2026年高考数学一轮复习（新高考）考点培优练02 立体几何中的平行与垂直证明（学生版）

考点培优练02立体几何中的平行与垂直证明

考点预览《<、

考点01空间线面位置关系的判定.......................................................

考点02几何法证明直线、平面平行的判定与性质.......................................

考点03几何法证明直线、平面垂直的判定与性质..............................6

考点04向量法证明平行于垂直.......................10

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考点01空间线面位置关系的判定

「.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

图形语言符号语言公共点

相交qCla=Aj_个

直线与平面------a

平行，/。个

在平面内%--qua无数个

%)

平行a//fi2个

/___/

平面与平面

相交a\8=l无数个

一

2.等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相笔或互补.

3.异面直线所成的角

⑴定义：已知两条异面直线小b,经过空间任一点。分别作直线a'〃mbV/b,我们把直线与夕所

成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

（2）范围：（0,

1.已知〃?，n,/为三条不同的直线，a,6为两个不同的平面，若0=1,mua,nu[3,且机与〃

异面，则（）

A./至多与小，〃中的一条相交B./与"?，〃均相交

C./与小，〃均平行D./至少与〃?，〃中的一条相交

2.设小，〃是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若则加〃〃B.若小//几〃?//二，则〃//0

C.若mua,nu0,则〃?，〃是异面直线D.若al/,mu%nuB,则旭〃〃或加，〃是异面直线

3.设〃?，〃为空间两条不同的直线。，4为空间两个不同的平面，绐出下列命题：

①若mA.a,"1〃尸，则aA-P-

②若mHa,nila，则〃?〃〃；

③若mua,〃ua且〃?//民n//p厕alip；

④若m±ajiUp且a///7,则mln.

其中所有正确命题的序号是（）

A.①②B.②③C.③④D.®@

4.如图，在正方体ABCO-ABCA中，异面直线4。与。C所成的角为（）

n

A.B.it

67

5.如图，在三棱锥夕-44。中，E,FC"/J分别为线段PAP8/CA及8CC4的中点，则入列说法正确

的是（）

A.PHUBGB.IE//CP

C.FH//GJD.GUUH

6.已知a，尸是两个不同的平面，，〃，〃是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A.若a_L〃，mua,则

B.若〃2_Lam//n,则〃_La

C.若〃z_La,，〃_!_〃，则〃//a

D.若。〃尸，tnca,nup,则,〃〃〃

7.已知〃I〃是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若〃？//〃，〃？//a,则〃

B.若a11P、mua、〃u[3,则

C.若工y,则a///

D.若〃？则〃JL/?

8.已知圆柱的轴截面ABC。为正方形，E为下底面圆弧相的中点，点尸在上底面圆弧CQ上且与E在轴

截面同侧，若C尸=：。。，则异面直线AE与所成角为（）

A.30°B,45°C,60°D,75°

9.在直三棱柱44C-A4G中，所有棱长都相等，D,E,尸分别是棱A8,BC,8c的中点，则异面直

线DF与GE所成角的余弦值是（）

7B.一幽D-V

1()

10.如图，下列正方体中，M,N,P,。分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和夕。为异

面直线的是（）

11.在正四棱柱中，的=24瓜旦£6分别是。。1,8。,（；。的中点，则直线与族所成

角的余弦值为（）

A.在B.1C.如D.画

23510

12.我国古代著名的数学专著《九章算术》中记载有几何体“刍费.”如图，在几何体“刍赞所-/WCQ中,

“〃平面A8CO,四边形ABFE,CQE尸为两个全等的等腰梯形，EF=；AB,。为正方形ABC。的中心,

则（）

A.EO_L平面A6C。B.EO//平面FBCC.EOHFBD.EO//FC

13.在直三棱柱/WC-A/C中，H。=44=44=2,/84。=120,。是棱8£的中点，则异面直线4。与用。

所成角的余弦值为（）

AV10R3710「百n275

101055

14.在正方体A3c。-A/G。中，。为线段4。上的动点，则直线PC1与四。所成角的取值范围是（）

15.已知〃?，〃为两条不同的直线，扇〃为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

①若ml.a,mln,则〃//a；

②过直线“外一点，有且只有一个平面与这条直线平行；

③若a"L"〃2ua,则机必垂直于面尸内的无数条直线：

④若相，〃为异面直线且点?任，凡P任〃，则存在两条直线过点产且与〃?，〃都相交.

A.@B.③C.②D.①

考点02几何法证明直线、平面平行

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果平面外一条直线

与此平面内的一条直-------aaCa、

判定定理bua=。〃a

线平行，那么该直线与a"b

此平面平行

一条直线与一个平面

平行，如果过该直线的a//a\

性质定理au0>=>a//b

平面与此平面相交,那白>/aCI"独

么该直线与交线平行

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面内

判au。、

的两条相交直线

定bu0

与另一个平面平aflb=P.=>/?〃a

定a〃a

行，那么这两个平口

b〃a,

理

面平行

(1)求证：8〃〃平面GOE；

(2)求三棱锥A-3D户的体积.

2.如图，垂直于梯形A8C。所在平面，乙4。。=/84。=90,户为外的中点,

PD=42,AB=AD=^CD=\,四边形PQCE为矩形.

(1)求证：AC//平面。所；

(2)求平面43CD与平面3c。的夹角的余弦值.

3.如图，在四棱锥产-/WC。中，底面HBCO是菱形，侧面P4D_L底面A4C。，为正三角形，E、F

分别是棱4。，。。的中点，点6在侧棱。。上，旦P。：3。=3:1.求证：PB〃平面EFG.

4.如图，在直三棱柱人A4G中，ZBAC=90°,AB=AC=2,AA=20.N是4G的中点，p是BC、

与BC的交点.

(1)求直三棱柱44C-A4G的体积;

(2)若。是AN的中点，证明：尸。〃平面A3C；

5.如图，在四棱锥S-人AC。中，底面A8CD是平行四边形，。是VABC的重心，M.乙厂分别是线段

SC,SD,BC上一点、,且SM=2MC,SE=2ED,OF//AB.

(1)证明：ME与OE共面；

(2)证明：CE〃平面S4R

6.如图，四棱锥5-人48的底面是正方形，SO垂直于底面ABCQ.E为SC的中点.

s

E

⑴求证：SA//平面4QE；

(2)若AB=SO=2,求直线S4与平面AC。所成的角.

7.如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面ABCZ)是菱形，NABC=60。且B4=A8=2，A4_L平面ABC。，E为

夕。的中点.

(1)证明：冏//平面AEC；

(2)求EC与平面PAD所成的角.

8.如图，在四棱锥P-ABCZ)中，AZ)_L平面RW,AB//DC,E为棱总的中点，平面。CE与棱E4相交

于点月，RPA^AB^AD^2CD=2,再从下列两个条件中选择一个作为己知.

条件①：PB=BD；条件②：PALBC.

(1)求证：AB//EF；

(2)己知点"在棱PC上，直线8M与平面QCE尸所成角的正弦值为白，求要的值.

9.如图所示，在四棱锥产一ABC。中，PA=AD=CD=2AB=2,AB±AD,CD1AD,Q4_L底面48CO,

M为PC的中点

M

⑴求证：平面PAA

(2)求直线PC与平面0所成角的正弦值.

10.如图，四棱锥P—A8CO的底面A8C。是正方形，侧棱2。_1_底面A8CO；。。=。。=2,£：是〃。的中点.

(1)证明：E4//平面

(2)求8c与平面BDE成角的正弦值.

考点03几何法证明直线、平面垂直

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果平面外一条直线

与此平面内的一条直--------aaUcC

判定定理bua.=。〃a

线平行，那么该直线与a"bz

此平面平行

一条直线与一个平面

平行，如果过该直线的a〃a、

性质定理au6=>a//b

平面与此平面相交,那afl：=b

么该直线与交线平行

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面内

判auB、

的两条相交直线

定buB

与另一个平面平aPlb=0>=/?〃a

定alla

行，那么这两个平口

〃

理ba,

面平行

两个平面平行，如

性

果另一个平面与

a〃B、

质/^Y\/

这两个平面相交，afly=a>=>a//b

定PC\y=b1

那么两条求线平t

理

行

1.如图，在三棱锥P—A8C中，P4_L底面ABC,ZACB=90°,M是总的中点.

C

(1)求证：8C_L平面尸AC；

(2)若PA=AC=^BC=2f求/W与平面P8C所成角的正弦值.

2.如图，在三棱锥尸-A3C中，AP=AB,M,N分别为棱尸B,PC的中点，8C_L平面八4艮

(1)求证：5C7/平面AMN；

(2)求证：平面AMN_L平面PBC.

3.如图，已知正方体488-A4GA的棱长为4,P、。分别是棱8C、8c的中点.

⑴求证：AC_L平面片

(2)求异面直线DF与AQ所成角的余弦值.

4.如图①，四边形A8C。中，AD//BC,CD1BC,BC=^AD,E为40中点.将二七沿的折起到.

的位置，如图②.

(1)求证：AC//平面入七。；

(2)求证：3£：_1平面凡£。.

5.如图，已知是正方形，平面底面ABC,CB=CA,其中G、H分别是OC、的中点.

(1)求证：£B_L平面A8C.

(2)判断G”与平面A8C的关系，并证明你的结论.

(3)判断AA与EC是否垂直，并说明你的理由.

6.如图，四棱锥P-AACD中，P4_L底面ABC。，点£在线段AO上，.且CE//AB.

(1)求证：CE_L平面尸A£);

(2)若%=48=1,AO=3,CD=&，NCD4=45,求两条异面直线CO和依所成的角.

7.如图，在正方体ABCO-AqCQ中，E为。。的中点.

⑴求证：平面ACE；

(2)求证：平面8OR平面ACE.

8.如图，在长方体ABC。-ABC。中，已知AB=4。=2,朋=3.

(1)证明:平面ACGA，平面也乃在：

(2)已知点尸是线段AG上的动点，求四面体。4c片的体积.

9.如图，在四棱锥P-A4a＞中，四边形A3CO为正方形，已知PD_L平面A8CO,E为PC中点.

(1)证明：P4〃平面用龙；

(2)证明：平面平面P8C.

10.如图，四棱锥P-ABC。的底面是边长为I的正方形，侧棱QAJ_底面A8C。，且B4=2,E是侧棱E4

的中点.

⑴求证：PC"平面BDE；

(2)求证：平面PCO_L平面尸AD.

考点04空间位置关系的向量证明

位置关系向量表示

直线/I,/2的方向向量分别为h//hV\//V2<^>V]=XV2

V2/11/2V\A-V2<=>V]-V2=0

直线/的方向向量为。，平面l//aO-L"=♦•〃=()

a的法向量为〃l-Lav//n<^n—ku

平面a,£的法向量分别为小，a//pzuZ//n<=>n1=2/12

H2alpni_L〃2=〃r〃2=0

1.已知直线1的方向向量是2=(3,2,1),平面a的一个法向量是冗=(1,一1,一1),贝〃与a的位置关系是()

A.Z1aB.I||a

C.1与a相交但不垂直D.IIIa或，ua

2.如图，已知在四面体48co中，△BCD为等边三角形，4B=百,△88的面积为百，点4在平面BCD上的

投影为点B,点M,N分别为4C,CD的中点，则（）

A.MN与5。相交

C.BMLAND.DM1BN

3.如图，在正方体力8。。一公8£。1中，E是棱的中点，点F在棱口内上，且印=疝匕，若名尸II平

面则入=（）

4.如图，正方体ABCD-4181GD1中，尸是线段3C1上的动点，有下列四个说法:

①存在点P，使得。J〃平面4DB；

②对于任意点P,四棱锥P-44DDi体积为定值；

③存在点P,使得&P1平面GDB；

④对于任意点P,△&DP都是锐角三角形.

其中，不•正•确•的是（）

A.①B.②C.③D.④

5.正方体4?。。-4道传］仇的棱长为1,E为棱的中点，点P在面对角线BCi上运动(P点异于B、G点)，

以下说法错误的是()

A.曲〃平面NEC

B.4P