:x=-2.

•.•圆过点。、F,

圆心M在直线x=-，上.

2

设〃（-9），则圆半径y（-g）-（—2）|=g.

由得，一;>+»=1|,

解得E=±&.

...所求I员I的方程为（X+±I）2+（7±五L）2=2Q.

24

（〃）设直线48的方程为y=Ar（x+l）（人工0）,

代入三十丁=1,整理得（1+2产）/+4产x+242—2=0.

•••直线AB过椭圆的左焦点F，，方程有两个不等实根.

记,4区，乂），B（X2,8），力8中点N（Xo，%））,

则…=上，r-芈，……:/-

2公+102公十|九°2二+1

AB的垂直平分线NG的方程为了-％.

k

2k2

令y=0,得%=戈0+灯0=~+-----=—=——+

2r+12k2+12k2+\24/+2

•「AH0,「.—<<0»

2G

.,.点G横坐标的取值范围为（-g,0）.

9.已知点力（-1,0）,9（1,0）,动点P满足|P川+|P8|=2/,记动点尸的轨迹为曲线7,

（1）求动点。的轨迹7的方程；

（2）直线y=Ax+l与曲线7交于不同的两点C,D,若存在点以（见0）,使得|CM|=|OM|成立，求实数〃?

的取值范围.

【解析】解：（1）|4例=2,|。川+|28|=26>2,

.•.点P的轨迹是以彳，8为焦点的椭圆，

且c=1,a=>/5♦

:.b2=2,

曲线r的方程是二十仁二1.

32

（2）设C,。两点坐标分别为。区，必）、。（々，必），C,£>中点为N（x0,y0）.

由,得（3A二+2*+6Ax-3=0.

2V+3y=6

36公+12(3/+2)>0

-6k

/.X+X,=-----7,XX,=-----r

122+3A-2122+3公

£+2二」

二•Ji+为=k($+X)+2=

22+3人2+3k

1、一341、2

二%=5区z+々)=许，，。=az+/)=时

2+3左22+3k2

v|CM|=|DM|,

MN1CD,

=一_1（片。0）,韦达定理代入，化简得3〃法2+片+2〃?=0,

X。-mk

•.•△=21—24m2>o,解得一―且团包,

1212

当〃?=0时，女=0也满足题意.

综上所述，机的取值范围是（-哈，骼）

2

10.如图所示，椭圆c：/+匕=1（0＜加＜1）的左顶点为力，M是椭圆C上异于点力的任意一点，点P与点

m

力关于点M对称.

（［）若点。的坐标为（2，半），求〃?的值;

（II）若椭圆。上存在点〃，使得OP_LO”，求实数〃，的取值范围.

【解析】解：（I）依题意，M是线段力尸的中点,

因为力（-1,0）,尸（2,

5

所以点〃的坐标为g,芈）.

I|7

由于点M在椭圆。上，即有，+」土=1,

2525m

解得〃?=—；

2

(II)设〃(/，y)(-l<jr<l),则x：+"=l,①

00m

因为“是线段力尸的中点，所以0(2%+1,2打).

因为OPJ.OM,所以而_L两，

所以方题=0,即/(2%+1)+2"=0.②

由①，②消去比，整理可得帆=〃。；+%,

2%-2

w=1+________!________“i+।

2Cv0+2)+—-82伍-824

x()+2

当且仅当％=-2+时，上式等号成立.

所以m的取值范围是(0,4

11.已知"(4,0),N(l,0),若动点P满足而•而=6|丽

(1)求动点尸的轨迹C的方程；

(2)设过点N的直线/交轨迹C于4，B两点,若砺•丽，-弓，求直线/的斜率的取值范围.

【解析】解：(1)设动点P(x,y),

则诉=(x—4,y),丽=(一3,0),由=(l—x,—y)(2分)

由已知得一3(。-4)=6^/(1-，+(-,化简得3/+4/=12,即工+匕=1

43

.•.点P的轨迹是椭圆工+匕=1(6分)

43

(H)设过N的直线/的方程为歹=%(x—l),力(玉，乂)，B(x2iy2)

,y=k(x-1)

由v2，得(3+4-)/-8好工+4F-12=0(8分)

—+—=I

U3

8k2

X1+X2=--------7

•••加在椭圆内，.?+"(10分)

4犬一12

「拓仄方二($_1)52_1)+0==(1+1乂$_1)(/_1)=(1+1)囚以一(为+4)+1]=(1+公)44—2；8：：3+必.二一：(二*)(|2分)

J।HAJ।HA

18-9(1+A:2)12

""T"3+4r”-T

得L,A2„3

；.-6匕-1或1,,左,垂（14分）

高考预测二：定值问题

12.已知焦距为2"的椭圆中心在原点。，短轴的一个端点为（0,0）,点M为直线y=gx与该椭圆在第一

象限内的交点，平行的直线/交椭圆与4,B两点.

（I）求椭圆的方程;

（II）设直线的斜率分别为匕，k2,求证：k、+k1=O.

【解析】（/）解：设椭圆的方程为：捺+方=1,

2c2^/6,及q2=//+02,解得b=5/2»a=25/2.

由题意可得

h=yJ2

椭圆的方程为W+^=l.

82

1

v=­x

-2

v=2

（〃）证明:联立•—+^-=1,解得,即M(2,l).

82N=1

x>0

设直线/的方程为y=Lr+〃？.A\x{,必），B（X2»y2）.

i=\_

联＜'2'+，化为/+2〃?x+2〃?？-4=0,

X2+4y2=8

+x2=-2m,x]x2=2nr-4.

乂一1.8一1(乂一1)(占-2)+(8一1)($-1)

.•.&]+&=----+a-----=---------------------------,

X]-2x2~2(X,-l)(x2-1)

其分子=(；X]+1)(/-1)++w-l)(x,-2)

=XyX2+(m—2)(x(+x2)-4(w—1)

2m2—44-(m-2)(—2m)—4(w-1)

=0»

即k1+k2=0.

3已知椭圆。：》/小小。）的离心率为冬以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.

（1）求椭圆C的方程;

（2）如图，斜率为工的直线/与椭圆C交于力，4两点，点P（2,l）在直线/的上方，若乙iPB=90。,且直

线/<4,夕〃分别与y轴交于点M,N,求线段的长度.

【解析】解：（1）由椭圆的离心率e=£=J1-4=等，则。2=4/>2,

以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8,则2x,x2ax/,=8,则M=4,

解得：a=2-J2,b-V2,

则椭圆的标准方程为：「+!=1：

82

(2)设直线/的方程y=；x+〃？，A(xt,乂)，8(9,y2)»

1

jy=-x+"i

则，2,整理得：?+2/^+2/7?-4=0,

x-y-.

I82

△=(2/w)2-4(2/M2-4)>0,解得：-2<〃?<2,

2

$-x2=-2m>xxx2=2ni-4,

J-

x?一2

贝11“"+即8=2二^+8-1_(凹—1)小一2)+32-1)氏一2)

再-2x,-2(七一2)(X2-2)

则(5X+ni-l)(x2-2)+(―x2+m—l)(x,-2)»

=\x2+(m-2)(X[+x,)-4(w-1),

=2m2-4+(w7-2)(-2〃?)-4(ni-1)=0.

kpA+kPB=0,

由//P8=90。，则〃&=1,kPB=-\,

则APA/N是等腰直角三角形，则MN=2.》=4,

线段MN的长度4.

22

14.己知椭圆C：L+4=l（a>/>>0）的两个焦点分别为平-VIO），K（&,0）.点"（1,0）与椭圆短轴的两

a'b~

个端点的连线相互垂直.

（［）求椭圆。的方程；

（II）已知点'的坐标为（3,2）,点尸的坐标为（小，〃）（〃?工3）.过点M任作直线/与椭恻C相交于4,B

两点，设直线4V,NP,4N的斜率分别为与，k2,%,若勺+%=20，试求〃一〃满足的关系式.

【解析】解：（I）依题意，c=五,b-\,所以a=Jb?+d=y/3.

故椭圆。的方程为！•+j，2=l.…（4分）

X=1

解得…音

（11）①当直线/的斜率不存在时，由

-y+r=1

不妨设41,

2.逅2+如

因为4+%=-------+-------=2.又4+入=2k2,所以％=],

।J22।9/

所以W7,〃的关系式为~—=1>即"7-〃一1=0.…（7分）

m—3

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=k（x-［）.

2

将y=祐_1）代入方+j2=]整理化简得,（3k2+l）x2-6k2X+3/_3=0.

6k23k2-3

设,4（X|,乂），8区，%），则占+工2=左~-»XIX2=T?2~7•…（9分）

5K+15K+1

又弘=%（演—1）,y2-k（x2-X）.

所以

I女二口..仆―乂依一-《工）-以工三"（工

2=2->）（37）=[2---1）X3-“2-1*3=23（4A•&）—12_3+6>

马&

*'3-x,3-x?O-X,X3-X2>-3（x+1）49-3（/t4x?）*9容⑶悬+9⑵\6

（12分）

所以2匕=2,所以k、=°~—=1»所以〃1,〃的关系式为机-〃-1=0.…（13分）

-m-3

综上所述，/〃，〃的关系式为"L〃-1=0.…（14分）

15.已知椭圆+£=的两个焦点分别为片（-④，0）,0）,以椭圆短轴为直径的

圆经过点M（l,0）.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点M的直线/与椭圆。相交于力、6两点，设点N（3,2）,记直线力N,BN的斜率分别为人，k2,

问：K+刈是否为定值？并证明你的结论.

【解析】解：⑴•.•椭圆。：1+2=1（。＞方＞0）的两个焦点分别为斗-应，0）,F、电,0）,

ab~

以椭圆短轴为宜径的圆经过点M（l,0），

c=V2

-b=\,解得a=,b=l,

a2=b2+c2

椭圆C的方程为,+/=1.

（2）占+乃是定值•

证明如下：设过M的直线：y=&（x—1）=质—%或者x=l

①工=1时，代入椭圆，y=.,.令4（1,乎）,

2一如2+如

k.=-----,=-----./.k.+ky=2.

13-13-11-

@y=kx-k代入椭圆，（3k1+1）/-6Hx+（3二-3）二0

设,4（王，乂），8（.丫2，必）・

6k'3--3

则%+出=--——,X.X.=—;——

3A2十11-3我2十1

6k3…-2k

乂+y,=----2k=--——，

1-3公+13/+1

22

MJ'2=kA/-k区+x2)+k=-

JK+1

，h=2，

3-Xj

3-X2

6—3必-2X+xy+6-3y-2x,+xy_

----------=2---2=--{-------2=---------{2-=/•

(3-XJ)(3-X2)

高考预测三：定点问题

16.已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为n1,0）,力、4是椭圆。的左、右顶点，力是椭圆。上异于力、

8的动点，且根。8面积的最大值为0.

（1）求椭圆。的方程；

（2）是否存在一定点凤飞,0）（0<x0<V2）,使得当过点£3勺直线/与曲线。相交于力，8两点时,

为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.

|E川2

【解析】解：（1）设椭圆C的标准方程为£+4=15>8>0）.

a~b~

•.•41。4面积的最大值为&,「.3隹。前=&,即"=&.

ab=>1?.

联；/：<c=l,解得“=&,b=c=\.

a-=b'+c2

，椭圆C的方程为5+必=1.

（2）假设存在一定点以x0,（））（（）</<&）,使得当过点月的直线/与曲线C相交于力，“两点时,

嵩士卷为定值.

当/_Lx轴时，把X。代入椭圆方程可得/=(1-£)

112c4

・・n--、=---7X2=------7•

\EA\2\EB\22一片2—x；

当,与x轴不垂直时，设直线/的参数方程为为参数），代入椭圆方程可得：

y=ts\n0