2026年无锡市中考数学试卷（含答案及解析）

2026年无锡市初中学业水平考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上；认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合。2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的正确选项涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后再选涂。3.答主观题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）1.如果一辆汽车加油50L记作+50L，那么消耗油30L记作（）A.+80L B.－80L C.+30L D.－30L2A.x＞1B.x≥1C.x≠1 D.x＜13.随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎.截止2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人.数据602000000用科学记数法表示为（）4.体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11.这组数据的众数和中位数分别是（）A.8，9 B.9，9 C.9，8 D.11，95A.x＝2B.x＝－2C.x＝1 D.x＝36.将函数y＝3x－2的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（）A.y＝3x－4B.y＝3xC.y＝5x－2 D.y＝x－27.如下图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，若∠BAC＝30°，∠B'AC＝110°，则旋转角的度数是（）A.50°B.60°C.70°D.80°8.《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱.现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少?设浓酒x斗，淡酒y斗，则下列方程组正确的是（）A.x+y＝30，10x+50y＝2 C.x+y＝29.如下图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（－3，－1），点B在yA.x≤－3或x≥0B.x≤－1或x≥0C.－3≤x≤0D.－1≤x≤010.在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5点D在边AB上，将△ACD沿CD翻折，得到△A'CD.当A'C∥DB时，△A'CD与△BCD重叠部分的面积是（）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在题中的横线上）11.计算:∣12.因式分解:a13.窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美.如下图所示，某个窗棂图案的外框是正六边形，这个正六边形的每一个外角都等于度.14.命题:“若x＜1，则x2＜1.”是（15.在平面直角坐标系中，点A到原点的距离等于1.请写出一个符合条件的点A的坐标：.16.在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为30g的物体，弹簧长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：g）之间的函数表达式为y＝kx+9.若挂10g物体时弹簧的长度为11cm，则挂15g物体时弹簧的长度为cm.17.已知正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F是CE的中点，则DF＝.18.在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝5，点P在四边形ABCD内.如图1，PB，PD将该四边形分成两部分，面积分别记作S₁，S₂，则（填“存在”或“不存在”）点P，使得S1＝S2;如图2，将点P向右平移m（m＞0）个单位长度，得到点Q（点Q仍在该四边形内）.PB，PQ，QD将该四边形分成两部分，面积分别记作S₁，S₂.若存在点P，Q，使得S三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本小题满分8分）（1）解方程:x（2）计算:x+y20.（本小题满分8分）21.（本小题满分10分）如下图，在矩形ABCD中，点E，F在AD上，AE＝DF，BE，CF的延长线相交于点G.（1）求证:△ABE≌△DCF;（2）求证:△BCG是等腰三角形.22.（本小题满分10分）一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同.甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球.（1）求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）；（2）有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）?23.（本小题满分10分）某校积极开展劳动教育，鼓励学生动手实践、磨炼意志.为了解本校学生参加家务劳动情况，现对八年级学生一周参加家务劳动时间（单位：min，按整数计）进行抽样调查，并把所得数据进行整理和分析，部分信息如下：一周参加家务劳动时间的频数分布表一周参加家务劳动时间的扇形统计图组别劳动时间t/min频数A140≤t＜1603B160≤t＜180mC180≤t＜200nD200≤t＜22018E220≤t＜2409请根据以上信息，解答下列问题：（1）m＝;y＝;（2）学校建议八年级学生每周参加家务劳动时间不少于3h.已知该校八年级共有600名学生，请你估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3h的人数；（3）请结合数据对该校八年级学生一周参加家务劳动时间的情况作出评价.24.（本小题满分10分）如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC.（1）尺规作图：在AC上确定点D，使点D到A，B两点的距离相等；在AB的下方确定点E，使得四边形AEBD是菱形（不写作法，保留痕迹）；（2）在（1）的条件下，若BC＝4，AD＝3CD，求菱形AEBD的周长（请直接写出答案）.25.（本小题满分10分）如下图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点B的切线交AD的延长线于点C，AD＝DC＝1.（1）求BC的长;（2）求图中阴影部分的面积.26.（本小题满分10分）综合与实践——丢沙包中的数学【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励.小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动.【活动过程】活动1：发现模型兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）.活动2：应用模型（1）如下图，小红丢沙包时的出手高度为1.5m，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为10m.沙包在距离出手点的水平距离为3m时达到最高点，最高点距离地面2m.请通过计算说明沙包能否正好命中靶心.（2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面1m.小红出手高度仍为1.5m，出手点与靶心的水平距离仍为10m.小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为4m时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心.求沙包达到最高点时距离地面多少米.27.（本小题满分10分）如下图，点比例函数的图象相交于点D（其中k₁，k₂为常数，且k（1）若点A（3，5），AB＝2，则k（2）若点A的横坐标为2，且△ABC∽△CAD，求k₁与k₂之间的数量关系.（3）延长CB，DA相交于点P，当点A在函数图象上运动时，△PCD的面积是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

28.（本小题满分10分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上.若BD＝DE＝EC，则称线段DE是△ABC中∠A所对的“等截线”.【初步感知】（1）如图1，已知DE是△ABC中∠A所对的“等截线”，∠BDE＝150°，∠DEC＝120°，求tanC的值（请直接写出答案）.【概念应用】（2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BC＝2，求∠A所对的“等截线”的长度.【深入探究】（3）小明探究发现：任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在.如何画出“等截线”?他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以△ABC为例（AB＜AC＜2AB），画出∠A所对的“等截线”的部分步骤如下.画法图形①在AB上适当的位置取点P，作直线PK‖AC，PK交②在PK上截取PQ＝PB，，连接BQ并延长，交③在KC上取点M，使得QM④作CN‖QM，CN交…请你根据以上信息，说明步骤④中的CN的长度即为∠A所对的“等截线”的长度.2026年无锡市初中学业水平考试数学答案及解析一、选择题1.D2.C3.C4.B5.A6.B7.D8.D9.C10.C二、填空题11.3 12.a（b+2）（b－2） 13.60 14.假15.答案解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）1.如果一辆汽车加油50L记作+50L，那么消耗油30L记作（）A.+80L B.－80L C.+30L D.－30L【答案】D【详解】解:∵加油50L记作+50L，∴消耗油30L记作－30L.2A.x＞1B.x≥1C.x≠1 D.x＜1【答案】C【详解】解：∴x－1≠0，∴x≠1.3.2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人.数据602000000用科学记数法表示为（）【答案】C【分析】科学记数法的标准形式为a×10ⁿ，需要满足1≤|a|＜10，n为整数.题中数据602000000的小数点向左移动8位，可以得到a＝6.02，此时n＝8，即可求解.【详解】解:602000000＝6.02×10⁸.4.体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩(单位：个)为8，9，9，10，11.这组数据的众数和中位数分别是()A.8，9 B.9，9 C.9，8 D.11，9【答案】B【详解】解:∵数据8，9，9，10，11中9出现次数最多，∴众数为9.∵将数据从小到大排列后，第3个数据为9，∴中位数为9.5A.x＝2B.x＝－2C.x＝1 D.x＝3【答案】A【详解】解:方程两边同乘x(x+1)，得3x＝2(x+1)，去括号，得3x＝2x+2，移项、合并同类项，得x＝2，检验:当x＝2时，x(x+1)≠0，∴x＝2是原分式方程的解.6.将函数y＝3x－2的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为()A.y＝3x－4 B.y＝3xC.y＝5x－2 D.y＝x－2【答案】B【详解】解:将函数y＝3x－2的图象向上平移2个单位长度，得y＝3x－2+2＝3x.7.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，若∠BAC＝30°，∠B'AC＝110°，则旋转角的度数是()A.50° B.60° C.70° D.80°【答案】D【分析】绕点A旋转，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即∠BAB'或∠CAC'.因为已知∠B'AC和∠BAC的度数，所以先计算∠B'AB的度数，即两个角的差.依据旋转角的定义，该差值即为所求旋转角.【详解】解:∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是∠BAB'.∵∠BAC＝30°，∠B'AC＝110°，∴即旋转角为80°.8.《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱.现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少?设浓酒x斗，淡酒y斗，则下列方程组正确的是（）A.x+y＝30C.x+y＝2【答案】D【分析】设浓酒x斗，淡酒y斗，根据“买酒总斗数为2斗，总钱数为30钱”列出方程组即可.【详解】解：设浓酒x斗，淡酒y斗，根据题意，得x9.如下图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（－3，－1），点B在yA.x≤－3或x≥0B.x≤－1或x≥0C.－3≤x≤0D.－1≤x≤0【答案】C【详解】解：∵对于二次函数y＝ax2+bx+ca0)，令x∴二次函数y＝ax2+bx+ca0)∵对于一次函数y＝mx+n，令x＝0，则y＝n，∴一次函数y＝mx+n的图象与y轴的交点为(0，n)，∵两个图象交于A，B两点，已知点A(－3，－1)，点B在y轴上，c＝n.则不等式ax2+bx-mx≤0即a∴有图象可得，它的解集是－3≤x≤0.10.在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5点D在边AB上，将△ACD沿CD翻折，得到△A'CD.当A'C∥DB时，△A'CD与△BCD重叠部分的面积是（）【答案】C【分析】先根据由勾股定理求出AB＝3，再由翻折的性质得A'C＝AC＝2，设A'D与BC交于点ES【详解】解:在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC由勾股定理得A由翻折的性质得A'C＝AC＝2，∠A'CD＝∠ACD，A'D＝AD∵A'C∥DB，∴∠A'CD＝∠ADC，∴∠ACD＝∠ADC，∴AD＝AC＝2，∴A'D＝2，BD＝AB－AD＝3－2＝1，设A'D与BC交于点E，∵A'C∥BD，∴∠A'＝∠BDE，∠A'CE＝∠B，∴△A'CE∽△DBE，∴∴∵△CDE与△A'CD同高(顶点为C，底边在A'D上)，∴∵△ACD与△ABC同高(顶点为C，底边在AB上)，∴又∴由翻折得∴即二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在题中的横线上）11.计算:∣【答案】3【详解】解:原式＝1+2＝3.12.因式分解：a【答案】a(b+2)(b－2)【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式【详解】解：a13.窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美.如图所示，某个窗棂图案的外框是正六边形，这个正六边形的每一个外角都等于度.【答案】60【分析】根据任意多边形外角和恒为360°，正多边形的所有外角都相等，用外角和除以边数即可得到单个外角的度数.【详解】解：∵任意多边形的外角和为360°，正六边形的6个外角大小相等，∴正六边形的每一个外角度数为360°÷6＝60°.14.命题:“若x＜1，则.x2＜1.【答案】假【分析】判断命题真假，只需找到满足题设条件但不满足结论的反例即可推出结果.【详解】解:取x＝－2，∵x＝－2满足x＜1，∴不满足x∴存在反例说明原命题不成立，原命题是假命题.15.在平面直角坐标系中，点A到原点的距离等于1.请写出一个符合条件的点A的坐标：【答案】(1，0)(答案不唯一)【分析】根据点到原点的距离条件，推导出点横纵坐标满足的关系式，任取一组满足关系式的值即可得到结果.【详解】解:设点A的坐标为(x，y)，∵点A到原点的距离等于1，∴令x＝1，代入等式得y＝0，满足条件，因此符合要求的点A坐标可以为(1，0).16.在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为30g的物体，弹簧长度y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：g)之间的函数表达式为y＝kx+9.若挂10g物体时弹簧的长度为11cm，则挂15g物体时弹簧的长度为cm.【答案】12【分析】根据已知x＝10时y＝11，代入给定函数式求出系数k，再代入x＝15计算对应y的值即可.【详解】解：∵挂10g物体时弹簧的长度为11cm，∴将x＝10，y＝11代入函数式，得11＝10k+9，解得k＝0.2，∴函数表达式为.y＝0.2x+9(0≤x≤30).将x＝15代入函数式，得y＝0.2x15+9＝12，即挂15g物体时弹簧长度为12cm.17.已知正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F是CE的中点，则DF＝.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，写出各点坐标，得到中点F的坐标，再利用勾股定理计算DF的长度.【详解】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，∵正方形边长为2，∴A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2);∵E是AB的中点，∴E的坐标为(1，0)，∵F是CE的中点，C(2，2)，E(1，0)，∴∵D(0，2)，∴18.在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝5，点P在四边形ABCD内.如图1，PB，PD将该四边形分成两部分，面积分别记作S₁，S₂，则(填“存在”或“不存在”)点P，使得S1＝S2;如图2，将点P向右平移m(m＞0)个单位长度，得到点Q(点Q仍在该四边形内).PB，PQ，QD将该四边形分成两部分，面积分别记作S₁，S₂.若存在点P，Q，使得S【答案】 存在 0【分析】连接BD，过点P作MN∥BD，分别交CD，BC于点M，N，求梯形ABCD的面积，可得三角形BDP的面积，进而确定点P的轨迹并算出点P到BD的距离；通过分析临界情况利用梯形面积公式根据题意列方程，求解即可得出m的取值范围.【详解】解:如图，在图1中连接BD，过点P作MN∥BD，分别交CD，BC于点M，N，∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是直角梯形，∵AD＝3，AB＝4，BC＝5，∴∴∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝5，∴当S在Rt△ABD中，BD∴∴存在点P，使得S此时点如图，在图2中考虑临界情况，当点P在AB上的点P'处，点Q在CD上的点Q'处时，设P'Q'＝x，若解得∴解得x1＝∴三、解答题19.解:（1）因为a＝1，b＝－3，c＝1，所以b2-4ac＝5……………………所以所以（2）原式＝x2+2xy+y＝2x2+20＝＝当21.证明:（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC………………….（4分）在△ABE和△DCF中，∵AB＝DC，∠A＝∠D，AE＝DF，∴△ABE≌△DCF………………….（6分）（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠ABE＝∠DCF……………………（8分）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠GBC＝∠GCB.∴△BCG是等腰三角形. （10分）（1）23. （3分）22.解:22.解:（2）列表如下：乙甲红1红2白红1（红₁，红₁）（红₁，红₂）（红₁，白）红2（红₂，红₁）（红₂，红₂）（红₂，白）白（白，红₁）（白，红₂）（白，白）（8分）由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种.⋯（9分）所以因为所以这个游戏规则对甲、乙双方不公平. （10分）23.解:（1）615% （4分）【解题过程】因为样本容量为3÷5%＝60，所以m＝60×10%＝6;y＝9÷60×100%＝15%.（2）600×（1－5%－10%）＝510（人）.所以估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3h的人数为510. （8分）（3）该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3小时的人数大约占总人数的85%，人数较多，所以该校八年级学生大多数能够积极地参加家务劳动……………..（10分）24.解：（1）如下图即为所求作.………………6分（2）122………………………….（10分）【解题过程】设CD＝x，则AD＝3CD＝3x，∵DB＝DA＝3x，∠ACB＝90°，BC＝4，∴在Rt△BCD中，B即42+x2＝3x∴∴菱形AEBD的周长为4BD25.解:（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠BDC＝90°………………………..（2分）∵BC与⊙O相切于点B，∴AB⊥BC.∴∠ABC＝90°.……………………..（4分）∵AD＝CD＝1，∴∴在Rt△BCD中，…………………（5分）（2）连接OD，∵AD＝CD，OA＝OB，∴∵∠ABC＝90°，∴∠BOD＝90°.………………（9分）∴（26.解：（1）建立如图1所示的平面直角坐标系.由题意得，图象的顶点坐标是（3，2），过点（0，1.5）.设y＝a1x-32把x＝0，y＝1.5代入.y解所以所以当y＝0时，x1＝9，x2＝-3因为9≠10，所以沙包不能正好命中靶心…………………………（5分）（2）建立如图2所示的平面直角坐标系.由题意得，图象过点（0，1.5），（10，1）.设 y＝a2x-42把x＝0，y＝1.5;x＝10，y＝1分别代入y解得所以沙y取最大值k）…………………….（10分）27.解:（1）5…………………….（3分）【解题过程】∵AB∥x轴，且A（3，5），AB＝2，∴B（1，5）（关键:求出点B的坐标）.把点（2）∵点A的横坐标为2，∴∴（技巧:AB∥x轴，CD∥x轴，则点A与点B的纵坐标相等，点C与点D的纵坐标相等；AC∥y轴，则点A与点C的横坐标相等）.∴∵△ABC∽△CAD，∴∴∴k1k2＝16.（3）△PCD的面积是定值.[第1步，设点A的坐标，表示出点B，C，D的坐标]如图∴[第2步，求AB，AC，CD，并得到AB∴∴解法一：[第3步，求得梯形ABCD的面积，根据相似三角形的性质求得结果]∴易证△PBA∽△PCD.∴∴解法二：[第3步，设点P的纵坐标