2026年高考数学一轮培优练习（新高考）椭圆（学生版+解析）

第八章直线和圆、圆锥曲线

§8.5椭圆

【课标要求】1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程2掌握椭圆的简单几何性质（范围、

对称性、顶点、离心率）.3.掌握椭圆的简单应用.

【考情分析•探规律】

考点考情分析（2021-2024）命题趋势

考点1椭圆方程2023•全国甲卷、2023•全国甲卷、

理解椭圆的定义、几何图形、

及其性质2022•全国新I卷、2021•全国新I卷

标准方程；掌握椭圆的简单几何

2023•全国新I卷、2022•全国甲卷、

考点2椭圆的离性质（范围、对称性、顶点、离心

2022•全国甲卷、2021•全国乙卷、

心率及其应用率）；握椭圆的简单应用。

2021•浙江卷

【知识梳理】

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点R,尸2的距离的和等于—（大于尸尸2|）的点的轨迹叫做椭圆.这

两个定点叫做椭圆的—，两焦点间的距离叫做椭圆的—.

注意：（1）当动点M满足附人|+附尸2|=常数＞尸尸2|时，动点M的轨迹为椭圆；

⑵当动点M满足|MR|+|MF2|=常数=|RBI时，动点M的轨迹为以Fi，尸2为两端点的

线段；

⑶当动点M满足=常数＜尸"|时，动点M的轨迹不存在.

------------------------------------

顶点

轴长短轴长为长轴长为—

焦点

—

焦距⑹6|=_

对称性对称轴：___________,对称中心：_____

离心率一千-------

Chbyc的关系—

:点拨】椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P（xo,州）与两焦点构成的叫做焦点三角形，如图所示，设NBP出

=仇

\(1)Z\PFIB周长为2a+2c；

\(2)|PFi|nm=«+c,\PF\\mn=a-C；

I0

(3)Ss*=^PR||PB|sinO=ZAan$=c|yo|,当|知|=仇即点户的位置为短轴端点时,Sg明

取最大值，最大值为〃c.

IPF1I+IPF2I,

(4)|PFIMPF2|^

(5)4?=|PFi|2+1PBl2一2|PQ||PB|cos0.

【随堂训练】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)平面内与两个定点Q,B的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()

⑵椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()

⑶方程，加+〃)2=〃>o,表示的曲线是椭圆()

，22，

(4凉+方=l(a>b>0)与方+京=l(a>Z»O)的焦距相同.()

2.已知平面内一动点P到两定点片(-2,0),B(2,0)的距离之和为8,则动点。的轨迹

方程为（）

A兰+J

164

cY+J

95

3.椭圆=+三=1(〃》0)的离心率为()

5m3m

人口B.|

C.乎D.1

4.若椭圆C：。+《=1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()

43

A.3B.2+V3

C.2D.V3+1

点拨】椭圆中常见结论：

P为椭圆上任意一点，F,尸2分别为椭圆的左、右焦点，设/吊尸尸2=仇如图所示.

(1)当。为短轴端点时，。最大，S/PFZ最大;当点P为长轴端点时，。最小为0.

(2)|PFi|nux=a4-c,\PFi\mtn=a—c.

⑶IPQHPFdW（叫（*I）=片.

2

(4)4d=\PF\|+-21PB||PF2|cos0.

⑸焦点三角形的周长为2(〃+c).

【必练核心题型】

题型一椭圆的定义及其应用

【典例】1.己知动圆M和圆G：（x+I）?+）2=36内切,并和圆C2：（X—1）2+/=4

外切，则动圆圆心M的轨迹是（）

A.直线

B.圆

C.焦点在x轴上的椭圆

D.焦点在），轴上的椭圆

【典例2.（2025・长沙模拟）已知点O为坐标原点，椭圆1+4=1的左、右焦点分别

为Fi，“2，点P在椭圆上，设线段PQ的中点为M,且|。乃|=|0闻|，则△PRF2的

面积为（）

A.V15B呼

C.3V7D.4V15

【变式训练】

变式1.设Q,B为椭圆C：9+丁=1的两个焦点，点P在C上，若丽•谡=0,则

1尸FIHPFd等于()

A.1B.2

C.4D.5

变式2.已知a，B分另!为椭圆c；卷+\=1（4>〃>0）的左，右焦点，力为椭圆。的

上顶点，且为等边三角形；过4且垂直于A&的直线与椭圆C交于。，E

两点，则△A3E的周长为.

题型二椭圆的标准方程

【典例】1.过点（-3,2）且与[+1=1有相同焦点的椭圆的标准方程是（）

94

A.二+21=]BX+^=1

2251001510

C.21+W=1D.日+亡=1

2251001510

【典例】2.已知椭圆。的焦点在坐标轴上，且经过4一百，-2）和4（—26，1）两点，

则椭圆C的标准方程为.

【变式训练】

变式1.（2024・九江模拟）已知椭圆C：[+[=1（4乂＞0）的左、右焦点分别为分，死,

a6b”

过F,且倾斜角为甘勺直线交C于第一象限内一点A.若线段AF,的中点在y轴上，

的面积为2V3,则椭圆C的方程为（）

AY+V=IBX+^=I

332

C.二+廿=1D.-4-^=1

9396

变式2.已知椭圆的中心在原点且过点尸（3,2）,焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的

3倍,则该椭圆的方程为.

题型三椭圆的几何性质

命题点1离心率

【典例】1.已知椭圆C盘+的左、右焦点分别为a，6,8（（）,b）,若

经过人的弦A8满足|A6|=|AF2|，则椭圆。的离心率是（）

A淳B.世

34

C虫D—

'3'4

命题点2与椭圆有关的范围（最值）

【典例】2.（多选）已知根圆盘+。=1,Ft，乃为左、右焦点，“为上顶点，P为椭圆

164

上任一点，贝"）

A.SM&FZ的最大值为4代

B.IPAI的取值范围是[4—2b，4+2V3]

C.不存在点P使

D.|P8|的最大值为2V5

【变式训练】

变式L多选）已知椭圆三十[=1（0<从3）的左、右焦点分别为昌，F2,过点向的直线

9

/交椭圆于A，B两点,若依阴的最小值为4,贝lj（）

A.椭圆的短轴长为6

B.HBI+I8F2I的最大值为8

C.离心率为日

D.椭圆上不存在点P,使得

变式2.已知椭圆C1+4=1（〃>0）的左、右焦点分别为Q,B,A为C上一动点，

Q，3Q/

则需的取值范围是.

【限时训练】（限时：60分钟）

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.若椭圆的焦点在x轴上且经过点（一4,0）,焦距为6,则该椭圆的标准方程为（）

A.¥+日=1B.立+日=]

168167

c¥+JDY+J

816716

2.若椭圆马+t=1（〃>0）的离心率为今则该椭圆的半焦距为（）

32

A.1B.V3

c.3或V5D.3或I

3.设椭圆马+与=1（心0,心0）的两个焦点分别为Q（0,2）与B（0，—2）.若此椭圆上存

在点P使得△PRE为正三角形，贝卜炉十〃2等于（）

A.4+2V3B.2V7

C.28D.36

4.已知点P在椭圆C1十1=1上，。的左焦点为尸，若线段相的中点在以原点O

98

为圆心，QF）为半径的圆上，则的值为（）

A.2B.3

C.4D.8

5.已知P为椭圆C：*+3=13＞历＞0）上一点，Fi，F2分别为左、右焦点，。为坐标原

点，|PO|=$r，且仍尸阳尸产2|=那，则C的离心率为（）

24

A.5B,1

44

C.—D.i

22

6.已知椭圆C：?+?=1的右焦点为F,P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为

2）,则|PA|+|PF|的最大值为（）

A.?B.5

eg

oo

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.已知椭圆C：1+《=1,且两个焦点分别为R,屋,P是椭圆C上任意一点，以下

1612

结论正确的是（）

A.椭圆C的离心率为当

的周长为12

C.IPRI的最小值为3

D.IPRHP尸¥的最大值为16

8.已知圆。：/+丁=3经过椭圆C\+徐=1（。9>0）的两个焦点E，B，且P为圆0

与椭圆C在第一象限内的公共点，且的面积为1，则下列结论正确的是（）

A.椭圆C的长轴长为2

B.椭圆C的短轴长为2

C.椭圆C的离心率为3

D.点P的坐标为住，苧）

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.已知椭圆C的焦点a，尺都在X轴上,P为椭圆C上一点，△PRB的周长为6,且IPRI，

IEBI，IPBI成等差数列，则椭圆C的标准方程为.

10.设B，B分别是椭圆E：5+5=1（。>比>0）的左、右焦点，过B的直线交椭圆E于

P,。两点，且PQ_LP。，\PF2\=2\QF2\,则椭圆E的离心率为.

四、解答题卜共28分）

11.（13分）如图所示，已知椭圆[+]=1（。2>0）,Fi，B分别为椭圆的左、右焦点，A

为椭圆的上顶点，直线AF,交椭圆于另一点注

（1）若NR46=90。,求椭圆的离心率：（6分）

（2）若椭圆的焦距为2,且源=2审，求椭圆的方程.（7分）

12.（15分）已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在入轴上，长轴长是4,离心率是去

（1）求椭圆的标准方程；（6分）

（2）若点P在该椭圆上，修分别为椭圆的左、右焦点，且/PFiE=120。，求

的面积.（9分）

【尖子拔高训练】每小题5分，共10分

13.已知点尸是椭圆3+上1上一点，Fi，尸2是椭圆的两个焦点，且△叩尸2的内切圆

半径为1,当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（）

7

A.2B.-

3

C.-D.-

34

14.（2025•信阳模拟）已知椭圆C：摄+的左、右焦点分别为Fi，B，过点

民和上顶点A的直线/交C于另外一点B,若而二取,且的面积为粤，则

4Z

实数2的值为（）

A.3B.-

3

C.3或7D.|或7

第八章直线和圆、圆锥曲线

§8.5椭圆

【课标要求】1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、

对称性、顶点、离心率）.3.掌握椭圆的简单应用.

【考情分析・探规律】

考点考情分析（202L2024）命题趋势

考点1椭圆方程2023•全国甲卷、2023•全国甲卷、

理解椭圆的定义、几何图形、

及其性质2022•全国新I卷、2021•全国新I卷

标准方程；掌握椭圆的简单几何

2023•全国新I卷、2022•全国甲卷、

考点2椭圆的离性质（范围、对称性、顶点、离心

2022•全国甲卷、2021•全国乙卷、

心率及其应用率）；握椭圆的简单应用。

2021•浙江卷

【知识梳理】

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点R,B的距离的和等于赏数（大于IQFzl）的点的轨迹叫做椭圆.这

两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的鲤1.

注意：⑴当动点M满足|/必尸||+附尸2|=常数＞内尸2|时，动点M的轨迹为椭圆；

⑵当动点M满足IMKI+IM乃尸常数=的6|时，动点M的轨迹为以F,,B为两端点的

线段；

⑶当动点M满足眼向+附外|=常数＜/声2|时，动点初的轨迹不存在.

2.椭圆的简单几何性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在），轴上

BAL

图形r

立+廿=1e+三=1

标准方程a2b2a2b2

(a>b>0)(a>方>0)

-—WxWa—bWxWb

范围

且一且一aSWa

4(-a,0),4(0,—a),

A2S，0),4(0,a),

顶点

8i(0，­b),0),

&(0,b)B?(b,0)

轴长短轴长为%,长轴长为额

—1(-c,0),B(0,—c),

焦点

尸2(c,0)尸2(0，c)

焦距

|FIF2|=2C

对称性对称轴：x轴和y轴,对称中心：原点

离心率g=-(0<g<l)

a

Chbyc的关系片=62+一

:点拨】椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P（xo,州）与两焦点构成的叫做焦点三角形，如图所示，设NBP出

=仇

\(1)Z\PFIB周长为2a+2c；

\(2)|PFi|nm=«+c,\PF\\mn=a-C；

I0

(3)Ss*=^PR||PB|sinO=ZAan$=c|yo|,当|知|=仇即点户的位置为短轴端点时,Sg明

取最大值，最大值为〃c.

IPF1I+IPF2I,

(4)|PFIMPF2|^

(5)4?=|PFi|2+1PBl2一2|PQ||PB|cos0.

【随堂训练】

1.思考辨析（在括号内打“J”或“X”）

（I）平面内与两个定点乃的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（）

⑵椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（）

⑶方程，加+〃）2=1（〃?＞（）,〃＞（）,〃?/〃）表示的曲线是椭圆（）

，22，

（4%+方=13＞历＞0）与方+烹=13＞力＞0）的焦距相同.（）

【答案】（1）X（2）X（3）J（4）V

【解析】（1）由椭圆的定义知，当该常数大于IRBI时，其轨迹才是椭圆，而常数等于向用I

时，其轨迹为线段常数小于IQBI时，不存在这样的图形.

⑵因为，哈咛

所以e越大，则9越小，椭圆就越扁.

2.已知平面内一动点P到两定点口（一2,0）,尸2（2,0）的距离之和为8,则动点P的轨迹

方程为（）

A.立+日=1B.m+3=1

16416

C.—十—=1D.—+-=1

9520

【答案】B

【解析】因为平面内一动点2到两定点~（一2,0），尸2（2,0）的距离之和为8，且8＞尸产2|

=4,

所以动点P的轨迹为焦点位于x轴的椭圆

22(2a=S,2=

设椭圆方程为m+]=ig>/A0),焦距为2c(c>0),贝皿2c=4,解得"一'

2h2L=12,

故动点尸的轨迹方程为1+4=1.

1512

3.椭圆;+/=】（心0）的离心率为（）

5m3m

A.?

C畔D.|

【答案】A

【解析】由椭圆的标准方程可得。2=5〃？，/，=3〃？，所以离心率e=(=Jl-g=Jl-|^

=e=适

y]s5"

4.若椭圆C：1+：=1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()

43

A.3B.2+V3

C.2D.V3+1

【答案】A

【解析】由题意知。=2"=百，所以c=】，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为。+

c=3.

点拨】椭圆中常见结论：

P为椭圆上任意一点，F,B分别为椭圆的左、右焦点，设NEPF2=。，如图所示.

(1)当P为短轴端点时，6最大，SAF]PF2最大；当点P为长轴端点时，。最小为0.

⑵|PR|max=a+c，I尸c.

(3)下川.吐2区(俨”"1)=片.

(4)4?=\PFi|2+|P尸2『一2|PFi11PBicos0.

(5)焦点三角形的周长为2(a+c).

【必练核心题型】

题型一椭圆的定义及其应用

【典例】1.已知动圆M和圆C：(X+1)2+V=36内切，并和圆。2：(x—1尸+)2=4

外切，则动圆圆心M的轨迹是()

A.直线

B.圆

C.焦点在x轴上的椭圆

D.焦点在y轴上的椭圆

【答案】C

【解析】设动圆的圆心M的坐标为(x,y),半径为r,

因为动圆M与圆Ci：(rH)2+)7=36内切，且与圆C[:。-1)2+)，2=4外切，

可得|MG|=6一厂，|/饮司=r+2,

所以|MGI+|MC2|=8>|GC¥=2,

根据椭圆的定义知，动点M的轨迹是以G,。2为焦点的椭圆，且2〃=8,2c=2,

可得(7=4,c=l,则b=yja2-C2=y/15,

所以动点M的轨迹方程为[+[=1,

1615

所以其轨迹为焦点在X粕上的椭圆.

【典例2.(2025.长沙模拟)己知点。为坐标原点，椭圆J+?=1的左、右焦点分别

为R，6，点?在椭圆上，设线段尸H的中点为例，且|OF2|=QM，则△尸代F2的

面积为()

A.V15B.—

2

C.3V7D.4V15

【答案】A

【解析】由题意可得a=3,,c=79-5=2.

如图，因为O,M分别是和PR的中点，

所以|PBI=2QM|=2QFd=2c=4,

根据椭圆定义，可得PR|=2〃一|P尸R=2,又因为内尸z|=2c=4,

所以△PFiB为等腰三角形，且尸2至IJPFi的距离为仁加2/一"了=代，

故△PFiB的面积为孑尸产|-/?=V15.

【解JH技巧】椭圆定义的应用技巧

（1）椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、

最值和离心率等.

（2）通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

【变式训练】

变式1.设a,B为椭圆c：9+尸=1的两个焦点，点尸在c上，若巨瓦•成=o,则

『AHPFzl等于（）

A.1B.2

C.4D.5

【答案】B

【解析】因为椭圆c：9+V=i,

所以a=2,h=\,c=V5,

又因为丽丽=0,

所以P&J_PF2,即PFilPFz,

设|尸6|=皿加>0),|PF2|-«(«>()),

则〃z+〃=4,①

且病+〃2=(28)2,②

由①2一②得2mn=4,即mn=2,

所以|PQHP&I=2.

变式2.已知R,尸2分另！为椭圆C：1+3=1（4＞/»0）的左，右焦点，A为椭圆C的

16b乙

上顶点，且为等边三角形;过a且垂直于AF1的直线与椭圆C交于D,E

两点，则△ADE的周长为

【答案】16

［解析】由C：\+力=1（4＞。＞0）,得〃=4,

因为△ARA为等边三角形，

过Q且垂直于AF?的直线与椭圆。交于。，七两点，

所以直线。E为线段AB的垂直平分线，

得|AD|=|D尸2],\AE\=\EF2\,

贝Ij/LAOE的周长为lADl+lAKl+lOElTOBI+IEBI+lDFil+lEQLZa+ZandandXdn

16.

题型二椭圆的标准方程

【典例】1.过点（一3,2）且与]十学=1杓相同焦点的椭圆的标准方程是（）

94

A.W+21=]B.次+^=1

22S1001510

丫2工2y2y2

C.---1-----1D.-H----1

2251001510

【答案】B

【解析】由题意得椭圆三+。=1的焦点坐标为（遥，0）,（-V5,0）,

94

因为所求椭圆与椭圆1+==1有相同的焦点，

94

设所求椭圆的方程为m十二二1（心田，

2

aQ2-5'7

由于该椭圆经过点（一3,2）,则将点代入方程得，

?+_!_=]

a2a2-5'

解得/=]5（〃2=3舍去），

故所求椭圆的标准方程为1+《=1.

1510

【典例】2.已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过4一代,一2）和8（一2次，1）两点，

则椭圆C的标准方程为.

【答案】[+.=1

XO5

【解析】设所求椭圆的方程为mx2+ny2=\（m>0,〃>0,〃?W〃），将A和B的坐标代入方

程得

m=-

3m+4n=l,解得《:

.12m+n=l,n=-

则所求椭圆的标准方程为捻+：=1.

F【解题技巧】根据条件求椭圆方程的主要方法\

:（1）定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.:

\（2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a,/九当不知焦点在哪一个坐标轴上\

\时，一般可设所求椭圆的方程为〃优2+〃）2=1（〃7>0/7>0；与椭圆3+£•=13〉历>0）i

I共焦点的椭圆方程可设为一^+招二=1（»/»0,心一3）;与椭圆1+

az4-mb'+mbz

i有相同离心率的椭圆方程可设为a+左=2或左+底=2（a>/»0,A>0）.\

【变式训练】

变式1.（2024・九江模拟）已知椭圆C：[+[=1（。>/»0）的左、右焦点分别为长，尸2,

过H且倾斜角为弓的直线交C于第一象限内一点人若线段AF.的中点在），轴上，

△ARB的面积为2V3,则椭圆C的方程为（）

A.y+/=IB-T+T=1

C.-4-^=1D.-+^=l

9396

【答案】D

【解析】如图，・・・0为线段的中点，B为线段AR的中点，

：.OB//AF2,又O8_Lx轴，・・・4尸2，工轴.

在RtAAFi尸2中，ZAF|F=7,

26

设|AB|=«/>0),

则14nl=2/,|FIF2|=V3/.

「△AFiB的面积为275,

.,.|xV3rX/=2V3,t=2.

：.2a=\AF]\+\AF2\=3t=6,a=3,

2c=|FiF2|=V3r=2V3,c=V5,b2=t/2-c2=6,

则椭圆C的方程为9+9=L

变式2.已知椭圆的中心在原点且过点尸(3,2),焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的

3倍，则该椭圆的方程为.

【答案】白"।或

9

【解析】若焦点在X轴上，设该椭圆的方程为

22

获x+左v=l(g>0),

(2a=3x2b,a2=45,

则由题意得9।4—解得

(装+瓦=1〃=5,

・•・该椭圆的方程为1+4=1；

455

若焦点在)，轴上，设该椭圆的方程为

《+总=13泌>0),

2a=3x2b,M=85,

则由题意得49解得,285

京+京―L

・,•该椭圆的方程为1+黑=1.

85

题型三椭圆的几何性质

命题点1离心率

【典例】1.已知椭圆C*+3=1（心">0）的左、右焦点分别为B,B，B（0,b）,若

经过R的弦A8满足|A8|=|AEI，则椭圆。的离心率是（）

在B.立

A.

T4

V6

C.D.在

34

【答案】A

【解析】由题可知|8向=|B尸2|=。,

所以,力&1+|4尸21=2。,

1*1=5,

解得

I明仁表

由COSZAFIFZ+COSZBFIF^^O,

得C）'（2;）2一管『+。2+3）2-a、一。

整理得f=3/,

所以e=-=

a3

【解题技巧】求椭圆离心率或其范围的方法

⑴直接求出a,c,利用离心率公式e=£求解.

a

⑵由a与b的关系，利用变形公式求解.

（3）构造a,c的方程.可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.

‘益商3…耳满面看‘芙前惹新最宿；

【典例】2.（多选）已知桃圆［+。=1,Fi，B为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆

164

上任一点，贝|」（）

A.SM&FZ的最大值为4代

B.IPAI的取值范围是[4—2b，4+2V3]

C.不存在点P使

D.|P8|的最大值为2V5

【答案】AB

【解析】对于A依题意知。=4])=2£=2>/^，当P为短轴端点时》“&尸2)1皿=3乂2cX8

=4A/3,故A正确；

对于B,由椭圆的性质知|PM|的取值范围是口一。,a-\~c],即[4一26，44-2V3],故B

正确；

对于C,sinZFBO=-=—,所以三，所以/丹8尸2=生，即NQPB的最大值

2a233

为手，最小值为0,所以存在点尸使产,故C错误；

«3

对于D,设P(xo,y0),

所以|P8|=J四+(yo—2/,

又总+4=1,所以瑶=16—4必,

所以|P阴=J16-4羽+仇-2)2

2

=J-3yo-4yo+2O=J-3(yo+|)，

又一2WyoW2,故当yo=一：时,|产例皿=,故D错误.

【解题技巧】与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.

(2)利用函数，尤其是二次函数.

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

【变式训练】

变式1.多选)已知椭圆[+旨=1(0＜从3)的左、右焦点分别为B，B，过点R的直线

9。乙

/交椭圆于A,B两点,若|A阴的最小值为4,贝lj()

A.椭圆的短轴长为连

B.IAF2I+I8F2I的最大值为8

C.离心率为当

D.椭圆一卜不存在点P,使得///危=]

【答案】BD

【解析】易知当A8_Lx轴时，即线段A8为通径时，|AB|最短一・・|4引=苧=4,解得〃

=6,•,•椭圆方程为^~+?=1.

对于A,椭圆的短轴长为2b=2显，故A错误；

对于B,,.,△AB1的周长为依阳+依尸2|十|8尸2|=抬尸1|+依「2|+|8尸]|十|8尸2|=44=12,且

|4班伽=4,・・・(|AF2|+|BF2l)max=12一|A8|min=8,故B正确；

对于C,Vc=Va2-b2=V3,。=3,・•・离心率e=£=g，故C错误；

a3

对于D,易知当点易位于短轴端点时,N尸1尸尸2最大:此时|尸Fi|=|P尸2|=。=3,|FIF2|=

2c=2百，;.COS/RPFJ1.—A=，又/RP尸2为三角形内角，・・・/尸出尸2£(0，

・••椭圆上不存在点P,使得,故D正确.

变式2.已知椭圆C：4=1(。＞0)的左、右焦点分别为乃，A为C上一动点，

则霜的取值范围是_

【答案】慨，3]

【解析】设椭圆C的半焦距为c（c>0）,

22

贝ijc=va--4a=-2a,

ISI=2。-|死|_2a]

\AF^\'

因为|AB|C[4—C,a+c],

即叱何如|小所以舄T*，3]，

即需的取值范围是E，4

【限时训练】（限时：60分钟）

一、单项选择题（每小题5分，共3（）分）

1.若椭圆的焦点在x轴上且经过点（-4,0）,焦距为6,则该椭圆的标准方程为（）

A.立+工=1BY+廿=1

168167

C.立+^=1D.片+^=1

816716

【答案】B

【解析】由题意得a=4,2c=6，则c=3,吩=a_"7，所以该椭圆的标准方程为与十

16

-*-一-]1.

7

2.若椭圆马+。=1（〃>0）的离心率为今则该椭圆的半焦距为（）

a'32

A.jB.V3

2

C.3或百D.3或|

【答案】D

【解析】若椭圆的焦点在x轴上，则离心率e=H=当，得/=12,此时半焦距。=

a2

V12-3=3；

若椭圆的焦点在），轴上，则离心率/，此时半焦距c=|.

所以该椭圆的半焦距为3或*

3.设椭圆2+\=1"心①心°）的两个焦点分别为B（0，2）与B（0，—2）.若此椭圆上存

在点P使得为正三角形，则加+/等于（）

A.4+2V3B.2V7

C.28D.36

【答案】C

【解析】由已知可得椭圆的焦点位于y轴上且|PR|=|PB|=|RBI=4,所以点P位于短

轴的端点，且|「人|+仍问=2〃=8,解得〃=4.又椭圆的半焦距c=2,所以＞=〃2一02

=12,所以/??+以=28.

4.已知点「在椭圆C：=+三=1上，C的左焦点为F,若线段P/的中点在以原点。

9o

为圆心，I0F1为半径的圆上，则IPQ的值为（）

A.2B.3

C.4D.8

【答案】C

【解析】因为椭圆C：l+[=1,

98

所以a=3,b=2\[2,贝ljc=\,

设椭圆的右焦点为R,连接PR,记线段«'的中点为Q,连接OQ,因为|OF|=c=l,

所以|OQI=1,

因为0,。分别为FR和P厂的中点，

所以OQ//FXP,所以甲产i|=2QQ=2,

又|PF|+|PFi|=2a=6,

所以|PF1=6一|PF||=4.

5.已知P为椭圆C：W+总=1（4>">0）上一点，Fi，乃分别为左、右焦点，。为坐标原

点，|尸。1=/，且仍尸小『尸2|=»,则。的离心率为（）

24

A.亘B.工

44

C.—D.i

22

【答案】C

【解析】令Q（—c,0）,Fi[c,0），显然点P不在x轴上，的=家耐+而），贝1」4万2=

喈+或+2|耐||厄IcosNF/B,由余弦定理得|FF2|2=|PFI|2+|PF2/一2|PQ||PF21cos

/F1PF2,因此4『0|2+|尸三|2=2（仍尸||+『尸2|）2—4尸尸山PBI,而|PR|+|PF2|=2a,

于是3/+4d=2(2〃)2—3/，整理得2c2=/

则/=捺=[又0<。<1,所以C的离心率e=哼.

6.已知椭圆C?+?=1的右焦点为F,P为椭圆。上任意一点，点A的坐标为

0，则IP4I+IPQ的最大值为（）

A21

A-TB.5

C至

J5唁

【答案】B

【解析】如图，

设椭圆C的左焦点为F,（-l,0）,

因为亨+磔=为

所以点4在椭圆内部.

由椭圆定义可得|PF|=4一|PM|,

所以|PA|+|PQ=4+|P4|一|PQ|W4+HFi|

=4+J[（g）-（T）f+（丁=4+1=5.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.已知椭圆C1+《=1，且两个焦点分别为a,B,P是椭圆C上任意一点，以下

1612

结论正确的是（）

A.椭圆C的离心率为当

B.ZXPQB的周长为12

C.IPAI的最小值为3

D.IPQHP6I的最大值为16

【答案】BD

【解析】椭圆C:+7-=1,则«=4,b=2yf3,c=7a?=阿=2.

1612

对于A,<?=-=1,故A错误；

Q2

对于B,ZXPQB的周长为|PQ|+|P22|+|FEI=2a+2r=12，故B正确；

对于C,|PFi|的最小值为a-c=2,故C错误；

对于D,|77讣上巳区3?皿=〃=16,当且仅当|PFI|=|PF2|=4时等号成立，故D

4

正确.

8.已知圆。：«+/=3经过椭圆C：、+奈=13>">0）的两个焦点B，且P为圆。

与椭圆。在第一象限内的公共点，且的面积为1,则下列结论正确的是（）

A.椭圆C的长轴长为2

B.椭圆C的短轴长为2

C.椭圆C的离心率为之

D.点P的坐标为（g,苧）

【答案】BD

【解析】因为圆O:f+尸=3经过椭圆C:[+]=[3泌>0）的两个焦点Q,&,所以

c=V3，又P为圆。与椭圆C在第一象限内的公共点，则5“&广2=奶6卜白=12、/5•0

=1,故“昔代入圆的方程可得/必=3所以），尸苧，故点P的坐标为停，苧），

故D正确；

将点P的坐标（手，竽）代入椭圆方程可得亲+泰=1,又/=〃+C2=〃+3,解得〃

=2tb=\,故椭圆C的长轴长为4,短轴长为2,故A不正确，B正确；

则椭圆。的离心率党=手，故C不正翱

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.已知椭圆C的焦点Q,F2都在x轴上,P为椭圆C上一点，△尸品B的周长为6,且|PR|,

|FiE|,『61成等差数列，则椭圆C的标准方程为.

【答案】1+《=1

43

【解析】设椭圆的长半轴长为。，半焦距为C,

依题意得产什叫+正局=6'

1俨&|+叫=2因尸2|,

即产+2c-6,解得『=2,

.2a=4c,lc=l,

则盛圆的短半轴长b=7心—C2=V5,

所以椭圆c的标准方程为手+4=1.

43

10.设后分别是椭圆七：摄+*1（。20）的左、右焦点，过B的直线交椭圆石于

P，Q两点，且尸Q_L?Q，|PBI=2|QF2l，则椭圆上的离心