高一数学复习：三角恒等变换技巧基础过关必刷题

高一数学复习考点知识与题型专题讲解

专题强化训练二：三角恒等变换技巧基础过关必刷30题

一、单选题

1.(2022•全国•高一)已知a£(0,午)，p£俏,兀)，若S(a+p)=-j,cosp=-^,则加a

的值为O

•4・1B,SC-SD-S

2cos3X+2cos2X-2cos2-

2.(2022•四川・成都外国语学校高一月考(文学已知函数f(x)=_________________1

2cos2-

2

则函数f(x)的最小正周期是()

A.九C.2KD.4冗

2

41-tan-

3.（2022・全国・高一课时练习）若cosa=-j。是第三象限的角，则----十=（）

31+tan-

2

A.2B.-2D.4

4.（2022・全国・高一课时练习）计算“巾82Tan22=（）

l+tan82tan22

A.-IB.IC.同.-y/3

5.(2022•全国-高一课时练习)函数/(x)=cos(dcos(Kj-®^詈“+冬则人外

的最小正周期和最大值分别为()

A.兀，;B.兀，;C.2n,-~~—D.2兀,"

4222

6.(2022•河北•张家口市第一中学高一月考)设a,P均为锐角，且

sin(a+p)+sin(a-p)=^-,则丁嘤一的最大值是()

cosa1+sina

1/19

A.V2B.—C.2D.2〃

2

7.（2022•北京•101中学高一期中）函数/（x）=2sinx-cos2x在区间［0,2九］上的零点个数

为（）

A.2B.3C.4D.5

8.（2022•安徽•合肥百花中学高一期末）设函数/⑴二瓜in2x-cos2x,则下列结论错

误的是O

A./*）的一个周期为一兀

B.y=/（x）的图像关于直线户小对称

O

C.尸/3的图像关于点修，0）对称

D."X）在10,2兀］有3个零点

3.（2022•上海•上外浦东附中高一期中）若＜牛，则加+邛+”等于（）

22V22V22

A-On"•0n0

A.sin-B.cos-C.-sin-I）,-cos—

4444

10.（2022•江苏省前黄高汲中学高一月考）若广警=2021,则」^+tan2a的值为（）

I-tanacos2a

A.2019B.2020C.2022D.2022

二、多选题

11.（2022•全国•高一课时练习）下列三角式中，值为1的是（）

/\

A.4sinl50cosl5°B.2cos2--sin2-

\66）

c2tan22.5°［l_i'n

l.；----2ccsD.4I-+-COS-

l-un-22.5oV226

12.（2022•全国•高一课时练习）设函数/（x）=sin2x+，|+cos2x+^-,则（）

A.y=/*）的最小值为一正，其周期为兀

2/19

B.y=/(x)的最小值为-2,其周期为六

C.y=在(。丹］单调递增，其图象关于直线犬二千对称

1214

D.y=/(x)在«吟)单调递减，其图象关于直线X4对称

13.(2022•江苏•吴江汾湖高级中学高一月考)下列式子结果为行的是()

①tan250+tan350+Gtan25°tan35°；

^)2(sin35°cos25°+cos35°cos650)；

1+tan15°

③

1-tan15°

^l+tanl5°,

A.①B.②C.③D.④

14.(2022•江苏•吁胎县都梁中学高一月考)关于函数/")=cos(2xj)+cos(2x+能

有下列说法：其中正确说法的是()

A.y=的最大值为6；

B.y=/G)是以兀为最小正周期的周期函数；

C.y=/3在区间信，贵)上单调递减；

D.将函数y=〃cos2x的图象向左平移台个单位长度后，将与已知函数的图象重合.

24

15.(2022•江苏沐阳•高一期中)已知函数/(x)=sin2x+26sinxcosx-cos。，AGR,则

卜.列结论正确的有()

A.-2"(上2

B./(x)在区间(。，兀)上只有1个零点

C./5)的最小正周期为汽

D.若g(%)=/(x),xe则g(x)单调递减区间为卜号-会和件/J

16.(2022•河北安平中学高一月考)已知函数小)=出卜in平吐通则下列说法正确的是

3/19

（）

A.f（x）的图象关于点你0）中心对称

B.75）在区间作了]上单调递减

C./（力在（0,2兀）上有且仅有1个最小值

D./（3）的值域为卜1，2]

三、填空题

17.(2022•全国•高一课时练习)化简sin(a+60°)+2sin(a-60°)->/3cos(120°

一a）的结果是_____.

18.（2022•全国•高一课时练习）化简：.

cos2a

19.（2022•全国•高一课时练习）已知cosO=Y，且1n90＞，则❶2八，的值为_____

51-«0

20.（2022•全国-高一课时练习）化简J2cos8+2-2&将7=______.

(1石11+tan220°

21.（2022・江苏如皋・高一月考）计算:+------

\sin70°cos70°/1-tan'20°

四、解答题

cos2x

22.（2022•全国-高一课时练习）已知sin：2cos：=().求assin（一）的值•

23.（2022•全国•高一课时练习）(1)求(1+tanio)(l+tan44。)的值;

(2)求(1+3口1。)(1+12112。)(1+匕113。>一(1+61144。)(1+121145。)的值.

24.（2022•全国・高一课时练习）化简:

7T

(1)sin彳一xbin一+X

14

4/19

(2)cosA+cos(120°-A)+cos(1200+A)；

sin2acosa

1+cos2a1+cosa

25.（2022•全国•高一课时练习）已知函数ynsin'+Zsinxcosx-3cos。，xeR.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的最大值.

26.（2022•湖南•永州市第一中学高一期中）己知函数/（x）=2sinxcosx+2cos2x-l,

,VGR.

（1）求函数“X）的单调递减区间；

（2）若函数y=/（x）M0在xe-p0恒成立，求实数”的取值范围.

27.（2022•山东•滕州市第一中学新校高一月考•）已知角a的终边经过点（-2,2石），其

中0<a<7i.

sin---

9

(1)求一二r-丁的值；

cos----V3sin一

1818

(2)设/(x)=sin(2.r-a)+6cos(2K-a),xw0,：,求〃刈的最大值.

28.(2022•全国-高一课时练习)求下列各式的值：

(1)已知cos(a_p)=_：,ccs(a+0)=7,求cosacospQinasin[3的值;

2

29.（2022•全国•高一课时练习）已知函数/（x）=zWsinxcosx2cos^l1（XGR）.

（1）求函数/（X）的最小正周期及在区间卜），与］上的最大值和最小值.

（2）若f吟，求cos2x0的值.

30.（2022・陕西・榆林十二中高一月考）化简计算与证明.

5/19

cos—+asin(-n-a)

(1)已知角a是第二象限角，且4sina+3cosQ=。，求一卷---x一两---r的值;

cos^-asin^+a

2sin500+cos10。(1+6tan10。)

(2)化简:

x/l+coslO°

/_

,r•2X

(3)己知。一«方，证明：1gcosxtanx+1—2sin+lg石cos-Ig(l+sin2x|.

2

6/19

参考答案

1.D

【详解】

因为心(0号)，Pc停兀

所以a+Pe

Xsin(a+p)=-p

a+°e4

则(兀,费｝(a+p)=--,

5

又cosp

13

12

所以sinp=g

1J

所以sina=sin[(a+(3)-[3]=sin(a+P)cos[3-cos(a+[3)sin[3,

故选：D

2.B

【详解】

2cos3X+2cos2x-2cos2-

/(x)=--------------------------1

2cos-

2

2cos3X+2cos2X-(1+cosx)

1+COSX

2cos-x(1+cosx)-(1+cosx)

1+COSX

=2COS2X-1

=COS2K

所以f(x)的最小正周期为年”

故选：B

7/19

3.C

【详解】

由cosct=-*且a是第三象限的角，可得sina=-cos%=-3

5

,aa.a3,a

1+tan—cos—+sin—1-tan-

1+sina

又由;_a22即——2-=-2

a.ctcosa4,a

I-tan—cos-----sin—1+tan-

22259

故选：C.

4.C

【详解】

O0

tan82-tan22…。7、八。匚

由题意,,：=tan(82-22)=tan60=v3

1+tan82(an22

故选：C

5.B

【详解】

1+cos2xG

解：；函数f(x)=cos(J-x)sin(j-X)-瓜

22

=-sin(--2x)--cos2x=-3cos2x—1・(」)sin2x—

一cos2x=-sin2x--coszx=-sin(2x----)

232222224423

则f(x)的最小正周期为会兀，最大值为1

故选：B

6.B

【详解】

解：因为a,B均为锐角，皿a+B)+sin(a-P)=整,所以2sina8sB=既，即

tanp=2sinacosa,

tan[32sinacosa2,2&愕…

故百了二2sin?a+cos2a=2sina*cosa“运=2，当且仅当鬻=箸，即口五

a=—

oil!IX2

cosasina

时等号成立,

8/19

故选：B.

7.A

【详解】

/'(x)=2sinx-cos2x=2sinx-l+2sin2x,

令/(x)=0可得sinx=£।或sinx=-力十’(舍去)，

因为sinx=铝区间［。，2兀］有2个根，所以/(⑼在区间［。，2兀］上的零点个数为2.

故选：A.

8.D

【详解】

/(x)=>/3sin2x-cos2x=2sinj,

对A,最小周期为7=曰=几，故-兀也为周期，故A正确；

对B,当工=-£时，2X-?=-1为ksinx的对称轴，故B正确；

oo2

IT7T

对C,当x=77时，2x--=0,又(0,0)为y=2sinx的对称点，故C正确；

126

对D,/0)=()贝lJ2sin(2xq)=0=2x_*=E,(AeZ),解得x=：兀+不(&eZ),故/(x)在

［0.2兀］内有入4*，詈，詈共四个零点，故D错误

故选：D

9.A

【详解】

37cG5兀3n95兀

解：•吟<0(牛,一＜-＜一,〈—＜

424'848'

9/19

故选：A.

10.C

【详解】

1_cos2a+sin2a2tana

+tan2a=；------；­+-----；-

cos2a---------cos-a-sin-a1-tan-a

1+tan2a2tana(1+tana)'

=--------+-----;-=------

1-tan-aI-tan-a1-tan-a

=i±tana=2021

I-tana

故选：C

11.ABC

【详解】

A选项，4sinl5°cosl50=2sin30o=2xi=l,故正确.

B选项，2(cos2：-sin2：)=2cos：=2x：=1,故正确.

ooJ52

C选项，"；；；一345。一］,故正确.

D选项，鼻狂正工1,故错误

\226V2222

故选：ABC

12.AD

【详解】

/(x)=g*sin(2x吟吟)=&COS2M,函数的最小值是-衣，周期丁-£-兀，故A正确，B

错误；

xe《时，2XG(0,TI),所以y=/(x)在(0个单调递减，令2x=E,得x=?,keZ,其

中一条对称轴是x=T，故C错误，D正确.

故选：AD

10/19

13.ABC

【详解】

对于①，由于lana+ianB=lan(a+P)(1-cana(anp),

所以tan25+tan35+<3tan25tan35

=tan(25+35)^1-tan25tan35]+,3tan25tan35=tan(25+35)=.3；

对于②，由于cos65=sin25,

所以2(sin35cos25+cos35cos65)=2(sin35cos25+cos35sin25)=2sin60=.3；

m.14-tan15tan45+tan15/八。/

对于③，因为tan45=1，-------r=--------:------=tan60=,3；

1-tan151-tan45tan15

行工工4d.1-tan15tan45-tan15§

对于④，因为tan45=l,--------=---------------=tan30=

14-tan151+tan45tan153

故选：ABC

14.ABC

【详解】

=V2cos2x--

I12

当2*-%=如，即x=时，/（初向=五，故选项A正确;

1224

T=—=n,故选项B正确；

w

令2Kt兀+2依，即」一兀+虹B汽+近，即当xe[1一兀+女兀，"江+依]时）=/（X）单

123a2424

调递减，取D,有尸/⑴在区间序詈）上单调递减，故选项C正确；

将函数），=石8s2x的图象向右平移成个单位长度后，将与已知函数的图象重合，故选项

D错误.

所以ABC正确，D错误.

11/19

故选：ABC

15.ACD

【详解】

函数/(x)=sin。+2石s：inxcosx-cos2x=2sin2,v--,

I6jf

对于A：由于xcR,®-2</(x)<2,故A正确;

对于B：令2x-，=kK,解得x=t+2依wZ),所以函数在(0,兀)上有两个零点，故B错误;

o212

对于C：函数的最小正周期为号=兀，故c正确；

对于D：由于

令：2kit2kn+—(keZ),

<262

解得也+3瓢k7i+jkeZ),

36

当女=0和-1时，g(x)单调澧减区间为一L和仅3，故D正确；

INO/'-/

故选：ACD.

16.BC

【详解】

解：对于A,因为《讣0J图=6所以/宿卜-/图，所以/卜)的图象不关于

点俘。)对称,所以A错误，

因为,f(x+兀)=6lsin(x+7i)l-lcos(x+7i)l=6Isinxl-lcos.rl=/(x),所以兀为函数的周期,考

虑XG［0,兀］的情况，当XG［()、刍时，/(x)=sinx-cosx=2sin(x-G三,因为

266163

，所以/(X)在［*〕上单调递增，所以/(Rm=.f(0)=T，/(X)gx=吟)=5

/(x)=x/3sinx+cosx=2sin(x+^),x+|-e等,，，因为年，素［口［小£］

当.y',兀］时,所

以/(町在勺句上单调递减，所以/(A)min=/(7t)=-1,f(X)max=/(y)=,所以/(工)的最小

正周期为兀，/(X)在(0,2冗)上有且仅有1个最小值，值域为［-1,上］,所以BC正确，D错

12/19

误，

故选：BC

17.0

【详解】

解：原式=sin(a+60°)->/3cos[180°-(a+60°)]+2sin(a-60°)

=sin(a4-60°)+6cos：a+60°)+2sin(a—60°)

=2sin(a+60°+60°)+2sin(a-60°)

=2sin(a-60°+180°)+2sin(a-60°)

=-2sin(a-60°)+2sin(a-60°)

=0.

故答案为：0

18.-1

【详解】

sin4a-cos4a(sin2a-cos2aWsin2a+cos2a)

■----------='，八、/=-1

cos2acos-a-sin-a

故答案为：-1

6

19.

25

【详解】

4

解：VcosG=--H.tanO>0,sin/7=-

cos'Olan。cos28sin8(l-sinWsin(

=(l+sin0)sin0=I

l-sin01-sinO1-sin0

故答案为：-会

20.2sin4

13/19

【详解】

原式="cos?4-2Vl+2sin4cos4

=21cos41-21sin4+cos41,

因为兀

所以cos4<0,sin4+cos4Vo.

所以原式=-2cos4+2(sin4+cos4)=2sin4.

故答案为：2sin4

21.8

【详解】

sin-20。

2+2

11+tan200fcos700+v3sin70°|Cos20°

解:--------+-------------------；-----=------------------------------.丫

sin70°cos70°1-tan-20°sin70°cos70°.sin'20。

cos220°

cos~20°+sin~20。

sin(7()+30。)、coJ200：1

X=4x^2

sin140°,cos2200-sin220°sin40°cos40c

cos-20°

osin100。

2sin40°cos40°

故答案为：8

22.f

由sin彳-2cos^-=0,知cos>()，

所以ta吟-2,

_x

2tan-

2x24

所以tanx=2

3,

cos2x

所以+xsin(n+x)

14/19

________cos2x_______

-cos［亍+x)(-sinx)

_______co/x-sin'_____

=TH瓦「

cosx-sinxsinx

\22/

(cosx-sinx)(cosx+sinJI)匚cosx+sinx

=---产--------------=v2x-----------

V2..、.sinx

—(cosx-sinA)sinx

=正\匕3"=五.

tanx4

23.(1)2；(2)2”

【详解】

/八m/、tan10+tan44°,

(1)因为13(Z1O。+44。)=~—=1,

1-tan1tan440

所以tanl°+tan44°=l-tanl°tan44°,HPtan10+tan440+tan10tan440=1,

所以(l+lanl°)(I+lan44°)=14-tan44°+tanlo+tanl°tan44°=2

(2)设a+。=45。,

r,,"、tana+tanB,

则ian(a+p)=---------丁=1,

八J1-tanatanp

所以tana+tanp+tanatan0=1,

所以(1+tanaXI+tanp)=1+tana+tanp+tanatanp=2,

所以(1+tan10X1+tan44°)=(1+tan2°X1+tan430)=…=(1+tan22°X1+tan23°)=2,

又l+tan45。=2

所以原式-222x2=2^

24.

(1)—cos2x

2

(2)0

(3)。

Jl+c”osa

15/19

(1)

［4J14八22)［22J222

(2)

1石］6

cosA+cos(120°-4)+cos(120c+A)=cosA-~cosA+-^-sinA--cosA-^-sinA=0

(3)

sin2acosa2sinacosacosasina

------------------------------；------------------------

I+cos2aI+cosa2cosa1+cosa1+cosa

25.

(1)

221-cos2x._、1+cos2x.__

,/y=sinx+2sinxcosx-3cosx=---------+sin2A--3x---------=sin2x-2cos2x-1

22

:.由辅助角公式可得y=Ksin(2x-(p)-l,其中tan(p=2,

・,・函数的最小正周期为会=兀.

由(1)知：y=>/5sin(2x-o)-l,其中tans=2,

.••当2x-(p=5+2EMcZ,即xn5+q+E/cZ时，函数y="sin(2x-①)-1取得最大值,

最大值为行-1.

26.(1)/。)的单调递减区间为次兀+白兀+争伙eZ)；⑵[1,+孙

OO

【详解】

(1)f(x)=sin2x+cos2x=五sin12x+?

7TITrrS1T

令2依+—<2x+—<2kn+——(keZ),解得攵兀+-<x<kn+—(攵eZ).

24288

故八幻的单调递减区间为〔依+三版+争伙GZ)

OO

(2)由y=/(x)-a40在［-，0］恒成立，即。"(x),xw-p0恒成立，

16/19

-77草图，

即。的取值范围为［1，a).

L

27.(1)入⑵

解：⑴角a的终边经过点卜2,20,其中0<a<冗，tana='=-6即。=音

XD

sin—cos2asin+兀cos2a

99Jcos2a

兀十一-CDS-=—

cos晟一"sin标-2sin兀7T~~2~3234

-MB

186

(2)/(-Y)=sin(2.v-a)+,73cosf2A-a)=2sin(2x-a+

因为xe,所以€小濡=2唠=1

436

28.(1)-\；--jT；(2)石.

111

(1)cosacosp=­[cos(a+P)+cos(a-[3)]=—x=—

22132,12r

sinasinp--^[cos(a+0)-cos(a-p)]=一；5

12,

(2)原式

sin400+2sin40°cos40°sin40。+sin80。sin(60。■-20。)+sin(60。+20。)

COS40°+(2COS2400-1)-cos40°+cos80°-cos(60°-20°)+cos(60°+20°)

2sin6。。8s2。。=.6。。=6.

2cos600cos200

17/19

29.(1)最小正周期为兀，最大值为2,最小值为T；(2)隹心.

【详解】

⑴由/(x)=2>/3sinxcosx-2cos2x+l,

得f(A)=>/3(2sinxcosA)-(2cos2x-1)

=5/3sin2x-cos2x=2sin2^--I,

6

所以函数/(X)的最小正周期为兀.

7K

因为0W0<2x<

6

所以一gWsin(2x一言卜1,.,.一1W2sin(2x一彳<2,

所以函数/(x)在上的最大值为2,最小值为-1.

(2)因为2sin(2x。*