2026年高考数学复习：平面向量及其应用（八类重难点题型）原卷版+解析

专题5.1平面向量及其应用

目录•重难点题型分布

序号题型

重难点题型1平面向量的线性运算及具表不

重难点题型2平面向量的共线定理及其应用

重难点题型3平面1可量的基本XE理及具应用

重难点题型4平面向量的数量枳运算

重难点题型5平面向量的投影或投影向量

重难点题型6平面向量的模长问题

重难点题型7平面向量的夹角问题

重难点题型8+囿向里的平仃与垂旦.

重难点题型1平面向量的线性运算及其表示

1.（2025•浙江嘉兴•三模）在△CMA所在平面内，点C满足福=3而，记）=4，OB=b则碇=（）

12-2r1r14-41-

A.-a+—bB.—a+-bC.——a+—bD.—a——b

33333333

uiBiuum

2.（2025•甘肃甘南♦三模）V人AC中，若而=d,AC=b，8O=3OC，则向量而可用口，/；表示为（）

17-3-

A.-a+-bB.d+-b

444

1-1/3一1i

C.—a+—hD.—a+—b

4444

3.（2025•甘肃庆阳三模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，若AB=a，AD=b，

则及S（）

2W

AE〜B

I]■*]***]

A.a+—bB.—a+bC.a——bD.-a-b

2222

4.（2025高三・全国•专题练习）在VABC中，已知8。=Z（AC—A。），且AO=A8—gC8,则左=.

5.（2025•山西晋中•三模）（多选题）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象,

四象生八卦.如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形A3COEFGH,其中相=1,。为正

八边形的中心，则（）

A.OA+OF=BAB.OA+OC=2OB

C.cos2ZOAB=2~^

D.ABAE=\

4

6.（2025•河北•三模）在VA3C中,AB=4,AC=5,点力和E分别在A8和AC边上，且满足

福=2福而遍恒若田丽:2,则福祥（）

A.-10B.10C.5D.-5

7.（2025・湖北•模拟预测）若VA8C是边长为行的等边三角形，点。满足配=5①，则而•正=（）

119

A.B.5C.D.4

22

重难点题型2平面向量的共线定理及其应用

I、证明向量共线：若存在实数入，使3=4,则£与非零向量6共线.\

2、证明三点共线：若存在实数入，使羽=4/，而与尼有公共点A,则A,B,C三点共线.\

3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.\

1.（2025•江苏南通•三模）已知£为平面内一组基底，人月=♦+〃《，c8=4-4心CD=5e[+4e^若

A,B,。三点共线，则。的值为（）

A.2B.-2C.0D.1

2.（2025,广东广州•三模）已知向量,万不共线，之〃+弓与为+必共线，则实数2的值为（）

32

A.—B.2C.6D.—

23

3.（2025•全国•模拟预测）（多选题）如图，已知正八边形A8CZ死尸G”的边长为1,。为正八边形的中心,

则下列说法正确的是（）

A,[0A+013]L[6E-6F^B.（BC-EF）//GE

c.ASAE=ID.OA+OC+OF=Q

4.（24-25高三下•湖南长沙•阶段练习）等比数列｛4｝中，?＞（）,4，生满足：OP=a~OA+a：iOB（P点在

直线A6上），则4的最大值为

5.（2025•天津•二模）在边长为1的菱形A3CO中，N4=60。，记A层G,AD=h^点M是线段班）上一点，

AN3_______11

点N是线段0c上一点，且4M,"三点共线.若不7=9,则用Z，坂表示前=______^ANCM=-—,

AM212

则笫AN的值为______.

AM

6.（2022•山东泰安三模）如图，在VABC中，NBAC吟,=,点尸在线段CQ上（P不与C,D

点重合），若VA8C的面积为46，AP=mAC+^AB,则实数”?=，网的最小值为

重难点题型3平面向量的基本定理及其应用

1.如图,在平行四边形/WC。中，七为。。的中点，跖与对角线4C相交于点尸，记而=5,则

BF=()

2_1-2r

A.一一a+—bB.——a——b

3333

1221

C.-a+-brD.——a+-br

3333

2.（2025•甘肃甘南•模拟预测）如图，在VAOC中,=2M$N为线段AM上.一点、,且

AN=（\-A）AB+^AC,则实数4的值为（）

A

3256

A.-

4.5.67

3.（2025・甘肃定西•模拟预测）已知在梯形/WCO中，AB=2DC=3AE^就=2诉，记须=而，⑰=力则

EF=（）

A.—rn+—nB.—zn+—w

32122

I_3_52

C.-m+—nD.—in+—n

34123

4.（2025・四川成都•模拟预测）在平行四边形A/eC。中，DA=DB,E是平行四边形/WC。内（包括边界）

DEDADEDB___A8

一点,E，若DE=xDA+yDB,当x+y=l时，--=____________♦

\DA\\DD\'AE

5.（2025•天津河东•二模）《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充

满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动.

3-___1__

如图，正八边形ABCDEFG”,边长为2,乙48c=1，点P在线段C"上且"二〃*"+MC，则Q.而

43

的值为;若点。为线段8上的动点，则而•四的最小值为.

6.（2025•河北•模拟预测）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生

八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形,

其中AB=2,O为正八边形的中心，则丽.祝=

__1__

7.（2025・天津•二模）在VABC中，点。在边BC上，且BD=§BC,E为线段A。的中点.已知而=1,/=石，

则瓶=（用不，B表示）；若同=3,忖=4,且=-费，则/B4C=.

重难点题型4平面向量的数量积运算

1.（2025・福建福州•模拟预测）已知向量日=（11），6=（2㈤，M+2同=4,则工=（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.（2025・辽宁・一模）已知|叫=3网=2,向量入户=2南+（1彳/1）从旦网的最小值为25则再.而

的最小值为（）

11

A.-B.—C.—1D.5/3

22

3.（2025•湖北黄冈•模拟预测）在VA8C中，丽=2患，|而+而|=|而一而则前.而二

（）

A.2B.2&C.3D.372

/厂\-/、小5

4.（2025•湖南长沙•模拟预测）已知向量方=（-1,6）,〃="/）,若r>O,yvO,则师的取值范围是（）

A.[-2,-1）B.12,-网C.（-x/3-1）D.卜凤闾

5.（2025•四川乐山•三模）已知等腰三角形A8C中，/8AC=120。，AB=AC=\,BC=aCA=b>AB=c，

那么aZ?+/?-c+ca=（）

55c77

AA.-B.—C.-D.—

2222

6.（2025・河南•模拟预测）（多选题）已知。为坐标原点，点P（8sa,sina）,Q（cos/?,sin/?）,A（l,l）,则下列说

法正确的是（）

A.OPOQ=cos（a-p）

B.若炉=诬，贝IJ阿卜网

C.△AOP和△A。。的面积之和的最大值为1

D.若NRAO=工，则。儿0户=|4户产

4

7.（2025•陕西汉中•一模）（多选题）已知向量2=（1,2）,^=（1,-1）,则（）

A.G+2b=（3,l）

B.\a=也

「-r711）

C.cos<«,/?>=------

10

D.Z在日方向上的投影向量坐标是（-g,g）

8.（2025•福建原门•一模）（多选题）已知平面向量M=（2,sin。），方二（l,cos〃），则（）

A.3,5不可能垂直B.-6不可能共线

C.卜+可不可能为5D.若6=々，则万在5方向上的投影向量为25

9.（2025・辽宁•模拟预测）（多选题）已知向量43二（2,〃?），则下列选项正确的有（

2

A.若d工〃，则帆二§

B.若同=|可，则〃2=-1

C.若d*=l,则向量3，的夹角为60。

D.若一5共线,则〃?=2

11.（2025•四川•三模）己知G=2,工为单位向量，且％在工上的投影向量为一石二则》与"的夹角为

重难点题型5平面向量的投影或投影向量

・•・・・■■・・,•■・・•■・・・■•・•■・■・■・・,・■■•■•・•・・■・・•■・■•・・・,■■•■・■・・・・•■••■・・•■・■・■・•■・■・■・■•■■•■・■・・・■,・・・■■・■•・•・・■,・,・,・•■・・,■・■・■・■■■■・■•■■・■•■・■,・•・•・・・・■•・•・・■・■・

1.（2025•江西南昌•模拟预测）已知平面向量-5满足同=忖=3,且。在5上的投影向量为则向

量”与向量方的夹角为（）

n2n3n5n

A.-B.—C.—D.—

3346

2.（24-25高三下•山东•阶段练习）已知向量值=（2,1）,b=（-Lk）,若d在5上的投影向量的模为石，则&

的值为（）

11

A.-2B.——C.-D.2

22

3.（2025•甘肃庆阳•三模）已知单位向量力花的夹角为g,则向量（"25与向量b的数量积为（）

13

A.-1B.-2C.—D.----

22

1-

4.（2025•河北石家庄•三模）已知平面向量Z，6是两个单位向量，Z在方上的投影向量为5方，则

0+町（力）=（）

A.-1B.——C.0D.1

2

5.（2025•云南•三模）已知向量5满足|引=2出|=2,|。+力|=2,则M在才上的投影向量为（）

9933

A.-aB.——aC.—aD.——。

8822

6.（2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测）单位向量。，5满足囚+5卜"5,则£+3力在B-2G上的投影向量为（）.

1-1-11-

A.a——bB.-b-aC.2cl-bD.-a——b

2224

7.（2025•贵州黔南•模拟预测）（多选题）已知向量4=（2/）方=（,〃,-2）,且•在日方向的投影向量为3则

（）

A.若/〃5，贝卜〃=-3B.若卜一可=卜十可，则〃?=1

1-5

C.若c=2/，则〃7=5D.若［=-不，则不/=一§

8.（2025•福建漳州•一模）（多选题）在VA8C中，AC=2石，tanA=2,向量n在向量而上的投影向量

1一

为产，则（）

A.边8C上的高为3&B.sinC=—

10

c.CACB=-SD.边A8上的中线为JF7

9.（2025•安徽六安•模拟预测）若向量2=（2,2）,向量,满足则包在G上的投影向量的坐标

2

为•

10.（2025,河北沧州•模拟预测）已知非零向量入人工满足仅+3孙£=0,若忖=2,入B的夹角为

则向量"在向量Z上的投影向量的模为.

重难点题型6平面向量的模长问题

・•■・■•■■・■・■・・・■・・•■・・・・・■・・・・・・・・・・・■・■・・,・・■・■・・・・・■・・・・・・・・・■・・・・・■・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・•■・■・・・・・・・・・■・・・・・■・・・・・・・・・■・・•・・・・■•・•■・■,・•・・・,■・・・・・■・■・・

1.（2025•福建龙岩•二模）已知向量4=（-3,0）,B=5,6）,且向量0与6的夹角为g,则|b|=（）

A.1B.2C.3D.26

2.（2025•黑龙江哈尔滨•二模）已知平面向量"=（1,一2）,/；=（-1,x-1）,且云//,一可，则忖=（）

A.5B.75C.37D,而

rI'ri'rr

3.（2025・海南•三模）在同一平面内，向量满足M=2，H=I,〃,C=0,4/=2,则归+石一4的最小值为

（）

A.3B.2C.1D.y

4.（2025•黑龙江大庆•模拟预测）已知4,5均为平面上的单位向量，若伍+涕），不，则悭+5卜（）

A.不B.45C.75D.72

5.（24-25高三下•山东•阶段练习）已知人否为单位向量，且川13与，则性-力卜（）

A.72B.2C.2>/2D.4

6.（2025•甘肃白银•模拟预测）已知平面向量6满足同=2*2,）在〃上的投影向量为-，，则

|2«-S|=.

7.（2025•江西南昌•二模）已知向量）=（1,-2）,75=5，则W的最小值是.

8.（2025•江西赣州•一模）已知向量”（1,2）,且（"5B）_L万，则昨

重难点题型7平面向量的夹角问题

・・■・一•・・■・・・■・■・■■・■・■・■・■■・■・■・■・■■・■・■・・・・・・・・・■・・・・・■・・・・,・・・・■・■■・■・■・■■・■・■・・・■・・・■・■・■■・■・・•・・■・・・・・■・・・■・■・・・■・・・■・■・■■・■・■・・・■・■・■■■■•■■（■•■・・・■・・・・•■・■・・・

1.（2025♦江西•模拟预测）若向量2=（1,〃?），丐=（2,-1）,且215,则8$,一痴）=（）

A.也B.也C.一也D..近

102102

2.（2025•江苏南京•模拟预测）若向量a.h满足问=中卜2,且（a-b）la,则向量£和向量b的

夹角为（）

71兀712兀

A.-B.-C.-D.—

6433

3.（2025•湖南长沙•模拟预测）（多选题）若［,是夹角为g的单位向量，则2与5=-31+24的夹

角为（）

4.（2025•黑龙江吉林•模拟预测）已知同=2,忖=4旦R+6）J_Z,则向量2与b的夹角是（）

2n2n

A.B.-C.D.

T33T

5.（2025•浙江•一模）若非零向量口5满足同=2同，且向量/；在向量。上的投影向量是一则向量〃与

b的夹角为.

6.（2025•上海•模拟预测）若向量3与5不共线也不垂直，旦2=2［言「，则

7.（2025•湖南娄底•模拟预测）设非零向量万，b,^满足（〃/兄=（5/）〃，且值|=|初=2,/；=（-1,73）.若

向量方在上的投影向量为-;〃，则向量/；与亍的夹角是.

重难点题型8平面向量的平行与垂直

1.（2025•广西河池•二模）已知向量己=（11）出=（九1）,,+5）1（5-3万）且（丸＞0）,求忖=（）

A.aB.75C.MD.2M

2.（2025•辽宁•三模）已知向量，=（1,扬,向量万在向量B上的投影的数量为-2.若（而+/；）_1_5,则实数2

的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

3.（2025•山东枣庄•二模）已知向量工=（2,-。/=（1,小），则（）

A.同=忖的充要条件是，〃=2

B.Z/4的充要条件是〃?=-：

c.Z与万垂直的充要条件是，北二；

D.若2与分的夹角为锐角，则”的取值范围是（—,2）

4.（24-25高二上•湖南•期末）已知向量及=（1乂），5=（2,32-5）,且则实数4=（）

A.-5B.-1（）C.5D.10

5.（2017•河北石家庄•二模）已知向量值=（1,，〃），力=（〃?/），则"二1〃是成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2025•山东威海•三模）已知向量满足海34,历|=1,（£-2历15,则Z与方的夹角为_______.

7.（2025•四川成都•三模）已知向量及出满足同=咽=①,,-2万）_16,则卜+25卜.

8.（2025•甘肃•模拟预测）已知向量日=（1,-2）,万=（乂2）,若。1（〃+5）,则忖=.

专题5.1平面向量及其应用

'目录•重难点题型分布

序号题型

重难点题型1平面向量的线性运算及其表示

平囿向量的共线定理及其应用

重难点题型3平面向量的基本定理及其应用

重难点题型4平面向量的数量积运算

重难点题型5平面向量的投影或投影向量

重难点题型6平面向量的模长问题

重难点题型7平面向量的夹角问题

重难点题型8平面向量的平行与垂直

重难点题型1平面向量的线性运算及其表示

1.（2025•浙江嘉兴•三模）在△Q48所在平面内，点。满足池=3而，记方=4，OB=b^则历=（）

1-2r2r1r14

A.-a+-bB.—a+—bC.——a+—br

333333

【答案】C

【难度】0.94

【知以点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算、向量的线性运算的几何应用

【分析】由向量的线性运算法则即可算得结果.

［详解］由向量的线性运算可知反=3+*=）+而+而=）+；（砺一万）=

故选：C.

ULH1UUU

2.（2025•甘肃甘南三模）V/WC中，若颔=G,AC=b，BD=3DC，则向量布可用。，〃表示为（）

13一

A.—a+—brB.a+—b

444

11-DI-

C.-a+-bD.-a+-b

4444

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量

【分析】根据平面向量的线性运算直接求解即可.

【详解】在VA8C中，肮=3翳

i.Ab=AB+BD=AB+-BC=AB+-（AC-AB}

44V7

—3—3—1—3—

=AB+-AC--AB=-AB+-AC.

4444

_13_

又因为A8=,,AC=5,所以AZ5=：d+—5.

44

故选：A

3.（2025•甘肃庆阳•三模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，若AB=a>AD=b»

则EC=（）

D.-a-b

2

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】用基底表示向量

【分析】根据向量的加法运算求解即可.

【详解】因为石为A笈的中点，

^iXEC=EB+BC=-AB+AD=-a+b,

22

故选：B

4.（2025高三•全国•专题练习）在VA3c中，已知前=%（衣一而），且4）=4月-1。8，贝必=

【答案】4

【难度】0.85

【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、平面向量基本定理的应用、利用平面向

量基本定理求参数

【分析】根据向量加减法的运算法则，拆解向量，化简求值.

【详解】因为8力=/1万一入反正=4月+8C,

则带入/一而），得标一而=氏（通+或一而），

整理得AZ5=AQ+工-4。=4万一~—cii.又AZ5=A公一

k+\A+15

k4

所以—一=—彳，解得％=4.

故答案为4

5.（2025•山西晋中•三模）（多选题）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，

四象生八卦.如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形/1BCDErG",其中"=1,。为正

八边形的中心，则（）

A.OA+OF=BAB.OA+OC=2OB

C.cos2Z.OAB=^—^

D-ABAE=\

4

【答案】ACD

【难度】0.65

【知识点】二倍角的余弦公式、向量加法的法则、数量积的运算律

【分析】由向量的线性运算及向量数量积的定义，氽弦二倍角公式逐个判断即可.

【详解】对于A,OA+OF=OA-OB=BA^故A正确；

对FB,如图，连接AC交08广点可知M为AC的中点，所以aUOC5=20"，故B错误;

E

对于C,在△045中，易知NA08=E，且Q4=OB,所以2/。48=乎，cos2NOA3=—匹，由二倍角公

442

式可得cos?NOAB=1+c0s2/。八8二,故C正确；

24

对FD,连接所，则所以福.屏=通2=1，故D正确.

故选：ACD

6.（2025•河北•三模）在V4BC中，A8=4,AC=5,点。和七分别在A8和AC边上，且满足

AB=2AD,AC=-^CE,若E丽=2,则丽.衣=（）

4

A.-10B.10C.5D.-5

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律

【分析】设通=7配=反利用平面向量的线性运算得到C力-尻所瓦结合数量积公式计算即

可.

【详解】设血=7而^反

•/AB=2福点D为线段A5的中点,

—5—

-AC=——CE,

4

所以点E为线段AC上靠近点A的五等分点，

•一•I—

CD=CA+AD=-a-bEB=EA+AB=a一一b,

2y5

•.•C方方=2，

/.'-a-b]]a--b]=2,：.La2-—ab+-b2=2,

(2JI5)2105

;冏=4,忖=5,.,.万♦5=10.

故选：B.

7.（2025・湖北•模拟预测）若V/WC是边长为6的等边三角形，点。满足碇=5前，则而•记=（）

119

A.—B.5C.-D.4

22

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律

【分析】由数量枳的运算性质即可求解.

【详解】因为祝=5也，所以

所以4力=*+。力=衣+』（AC-A月）=9/一下，

555

----------（6—1—、—6—21-------------61I11

所以AQ-4C=—AC——AB\AC=-AC一一ABAC=-x5一一x5x-=—.

（55j555522

故选：A.

重难点题型2平面向量的共线定理及其应用

■・■・一•・・・・・•・・■・・・■・■・■■・■・・・■・■・■■・■・・■・・・・・■・・・■・・・・・■・・・■・■・・•■■・■・■・■■・■・■・■・・・■・・・・・■・・・・・・・■・・•・・■・■・■・・■・・・■・・・・・・・・・■・■・・•・・・・・・■・・・・•■・・・■・・・・・■・■・ay

1、证明向量共线：若存在实数3使方=如，则■与非零向量5共线.

2、证明三点共线：若存在实数入，使砺=%/，丽与衣有公共点A,则A,B,C三点共线.

3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.

1.（2025•江苏南通•三模）已知《，可为平面内一组基底，而=[+〃小心=1-4•，CD=5[+砥，若

A,B,。三点共线，则。的值为（）

A.2B.-2C.0D.1

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】向量加法的法则、已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量

【分析】根据向量的减法运算求出而，再由共线向量定理求解即可.

[详解]M=[+B）=C£j-C月=5q+4c2—11_4q）=4e+8g=4卜।+2弓），

因为血与加共线，.•"二2,

故选：A.

2.（2025・广东广州•三模）已知向量,出不共线，然+•与3,+纺共线，则实数2的值为（）

32

A.-B.2C.6D.----

23

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】已知向量共线（平行）求参数

【分析】由向量共线得到！=求解即可.

JJ

【详解】因为曲+方与%+M共线，

所以

32

3

解得:a=不，

故选：A

3.（2025•全国•模拟预测）（多选题）如图，已知正八边形48CQE尸G”的边长为1,O为正八边形的中心,

则下列说法正确的是（）

A.（OA+OB）±（OE-OF）B.^BC-EF）//GE

C.ABAE=\D.OA+OC+OF=Q

【答案】ABC

【难度】0.65

【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、向量加法的法见

【分析】A先证（丽+配）1而，再利用而〃;曲即可；B利用元—瓯=乔+而=而即可；C利用数量

积的定义：D利用向量的加法法则得。爪+加=41OB即可判断.

【详解】在正八边形ABCDEFGH中，

由于（3+历）•而=（市+丽）•（而—西）=丽2—函?=0,则+砺）JL而，

mOE-OF=FE^且丽〃而，所以（况+砺），（前-中），故A正确；

由于阮一丽=>+而=G百，故B正确;

连接瓯可得4心4皿"叱*至=9。,

所以而•通二|丽.而卜OSN84E=A^'=1,故C正确;

由于NAOC=90,且。＜+OC=ao/j，又0F=-0月，

所以）+觉+砺=（忘—1）砺工6,故D错误，

故选：ABC.

4.（24-25高三下•湖南长沙•阶段练习）等比数列｛4｝中，%＞0,%,%满足：OP=a；OA+a：＞Oli（。点在

直线4B上），则知的最大值为.

【答案】*

2

【难度】0.65

【知识点】已知向量共线（平行）求参数、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、

基本不等式求积的最大值

【分析】由题意得。：+耐=],根据等比数列的性质有4：=q.%，结合重要不等式即可求解.

【详解】等比数列｛q｝中，可＞（），有〃：=4•%，

4，的满足：OP=a；OA+a^OB（P点在直线AB上），则有。；+帚=1,

所以1=。：+〃226♦%=2裙，当且仅当q=%=*时等号成立，

又4＞0,有44孝，所以《的最大值为孝.

故答案为：

2

5.（2025•天津•二模）在边长为1的菱形ABC。中，4=60°,记A月4,~AD=b＞点M是线段6。上一点，

点N是线段0c上一点，且4,M,N三点共线.若F=~则用％坂表示前=______^ANCM=~,

AM212

则F的值为______-

AM

_1_4

【答案】b^a-

【难度】0.65

【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、数量积的运算律

AN

【分析】将俞用友[来表示，进而利用三点共线求得参数4;假设F=〃，将痴用人[来表示，利用三

AM

_______11

点共线可得到的关系，再根据AMCM=-不，解方程即可.

【详解】设丽=4而，Ae[0,l],则前=丛痛，

AN3...--2r2.—

/；-——,AM=-bH—Aci,

AM233

291

因为8,M,。三点共线，则；+y=i,得4=7，

332

所以AN=bIXa=b+—a；

2

设=/ZG（1,2],则AA7="!~AN=‘3+4。，

AM〃〃〃

I五

又B,M,。三点共线，则一+—=1,得彳=〃-1,

因为菱形ABC。的边长为1，ZA=60°,AB=a，AD=b^

所以丁=坂2=],〃.$=；.

乙

V^=AM-AC=l.b+^-a-（a+b）=^b--a,

NN〃〃

所以病而=历+（〃-向•化4-4]=~-丝上左心妇u,

I〃N）N〃2412

整理，得6〃2+4一]2=0,

解得〃=；4，3或〃=-；（舍A去N）.4故笫=?.

32AM3

故答案为：b+^a.1

6.（2022•山东泰安三模）如图，在VABC中，ZBAC=^,痛=袅瓦点尸在线段CO上（P不与C,D

点重合），若VABC的面积为46，AP=mAC+^AB,则实数,〃=,|衣|的最小值为.

【难度】0.65

【知识点】已知向最共线（平行）求参数、用定义求向曷的数危积、基本不等式求和的最小信

【分析】用记而表示出而与川方，利用两个向量共线可求出园求出|QF后利用基本不等式可求出最值.

_2___2_

【详解】因为人力二^八片,所以。力==

___2--I-।__

而PD=AD-AP=-AB-mAC一一AB=-AB-mAC.

326

21

因为CS与A方为非零共线向量，故存在实数/M