函数的表示方法 第2课时（专项练习）

3.1.2函数的表示法

一、单选题

x-2,x<2.

1.函数f（x）=，2c则/（2）等于（）

——,x>2,

X

A.-1B.0C.1D.2

2.若函数/(2x+l)=/-2%,则f(3)等于()

A.-1B.0C.1D.3

3.己知八幻是一次函数,且—>-5,则/。）=（）

A.3x-2B.2x4-3C.3x+2D.2x-3

4.从甲市到乙市tmin的电话费由函数g（t）=1.06・（0.75[H+l）给出，其中t>0,田为不超过t

的最大整数，则从甲市到乙市5.5min的电话费为（）

A.5.04元B.5.43元C.5.83元D.5.38元

B.

6.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（）

A.y=2O-2xB.y=20-2x(0<x<10)

C.J=20-2A(5<X<10)D.y=20-2x(5<x<10)

二、多选题

7.（多选）已知函数则下列关于函数的结论正确的是（）

A.〃切的值域为（-4）

B./⑴=3

C.若f（x）=3,则x的值是G

D.的解集为（T」）

3x+5,x<0,

8.已知函数/（"二•1x>0若/（/5））=2,则实数a的值为（）

X+—,

X

4

A.-2B.--C.-1D.1

3

三、填空题

0,x>0

9.已知函数/（%）=•兀/=。，则/（/（/（一1）））的值等于

兀2+1,X<0

—x—1,x20

;,则/(〃。))=__________.

10.设

一，K<0

lx

四、解答题

11.已知/（X）是一次函数，K/[/（A-）]=4X-I,求“力的解析式.

12.(1)若二次函数满足/(0)=1,f(x+l)-f(x)=2xt求八幻.

(2)若对任意实数X,均有/(%)—2/(—犬)=91+2,求小).

(1>1

(3)已知/x一一=x2+—,求/(处的解析式；

IX)厂

(4)已知2/。)+/[£)=4**0),求/*)的解析式.

4-X2,(X>0)

13.已知函数/(力=,2,(2=0)求：

1-2x,(x<0)

（1）画出函数f（x）的简图（不必列表）；

（2）求/（/⑶）的值：

（3）当-4Wx<3时，求，（x）取值的集合.

14.求下列函数的解析式:

（1）已知二次函数/（X）满足/（。）=1,Jl/（x4-l）-/（x）=2x；

（2）已知函数了（力满足：/（«+l）=x-2。；

（3）已知函数/（力满足：/（x）+2/W=3x.

参考答案

1.A

【分析】

由分段函数的定义即可求解.

【详解】

9

当x=2时，则H2）==-1.

故选：A.

2.A

【分析】

换元法求出函数的解析式，代入计算即可求出结果.

【详解】

令2x+l=/,得l='^,所以=-2x^-=-r

从而〃3)=，32_]X3+：=_1.

424

故选：A.

3.A

【分析】

设一次函数y=ar+伙a*。)，代入已知式，由恒等式知识求解.

【详解】

设一次函数>'=©,+伙白工0)，则/(1-1)=。(1一|)+〃=依一。+〃，由/(*_l)=3x_5得

[a=3(a=3

ax-a+b=3x-5,即《心,>解得，，今，f(x)=3x-2.

b-a=-5[b=-2

故选:A.

4.A

【分析】

根据题意知[5.5]=5,然后计算即可求出结果.

【详解】

依题意知g(5.5)=1.06x(0.75x5+l)=5.035=5.04,

故选：A.

5.D

【分析】

化简函数解析式，即可得出合适的选项.

【详解】

因为,故函数)，=®+x的图象如D选项中的图象.

x[x+),x>0X

故选：D.

6.D

【分析】

由等腰三角形的周长为20,得到)，=20-2x,结合三角形的性质，求得5<工<10,即可得

到函数的解析式.

【详解】

由等腰三角形的周长为20,且底边长y是关于腰氏x,

可得y+2x=20,所以），=20—2x,

又由2x>y,BP2x>2O-2x,即x>5,

因为），>0,即20—2x>0,可得x<10,所以5vxvlO，

所以解析式为y=2（）—2x（5<x<10）.

故选：D.

7.AC

【分析】

根据一次函数的性质，结合二次函数的性质，逐一判断即可.

【详解】

当时，“X）的取值范围是（3,1],当-l<x<2时，“X）的取值范围是[0,4）,因此

/（x）的值域为（/,4）,故A正确;

当x=l时,/⑴=1工3,故B错误；

当xK—1时，由x+2=3,解得％=1（舍去），当一l<x<2时，由』=3,解得％=&或1=一6

（舍去），故C正确：

当工4-1时，由x+2<l,解得xv-l,当一1vxv2时，由/,解得一1<X<1,因此

的解集为（-8,-I）U（T，I），故D错误.

故选：AC.

8.AB

【分析】

令/（。）=乙进而由/（。=2得/⑷=-1或=1,再根据x>0时，/（1）之2可得

3。+5=-1或3。+5=1,解方程即可得答案.

【详解】

解：令/（“）=，，故/⑺=2,进而得f=T或f=

所以/。）二一1或〃a）=l,

由于x>0时，/（x）Z2,

4

所以3。+5=-1或3。+5=1,解得。=-2或〃

故选：AB

9.冗

【分析】

根据分段函数，从内到外，层层代人即可求解.

【详解】

0,x>0

因为乃，彳=。，所以/(-1)="+1,

乃2+|,x<0

所以〃/(-1))=/①+1)=0,

所以/(/'(/(—1)))="0)=".

故答案为：).

10.-1

【分析】

先求出/(0)=-1,由/(/(0))=/(-1),求出结果.

【详解】

—x—0

因为函数/*)=;,

一,x<0

x

所以7(0)=-1,

贝iJ"/W=/(-l)=e=T.

-1

故答案为：-1.

11./(X)=2A-1nJc/(.t)=-2x+l

J

【分析】

设出一次函数解析式，代入等式，待定系数法即可得解.

【详解】

因为/(“是一次函数，所以不妨设/(力=依+〃(女工0),

所以/[/(工)]=夕(%)+〃=々(京+。)+。=%与+妨+。.

(攵=2

又山⑼=4x7,所以H'।解得、1或U'

所以〃力=2"或〃x)=-2x+l.

12.(1)/(x)=x2-x+l；(2)f(x)=3x-2(xeR)；(3)/(工)=/+2,xeR；(4)

/(x)=笄一xe(-oo,0)U(0,+co).

JJ人

【分析】

(1)根据题意设〃外二址2+泣+1,进而待定系数法求解即可；

(2)利用方程组法求解即可；

(3)利用(x-qLv+l—z求解即可；

IX)X-

(4)利用方程组法求解即可；

【详解】

解：(1)因为二次函数/(*)满足/(。)=1：所以设/0)=++6工+1,

则：/(X+1)=«(X+1)2+A(X+1)+I=ax2+bx+\+2ax+a+b；

因为.f(x+1)—f(x)=2x,所以ax2++]+2ax+4+b-ax2-bx-\=2x\

2a=2

02or+a+Z?=2x；05,八；0«=I,/?=-l；

a+b=O

0/(x)=x2-x+l.

(2)^f(x)-2f(-x)=9x+2(1)

0/(-A-)-2/(^)=9(-X)+2(2)

由(1)+2x(2)得-3JG)=-9x+6,

0/(X)=3X-2(XG/?).

(3)因为/x~\=”+子，所以-■4-2,

所以f(x)=f+2,xeR

(4)因为2/(x)+U=x(xwO),①

所以2个)+/3=*/0),②

消去f解得/(x)=斗-]，x£(-o°,O)U(O，+00)

13.(1)图象见解析；(2)11；(3)(-5,9].

【分析】

(1)根据函数的解析式，结合一次、二次函数的图象，即可求解；

(2)先求得八3)二-5,进而得到/(/(3))=/(—5),即可求解；

(3)根据分段函数的解析式，分类讨论，分别求得各段上的值域，即可/")取值的集合.

【详解】

4-.r2,(x>0)

(1)由分段函数f(x)=<2,(x=0)可知，函数"X)的简图为：

l-2x,(x<0)

(2)因为"3)=4—3?=4—9=-5,所以/(〃3))=〃-5)=1—2x(—5)=1+10=11.

(3)当-4Wx<。时，/(X)=1-2XG(1,9];

当x=0时/(幻=/(0)=2；

当0<x<3时,/(x)=4—fe(—5,4),

所以一当一1«工<3时・，取值的集合为(—5,9].

2

14.(1)/(x)=x2-x+l；(2)f(x)=x2-4x+3(x>l)；(3)/(x)=--x("0).

.1

【分析】

(()设〃t)=〃+bx+c(awO),由〃0)=1可求得。的值，由f(x+l)-〃x)=2x可得出

关于。、。的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数/("的解析式；

(2)设1=4+121,代入/(&+1)=1-2«化简可得函数/⑴的解析式；

(3)由已知可得出关于/(x)、/(：)的方程组，即可解得函数/W的解析式.

【详解】

(1)设4％)=以2+法+C(460),

,.•/(0)=c=l,因为/(x+1)-/(x)=a(x+l>+/?(x+l)+lj-(ar+bx+\^=2ayc+a+b=2x,

2cl=2Q=]

所以，A八，解得八一因此，/Cv)=x2-x+l；

a+b=0[。=-1

(2)令i=«+l,则后1,x=(r-l)2,

代入/(4+l)=x—2五有/(/)=(/-1)2-2(/-1)=/2-4/+3,

因止匕，/(x)=x2-4x+3(.r>l)；

f(x)+2f(-=3xf[^-\+2f(x)=-f(x)=--x(x^0]

⑶由⑺可得⑺x,解得''x'.

A级必备知识基础练

1」探究点一］已知°’则次-3）=（）

A.-3B.3

C.-9D.9

2」探究点一诺危）=｛；湍n，＜I。,则於）的值为（）

A.8B.9

C.IOD.11

3」探究点三・2024江西赣州高一统考期末］为了保护水资源,提倡节约用水，某城市对居民生活

用水实行“阶梯水价''，计费方法如下：

每户每月用水量水价

不超过10n?的部分2.57C/m3

超过10n?但不超过15m3的部分5Jc/in3

超过15的部分7.5元/m，

若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（）

A.17m3B.15m3

Cl3m3D.gn?

4」探究点一］已知函数段„&若仙）=10,则a的值是（）

A.3或-3B.-3或5

C.-3D.3或-3或5

5」探究点一・2024浙江杭州高一校考期末］若函数於则欢〃））=.

6.［探究点二（角度2）］已知函数0则不等式风丫）21的解集是.

7」探究点三深市出租车收费标准如下:在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3

km以外的路程按2.4元Am收费，某人乘车交车费19元，则此人乘车的路程为

km.

8」探究点二（角度1）］已知.心吨：：2：-3,%＜1,

⑴在所给坐标系中画出凡r）的图象；

（2）直接写出＜幻的值域.

9」探究点三］甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的

距离都是2km,甲同学10时整出发前往乙家.如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的

路程），（单位:km）与时间M单位:分）的关系.试写出产«r）的函数解析式.

0102030405060x

B级关键能力提升练

10.已知函数产/㈤的对应关系如下表，函数产g（x）的图象是如图所示的曲线48c其中

D.0

x2,x<1,

11.已知函数/U）=4则火外的值域是（）

x+--3,x>1,

A.[l,+oo)B.[0,4-oo)

C.(l,+8)D.[0J)U(l,+a))

12.（多选题）已知府）=.%孤）=/外且如尸幽:瑞1歌则尸（幻（）

A.有最大值3

B.有最小值」

C.无最小值

D.无最大值

'\x-l\,x>0,

13.已知函数.信）二。V0若加)M“+l)，则代2a)=()

,X

A.-lB.-2

C.-3D.-4

14」北师大版教材习题改知高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”美誉，以嘀斯”命名的

概念、定理、公式很多.如高斯函数产㈤，其中⑶表示不超过实数x的最大整数.如

[3]=3,[3.7]=3,[-3.6]=4记函数/W三H%],则长2.4)=VU）的值域为,

15.如图，定义在［-1,+8）上的函数人外的图象由一条线段及抛物线的一部分组成

⑴求欢4））的值及/）的解析式;

（2）若人工）带,求实数X的值.

C级学科素养创新练

16.水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放〃(0<aW4且a£R)个单位的营养液、它在

水中释放的浓度)，(单位:克川)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为产砧X).其中

f—,x£[0,4],

J(x)=\若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相

[5-ix,xe(4,10],

应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中营养液的浓度不低于4克小时，它才能有效.

(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？

⑵若先投放2个单位的营养液,6天后再投放帆个单位的营养液,要使接下来的4天中,营养液

能够持续有效，试求，〃的最小值.

答案：

1.C

2.A由题意知，/(5)=心11))/8)=枢14))力01)=8.故选人

3.A设用户的用水量为xn?,缴纳的水费为)，元，

当OWxWlO时j=2.5X£[0,25];

当10<%W15时,)，=25+5(*10)=5心25£(25,50];

当x>15时,)，=5O+7.5(x-15)=7.5x-62.5>50.

令7.5462.5=65,解得17.则此户居民本月用水量为17n?.故选A.

4.B若aWO,则44)=/+1=10,・*.4=・3(4=3舍去);若。>0,则火。)=2。=10,

.,•〃=5.综上,。=5或〃=-3,故选B.

5.2由题意知必1)=-1+2=1,所以用(-1))MD=12+1=2.

6(8,/]“1,+8)当xWO时，由解得％W・l;

当x>0时，由Zi-121,解得

综上，不等式於)21的解集为

7.8根据题意19>7,判断出乘车的路程超过3km,设此人乘车的路程为Akm.

由题意得2.4(x-3)+7=19,整理得*3=5,解得x=8.

8.解(1)函数图象如下图用示.

(2)由图象可知，函数的值域为[4+8).

9解当[0,30]时，设产hr,

将(30,2)代入可得女尸尚,所以尸为；

当XW(30,40)时,)，=2;

当xe[40,60]时，设y=kix+b,

由巴知曜胤沅

解得幻=上,〃=2所以>»=—r-2.

101C

|^x,xe[0,30],

所以./U)=(2,%£(30,40),

[^x-2,xe[40,60].

10.B由题图知g(2)=l,；・/(g(2))$1)=2.故选B.

x2,x<1,

H.B由./U尸

当x>\时/+：322Jx--3=4-3=l,当且仅当x=*即x=2时，等号成立.

综上«©的值域是[0,+8).故选B.

12.CD由7U)2g(x)得0WxW3;由4%)vg(x),得x<0或x>3,

，，

所以F(X)=[X2'2XX^[0,3]作出函数尸⑴的图象如图,

U,XE(-QO,0)U(3,+8).

4

3

2

32lZ\l/2345

可得尸(X)无最大值，无最小值.

俨1|6>0,

13.B由函数yu)=h,八可作出图象，如图.

(二x<U,

由方程次〃)习加+1),则|a-i1,

即1-4