2025-2026学年人教A版高中数学必修第二册单元测试：第七章 复数

第七章复数

（考查范围：第七章时间：120分钟分值：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数z=T，则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

l+2i

2.已知i为虚数单位，复数则在复平面内z对应的点位于（)

A.第一象限B.第二象限

C.第二象限D.第四象限

3.已知i是虚数单位，则“『=1”是"Q+i）2=2i”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

i3

4.复数z=广百在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.下列命题不正确的为（）

A.若复数Zl,Z2的模相等，则Zl,Z2是共聊复数

B.Zl,Z2都是复数，若ZI+Z2是虚数，则ZI不是Z2的共瓶复数

C.复数是实数的充要条件是z=》

D.若z£C,|z+i|+|z-i|=2,则z对应的点Z的轨迹为线段

6.已知复数z满足（z-l）i=4+3i（i为虚数单位），则z+T=（）

A.8B.6

C.-6D.-8

7.已知z=9号一2i,则T的虚部为（

A.4B.2

C.-2D.-4

8.人们对数学的研究一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分

数、从有理数到实数，等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，

首先引进了i2=-l,17世纪法国数学家笛卡尔把i称为“虚数”，用。+阳〃,

8RR）表示复数，并在平面直角坐标系上建立了“复平面”.若复数z满足方程

Z2+2Z+5=0,则z=（）

A.-l+2iB.-2-i

C.一l±2iD.-2±i

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的

四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分,

有选错的得。分.

4—2i

9.已知复数2=不工，则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为一i

B.复数z在复平面内对应的点位于第二象限

C.z的共筑复数，=l+i

D.lzl=y/2

10.若z=^+；i（i为虚数单位），则下列说法正确的为（）

A.|z|=1B.z-z=z2

C./=iD.z+z2O23=0

11.已知复数Zl,Z2,下列结论正确的有（）

A.Z|+z2=Z1+Z2

B.若Z|Z2=0，则Zl=Z2=0

C.|ziZ2|=|zi||Z2|

D.ZI=|ZI|

三、填空题：木题共3小题，每小题5分，共15分.

11-3i

12.已知i是虚数单位，化简的结果为.

l+2i

2cos°+isin°…

13.已知复数z=----匚寿----(6£R)的实部为0,则tan20=

14.若i为虚数单位，复数z满足lW|z+l+i|W，L则忆一1一”的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

15.(13分)设复数z=(〃z2—4〃2—5)+。九2+5加+4)i,机为实数.

(1)当机为何值时，Z是纯虚数？

(2)若〃2=—2,求团的值.

(3)若复数，在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.

16.(15分)设复数zi=l-〃i(a£R),z2=3-4i.

(1)若Zl+z2是实数，求ZUZ2；

⑵若U是纯虚数，求ZI.

17.(15分)已知x=-l+i是方程/+办+力=03，0£R)的一个根.

(1)求实数小(的值;

(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.

18.(17分)设z是虚数，

⑴求证：z+L为实数的充要条件为|z|=l；

(2)若公>0,推测z+T为实数的充要条件；

(3)由(2)中结论，求满足条件I<z+4W6,且实部与虚部均为整数的复数z.

19.(17分)现定义“〃维形态复数z“"：z〃=cos〃0+isin〃仇其中i为虚数

单位，〃£N*,JW0.

(1)当夕=争寸，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关

系；

⑵若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求而(。+习的值；

⑶若正整数〃z,〃(心1,〃>2),满足z〃产zi,z“=zQ证明:存在有理数夕,

使得/〃=夕〃+1—2g.

第七章复数

(考查范围:第七章时间：12()分钟分值：15()分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共4()分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

2-i-i(2-i)

1.C解析：z=~—=n~=—1—2i,则其在复平面内对应点的坐标

1-1-1

为(-1,-2),位于第三象限.故选C.

l+2i(l+2i)(l+3i)1.1,,—11，一」

2.C斛析：z=~1~—3―1=(-1~—~3d1)(1十4_3Q1)、=一，弓+，二，所以z=-25一2寸，故z在

复平面内对应的点为(一/一?，位于第三象限.故选C.

(a2—1=0,

3.B解析：当伍+i)2=2i时，即/-l+2ai=2i,得彳所以。

［2。=2,

=1.

而〃=1时，。=±1,推不出一定是。=1,即推不出m+i)2=2i,

所以“层=］，，是“m+i)2=2i”的必要不充分条件.故选B.

4.D解析：因为z=yE^=(［二，;(［；\)=|一',所以复数Z在复平面

内所对应的点为修一/),位于第四象限.故选D.

5.A解析：对于A,若复数zi,Z2的模相等，则zi,Z2不一定是共机复数，

故A不正确；

对于B,若zi和Z2是共辄复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；

对于C,若复数是实数，则2=〃(〃£即，从而T=〃m£R),所以z=三，反

之若z=z,则由a+8i=a—8i(a,〃£R),得b=0,所以z=a,所以复数是实

数的充要条件是2=2,故C正确：

对于D,设z=〃+bi(a,Z?GR),由复数的几何意义可知|z+i|+|z—i|=2表

示点3,份到点(0,—1)和(()，1)距离之和为2,而点(0,一1)和(0,1)之间的距离

为2,所以z对应的点Z的轨迹为线段，故D正确.故选A.

4+3i

6.A解析：因为(z—1)i=4+3i,解得z—1=­：—=3—4i,即z=4—4i,

所以z+z=4-4i+4+4i=8.故选A.

7B解析.z=li±i£-2i=^l±^-2i^Kl±i)_2i=_2i=

21

/.喇7T.Z2_2i212_2j"JA(1)(]+。

-l-2i,所以z=-l+2i,则z的虚部为2.故选B.

8.C解析：设z=a+砥a,OWR),因为z2+2z+5=0,则(a+〃i)2+2(a

+/?i)+5=O,

⑷一户+2a+5=O,

所以(〃一〃+2〃+5)+20(4~H)i=().而贝",解

.2+1)=0,

〃=一1,

得

力=±2,

所以z=-l±2i.故选C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的

四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分,

有选错的得。分.

。钮加4-2i(4-2i)(3—i)12—10i+2i、.

9.CD解析：z-3+j-(3+j)(3T)-10一1i.

对于A,z的虚部为一1,故A错误；

对于B,复数z在复平面内对应的点为(1,-1),位于第四象限，故B错误；

对于C,z的共版复数、=l+i,故C正确；

对于D,|Z|=^/124-(-1)2=V2,故D正确.

故选CD.

1().ACD解析：对于A,z=^+gi,则z=半一：i,所以|z|=

+2又坐3=3+坐二所以zez故B错误;

对于C,z3=z2-z=pl=i,故C正确;

2023202236746742337

对于D,Z=Z-Z=z-(z)=Z-i=z-(i)=~Zf所以z+z2°23=0,故

D正确.

故选ACD.

11.AC解析：设zi=〃+/?i,Z2=c+di(a,b,c,d£R),则zi+z2=a+c

+S+d)i,zi+z2=(〃+c)—(/?+d)i=(〃―/?i)+(c-di)=z1+z2,故A正确；

当zi=O,Z2=2+i时，ziz2=0,故B错误；

ziz?=(〃+加)(「+M)=ac-hd+(〃d+he)i,

|ziz2|=(ac—bd)2+(ad-\-be)2

=yjere2+b2^2+erd2+h2^

=|zi||z2|,故C正确；

zi=2+i时,|zi|=V5,zi^|zi|,故D错误.

故选AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

.11—3i(11—3i)(l-2i)11—6—25i.

12.1-51解析：i+2i=(i+2i)(l-2i)=5=1-5l

43•2cos6^+isin0(2cos夕+isin0)(1—i)

13.T341解r析：因为复数2=——H——=--―

31+1(1+1)(1—1)

2cos夕+sinJ+(sin夕一2cos9)i.，

=--------------j------------£R)的实部为0,

所以2cos0+sin0=0,所以tan0=-2.

2tanG-44

所以tan2。=

1—tan节1—43.

14.3^2解析：复数z满足lW|z+l+i|W啦，即lW|z-（一班,

即复数z对应的点Z到点。（一1,一1）的距离d满足1W4W戏,如图.

设P（1,1）,忆一1一耳表示复数z对应的点Z到点打1,1）的距离,

数形结合可知的最大值|AP|=|CP|+V^=©^+啦=3也.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

15.

加2—4〃？-5=(),

解：(1)若z是纯虚数,财解得〃=5,

J〃2+5〃?+4W(),

所以当m=5时，z是纯虚数.

(2)若〃?=—2,则z=7—2i,

所以0=寸声转舟=用.

(3)因为复数z=(nv—4/7?-5)—(/7Z2+5/z?+4)i,对应的点为(〃尸一4〃z—5,—

(病+5m+4)),

若复数与在复平面内对应的点在第三象限,

zn2—4/W-5<0,

则.解得一1＜相＜5,

—(m2+5m+4)<0,

所以实数机的取值范围为(一1,5).

16.

=

解：(1)由zi=l—oi,Z23—4i,得ZI+Z2=4—(4+a)i,而zi+zz是实数,

于是44-67=0,解得〃=—4,

所以z「Z2=(1+4ii(3-4i)=19+8i.

zi\—g\(l-6zi)(3+4i)=3+4%4-3a)i是纯虚数

(2)由题意得^2=3-4i=(3-4i)(3+4i)

3

3+4。=0,-

因此，4

4一3。#0,

3

所以zi=14-^i.

解：⑴把x=-1+i代入方程『+ax+〃=O,得(一〃+/?)+(〃-2)i=0,

j—Q+/?=0,储=2,

所以《解得＜

[〃一2=0,1/7=2.

(2)由(1)知方程为F+2K+2=0.

设另一个根为股，由根与系数的关系，

得一l+i+i2=-2,

所以X2=—1—i.

把X2=-l-i代入方程f+

则左边=(一1-ip+2(—1一。+2=0=右边,

所以X2=—1—i是方程的另一个根.

18.

⑴证明：(必要性)设z=x+)”G，#O),知z+Jf+yi£=中+f

x+yi'x~十5r

《1+号4+)(1_号寸为实数，

则)，J—巨、)=0,即f+)，2=l,易得团=｛旨+)2=1.

(充分性)反之，若团=1,则z-z=|zF=l,?=；，

乙

所以z+!=z+Z为实数.

⑵解：设z=x+MG，wo),2+?={1+#^+){1—#寸为实数,

易得1即\z\=y『+y2=Wm>0).

反之，由|z|=W，z-z=|zF=。，得z所以z+，=z+z为实数.

因此z+j为实数的充要条件是|z|=g.

(3)解：由题设知，z为虚数，否则不等式l<z+芈W6不成立，且z+”为实

数.

由(2)知，|z|=JT5.

1殳z=xo+)x)i,

则由z+¥=z+W=4l+^y=如,

知1<2XOW6,得;<xoW3.取xo=l或2或3,再由|z|=J®易得相应的yo=

±3,±^6,士1,

所以z=l±3i或z=3±i.

19.

7T兀I•0兀

(1)证明:当夕=不寸,ZH=COSw〃+isin甲7,

则zi=cosg+isin：=^(l+i),兀I..7T

Z2=cos5十isin