十二个大招速求函数的值域或最值（解析版） 2027年高考数学一轮复习讲练

解题大招12十二个大招速求函数的值域或最值

大招01观察法大招07单调性法

大招02配方法大招08基本不等式法

大招03图象法十二个大招速求函大招09反解法

用:司眉目石标匚

大招04分离常数法J大招10平方法

大招05判别式法大招11赋值法

大招06换元法大招12构造方程(不等式)法

口识梳理

知识点01函数的值域

函数y=/*)对应关系/对自变量I在定义域内取值时相应的函数值的集合叫作函数)，=f(x)的值域,

其中，y=/(x)表示“，是X的函数〃，指的是'为X在对应关系/下的对应值.通常一个函数的定义域和

对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定了.

知识点02函数的最值

1.函数的最大值

(1)定义：对于函数y=/(x)其定义域为D,如果存在Xo^D,f(x)=M,使得对于任意的x£D,都有

那么，我们称M是函数y=/(x)的最大值，即当x=xo时,为⑹是函数y=/(x)的最大值，记作y(nax=

fM-

(2)几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标.

2.函数的最小值

(1)定义：对于函数y=/(x),其定义域为D,如果存在刈£。，/(x)=M，使得对于任意的x£D,都有

f(x)>M,那么,我们称M是函数y=/(x)的最小值，即当x=xo时，/(xo)是函数y=f(x)的最小值：记作外).=

fM.

(2)几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.

知识点03求值域的一些极致秒杀公式（拓展）

1.二次完全平方比一次型：已知/（均="半（。＞°），其最小值在工二丝一旦处取得，即其完全

ax-bac

平方项零点、一次项答点、极值点（使其导函数为零的点）依次成等差数列.

(ex-d)(ex-f)、2

2.可分解二次比完全平方型：已知/（幻=，若恰好有上色上=（2,则当x=

(ax-b)2a

时，函数取最值.

3.一次比缺一次项二次型：已知/•（X）=IWCYA-"1，则当X二+2时，函数取最值.

ax"+ba

-IA、加+ex+f

4.所有二次比二次型:已知/(乃:一~乙,

ax~+bx+c

defdf

则方程f+2X+=0的解即为函数的极值点.而函数/（X）的最值往往在端点

abbc

处或极值点处取得，另外，行列式**的计算规则为“

=x,^2-x2y,.

y%x>2

典型解析

►大招01观察法

通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低

点”，观察求得函数的值域或最值.

【典例1］（25-26高三下•陕西西安•阶段检测）已知集合卜37yly=c。"},则Afs=

()

A.(-1,1]B.[-1,1)c.[-1,0)50,1]D.[-1J]

【答案】c

【解析】A=«y),=^y}=3)，wO},^={y|y=cos.r)={y|-l<y<l),

所以4B=[-l,O)u(O,l]

【跟踪训练】

1.(24-25高三上•重庆沙坪坝•月考)函数"x)=l+2>/ri的值域为()

A.[0,+oo)B.(I,+oo)C.[l,+oo)D.R

【答案】C

【解析】函数/(x)=l+26彳的定义域为[l,+oo),

则4—120,则2x/^?N0,则1+271^21,

则函数〃力=1+2右T的值域为口,e).故选：C

2.124-25高一上•云南丽江•月考)函数f(x)==在[1,2)的值域为.

X

【答案】。,2]

]fI17

【解析】因为xw[l,2),则一e5，1,可得±e(l,2],

X1—」X

所以在[1,2)的值域为

X

3.125-26高三上•湖北•期中)已知函数/(力满足则函数/(x)值域为.

【答案】卜。

1

【解析】令，=5〃工。)，则”=1.所以/(/)=£=了匕，

—+1

r

所以/(x)的解析式为〃力=±,其中xwO.

X*1乙

当"。时,f+2>2,0<V^<g,所以/(x)值域为(0,：.

►大招02配方法

对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的

值域方法求函数的值域或最值.

【典例2】(2026•上海杨浦•模拟预测)已知集合人=3)，=丁-2工+1},3={刈2x-l|<5},则Af8=

【答案】[0,3)

[解析]由A=3)，=--2x+1}=3)，=(汇一I)?}=[0,+oo),

«={x||2x-l|<5)={x|-5<2x-l<5)=(-2,3),

所以AB=[0,3)

【跟踪训练】

1.(25-26高三上•河南开封•月考)已知函数/(司=丁-2国+2,则/(x)的值域为()

A.[-4,+cc)B.[1,-KO)C.[0,-Kc)D.[0,4]

【答案】B

【解析】/(X)=X2-2|^|+2=|X|2-2|X|+2=(|X|-1)'+1.|X|G[0,-KO),

故f⑺min="1)=1，故函数值域为[Lg。).

故选：B

2.(25-26高一上•海南省直辖县级单位•阶段检测)已知函数〃x)=，一¥+4「+5的定义域为集合A,函数

g(x)=r-2x+5的值域为集合B,则A8=()

A.[4,5]B.[-1,5]

C.[2,5]D.[2,-BX))

【答案】A

【解析】-X2+4X+5>0W-1<X<5,故A=[—l,5],

^(X)=X2-2X+5=(X-1)2+4>4,故4=[4,+<O),

故Ac4=[4.5]

故选：A

3.125-26高三上•江西南昌・月考)函数〃x)=x-1的定义域为[0,4],则函数y=/(巧+]/但了的值域

为•

【答案】

0<x2<4

【解析】由题意可知，尸/（巧+[/（冷了要有意义，则需•,即0—W2,

0<x<4

即函数定义域为[0,2],

又了=/-1+（%一1）2=2/-2]，对称轴方程为x=（,

所以当时，ymi„=-p当x=2时，％=4,

所以函数值域为-：，4,

峥大招03图象法

g混

作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域或最值.

【典例3]⑵依高二上•浙江杭州•期中）若皿，1记max,,〃｝=｛；：则函数

〃x）=max｛网,-丁+4｝的最小值为（）

A.0B.1C.3D.12

【答案】C

|3.r|,|3x|>-x2+4,|3x|,|3x|>-x2+4,|3x|,x(-1或x)l,

【解析】/(x)=max{|3M，-/+4}=,

—x~+4,|3x|<-x~+4,-J2+4,|3X|<-X2+4.-x2+4,-l<x<h

则f(x)=max{|3x|，一/+4}的图象如下:

，当x=-l或x=l时，有最小值3.故选：C.

【跟踪训练】

1.（25-26高三•全国•一轮复习）定义min｛a,Z?,c｝为中的最小值，设

/(x)=min{2x+3,x2+l,5-3x),则/(x)的最大值是()

A.1B.2C.3D.5

【答案】B

【解析】画出y=2x+3,、,=5-3x的图象，观察图象可知,

当三1-6时，/(x)=2x+3,

当l-GvxVl时，/(x)=x2+l,

当x>l时，/(.r)=5-3.r,

所以〃x)的最大值在x=l时取得为2,故B正确.

2.(25-26高三上•河南开封•月考)设函数/(x)=|2x-hx+3.

(1)将函数/(x)写成分段函数的形式并画出其图象；

⑵写出函数/")的单调递增区间和值域.

【解析】(1)当时，/(x)=-(2x-l)-x+3=-3x+4,

当时，/(X)=2X-1-X4-3=X+2,

—3x+4,汇W—

所以/("=]2,

x+2,x>—

2

其图象如下所示:

4-

3J(x)=|2x-l|-x+3

?八

(1115

(2)因为上卜2乂5一1-5+3=5,

由图象可得/("的单调递增区间为(yg),值域为(―尚.

3.给定函数/(x)=x+2,g(x)=.F,xeR.用M(x)表示/&),g(x)中的较大者,即

g(x),f(x)<g(x)

y1

⑴请用图象法表示函数M(X),注：画出x«-4,4］上的图象即可;

(2)写出函数M(x)的值域;

(3)若"(a)=3,则求〃的值.

【解析】(1)rflx+2=x2，得或x=2,

x+2>x>得至U-l<A<2；

工+2<X2得至心<一1或工>2,

2+x,2>x>-l

故必(”=(2,耳_［或02，故M(l)的图象如图:

（2）由图象可知当4-1时，M㈤取最小值，故值域为［1,内）.

(3)当-/va<2时，M(a)=a+2=3,.*.«=1.

当〃22或时，M(a)=/=3=>〃=一\/5或〃=石(舍)

故。=1或〃=-0.

»大招04分离常数法

适用于形如），二竺也,），=丝土生把的分式函数，第一步，对函数/*）变形成-幻=9+—

cx+d'nix~4-/tr+pccx+d

形式；第二步，求出函数），=—^在/（x）定义域范围内的值域或最值.

cx+d

I7

【典例4-1］（25-26高三上•四川遂宁•期中）函数），=空r，工目4,8］的最大值是（）

X—3

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

_i_75

【解析】函数>=江r4=1+8，X〃4.8］单调递减，

x-3x-3

所以当』=4时,函数的最大侑是6.

故选：B.

【典例4-2】（2026・重庆•三模）若是奇函数，则/（x）的值域为（）

4-1

A.（^»,0）J（0,+oo）B.（-<o,-i）u（l,+oo）

C.2）<J（2,+<x>）D.（-2,-l）u（l,2）

【答案】B

【解析】函数析（力的定义域为但“可0},

由，（X）是奇函数即/"）+/（-力=。，

4+44+4

所以二一+—；—=0>解得。=1,

4r-l4x-\-4^"1"41-1

则小）=泻

4*-14,-1

因为4。＞0且4*工1，所以4*一1＞一1，4*-1*0,则不口£（-00,-1）5。,+＜»）,

2?

即不[€(-00,-2)=(0,+8),可得l+k^a-CO,—l)u(l,+oo),

4—14—1

所以函数/（X）的值域为（Y0,-l）U（l,s）.

【跟踪训练】

1J25-26高三上•重庆云阳•月考）函数y二"二的值域为（）

2x+3

B.[2,-KC)C.，d-(Y),2)(2,-HX>)

【答案】D

^4X-34X6-9_9

【解析】==±=2

2x+32x+32x+3

因为彳二工。，所以y=?匚三工2,故值域为（YO,2）U（2,3）.故选：D

2.[24-25高一上•江苏徐州•月考）函数），=汇」2,l4_4,_2）的值域为（）.

x-2

<5317]「5317、「5317

A-上万JB.岛引C.[-，-(21Z

D.(14‘2

【答案】B

【解析】)，=^^=3+4^，1€[-4,一2),

.r-2厂一2i

当xw[-4,-2)时.X2€(4.16]=>X2-2G(2J4]=>^-G[)|,^-).

年一2142

则3+*故选:B.

3.函数）,=-「己+15的值域是______.

x~-x-6

22

【答案】（^30.--）（--.1）（1,田）

【解析】函数），="78%+：5有意义,贝7_6工（），解得xw—2且1工3,

x-x-6

x2—8x+15(x—3)(x—5)x—5.7

y=­；-------=-----------=----=1------

x-x-6(x-3)(x+2)x+2x+2

显然7一工0,则由工工3,得2

x+25

22

所以函数的值域是(f(--,1»(1,+<»).

4.(25.26高三上•贵州遵义•阶段检测)已知函数=用凶表示不超过x的最大整数，则函数

y=[/(A)-1]的值域为.

【答案】{々-1}

【解析】/(戈卜汨二^^二1一岛，

e+1e+1e+1

2

0ex>O,0er+l>l，0O<——<2,

e+1

0/(x)e(-l,l),

即f(x)Te(-ZO),

院大招05判别式法

00❷窗

将函数视为关r咱变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使

用此方法要特别注意自变量的取值范围；适用于形如y=&：+*/,),="+/的函数

ax2+bx+cax1+bx+c

将函数式化成关于X的方程，且方程有解，用根的判别式求出)•的取值范围，即得函数的值域或最值.

【典例5】(2026高三.全国•专题练习)函数)，=三r4的-1最大值为________.

r+8

【答案】0.25

4

【解析】原函数可以化简为'•/-》+83，-1=0在工£1<时有解，

当y=0时，x=-l,

当y不等于0时，A=l-4y(8y-l)>0,

解得一14)，工!且V不等于0,

84

故所求最大值为;.

4

【跟踪训练】

1.（25-26高三上・江苏扬州•期中）若实数Lz满足"z=T6「+y+z=0.用min{x,），,z}表示x,y,

z中最小的数，则min{x，y，z}的最大值为（）

A.—5/2B.-2C.-25/2D.—4

【答案】D

【解析】不妨设Z是x，y，z中的最小值，则由x+），+z=O得ZVO,

由「已一知x+,y=_z,个,=—一16,

Z

所以X，）'是方程r+zr--=0的两根，

Z

64

所以△=z2+—Z0,又Z<0,所以Z'K—64，z<-4,从而Zg=-4,

z

故选：D.

2.⑵26高三.四川成都.期中）函数/Ei的值域为一

2-非2+6

【答案】

2'2

【解析】由解析式知：函数的定义域为R，且—2x+2）=x+l,

整理可得^+即该方程在xeR上有解，

当2=0时，x=-l,显然成立；

2

当¥工。时，A=（2y+1）-4y（2y-1）>0,整理得4/一8），一1WO,gpy,

综上，原函数值域为三叵，益等.

■"■

此长事”[2-752+后

故答案为：~~~-.

3.（2025高一.浙江宁波・期中）函数y=—-x>0的值域为___________.

厂-6x+7

【解析】因为尸三力’整理得4-(6)，+以+7r=。,

可知关于x的方程冲2-(6)，+1)力7)，+1=0有正根,

若：，，=0,贝1」一工+1=0,解得x=l.符合题意；

(1A1

若ywO,plijx2-6+—x+7+—=0,

Iy)y

解得，<一7或,之2及一4且,工。，则一!v),<o或)>。或),4-忘+2.

.y.y>'74

综上所述；y>-:或y<-二+2,

即函数。二,」1r，工>0的值域为］一8,一-芋工.

X'-6x+7I4J17J

故答案为：一孙一垃：2u

4OJ

”大招06换元法

通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值

范围来求函数的值域或最值.

【典例6】(2026高三・江西南昌・期中)已知函数〃x)=2x+457,则函数/("的值域为()

A.(-oo,-8)B.C.[4收)D.[6,-BX))

【答案】B

【解析】令r=，则/«(),+<»),x=3-t2»

则lx+4=2(3-r)+4/=-2r+4r+6,

令g(r)=-25+4/+6=-2«-1)。+8,re[O,-H»),

则g（，）w（Y0，8],所以函数/（x）的值域为（-co,8].

故选：B

【跟踪训练】

1.（25-26高一•福建厦门•阶段练习）函数=x«2,5]的值域为（）

A.-8,--^-B.C.（-8,-3]D.[-8,-3）

ok8」

【答案】D

【解析】xe（2,5],令则X=J+1,

则函数变为y=/—2（产+1）=_2/=,

<4/8

y=一2（…；jV在f«1,2]上单调递减，

其中一2xfl-』[--=-3,-2x（2--l--=-8,

I4；8I4j8

故值域为卜8,-3）.

故选：D

2.（2026高三•辽宁•期中）函数y=x+Vn+2的最大值是（）

A.—■B.—C.4D.2+y/2

44

【答案】B

【解析】设，=万工120，则n=2—/，

（]]7

即y=x+\/2-x+2=-广+/+4=-t—4----，

・I2）4

因为d0,所以当f=g时，），=»>/1=7+2的最大值为日，

故选：B.

3.（25-26高三上•陕西西安•期末）已知正实数乂）'满足冲=炉+），2—12,则x+y的最大值是（）

A.24B.12C.4GD.273

【答案】C

【解析】设x+y=­I,

因为孙=/+）/-]2,

所以V+（/—4）2———12=0,即：3%2—3tx+z2—12=0>

所以△=9/一12（尸一⑵=一3/+14420,

解得：-4>/5MY4C，

又因为x,y为正实数，

所以0<Y45

所以x+y的最大值为4G.

故选：C.

4.（25-2G高一•全国•假期作业）函数），-JTi+的值域为.

【答案】[夜，2：

【解析】由题意可得《一”：?,解得TWxWl,即函数定义域为[T1],

l+x>0

则：产=1-x+1+x+2>/1-x2=2+2>/1-x2,

设,=/，贝打曰04],显然），2=2+2jT=7在re[O,l]上为减函数，

故当7=0时，即x=0时，），=2+2j[=7取到最大值4,则函数y=jn+j。的最大值为2；

当，=1时，即x=±l时，）3=2+2,1一1取得最小值2,则函数y=J1—x+Jl+x的最小值为C.

故函数）=g+VT77的值域为[&,2：.

»大招07单调性法

00混

求函数值域或最值时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单

调递减求值域或最值.

【典例7】（25-26高三上•全国•期末）函数y=2x-的值域为（）.

A.(~<o,2]B.[2,+co)C.(0,2]D.[0,2]

【答案】A

【分析】方法一：根据函数的单调性进行判断；方法二：利用换元法把函数转化成二次函数，再求其值域.

【解析】方法一：由1—XN0得定义域为（-吟］］:

因为y=2x单调递增，），=JT7单调递减，

所以y=二单调递增；

所以函数值域为（-8,2］.

方法二：令1=71。，则x=l-r,

所以y=2（l—r）_/=_2/_1+2=_21+；）+弓，

函数在［0,+力）上单调递减，且，=0时，函数取到最大值2,

所以函数值域为（f,2］,

故选:A.

【跟踪训练】

1.（25-26高三上•浙江湖州•期末）已知函数/。）=一=，则f（x）在上的最小值为（）

x+2

A—6B—3C—2UD--4

【答案】A

【解析】因为y=/+2为开口向上，对称轴为x=0的抛物线，

所以y=Y+2在［-2.0］上单调递减，在（0,1］上单调递增，

则7•。）二一二在［-2,0］上单调递增，在（0,1］上单调递减，

x~+2

又==

o3

所以/（X）在［-2,1］上的最小值为/（-2）=1.

故选：A

2.125-26高二下•辽宁沈阳•期末）函数/@）=54+77五的最小值为（）

A.0B.4c.V2D.2x/2

【答案】D

【解析】根据题意,函数〃力的定义域为［4,+00）,

且由于），=J工7在区间［4,+8）上单调递增，

），=G-2X=7（x-l）2-l在区间［4,+oo）上单调递增，

所以函数/（X）在区间［4,+8）上单调递增，

所以/（X）*=/（4）=2&-

故选：D.

3.（2026•湖南•三模）已知函数/*）=（［）-1。8“不（〃>0且。工1）在［1,*0）上的值域为［2,+8）,则〃=

（）

A.4B.2C.iD.；

【答案】C

【解析】函数尸,），=一1强/=1%1在［1,内）上具有相同的单调性，

所以f（x）在口,内）上单调,要满足题意，则/（x）在U,*o）上单调递增，

所以/⑴=』-1。&1=2,解得。=?,故选C.

a2

»大招08基本不等式法

00混

形如>=依+2«心>0）的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注

X

意条件“一正、二定、三相等"，即利用Q+8N2J拓求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①

4>0/>0;②。+/?（或。/?）为定值；③取等号的条件为。=/?,三个条件缺一不可；

【典例8］（25-26高三上•广东佛山•期中）函数/（中=心攵，工工0的值域为（）

A.（-co,0］B.［8,+oo）C.（-oo,0］u［8,+oo）D.［0,8］

【答案】C

【解析】当x>0时.，/（力=丁+4"+4=/+3422屏+4=8（当且仅当x=2时取等号）；

XXXX

当了<0时，/（力=-+4X+4=_（__±]+44-2"_X>&+4=0（当且仅当穴=一2时取等号）；综上所

xVX）V-%

述：”力的值域为（Y,0]38,«O）.故选:C.

【跟踪训练】

函数了（工）二五+

（2026•北京海淀•二模）的最小值为（)

A.2B.4

C.3D.6

【答案】C

4

【解析】7^>o,不J>。，

4+Y—=4+1+^^——1>2>/4-1=3,

y/x+\\X+1

当且仅当4+1=言[时，即X=1时等号成立,

因此函数最小值为3.

2.⑵-26高三下•湖南衡阳•阶段检测）函数/（。）=a+高‘°£°，W的最小值为（）

A.10B.12C.14D.16

【答案】D

【解析】因为sin?O+cos?。=1,

1919V-2，

所rc以il———+———=——z—+———sinn6+cos-

sin"0cos'0\sin"0cos0

=叱金+史华对0+2、回亚孽=16,

sin_0cos'0Vsiir0cos~0

又。,sint?>0,cos£2>0,

所以当且仅当空?=2笔，即011g=』,859=立时等号成立.

sin?。cos2<922

3.（2026高三・全国・专题练习）函数尸T+9+3,X«T0）的值域为

【答案】[6,7）

44

【解析】y=-x+------+3=1-X+------+2,

令z=l—x,则xe［T,O）时,

y=t+y+2,函数在（1,2］上单调速减，

4

若，=1,则），=1+1+2=7,

4

若1=2,贝IJ），=2+Q+2=6,

故函数值域为［6,7）.

故答案为：［6,7）.

4.（2027高三・全国•专题练习）4数），=L-2x+4囚>2）的值域为_______

x—2

【答案】［6,48）

【解析】因为入,2,所以-2X+4==-2）2+2（X-2）+4

x-2x-2

=（I）+*+2N2b2）Z*+2=6，

4

当且仅当x-2=-即x=4时.等号成立.

x-2

故函数的值域为［6,包）.

*大招09反解法

幅

根据函数解析式反解出x或X的关系式，根据X或X的关系式1的取值范围转化为关于y的不等式（组）

求解

【典例9-1】（2026・河北雄安•三模）函数y=4匚的最大值为________.

2-sinr

【答案】正

33

COSX

［解析］由y=-------,则2y-ysinx=cosx,即ysinx+cosx=2y,

2-sin.r

即4^TTsin（x+*）=2y,则Jf+lN|2y|,UPy2+1>4y2,

解得一且正，故函数），=普匚的最大值为正.

3,32-siiir3

【典例9・2】⑵々6高三上•广东深圳•阶段检测）函数/（1）二耀的值域是

【答案】（F,T）51，E）

10A+10_101-10+2020

【解析】方法一：/（x）==1+

IOV-1O-10l-10101-10

函数/（x）的定义域为i},则i（r＞0且io'工io,

||90

-io＜i（r-io＜o,罚＜-历,i+而

120

当时，"一1。＞。，询〉。一+罚〉］；

综上，函数/（6=能的的值域是（YO,T）D（l，+8）-

方法二：令）,=/（力=胪2,则|。'=华答•

因为所以10,；）＞（）,即（），+1）（），-1）＞0，

解得y＜T或，＞1.

10r4-10

故函数/"）=的值域是（7°,-l）D（L+8）.

101-10

故答案为：（7°,-1）51,也》）.

【跟踪训练】

1.（24-25高一上•浙江宁波・期中）函数/（x）=x—J/—4x+3的值域为（）

A.(f3]B.[1,3]

C.(-8,1M3,+8)D.(f1]U(2,3]

【答案】D

【解析】由f—4x+3N0,得或心3,则函数定义域为(YO,”53,Ko),

由y=x7e-4x+3,得Jx2-4,t+3=x-yN0,

所以/-4x+3=%2-2肛+)尸,得x(2y-4)=)；一3,

/-3

显然），工2,所以尸

2y-4

r-3

一y20

2>'-4

^>3

所以

2>--4

工]

2y—4

y2-3一”。.得上廿-。,

由

2y-4

y2-4y+3(.y2-4y+3)(2y-4)<0

所以<0,所以{

2>'-42)，一4工0

(J-0(>1-3)(2y-4)<0/丁。&

c/八，解得"1或2<yW3,

2y—4Ho

由登洛得”2

解得）'>2'

邹上。，解得），<2,

吟3,得《言乜°'

综上，y<\^2<y<3,

所以函数的值域为（YO』UQ3],故选:D

3A-1

2.（25-26高三上•江西南昌•期中）已知函数/（%）=，则函数八幻的值域为

3'+1

【答案】（-11）

【解析】方法一：小心若印一口,因为3—3，^0<—<1,即

-2<^-<0,

3"

7

所以-1<1-不)<1,故函数/(X)的值域为(z-1,1).

1+），

方法二：令），二三二1,得3、>0,解得工£（一1,1）

3V+11一），

3.（2025高一•全国•专题练习）求卜列函数的值域:

3x+4

⑴)'=-----

x+\

C、\-X~

⑵

【答案】⑴卜|"3}

⑵加

【解析】（1）解法1：尸土?=3+—因为一二/0,所以yeb|"3}.

X+lX+lX+1

解法2：由于y=则工=21，故）'£{）力工3}.

（2）解法I：）,=上二二一1+二，因为i+fzi,所以故

-l+x2l+.v21+厂'」

解法2：由于），=上二，则因为/之o,所以第20,解得一ivysi,BPye（-l,l].

i+x2i+yi+yJ

I►大招10平方法

oood

针对含两个根号的函数，先确定定义域.对函数y平方，展开后分离根号项，将根号内表达式转化为二

次函数求其范围，进而得到的范围，结合y的正负性，最终确定函数的值域或最值.

【典例10]（2027高三・全国・专题练习）函数），=五+7^二7的值域为

【答案】[疯2网

【解析】由已知得函数），=4+x/^7的定义域为[。,可，

由y=五+\Jb-x可得丁=（4+j6-x）=6+2^x（6-x）,

又耳67）=_（公3）2+9,XG[0,6],所以X（6一X）«0,9],

可得6+2jx（6-x）e[6/2],

Xv>0,可得），£卜用2>/5],

所以函数y=«+J6—x的最小值为卡,最大值为2G.

【跟踪训练】

1.（2025高一•浙江•期中）已知函数=莅+万工，则该函数的值域是（）

A.口,2&]B.[1,2]C.[4,8]D.[2,2播]

【答案】D

x+2>0

【解析】令），=/（”=Jx+2+J2T,则・2q。,解得一2口。,

所以函数的定义域为[-2,2],

则产=4+2>/4-』，因为一24x«2,所以0石工244,

所以0£4-/44，则0W“-I42,所以44），2«8,

显然丁>0,所以2«y«2夜，即该函数的值域为[2,2&].

故选:D

2.(2025高一•全国・专题练习)已知函数y=+的最大值为M,最小值为〃?，则?■的值

M

为.

【答案】4

2

【解析】函数定义域{43。41},

y2=(Jl-x+Jx+3y=1-X+X+3+2j(l-x)(x+3)=4+2，-x2-2++3,

igy2=2yfu+4,u=-x2-2x+3,〃=-f-2x+3开口向下，对称轴为〃=一1,

当〃二T时，〃2=-(一1)2-2(-1]+3=4,

当〃=-3或〃=1时，"min=°，

所以/=24+4e[4,8],所以3U=2&,%”2,

所以与=£

M2V22

院大招11赋值法

对于抽象函数的值域问题，往往利用赋值法求出函数的解析式，再求其值域.，或借助函数的单调性和奇

偶性通过赋值求得其最值，从而得到其值域

【典例11](2026,河南许昌•三模)已知函数/(工)的定义域为R,若函数)，=/*)+2x3』是偶函数，函数

)，=/(X)—4X3T是奇函数，则在口,内)上的最小值为()

A.3D.2石C.4D.G

【答案】C

【解析】已知y=/(x)+2-3,是偶函数,所以/(X)+2-3*=/(T)+2・3T①

已知)，=/(x)-4•3T是奇函数，所以/(X)-4•3-x=-4.3*],即/(A)-43^=一八一制+4・3'②

由①得f(-x)=f(x)+23-2•3T,

代入②:/(x)-4-3'x=-/U)-2-3r+2-3'x+4-3r.

整理得2f(x)=2•3'+6•3-r,/(»=3'+3•3r.

3

令［=3*,X€［l,+oo),则壮3,JM=t+-.

t

对勾函数g")=/+；在［3+8)递增，区间［3,+8)在递增区间内.

3

最小值在/=3处：g⑶=3+:=4.

【跟踪训练】

2.(多选)(25-26高一上•浙江金华•期末)已知定义域为R的函数/(x)满足：对任意x,)，eR,有

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)t且〃0冲0,则下列说法正确的是()

A./(0)=1

B.若存在〃〉()使得/(。)=0,则/(1)的最小正周期为4〃

C./("为偶函数

D.“X)的值域为卜15

【答案】AC

【解析】选项A,令x=y=O,则有2/(0)=2/⑼，

又因为〃0)=0,所以/(。)=1；

选项B,令y=则有/(x+a)+/(x—a)=2/(x)/(a),

因为/(〃)=(),从而/(工+。)=一/(彳一々)，则/"+2〃)=一/(x)，

所以/(X+4<7)=-f［.x+2a)=/(A),

故4〃是/("的一个周期，但不一定是最小正周期；

选项c,令x=o,则有f(y)+〃-y)=2/(0)〃y),

所以/'(-y)=〃y)，故/("为假函数；

选项D,取〃x)=i,满足抽象方程〃x+y)+/(x—y)=2/a)/(y),

但是其值域为{1},不符题意.

故选：AC.

2.(25-26高三下•重庆•阶段检测)已知满足f(x-y)f(y)=2f(x)己(力40,且/(1)=4,则

〃2-力+/(k的值域为

【答案】区内)

【解析】由函数/⑺满足“Y-jVXyXZAHjaH。，日."1)=4,

令？=0,可得/(力可0)=2/(x),因为“X)工0,可得f(0)=2,

再令x=2,y=l,可得/⑴/⑴=2/(2)=16,所以“2)=8,

令工=2,可得/(2-)，)/0)=2/⑵=16,即f(27)/(x)=16,

再令x=2y,可得2/(2y)=/()，)〃)，)，所以

则f(27)+/(x)之2”(2-山(力=8,

当且仅当/(2r)=」(力=4时,等号成立，

所以〃2T)+〃X)的值域为电内).

故答案为：区+8).

3.(25-26高三下•河南焦作•阶段检测)函数/(x)满足：对任意〃wN"f(n)>6n,