2025-2026学年广东省广州市某学校高二（下）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年广东省广州市实验外语学校高二（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。

1.下列求导正确的是（）

A.1/nlm/；

B.p=2x-

XX1

C.（xev）'=（x+l）exD.（cos3x）'=-sin3x

2.李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一

套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（）

A.24B.14C.10D.9

3.如图是函数jRx）的导函数词（x）的图象，则下列判断正确的是（

A.在区间（-2,1）±/（x）单调递增

B.在区间（1,3）±/（x）单调递减

C.在区间（4,5）上/（x）单调递增

D.在区间（3,5）上/（x）单调递增

4.若事件历，N满足.Ui\:/V.Vi:,则P（MN）=（

)

AjB.：C.：

D-15

oo1□

>

5.5+［）"+/的展开式中43的系数为（）

A.5B.10C.15D.20

6.清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲

活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.24种B.36种C.64种D.72种

7.放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的

数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间/（单位：天）

满足函数关系VMj一\".（e为自然对数的底数），其中M）为片0时该同位素的含量，已知当片48时，

该放射性同位素含量的瞬时变化率为-1,则N（96）=（）

A.12/贝克B.12/贝克C.24/贝克D.24/贝克

8.甲、乙两人分别从10个不同的数中随机选择若干个数（也可以不选），分别构成集合4B,记力CI8中

元素的个数为项则P（相力）=（）

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A.（二严B.1-D.1-

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。

9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放凡设事件4="第

1次抽到代数题"，8=“第2次抽到几何题”，则（）

2

；D.P(B|.I)-J

A.B.C.

25

10.已知函数/(x)=e'-ar,则()

A.当QWO时，/（x）为增函数B.BaE(0,+°°)，/(X)max=〃

C.3^6(0,+oo),f(x)min=。D.(0,+8),/(x)minWl

11.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书生出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史

上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角,

则下列说法正确的是（）

第Q/•

/丁

I第1斜列

第1i•

丁

—第2斜列

第2

Z一

1J第3斜列

第

3X.・

IJ第4斜列

第4•

丁第5斜列

犯5/•

I/丁第6斜列

第6x•

f丁

第第7斜列

7/•

I/丁第8斜列

A.第2026行的第1013个数最大

B.第10行所有数字之和为

C.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为

D.第48行的所有数字之和被7除的余数为1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两

个地区不能用同一种颜色，共有一种不同的着色方法.

13.随机变量己的分布列如表所示，且E=0,则。«）=—.

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a03

11

Pb

23

14.若对任意的（0,+8）,恒有，"T-：21“/-。/,则实数。的取值范围为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.体小题13分）

己知门〃V）的展开式中，第7项为常数项.

（1）求〃的值;

（2）求展开式中所有的有理项.

16.（本小题15分）

己知函数/⑺-1/:J2Tlu（/?.

（I）求/（x）的极值；

（2）若对任意xi，X2H-3,3],都有/（xi）/（.口）恒成立，求实数M的最小值；

（3）若过点仲・）的直线/与曲线内（x）相切，求/的方程.

17.（本小题15分）

某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为0.6,选择乙餐厅的概

率为0.4,甲餐厅的准时送达率为0.95,乙餐厅的准时送达率为09已知该用户每次外卖点餐准时送达与否

相互独立.

（1）求该用户每次外卖点餐准时送达的概率.

（2）在该用户的N次外卖点餐中，记准时送达的次数为X,若X的方差大于0.7,求N的最小值.

（3）平台推出“准时保”，每单需支付0.5元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准

时送达，则平台不赔付.该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过0.3元，试问他是否愿意购买

“准时保”？说明你的理由.

18.（本小题17分）

已知甲口袋有〃2（621,〃区人广）个红球和2个白球，乙口袋有〃（“21,“WAO个红球和2个白球，小明

从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙II袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一

个球.

(1)当切=4,〃=2时,

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(/)求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；

(/;)设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的数学期望：

(2)当〃尸〃时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P,则当〃为何值时，P最大?

19.(本小题17分)

已知函数/(x)=(l-2x)lnx+ar-1.

(1)若a=I,求/(x)的单调区间；

(2)若/(X)有且仅有I个零点，求。的值；

(3)若存在a,使得/(x)Wo+6对任意x>0恒成立，证明：a-b<4.

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1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】ACD

II.【答案】BCD

12.【答案】480

13.【答案】2

14.【答案】；-X)

15.【答案】解：(1)已知二项式为('jt)”的展开式的通项公式为

J-.(蚌尸•(-•工早，

则第7项为八1U—字广。心”，-，

〃一9

所以H=0,解得〃=9；

(2)因为展开式的通项公式为n1.l：|rr«-C；.."1"(,：11'/，

展开式中的有理项X的指数为整数，令ftA-,kez,

4

AL

所以r6竺，因为0W〃W9,且广为整数，所以Q0或3时，满足条件，即『2或6,

3

所以有理项为/।[.>/和，；*♦

16.【答案】解：(1)由题意得：f(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1),令/(x)=0,解得x=2或-1,

由/(x)>0有：x>2或xV-1,由/(x)V0有：-l<x<2,

所以/(x)在(-1,2)单调递减，在(-8,/),(2,+8)单调递增，

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l-i

所以"x）的极大值为〃—I）=；广一«-1）』一2x（-1）+I占，

310

/（工）的极小值为“211->2,2■2I

（2）由已知有：对任意见,x2e[-3,3],都有If（xi）-f（X2）|WM恒成立，

由（1）有/（X）在（-3,-1）,（2,3）单调递增，在（-1,2）单调递减，

又〃3）-]・/叫-:，

1313

所以/一〃131-,

所以⑺g/（必■：（当一白，

O4」

所以实数M的最小值为.

«J

（3）设切点为（xo,/（x0））,

所以了"））一；4:肛:31,/-Xt>2,

所以切线方程/为：y-f（xo）=f（xo）（x-xo）>

所以，"J”l-r：..」/，，一】，

♦5/

乂切线/过点伽」，

6

所以:宙r2：i«'i/“）：/》:42T01,

bJ2

化简整理有：必:比10,即，，11”：11U,解得.“=1,

所以直线/的方程为：y=-2"-1）-?=-2/+?,

66

所以直线,的方程为：-2'十二.

O

17.【答案】0.9311他愿意购买“准时保”

18.【答案】解：（I）小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为；、:，

44-23

从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为,，3,1.

3）设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件力，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事

件且门川・（1；尸〉（1

18

所以『（#-1n.v1.

（K）X的所有可能取值为0,1,2,3,4,

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rti（i）,得/（\二⑺〃（\），

J

八hC・n；入（i）；・；，

「\小（：「（1了“：J。f「（”卜・：；・仁，（i："

p（X-3）-（1）2xCix（l-l）xUcJx（l；）x；x（3'.：，P（*・4）・（；户）<（；）'.

4>LL^9ALO41i

所以人|工II-*♦1-1-2-1?-3-1-I->.

93:M6:册3

（2）由〃尸〃，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验,

设小明每次摸出一个红球的概率为A（0<£<1）,则84人）h#Ai

因为1标“；）,

所以当UVAv'时，P'（%）X）：当'〈AVI时，P'（k）<0,

44

所以尸（女）在区间（“，）上单调递增，在区间（:,1）上单调递减，

所以当K:时，p（k）最大，

I

此时人:，解得〃?=6,

in4-21

故当〃?=6时，尸最大.

19.【答案】解：（1）当斫1时，f（x）=（l-2x）lnx+x-1,定义域为（0,+8）,

求导得到S21nz1121nr11,

XX

121

令加/♦1,则当尤（0,+8）时”一---《H,

XI

所以/?（x）在（0,+8）内单调递减，且〃（I）=0,

即/（x）在（0,+8）内单调递减，且/（1）=0,

所以当x£（0,1）时，/（x）>0,函数/（x）单调递增；

当尤（1,+8）时，，a）<0,函数/（x）单调递减；

综上所述，/Cv）单调递增区间为（0,1）,单调递减区间为（1,+8）.

（2）因为/（x）有且仅有1个零点，

所以方程（l-2x）lnx+ax-l=0有且仅有1个解，

即a2///J--+1有且仅有1个解，

XX

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z.biJ-I八

令，j।2L「---,x>0,

rx

..2/—2+Im

则nilM/)=---------1-------，

令\n(x)=2x-2+hix,则柏r)2」>

X

所以加(x)在区间(0,+8)上单调递增，

又因为m(1)=0,

所以当0<x〈l时，小(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减;

当工>1时，加(x)>0,即g'(x)>0,gCv)单调递增；

所以函数g(X)在X=1处取得极小值也是最小值g(1)=1»

当工一0+时，g(x)-*+°°»xf+8时，g(x)f+8,

因为。21“，业♦!有且仅有1个解，

XX

所以。=1.

(3)证明：因为/(x)W“+力对任意x>0恒成立，

所以/(x)maxWo+b,即b^f(X)max-fl,

因此a-bW2a-f(x)max»

要证。功<4,只需证明2牝/(x)maxV4即可，

对函数求导得到2111Z