第6节：集合的基本运算

第6讲：集合的基本运算

【知识梳理】

知识点一并集

知识点二交集

知识点三补集

1.全集

2.(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有酒，那么就称这个集合为全集.

⑵记法：全集通常记作幺

2.补集

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的

自然语言

集合称为集合A相对于全集U的补集，记作CuA

符号语言CuA={x\xEU,且xCA}

图形语言

【例题详解】

题型一：交集的运算

1.(2025・湖北武汉•模拟预测)已知集合4={-1,0,2}]={耶|<2},则()

A,{0,1,2}B.{0,1}C.{-1,03,2}D.{-1,0,1}

【答案】D

【分析】根据交集定义计算求解即可.

【详解】集合A={T,0,l,2},8={则<2}，则Ac8={T0,l}.

故选：D.

2.(2025・陕西咸阳・模拟预测)已知集合加={小-2佰2},%=卜2,-1。123},则MCN=(

A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0.1}C.{0,l,2,3}D.{1,2,3}

【答案】C

【分析】先求集合”,利用集合的交集运算即可求解.

【详解】因为“={小一2K2}二{x|0W4},N={-21,0,1,2,3},

所以McN={0,l,2,3}.

故选：C.

3.(25・26高一上•全国•课后作业)已知集合4={-2,04,3,5},B={AGZl-2<x<4},贝沙|。8=(

A.{1,3}B.{0,1,3}C.{TO,1,3}D.{-1,03,2,3,4,5)

【答案】B

【分析】由交集的概念即可判断.

【详解】由题得8={T,0,l,2,3,4),AC\B=(QX3].

故选：B

题型二：并集的运算

4.(25-26高一上,全国课后作业)设集合人=卜|-；<工<2>8={x||x区1},则AU8=()

A.1.V|-1<A<2}B.{x|-1<x<l}C.{xlx<2}D.(x\\<x<2]

【答案】A

【分析】由题意得B=,然后可求并集.

【详解】由国41得TWxG,

^.13={x\-\<x<\},

y^-"A='X\--<x<2-

故AUB={x|-lJ<2}.

故选：A.

5.(25-26高一上•云南曲靖・期末)已知集合加=卜|=。^,N={x\-\<x<2}，则MuN=(

A.(-L2]B.[-1-2]C.(-1,-2)D.卜1，也)

【答案】D

【分析】先得M={X|XNI}，再由集合的并集运算可得.

【详解】知=卜卜=7^1}={小训，

故MuN={x|x><JV<2}=1x|.r>-l},

故选：D

6.(25-26高一上・湖南衡阳・期末)已知集合用=卜|1。《2},N={x|x<l},则用=N=()

A.{x|0<x<2}B.0C.{小42}D.{巾《3}

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用并集的定义求解即得.

【详解】依题意，M^N={x\x<2}.

故选：C

题型三：补集的运算

7.(25-26高一上•全国•课后作业)已知全集U={X|-3<X<3},集合A={x|-2<xK1},则44=(

A.{x|-2<x<l}

B,3-3vxv2或1Wxv3}

C.{x|-2<x<l}

D.{x\-3<x<-2^A<x<3]

【答案】D

【详解】由补集定义可知名A={x-3vxW-2或l<x<3}.

8(25-26高一上•云南昆明期末)已知全集U=RA={x|-l<x<2}B={y\y>0}，则Ac&B)等于().

A.{x|-l<x<0}B.{x|-l<x<0)

C.{x|()<x<l}D.k|OKx<l}

【答案】B

【分析】根据补集定义求则为8，再结合交集定义求结论.

【详解】因为8={比>0},U=R,

所以"4=3”0},

又人=叶1<“<2},

所以AC(4M={止l<x«0}.

故选：B.

9.(25-26高一上・贵州毕节•期末)设集合4={#>1},B={x\-2<x<2}，则母()

A.(-2,1)B.(-2,1]C.(1,2]D.(—2)

【答案】D

【分析】根据补集和并集概念求出答案.

【详解】羽={小小},又8={42<x<2},

故@A)D8={小<1}u1;r|-2<xv2]=2).

故选：D

题型四、交、并、补的综合运算

1().(25-26高一上.广西柳州.期末)已知全集。={123,4,5,6,7,8},集合A={2,3,6},集合”{1,2,3,5}.

求：

(1)求AcB;

(2)求AU3;

(3)求包A)「8

【答案】⑴⑵3}

⑵{1,235,6}

⑶{2

【分析】(1)根据交集的概念计算；

(2)根据并集的概念计算；

(3)先求补集，然后求交集即可.

【详解】(1)由题意，必8={2,3};

(2)由题意，4=8={1,2,3,5,6}

(3)由题意，Q,A={145,7,8},则(Q,,4)n5={l,5}

11.(25-26高一上•四川眉山♦期末)已知全集。=卜€叶50},集合A={2,4,5,7}，集合8={1,5,7.9}.求：

⑴AcA；

(2)4口(。1)；

(3)片(AU8).

【答案】(1)人口8={5,7}

(2)AU&B)={0,2,3,4,5,6.7,8,10)

⑶电(AU4)={036,8,10}

【分析】(1)利用交集的定义可求得集合；

(2)(3)利用并集和补集的定义可求得结果.

【详解】(1)因为集合A={2,4,5,7},集合8={1,5,7,9},则4n8={5,7}.

(2)因为全集。=卜£M1410}=10,1,2,3,4,5,6,7,8,9』0},

则。3={0,2,3,4,6,8,10},故A|J(Q,，B)={0,2,3,4,5,6,7,8,10}.

（3）由题意可得AU3={1,2,4,5,7、9},则电（AU8）={0,3,6,8,10}.

12.（25-26高一上•河南郑州•阶段练习）已知全集〃=卜£^^小<9},A={1,2,3},B={xeZ|3<2.r-l<9}.

⑴求,A\JB;

（2）求Ac（”），（楙）5网.

【答案】（1）ADB={2,3},AU^={12,3,4,5）

（2）AI国8）={1}，（楸）U（网={1,456,7,8}

【分析】（1）根据条件化简集合，利用集合的基本运算得到结果.

（2）根据补集的概念计算楸,泗,利用集合的基本运算得到结果.

【详解】（1）由题意得,-={123,4,5,6,7,8},A={1,2,3},5={xeZ|2WxW5}={2,3,4,5},

.・.Ac8={2,3},AuB={l,2,3,4,5）.

（2）由题意得，Q,A={4,5,6,7,8},={1,6,7,8},

.・.Ac（a，8）={l},（楙）D（U8）={1,4,5,6,7,8}.

题型五、交、并、补的运算求集合或参数

13.（25-26高一上•全国•课后作业）已知集合A={乂x<a},B={^\<x<2},且入口曲为=人，则实数。的

取值范围是（）

A.（2,+00）B.［2,+x）C.（"/）D.

【答案】D

【详解】由8={疝—<2}得=或C2}.又Afi（加B）=A，所以Aq（Q8），故於1.

14.（23-24高一上•河南省直辖县级单位•阶段练习）已知集合P={.d-2WxR0},Q={x|l-〃zGWl+,〃}.

若Q“P=0,则实数，〃的取值范围为（）

A.ni<3B.m>9C.〃?W3或〃?29D.3<m<9

【答案】A

【分析】由Qc电P=0,得到QqP,分Q=0与QN0讨论即可.

［详解］由Qc电尸=0，得到QqP,P={x|_2<x<10}

分两种情况考虑：

①当1+m,即〃?<0时，<?=0,符合题意;

②当1-〃臼+m,即〃此()时，需；；二；：二,

解得：0</H<3,综上得：加43,则实数，〃的取值范围为(…,3].

故选：A

15.(25-26高一上全国・课后作业)设集合人="出+，〃“},B=M-2<x<4}，全集U=R.

(1)若(电力口4=0,求实数〃，的取值范围；

(2)若0A)C8H0,求实数加的取值范围;

⑶若但8)UA=R,求实数，〃的取值范围.

【答案】⑴]川,壮2}

⑵{〃山〃<2}

⑶{加|,壮2}.

【详解】解(1海法1易知A={x|xN-〃?}，所以6A="|XVT〃}.又8={x|-2<x<4},且曲力0於0,

所以-wW-2,解得2,故实数机的取值范围是{〃山〃22}.

解法2由(必4)|"=0,知BqA,又8={x|-2<x<4},A={x\x>-m},所以-〃区-2,解得，〃22,故

实数”的取值范围是{川，壮2}.

(2)因为生A={.W<-M,8=3-2<x<4},(QJA)C8H0,所以_〃〉-2,解得〃?<2,故实数/〃的取

值范围是(川，"2}.

(3)因为人=*1工2-刈，4乃=3x4-2或xN4},(QB)UA=R，所以—〃区—2，解得〃?22,故实数胆的

取值范围是之2}.

题型六：Venn图求集合

16.(25-26高一上・广东广州•阶段练习)已知全集U=R,集合4={0,1,2,345},B={x\x>2],则图中

阴影部分所表示的集合为()

C.{1,2}D.{0,1,2)

【答案】A

【分析】由图得阴影部分为,即可求解；

【详解】由图可知，阴影部分为Ac6u5={01},

故选：A

17.（25-26高一上•重庆.期末）如图，。为全集，A8为U的子集，则阴影部分所表示的集合可以为

B.g(Ac8)

C.Ac(QI)D.@A)c8

【答案】C

【分析】根据给定的图形，利用韦恩图，结合集合的运算判断即可.

【详解】由韦恩图知，阴影部分不在集合“中，在集合A中，其集合表示为4八也8）.

故选：C

18.（25-26高一上,陕西榆林•期末）如图，已知U表示全集，A,8是〃的两个非空子集，则阴影部分

可表示为（）

A.4A)cBB.Q,(Ac0

C.AD(。网D.(e(Ac5))c(Au4)

【答案】D

【分析】在阴影部分区域内任取一个元素”,分析元素x与各集合的关系即可.

【详解】在阴影部分区域内任取一个元素》,贝1卜后4口8,fixeAuB,

所以阴影部分可表示为&(AC8))C(AD〃).

故选：D.

题型七：容斥原理实际应用

19.(25-26高一上四川眉山•期中)高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒

言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生

有()

A.16人B.18人C.2()人D.24人

【答案】A

【分析】根据集合的容斥原理即可求解.

【详解】设集合A="高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为card(A);

集合6="高三1班读过《醒世恒言》的学生“，其元素个数记为card(8);

则card[A)=12,card(B)=8,card(AQB)=4,

则card[AUB)=card(A)+card(B)-card(AQB)=12+8-4=16.

故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人.

故选：A.

20(25-26高一上・江苏•阶段练习访提升学生学习双语的热情“GU•四市十一校”教学联盟计划在2025

年4月举行“语文情境默写”、“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅

长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几

名均不擅长的同学？()

A.1B.2C.3D.5

【答案】C

【分析】利用Venn图，结合集合的运算求解.

【详解】设擅长语文的同学构成集合A,擅长英语的同学构成集合5,20人代表队构成全集U,

则card（A）-10,card（/?）—12,card（Ac0-5,card（（7）-20,

/.card（AuB）=card（A）+card（B）-card（Ar»B）=10+12-5=17,

.•.card@（AuB））=20-17=3

所以语文和英语均不擅长的同学人数为2077=3人.

故选：C.

21.（25-26高一上•全国•课后作业）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体

育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位

学生最少选修一门课程，其中有33位学生选修了“足球，,课程，有26位学生选修了“篮球”课程，有10位

学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（）

A.39B.49C.59D.69

【答案】B

【分析】设选修“足球”课程的学生构成的集合为A,选修“篮球”课程的学生构成的集合为8,作出韦

恩图，可得出该班学生人数.

【详解】设选修"足球''课程的学生构成的集合为A，选修“篮球”课程的学生构成的集合为6,

如下图所示：

AB

vsu

由图可知，该班学生人数为23+10+16=49.

故选：B.

题型八：集合新定义

22.（25-26高一上•全国）设「，。为两个非空实数集合，定义P+。=伍+。1。"公。}.若尸={。25},

。={1,2,6},则尸+Q中元素的个数为（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

【分析】根据给定的定义，按〃=0，〃=2,〃=5分别求出P+Q即可.

【详解】当。=0时，〃wQ,a+〃=l,2,6；当。=2时，0eQ,a+/>=3,4,8;

当〃=5时，“。，a+b=6,7/l,

所以尸+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},共有8个元素.

故选：B

23.（25-26高一上•陕西榆林•期末）给定数集M,若对于任意，都有""例，且，则

称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（）

A.自然数集是闭集合

B.无理数集是闭集合

C.集合M={x|x=3k/eZ}为闭集合

D.若集合股一也为闭集合，则MU%也为闭集合

【答案】C

【分析】ABD举反例即可，（3选项给出证明.

【详解】取x=l,y=2,贝l]x-y=7史N，故A错误；

取x==0,则x-y=。，0不是无理数，故B错误；

设X=3K（%]WZ）,），=3K（&eZ），贝l]x+），=3（4+七）tM,工一、=3（4一的）事必，故C正确；

取M[={x|x=3A,AcZ},={x|x=2&,AeZ},

由C选项可知也是闭集合同理可证外也是闭集合则MUM,为被2整除或被3整除的全体整数集，

取“2,），=3,则x+y=5,5不能被2或3整除，即5史（河〜八八），故D错误.

故选：C

24.（25-26高一上・甘肃•阶段练习）定义集合运算：A-8={xkeA且、逐8},若集合A={xeZ|-2<x<41,

B={0.3,5},则集合A-8的真子集的个数为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】先根据新定义得出A-8={TJ2},再结合真子集的定义得出个数即可.

【详解】由A={-1,0,1,2,3},又由集合的定义有。-3={T,1,2},

可得集合人-3的真子集的个数为23-1=7.

故选:B.

题型九：集合的基本运算综合问题

25.（25-26高一上•云南昭通・期中）设集合A={X|〃+1<X<&7-2},B=W—1<X<6}.

⑴若。=3,求;

⑵若箱人A,求实数。的取值范围.

【答案】⑴4（A「5）={x|xvT或工27}

8

⑵小

【分析】（1）利用集合的运算求解即可；

（2）分类讨论集合A是否为空集即可.

【详解】(1)当4=3时，A={x|4<x<7),fi={x|-l<x<6},

因此AUB={“Mv7},

所以d(、3)={Nx<-l或H

(2)由Ap|3=A,得A=8,

33

当A=0时，贝Ija+1N3a-2,解得,满足AqB,因此;

38

当A，0时，由,得-1«。+1<3。一2<6,解得；，

乙■)

Q

所以实数。的取值范围是

26.(25-26高一上•山东枣庄阶段练习)已知集合A={x|2Wxv6},B=(x|3<x<9}.

(1)分别求qun与，&B)UB；

⑵已知C=3"xv〃+1},若CqB,求实数。的取值范围.

【答案】(1)4(415)={泪於3或心6},且W=R;

⑵3MaW8.

【分析】(1)应用集合的交运算求得Ac5={x[3<x<6},再由补运算求4解。8),根据4氏8的关系求

”U8;

a>3

(2)根据集合的包含关系有1yQ,即可得参数范围.

【详解】(1)由An5="|2Wx<6}n{幻3<K<9}={x[3<x<6},

所以4(4「或=拉|力43或J26),且(48)UB=R；

(2)由C={x|"x〈4+1},显然不是空集，且,

q>3

所以‘工。，可得3«aW8.

u+1<9

27.(25-26高一上•全国•课后作业)已知集合A={x|2vxv4},B={x[a<x<3〃,且。>0}.

(1)若AU8=B,求实数〃的取值范围；

(2)若4c8={x|3cv4},求实数〃的值;

(3)若4口4=0,求实数”的取值范围；

(4)若将题干中集合A，月变为集合A={x|2/v<x<〃+3},/?={中<-1或r>5}.若曲。=0，求实数〃的

取值范围.

4

【答案】⑴〃彳《〃42

⑵。=3

⑶•4卜之4或0<〃K：}

(4)'a--<a<2fl£a>3-

【分析】(1)由Aq8,结合数轴即可求解；

(2)结合数轴即可求解；

(3)由条件得到或3a42,进而可求解；

(4)由A=0和AW0两种情况讨论即可.

【详解】(1)因为AU8=3,所以4=8,画出数轴如图：

B

-1―0匚"A

0a243ax

2>a

所一以443a,解4得,故实数。的取值范围是卜々4。421.

<7>0l"

(2)画出数轴如图,因为Ac8={x[3<x<4},

4=3

所以］3葭4,解得a=3.

a〉0

(3)因为AD8=0,所以a24或3a42.

又因为。>。,所以或.

,2

故实数〃的取值范围是小24或0<心晨.

(4)①若A=0,则2a>〃+3,所以"3.

2a>-1

②若A/0,因为a8=0,所以〃+3K5,解得-.

2a<a+3

综上所述，实数”的取值范围是。-夫。工2或.

【专项训练】

一、单选题

I.（25-26高一上•全国•课后作业）已知非空数集A,8,C：其中A,8各有四个元素，

Ag={3,5},AU5={L2,3,4,5,6},Anc={L6},则集合8=（）

A,{1,3,5,6）B.{1,2,4,6}C.{2,45,6}D.{234,5}

【答案】D

【详解】依题意可得3,5",3,5w8,1,6",1,64,故2,4wB,故8={2,3,4,5}.

2.（25-26高一上・全国・课后作业）已知集合人=卜卜2<%<4},8=何-2<、<5},若"<，且ac/?，则

。的取值范围是（）

A.{x|-2<x<4}B.{x|4<x<5}

C{.r|4<x<5}D.{x|4<x<5}

【答案】D

【详解】若,且awB,贝lj.备4,即GC{X/VXV5}.

3.（25-26高一上•全国•课后作业）设U为全集,M,N,P都是它的子集，则下图中阴影部分表示的

A.Mc（NuP）B.MD（aMnPC.（枷）n（uN）C|PD.（MIN）U（MIP）

【答案】B

【详解】阴影在M,尸内，而不在N内，即在aw内，故阴影表示的集合是Mn（aw）np.

4.（25-26高一上•全国•课后作业）设全集U=R，集合A={Xxvr〃或.1>1},”={乂-IGWf},则

m~+n~=)

A.0B.2C.5D.10

【答案】B

【分析】利用补集概念得到”一,对照求出，〃=L〃=T,得到答案.

【详解】由补集知a4=｛况一用《“41｝且4、=｛乂-1«*4—。｝,对比得=,

贝lj+〃2=2.

故选：B

5.（25-26高一上•广东广州•阶段练习）对于任意两个数X，MK”N'）,定义某种运算"'如下：①当

同为奇数或同为偶数时,xy=x+y；②当x,y*,ywN"）一奇一偶时，、尸），则集合

A=｛（x,y）|ry=10｝的子集个数是个（）

A.2'4B.2'3C.2"D.27

【答案】B

【分析】由新定义，列举计算即可；

【详解】当书都是偶数或都是奇数时，门"1。

A=2(X=10

当x是偶数，）'是奇数时，个=1。0或1

>'=5y=l

x=5fx=l

当x是奇数，》是偶数时，个=1。->或m

y=2[y=10

•・集合A中含有13个元素，它的子集个数为》,

故选：B

6（25・26高一上云南曲靖•期末）B知全集U=｛“wNk<7｝,M=｛1,2,3,4｝,N=｛1,3,4,6｝则集合貂（切口”）

中非空子集个数为（）

A.7B.8C.15D.16

【答案】C

【分析】根据题意线求出"CN,进而求出a（Mf】N）,可求得非空子集的个数.

【详解】U={xeN|xv7}={0J2,3,4,5,6},A/={1,2,3,4},N={1,3,4,6},

则MDN={1,3,4},所以0（MC|N）={025,6},

则集合a（Mnz）的非空子集的个数为2<i=15.

故选：C.

7.(25-26高一上•陕西榆林•阶段练习)为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、

围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社

团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的

有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为().

A.1()B.9C.7D.4

【答案】A

【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.

【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋

社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人；

设同时参加AI社团和围棋社团有工人，因为有8人参加AI社团，

同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有8-3-工=5-*人；

又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，

所以只参加围棋社团的有14-3r=117人.综上所述，共有30人参加了学校社团，

所以9+3+3+(5-力+尤+(11-耳=30,解得x=l,

故只参加围棋社团的人数为1。人.

故选：A.

8.（25-26高一上•山东•期中）在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于

集合朋满足对任意〃，，都有微狙2,31,则称M是可分比集合.例如：集合{146,7}是可分比集合.

若集合A,B均为可分比集合，且AU3={1,2,…㈤，则正整数〃的最大值为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】方法一：根据可分比集合，再通过〃=7时成立，，也8时不成立得到正整数〃的最大值为7;

方法二：分析出〃47,再证明〃=7满意题意.

【详解】解法一：一方面，取4={1,4,5,6,7},8={2,3}满足题意,则〃=7;

另一方面，若〃N8,不妨设kA,则2,3W8,贝l]4,5,6,7eA,此时8任A,且8定8,矛盾!

综上所述，正整数〃的最大值为7.

解法二：^[2,3],则〃研劝，刈，又2b＞0,即若泰A，[沙,3句内的数均不属于A,

b

Q

若54,贝取2,3}=8,贝IJ{4,5,6,7,8,9}uA,又；=2«2,3],矛盾，

所以〃W7,当〃=7时，A={L4,5,6,7},B={23}符合,所以〃曲=7.

故选：B.

二、多选题

9.（25-26高一上・全国课后作业）已知集合人=卜右小＜4},丘N，则下列说法正确的是（）

A.集合8uN=NB.集合AcB可能是{123}

C.集合4cA可能是{-□}D.。可能属于3

【答案】ABD

【分析】根据集合的运算可判断A选项；分析可知，集合A中一定包含元素1、2、3,结合交集运算

可判断B选项；因为-1不是自然数，结合交集的运算可判断C选项；根据OcN可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为"qN,所以4UN=N，故A正确；

因为集合4={X£2既＜4},所以集合A中一定包含元素1、2、3,

又因为BcN,所以集合Ac4可能是{123},故B正确；

因为-1不是自然数，所以集合AC4不可能是{-1,1},故C错误；

因为0是最小的自然数，所以0可能属于集合B，故D正确.

故选：ABD.

10.（25-26高一上•全国・周测）已知集合4=卜|-1。<3},集合”{电厂4<0},则下列关系式正确的

是（）

A.ApB={x|-l<x<2}B.AUB={x|x<3}

C.4U&8）={小>-1}D.An（\3）={x|2Wxv3}

【答案】ACD

【分析】由一元一次不等式和一元二次不等式的解法分别求出集合A、B的元素，再进行集合交、并、

补的运算得出答案.

【详解】•••集合4={x|7<x<3}，集合4={耳2工一4<0}={小<2},

对于A选项：AcB={x[T<xv2}，故A正确；

对于B选项：28={小<3},故B错误；

对于C、D选项：^B={x\x>2},.-.A^^B）={x\x>-\]，故C正确；

AC（\8）={X[2WX<3}，故D正确.

故选：ACD.

11.（25-26高一上•江苏南通期末）下列集合表示图中阴影部分的为（）

A.伞缶八与B.

C.AUQID.Bcq/

【答案】ABD

【分析】由集合的图示表示，再根据集合间的基本关系即可得出结论.

【详解】易知图中的阴影部分表示在集合8中去除两集合的交集部分，即可表示为a(Ac8)，即A正

确；

还可表示为集合A的补集与集合8的交集，即BcQM,即D正确；

也可表示为集合AU8的补集与集合8的交集，即?⑷&B正确.

故选：ABD

12.(25-26高一上•湖南长沙•阶段练习)设4=卜•一7]+12=。},区={小1=0},若4n8=8,则实

数。的值可以是()

A.0B.gC.；D.3

【答案】ABC

【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合8的关系，分析集合8中的元素的可

能情况，解出相应的a.

【详解】•.•4=卜卜2一7工+12=()}={3,4},

又；An8=B，,B=A

所以当“=0时，此时a=0;当人{3}时，此时a;

当8={4}时，此时。=；;8={3,4|时，此时。不存在；

综上可得：实数。的值可以是a—,

故选：ABC.

13(25-26高一上•广东湛江•阶段练习课合4=卜|-1<%<4}/=3-1"<3},集合。=仲〃/金〃+2},

若Cc七(Au8)=0，则以下〃，的取值满足题意的是()

A.〃7=-1B.m=0C.m=\D.m=2

【答案】ABC

【分析】根据集合运算求出率(AU8),再依据CcQ(Au3)=0列式求解.

【详解】vA={x|-l<x<4},B={x|-14x43},

:,A<JB=[-\A),则电(Au团=(-a),-l)u[4,+oo),

又Cc电（Au4）=0,

m>-\

解得-1W〃?<2.

〃?+2<4

故选：ABC.

14.（25-26高一上•广东•期中）设尸，。为非空实数集，定义尸^。二口2=个"£只），£0},则（

A.P®{1}=PB.（P®Q）®R=P®（Q®R）

C.P®{O}cPD.P®Q=PcQ

【答案】AB

【分析】分别利用题中的概念判断每一个选项即可；

【详解】选项A,由题可知，尸瓯1}={Z|z=x,x^P}=P,故正确；

选项B,P®Q={z\z=A>\xeP,ye2},

pf[^（P^Q）®R={a\a=zb,ze（P^Q）,beR]={a\a=xy^xeP,yeQ.beR},

同理R）=[a\a=xyb,xGP,yGQ,bG

所以（PgQ）&R=PX（。③R）,故选项B正确；

选项C,Q®{0}={z|z=xx0,xeP}={0},故当集合p中没有元素0时，选项C错误；

选项D,由题可知P③Q={z[z=»\x£P,y£Q}H0，但是PcQ可能为空集，所以选D错误；

故选：AB

三、填空题

15.（25-26高一上•全国•课前预习）设全集〃=区4={娼]>0},8={%}>1},则明£由）=

【答案】{x\O<x<\}

【分析】根据集合交集、补集运算求解即可.

【详解】U=R,4={x|x>0},A={x|x>】）,

所以今8={x|xKl）,所以AR（。⑻={30<工力}.

故答案为：{x\O<x<\].

16.（2025高一上•全国•专题练习）已知集合时={-1,0/}1=卜卜=弓，贝i]MnN=.

【答案】也1}

【详解】因为"={巾=/}={巾20},所以McN={0J.

17（25-26高一上•四川绵阳•阶段练习）已知A={x|x<-1或工>3},B=3〃L2W计2}若@A）cBw0,

则m的取值范围是.

【答案】{w|-3</n<5}

【分析】求出"A,由&A）C8H0建立不等式即可得解.

【详解】由A={x|x<—1或x>3}，可得0A=[—1,3],

因为（*,B={x\m-2<x<ni+2],

所以326-2且-1+2,

解得一3<m<5,

故答案为：{m\-3<m<5}

18.（25-26高一上・全国课后作业）已知全集。二次£用0<工<5}，集合A={I2/叫，3=卜-一©+3=。},

C=Ac@5），若C的真子集共有3个，则实数m的值为.

【答案】±2

【分析】先得到"={123,4},3={1,3},故布8={2,4},根据。的真子集个数得到C中只有2个元素，

即Ac”={2,4},故"=4,求出加=±2,

【详解】U={1,2,3,4},A={1,2,叫，4={4?_以+3=0}={1,3},

故Q4={2,4},因为。的真子集共有3个，

所以集合C中只有2个元素，即AcB4={2,4},

所以4=4,即,〃=±2时，经验证，符合题意.

故答案为：±2

19.（25-26高一上•全国•课后作业）已知集合A=[xwN后,B=|-^-eNxeNl，则集合A与笈

IU-X[1U—X

的相同元素组成的集合为.

【答案】{1，9}

【分析】逐个列举计算即可求解.

9

【详解】因为XGN,冷eN,

1U-X

9

所以当X=1时，--=1；

10-x

9

当x=?时，77—=3；

10-x

9

当x=9时，--=9.

10-x

所以A={1,7,9},8={1,3,9}.

所以集合A,B的相同元素组成的集合为{1,9}.

故答案为："9}

20(25-26高一上•四川眉山期末定义集合的商集运算为：[二/>二〃"4〃6/，已知集合A={2,4},

AItn

B=^xx=^-\,keA^,则集合夫8的真子集个数是.

【答案】15

【分析】求出集合B，利用题中定义可得出集合?，利用并集的定义可得出集合，谪定集合

AAA

的元素个数，由此可得出该集合的真子集个数.

【详解】因为A={2,4},贝1]8=卜”=4一1次臼={0,1},

又因为4=Xx=",〃?wA〃WB[=<0,]4J,故如8=[。,*,11,

AtnJ、42JAI42J1

DD

所以，集合g=8有4个元素，故集合彳uB的真子集个数2』-l=15.

/VA

故答案为：15.

四、解答题

21.(25-26高一上•河南郑州•期中)设全集〃={#-3W7}，集合A={x|-3WxW4},集合

B={x|4<2.t+2<12}

⑴求：AcB,AU8,

(2)求：,4，(Ac8).

【答案】(1)AC8={M<XW4},A^B={x\-3<x<5};

(2)3C@A)={H4VXV5},e(Ac8)={M_3WxQ或4VxM7}.

【分析】(1)根据集合交集和并集的定义进行求解即可；

(2)根据集合交集和补集的定义进行求解即可.

【详解】(1)由8=卜|4<2、+2<12}可得B={x［l<x<5},

4n/?=­［x|l<x<4},Au^={x|-3<x<5);

(2)因为A={%-4},

所以dA={x|4vx«7},

所以8c⑹A)={x|4vxv5},

6(AC3)={M-3WE或4<x«7}.

22.(25-26高一上•北京密云期末)已知集合A={x|0"W7},B={x\m+\<x<lfn+3,meR}.

(1)求集合QA；

(2)当加=5时，求AIJ8;

⑶若4nB=8,写出一个符合条件的〃?的值.

【答案】(1沁A={x|x<0或x>7}

(2)A<j£?={x|0<x<8}

(3)-1(区间11,4］里的任何实数都符合)

【分析】(1)根据补集定义易得；

(2)利用并集的定义易得；

(3)根据条件可得,从而得不等式组，求出川的范围，依题只需在范围内取任何实数都符合.

【详解］(1)由.={扑)347}可得"A={x|xvO或x>7};

(2)当，〃=5时，〃={x|6WxW8},贝ljAD8={X|0WXW8};

(3)由=8可得8qA.A={.dOWxW7},

因〃z+lv加+3恒成立，故〃工0；

要使ALA需使［“+"7

解得TW〃石4,故区间里的任何实数都符合.

10-Y

23.（25-26高一上•全国•课后作业）已知集合4=口|—^>0},B={x|3m-l<x<2m+l）.

x+6

⑴若4UB=A,求实数m的取值范围；

⑵若4cB={也<%<〃}且〃~=2,求实数机的取值范围.

【答案】（l）{m|m>-|}

⑵卜他.

【分析】（1）先求得A=*l-6vx<10},根据AU8=A，得到B=A，分8=0和"0，两种情况讨论，

列出不等式（组），即可求解；

（2）解：由（1）知：集合A={K|-6VX<10},根据题意,分Ac8={x|3r-lvxv2m+l},

4cB=卜|3〃?-1<彳<10}和ACB={H-6<X<2,〃+1},三种情况讨论，列出不等式组，即可求解.

【详解】（1）解：由叱?>。，即注<。，可得-6<x<10,所以A={x|-6<x<10},

x+6x+6

因为AU8=A,所以BqA,

当8=0时，有3/〃-1之2m+1,解得〃?22,满足题意；

3m-1>-6

当於0时，则满足」2〃?+口0，解得一5产小J9,gp-£5<,„<2,

m<2

综上可得，实数团的取值范围为{川，〃之-口.

（2）解：由（]）知：集合A={巾-6<x<10},B=[x\3m-\<x<2m^\]1

2〃？+1—1）=2

①当AC3={X|3〃L1<X<2Z"+1}时，则满足<2〃?+1410,解得机=0;

3/??-1>-6