2026年高考数学一轮复习专练两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式

A夯实基础B相遇高考C素养提升

A夯实基础

1.（四川省成都市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试题）已知

tan71tar2

6z=cos2330-sin233%人卜羊46。,"-^则的大小关系为（）

V2l+tan71°ian26°

A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

2.（24-25高一下•四川成都・期末）计算：cos37°sin67o-sin37osin23°=（）

A.-1B.0C.!D,—

22

3.（24-25高一下.重庆•期末）已知百sina-sin（a+二|二g,则cos（2a-V〕=（）

16724

B.——C.——D.——

252525

24

4.（24-25高一下•四川雅安•期末）已知cos]:a+/?）=-,cos（«-/?）=-,则tanatan1=（）

55

11

A.-3B.3C.一一D.-

33

37

5.（24-25高一下・湖北黄冈・期末）已知。,〃为锐角，85。二不力】（。+0=t，则83/=（）

A28—12夜D28十12&「21-16五C21+1672

A.-------------D,---------------C.--------------L）.--------------

45454545

（24-25高一下•山东淄博•期末）已知sin"；,则s陪-2。）=（）

6.

A7__7_472n472

--

A.D•C・-------D・--------

9999

7.（24-25高一下♦河南南阳•期末）已知tana=-3,则sin%-sin2a=（）

J2233

A.C.

3322

8.（24-25高一下•广西钦州•期末）函数/（abSsinacosN^-dsina+sinZ-cos%的最大值

为（）

A.72B.2C.75D.3

9.（多选）（24-25高一下•四川绵阳•期末）下列等式成立的是（）

A.sin15°cosl50=iB.cos75ccos150+sin75°sin15°=0

仁tan120+tan33°,

C.2siirl5O-l=—D.=1

2I-tan12°tan33°

10.（多选）（24-25高三上,山东临沂•阶段练习）下列式子结果正确的是（）

A.tan25+tan35+73tan25tan35=6

Btan22.5

I-tan222.5

C.—IS=6

l-tan!5

_24.2万1

D.cos---sin—=—

882

11.（24-25高一下•甘肃白银•期末）tan35+lanl00-tan35tan100=•

12.（24-25高二下•云南昆明・期末）已知x/5sina-cosa=',则cos2a-=,

13.（24-25高一下•辽宁朝阳•期中）己知0<〃<5,且cos（a+^）=巫，

22410

cos（a+/?）=—.

（1）求sina的值;

（2）求8sl的值.

14.(24-25高一下•四川成都・期末)已知角。的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合,

终边经过点尸(-3,)，)，且:ana=-1

+sin（'+a）

⑴求sin（乃-a）的值;

⑵将a的终边按顺时针方向旋转此时终边所对应的角为夕，求sin(a+/7)的值.

B相遇高考

1.(2024•新课标I卷•高考真题)己知cos(a+/?)=m,tanatan/?=2,则cos(a-/?)=()

A.-3mB-C-f口.3〃？

2.(2023•新课标I卷高考真题)已知sin(a-尸)=1,cosasin/?=L则COS(2<7+20=().

36

7117

A.-B.-C.——D.----

9999

c素养提升

1.(24-25高二下•浙江丽水•期末)人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们

的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别

信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离

进行测试二维空间有两个点4(%,y),8(孙为)，定义之间的余弦距离为l-cos(AB),

苴中cos(A,B)=,*:x*:+•%:x/力：

&+短42+0&+城心+%2

⑴若5(1,-2),求A8之间的余弦距离：

(2)已知0<a<B<?M(sina,cosa),N(sin/?,cos/?),O(sin/7,-cos/7)，若cos(M，N)=g,

cos(M,Q)=g,

①求MQ之间的余弦距离;

②求tanatan/7的值.

2.（24-25高三上•上海松江•阶段练习）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着

人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的

识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进

行测试，经常使用的测量电离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点

A（%,y）,8（再,％）,则48之间的曼哈顿距离为：d（儿8）=1一司+帆.A,B之间

/AM%，VlVo

的余弦距离为1—cos(AB),其中cos(A,3)=J2*/J2+I；「IJ2为

7%+yxjx?+%X[+Y!x?+%

A,8之间的余弦相似度.

⑴若A(2,1),B(1,2),求A,8之间的曼哈顿距离和余弦距离：

(2)已知。＜。＜/〈工,M(8sa,sina),N(cos〃,sin/?),P(cos(＜z+/7),sin(cr+//)),且

1?3

cos（M,N）=—,cos（M,P）=-.

135

①求N,0之间的余弦距离；

②求MP之间的曼哈顿距离.

3.（24-25高一下•内蒙古呼和浩特•期中）已知cosa=乎，且。,匹（0,夕.

（1）若sin（a-p）=1^,求cos（2a一夕）的值；

（2）若sin/?=您：，求。一夕的值.

4.（24-25高一下•江苏常州•期中）中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用

广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数也可以表示为2sinl8。.三倍角公式是把形如

sin3a,cos3a等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广泛应用于数学、物理、天文等学

科.

⑴已知cos3a=4cos%-3cosa,试证明此三倍角公式；

⑵若角a满足-----=--，求二一的值；

cosa2sina

⑶试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值2sinl8.

第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式

A夯实基础B相遇高考C素养提升

A夯实基础

1.（四川省成都市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试题）已知

八皿233。-靖33。，小上号空tan710-tar.26°,.、/k，、

;-----~—»则nil。酒"的大小关系为()

l+tan710tan26°

A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

【答案】C

【分析】利用二倍角公式与和差角的止切公式化简计算再根据正弦函数的单调性比

较大小即可.

【详解】®a=cos233-sin233=cos66=sin24，

〃―Jl-cos46。l-(l-2sin223)

=sin23，

2

tan710-tan26°.“0、，

c=----------------=tan(71°-26°)=l,

1+tan710tan26°

又因函数y=sinx在第一象限是增函数，故sin23<sin24<1,即vc.

故选：C.

2.(24-25高一下•四川成都・期末)计算：cos37°sin670-sin37°sin230=()

A.-1B.0C-i

【答案】C

【分析】利用正弦两角和差的逆应用即可求解.

【详解】由

cos37°sin670-sin37°sin23。=cos37°sin670-sin37°cos67°=sin(67°-37°)=sin30°=,故

C正确.

故选：C.

高一下.重庆.期末）已知gsina-sin|a+一7153_n

3.(24-25-,则cos2a一弓)

6J5

1624

B.——cD.—

A.i25-25

【答案】A

【分析】根据两角和的正弦公式，化简已知条件，再根据余弦的二倍角公式，求出结果.

【详解】

n1]二2na」c°sa.兀3

百sina-sina+—=x/3sina-sina+—cosa=sina——

62226r

兀

cos22a=l-2sin2a

"4~6

故选：A.

24

4.(24-25高一下•四川雅安•期末)己知cs(a+Q)=w，cs(a)=m，贝ljtanatan,=()

1D

A.—3B.3C.——-I

3

【答案】D

3

【分析】由已知条件，利用两角和与差的余弦公式展开，解方程可得cosacos/?=]

sinasin/?=j,进而求得答案.

22

cos(a+m=Wcosacos^-sinasin/?=—

【详解】由):,律

c4

coscosacos/y+sinasin^=—

解得cosacos/?=—,sinasin^=-

55

一，csinasin£1

所以⑶嬴羡旃=§.

故选：D.

37

5.(24-25高一下•湖北黄冈•期末)已知a,〃为锐角，cosa=『sin(a+/?)=§,则cos6=()

28-12加28+12加21-16上21+16a

DD.------------rn

45454545

【答案】A

【分析】利用同角的正余弦的平方关系求得sine,cos(a+0,利用cos£=cos[(a+#-a]

可求值.

【详解】因为cosa=3,0<<7<—,所以sina=J1-cos'a=1

525

7T74

又因为0</<一,所以ava+//vji,又sin(a+/?)=—<-=sina,

295

所以;<a+尸<兀，所以cos(a+〃)=-^1-sin2(a+/?)=~~~~

所以cos/?=cos[(a+£)-a]=cos(a+£)cosa+sin(a+8)sindz

4x/237428-12忘

----x—+—x—=---------

959545

故选：A.

6.（24-25高一下•山东淄博•期末）已知sinO=；,则sin（：-2e）=（）

【答案】A

【分析】由诱导公式和二倍角的余弦公式化简可得结果.

【详解】sin（］—29）=cos2夕=1-Zsin?夕=1一2x（g）=g.

故选：A.

7.（24-25高一下•河南南阳•期末）已知tana=-3,则sin%-sin2c=（

【答案】C

【分析】利用正弦的二倍角公式、弦化切可得答案.

sin%-2sinacosatarra-2tana3

【详解】sin%-sin2a=-----；------=—.

sin%+cos%tan-Qf+l2

故选：C.

8.(24-25高一卜.•广西钦州•期末)函数〃a)=8sinacos2£■-4sina+sin%-cos2a的最大值

为()

A.72B.2C.6D.3

【答案】C

【分析】由题可将/(a)亿为石sin("-夕)，其中iane=J,然后可得答案.

,a,,(,a\

【详解】/(a)=8sinacos2—4sina+sin2a-cos2a=4sina2cos?—1-cos2a

2I2，

=4sin«cosa-cos24z=2sin2a-cos2a=>/5sin(2«-^),其中ian°=：,

则当2a-〈=t+2E,&eZ时，取最大值有.

故选：C

9.（多选）（24-25高一下•四川绵阳•期末）下列等式成立的是（）

A.sin15°cosl50=—B.cos75ccos150+sin750sin15°=0

4

仁tan120+tan33°,

C.2siirl5O-l=—D.=1

2I-tan12°tan33°

【答案】AD

【分析】利用二倍角公式及和差角公式逐项计算判断.

【详解】对于A,sinl50cosl50=-sin30°=-,A正确：

24

对广B,cos750cos150+sin750sin15°=cos（75°-15°）=cos60°=—,B错误；

2

对于C2sin215O-1=-cos300=,C错误；

2

tanl2+tan33

对于D,0°=^（12o+33°）=tan45°=I,D正确.

1-tan12°tan33°

故选：AD

10.（多选）（24-25高三上•山东临沂•阶段练习）下列式子结果正确的是（）

A.tan25+lan35+y5tan25tan35=百

ctan22.5,

B.------=1

1-tan'22.5

C.11^=73

1-tan15

.o711

D.cos----sin—=-

882

【答案】AC

【分析】逆用两角和的正切公式和二倍角的余弦公式即可得出答案.

【详解】对于A,逆用两角和的正切公式可得

tan25+tan35+>/3tan25tan35=tan（25+35）（1-tan25tan35）+73tan25tan35=6,故

A正确；

tan22.52tan22.5\_

对于B,逆用由两角和的正切公式可得=—tan45故B错

1-（an222.52l-tan222.522

误;

对于C逆川由两角和的正切公式1+,血15=tan45+tanl5=t@“15+45)=tan60=指，

l-tan!51-tan15tan45'7

故C正确；

对于D,逆用二倍角的余弦公式COS?2-疝］22=8$乙=正工』，故D错误.

88422

故选：AC.

11.(24-25高一下•甘肃白银•期末)tan35+tanl(X)-tan35tanl(X)=.

【答案】-1

【分析】由tanl35=tan（35+100）,利用两角和的正切公式变形即可得解.

lan35+tan100_1

【详解】tan135

1-tan35tan100

/.tan35+tanl(X)=-l+tan35tan1(X),

tan35+tan100-tan35tan100=-l.

故答案为：-1.

12.(24-25高二下•云南昆明•期末)已知疯ina-cosa=',则cos2a=

47

【答案】而

【分析】先用辅助角公式化简等式，再利用二倍角公式进行求解.

【详解】因为V5sina-cosa=2,所以2sin<2-^1=sin。一^]=！，

7\6；7k7

令，=a-工，则sinf=L

67

cosf2a--I=cos(2(r+-)--)=cos2t=l-2sin2/=l--=—.

【3J634949

47

故答案为：为

13.(24-25高一下•辽宁朝阳•期中)已知0<av；,且cos(a+3=Y2,

22410

8

cos(a+/7)=—.

(1)求sina的值;

⑵求cos/的值.

【答案】⑴|

（2）S

【分析】（1）（2）利用平方关系及差角的正弦、差角的余弦公式求解.

（1）由0<a<9得+r〈手，乂cosg+马二巫，则

【详解】

2444410

.,兀、

sin(a+—)=

410

ri二bl♦/兀兀、.,兀、冗,7T\.7l/73

明以sina=sin(cz+-------)=sm(a+—)cos——cos(a+—)sin—=——(--------

4444442105

-Q

（2）由0vav—,0v〃v—,得0＜。+/＜兀，又cos（a+/7）=—,

2217

则sin（a+夕）=—,又cosa=Vl-sin2a=-

175

所以8$/7=（：05］（。+尸）一。［=（：05（。+/7）＜：0$。+$111（。+/?：©11。=卷*《+||乂3=^^

14.(24-25高一下•四川成都•期末)己知角。的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合,

终边经过点P(-3,)，)，且:ana=-'

冗I»»公，

⑴求sin（乃-a）+sin彳+aJ的值;

⑵将a的终边按顺时针方向旋转5,此时终边所对应的角为夕，求sin(a+/?)的值.

【答案】(1)-

50

【分析】(1)利用三角函数定义列方程求出点。的坐标，然后再求出cost、sine,最后

利用诱导公式化简求值;

⑵由题意知”。十根据两角差的正弦、余弦公式求出si“、8s〃’再利用两角和的

正弦公式求sin(a+〃).

4V

【详解】(1)由三角函数定义可得tana=—§=一方，得y=4,

3

ijiilcosa="/----

则5，

444

sina=tana=——

5，3

431

sin（九一a）+sin—71+cr|=sina+cosa=

12555

（2）因为sin/?=sin。一5,cosfl=cosl-

巫si…2。sa=逑

所以sin/?=，"当cosa+——sina=——，

2210210

4V237＞/21772

所以sin（a+/?）=-X----------------X-----------=------------------

51051050

B相遇高考

1.(2024・新课标果卷•高考真题)已知cos(a+H)=m,tanatan£=2,则8s(a-£)=()

A.-B.-----C.-D.3〃z

33

【答案】A

【分析】根据两角和的余弦可求8$。85〃村11。血尸的关系，结合121101@11〃的值可求前者,

故可求cos(a-夕)的值.

【详解】因为cos(a+/?)=〃7,所以cosacos〃-sinasin尸=5，

ffjtanatan/?=2,所以sinasin/7=2cosacos〃,

故cosacosp-2cosacos°=m即cosacosp=-m,

从而sinasinA=-2/〃,故cos(a-Q)=-3〃z,

故选：A.

2.(2023•新课标I卷・高考真题)已知5皿。-/?)=!，8§局【1/7=，，则85(%+24)=().

36

7-II7

A.—B.-C.—D.----

9999

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(a+夕)，再利用二倍角的余弦

公式计算作答.

【详解】因为sin(a-/?)=sinacos/?-cosasin〃=！，而cosasin/?=-,因此sinacos/?=’,

362

..2

贝ijsin(aI/3)=sinacos°Icossin,

2]

所以cos(2a+2/)=cos2(a+/?)=l-2sin2(a+/?)=1-2x(—)2=—.

故选：B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

(1)"给角求值"：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角

总有一定关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函

数.

(2)”给值求值〃：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变

角〃，使其角相同或具有某种关系.

(3)“给值求角J实质上也转化为“给值求值"，关键也是变角，把所求角用含已知角的式

子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.

C素养提升

(24-25高二下•浙江解水期末)人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们

的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别

信息，最终判别对象的身份.在人脸以别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离

进行测试.二维空间有两个点A（N，X）,8（七,为），定义之间的余弦距离为1-COS（A3）,

其中COS(A4)=%

+)1

⑴若A（2,—l）,fi（l,-2）,求A8之间的余弦距离;

⑵已知0<a<,M(sina,cosa),N(sin/?,cos/7),O(sin/7,-cos/?)，若cos(M,N)=g,

cos（M,Q）=g,

①求N,Q之间的余弦距离；

②求tanatan/?的值.

【答案】⑴"

（2）①/；©5

63

【分析】（1）根据新定义计算即可；

（2）①由新定义及所给点的坐标得出cos（M,N）,cosm.Q）,再求出cos（N,。），即可得

出MQ之间的余弦距离；

②由cos(a-6)=K，cos(«+/?)=--,展开化简可得解.

21一1一211

【详解】（1）由题意得l-cos（A8）=l-

・•.AB之间余弦距离为g：

(2)①由题意得8s(M,N)=sinasin/?+8sacos6=cos(a-尸)=g

,/0<«/.sin(6f>

222

,/cos(M,Q)=sinasin/y-cosacos〃=-cos(a+〃)=g,

I2^/2

cos(«+/?)=--,<0<a+£<兀，sin(a+/?)=^^

J3

cos((2)=sin2/7-cos2/5=-cos2〃=-cos[(a+/?)-(2-〃)]=-[-gx；+(一亭='+

。之间的余弦距离为l-cos(MQ)=l-d+亚)=工-迈

...N、

6363

②由①可得cos(a_/?)=5，cos(«+/?)=--,

cosacos/+sinasin1=一cosacos0=三

cosacos/7-sinasin/?=--sinasin/7=—

八sinasinB

：.tantanp=-----------=5c

cosacosp

2.(24-25高三上•上海松江•阶段练习)人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着

人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的

识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进

行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点

AQQJW%，%)，则A，8之间的曼哈顿距离为：d(BB)=|X|-七|+|%一％|・人，B之间

X

/AX2X)‘2

的余弦距离为1-cos(AE),其中cos(A13)=/「，xi「、+/,、*/J,为

A,B之间的余弦相似度.

⑴若A(2,l),8(l,2),求A,B之间的曼哈顿距离和余弦距离;

71

(2)已知0<a<p<Q.M(3sa,sina),N(cos/?,sin/?),P(cos(a+/Z),sin(a+/?)),且

1?3

cos(M,A^)=—,cos(/Vf,P)=^.

①求MP之间的余弦距离；

②求M。之间的曼哈顿距离.

【答案】(1)曼哈顿距离为2,余弦距离为1

⑵①卷②H

【分析】(1)根据题意代入题目中的公式可得答案；

(2)①根据条件和两角和的余弦公式可求答案；②先求解cos2区sin2/7,结合和角公式可

得答案.

【详解】(1)由题意以九功=四-即+|%一对=|2-1|+卜2|=2；

/x.x,y,y21124

因为8s(4+不丁R+W&K%方

所以余弦距离为1-cos(A,B)=(.

12

(2)①由题意cos(M,N)=cosacos/7+sinasin夕=cos(a一夕)=口，

由()<a</?<£,可得一3<。一尸<0,故sin(a—/7)=-Jl-cos?(a-/?)=-•—；

2213

34

因85(/,7))=(：05085(々+/?)+$也0$由(二+夕)=(：05[€1-((1+[3)]=85〃=一，故sin0=-,

55

则cos(N,P)=cos/?cos(a+⑶+sin/?sin(a+/)=cos[/?-(a+/)]=cosa,

1234_56

又cosa=cos(a-/7+/7)=cos(a-/7)cos/^-sin(a-77)sinft=­x—=

135565

9

所以N,P之间的余弦距离为l-cos(N,P)=l-cosa=K.

65

047

②由①可知sin2/?=2sin/cos/=—,cos2/?=2cos2(i-\---,

2525

8s(a+夕)=cos[(a-/7)+2/7]=cos(a-^)cos2/