小学五年级数学《用集合图解决问题（第一课时）》教学设计

小学五年级数学《用集合图解决问题（第一课时）》教学设计一、教材分析【基础】本节课是冀教版小学数学五年级下册第八单元“探索乐园”的起始课，也是学生第一次系统接触集合思想的重要课时。教材编排遵循学生的认知规律，从简单的包含关系入手，逐步过渡到并列关系，最终聚焦于重叠关系这一核心难点13。本节课的内容不仅是简单应用题的解答，更是对学生逻辑思维能力和抽象概括能力的初步培养，为后续学习公因数与公倍数、容斥原理等更深层的数学知识奠定坚实的模型基础。本节课的设计意图在于引导学生经历从实际问题中抽象出数学模型，再运用模型解释和应用的过程，体会数形结合的数学思想。二、学情分析【重要】五年级的学生已经具备了一定的生活经验和知识储备。他们已经掌握了简单的整数加减法，能够理解“部分”与“整体”的关系，并且在以往的统计图表学习中对图形的直观性有了初步感受3。然而，学生对“重叠”现象的认识往往是模糊的、下意识的，难以用精确的数学语言进行描述和量化计算。他们的思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，因此，借助直观的集合图（韦恩图）将抽象的重复关系形象化、可视化，是突破学生思维障碍的关键。学生可能遇到的困难在于：一是难以理解为何重叠部分不能重复计数；二是难以识别和解读集合图中每一部分所代表的实际意义14。三、教学目标1.【基础】结合具体的生活情境，经历探究用集合图表示事物间关系的过程，理解集合图中各部分（包含、并列、重叠）的含义，能正确解读并绘制简单的集合图。2.【核心】掌握用集合图分析数量关系的方法，能借助集合图解决简单的重叠问题，归纳出解决此类问题的基本策略（两部分之和减去重叠部分），深刻体会数形结合思想在解决问题中的价值。3.【拓展】在观察、操作、交流、反思的数学活动中，感受集合思想在日常生活中的广泛应用，提升逻辑思维能力和合作探究意识，培养用数学眼光观察世界的能力。四、教学重难点1.【重点】理解集合图中各部分的意义，能运用集合图分析并解决有重复部分的数量关系问题。2.【难点】理解重叠部分的意义，并能根据集合图准确列出算式，明白为何要从和中减去重叠部分。五、教学准备多媒体课件（包含脑筋急转弯、例题、练习题、韦恩图介绍）、彩色粉笔、磁性学具卡片（学生姓名或动物图片）、预学单、小组合作学习任务单。六、教学过程（一）激趣导入，初识“重叠”上课伊始，教师以轻松愉快的口吻与学生进行交流：同学们，上课之前我们先来热热身，猜一个脑筋急转弯。课件出示题目：两个爸爸和两个儿子一同去看电影，他们只买了3张票，却顺利地进入了电影院。这是为什么？学生纷纷猜测，教师鼓励学生大胆表达自己的想法。在学生议论纷纷之际，引导他们发现其中的奥秘：原来这三个人是爷爷、爸爸和儿子。爸爸既是爷爷的儿子，又是儿子的爸爸，他一个人具有双重身份，在这里被重复算了一次，所以实际只有3个人26。教师顺势揭示课题：生活中像这样具有“重复”或“重叠”现象的问题还有很多。今天，我们就一起走进“探索乐园”，学习用一种神奇的图形——集合图，来巧妙地解决这些问题。（板书课题：用集合图解决问题）（二）唤醒经验，构建“包含”与“并列”1.包含关系的复习巩固教师创设贴近班级的情境：为了更好地学习，我们先来看看咱们班自己的情况。板书：五年级（1）班共有学生50名（假设人数，可根据实际情况调整），其中男生有26名。教师提问：谁能说一说男生人数和全班人数之间是什么关系？预设学生回答：男生是全班的一部分，全班包含了男生34。教师追问：你能用一种图清晰地表示这种“包含”关系吗？学生尝试在预学单上画图，教师巡视，选取用不同图形（如椭圆、长方形）表示的作品通过展台展示。教师在黑板上示范规范的集合图画法：先画一个较大的椭圆（或长方形），并在其下方标注“全班50人”，然后在内部画一个较小的椭圆，标注“男生26人”。教师指出，这个图就表示“包含关系”，外面大的椭圆表示全集，里面小的椭圆表示真子集。没有画的部分，如外面大椭圆里面除了小椭圆之外的部分，就表示女生1。2.并列关系的初步感知教师继续提问：如果我说“参加数学小组的18人”和“参加合唱小组的12人”，这两个小组的人数与全班人数又是什么关系？预设学生回答：他们都是全班的一部分。教师引导：那这两个小组之间又是什么关系呢？（出示条件：且每人只参加了一个小组，也就是没有重叠。）教师引导学生认识到，这种互不交叉、互不包含的关系，我们称之为“并列关系”4。教师引导学生如何在同一个大集合（全班）中表示这两个并列的小集合。指名学生在黑板上教师的板演基础上，画出表示数学小组和合唱小组的两个不相交的小椭圆。教师点评并强调：在没有重叠的情况下，要求既没有参加数学也没有参加合唱的人数，可以直接用总数减去两个小组的人数之和。（三）聚焦核心，突破“重叠”难点【难点】【高频考点】1.制造认知冲突教师话锋一转：但是，生活中的情况往往更复杂。让我们看看五（1）班在运动会上面临的新问题。课件出示例题（3）：在学校春季运动会上，五（1）班学生参加了两项比赛。有18名学生参加了田径比赛，10名学生参加了篮球比赛，其中8名学生既参加了田径比赛又参加了篮球比赛。五（1）班共有多少名学生参加比赛？教师请学生读题，并找出关键信息。提问：这句话“其中8名学生既参加了田径比赛又参加了篮球比赛”是什么意思？预设学生回答：这8个人两项都参加了，他们被重复计算了。教师追问：如果按照之前的经验，直接用18+10=28（名），对吗？为什么？学生立刻发现不对，因为把8个人重复算了一次，实际人数应该少于28人。认知冲突被成功激发，学生迫切地想要找到一种方法来清晰地表示这种关系。2.合作探究，构建模型【重要】教师提出核心任务：这个问题中的数据关系比刚才的包含、并列都复杂，既有并列的部分，又有重叠的部分。请同学们以小组为单位，利用老师发的任务单和学具卡片（可用○代表学生），试着画一画、摆一摆，用你喜欢的图形来表示“参加田径的18人”、“参加篮球的10人”和“既参加田径又参加篮球的8人”这三者之间的关系。要求让大家一眼就看出谁参加了什么，一共有多少人参赛。学生分组展开激烈的讨论和动手操作。教师巡视指导，收集学生中具有代表性的作品（如简单的两个圈分开画、两个圈部分重叠画、文字罗列等）。组织全班汇报交流。先展示两个圈没有重叠或重叠位置不正确的作品，引导学生发现问题；最终聚焦到最符合题意的作品：用两个交叉的椭圆（或圆）来表示。教师利用多媒体或教具，动态演示两个集合圈交叉的过程，并引导学生认识韦恩图（Venndiagram），简介英国数学家韦恩27。【基础】教师引导全班共同解读这个集合图：①左边椭圆表示什么？（参加田径比赛的学生，18人）②右边椭圆表示什么？（参加篮球比赛的学生，10人）③中间交叉（重叠）的部分表示什么？（【核心】既参加田径又参加篮球的学生，8人）④那左边椭圆中“月牙”形的部分（指只有左边无重叠的部分）表示什么？（只参加田径，没有参加篮球的学生）⑤右边椭圆中“月牙”形的部分表示什么？（只参加篮球，没有参加田径的学生）教师强调：这个小小的重叠部分，是整个图的关键，它揭示了重复计数的本质。3.数形结合，列式解决教师引导学生回归问题：现在，看着这个清晰明了的集合图，你能计算出五（1）班一共有多少名学生参加比赛吗？请尝试列出综合算式，并在小组内交流你的想法。学生汇报，教师板书不同的算法，并引导学生说出每个算式的道理，将算式与图中的各部分一一对应起来。方法一：18+108=20（名）（重点讲解）这8个人既在田径圈里，又在篮球圈里，如果我们直接把18和10加起来，这8个人就被加了两次，多算了一次，所以要减去一次。这是解决重叠问题的基本公式。方法二：8+（188）+（108）=20（名）即重叠部分+只参加田径的+只参加篮球的。教师总结：无论哪种方法，我们都遵循了一个原则——【重要】重复的部分只能计算一次。这就好比我们数人数，不能因为一个人参加了两个项目就把他数两遍。（四）变式练习，内化思想1.基本练习（巩固理解）课件出示：五（1）班有40名学生，有18名学生参加数学小组，12名学生参加合唱小组，其中有3名学生这两个小组都参加了。五（1）班既没有参加数学小组，也没有参加合唱小组的学生有多少名？【热点】引导学生先讨论：这个问题和我们刚才解决的问题有什么不同？（多了“全班40人”这个大集合，最后求的是大集合之外的部分）。让学生尝试画图，并在图中标出“参加数学”、“参加合唱”、“两者都参加”、“两者都不参加”四个部分。指导学生列式，重点理解为什么要在40里面减去（18+123），这里括号里算出的就是至少参加一个小组的人数。2.变式练习（逆向思维）课件出示：五（1）班开展大扫除，扫地的有8人，擦玻璃的有12人，收拾课桌的有10人。（每人最多做了两项劳动）其中有3人既擦了玻璃又收拾了课桌，有另外2人既扫了地又擦了玻璃。五（1）班参加大扫除的共有多少人？1此题涉及三个集合且有两组重叠，但互不交叉（每人最多做两项，说明不存在三者都做的人）。引导学生通过分层画图或逐一添加的方法，逐步计算出总人数。可以先算擦玻璃和收拾课桌的（12+103=19人），再将扫地的8人加入，注意减去新产生的重叠（19+82=25人）。训练学生思维的条理性。（五）拓展延伸，文化渗透1.寻找生活中的集合教师引导学生列举生活中可以用集合图表示的现象。例如：班级里喜欢吃苹果和喜欢吃香蕉的人；超市两天进的水果品种；既是5的倍数又是3的倍数的数等等15。让学生感受到数学就在身边。2.数学文化小链接【基础】教师利用课件简要介绍：这个帮助我们解决大问题的图，叫做韦恩图（Venndiagram），也叫做文氏图。它是由英国逻辑学家约翰·韦恩在1881年发明的。他用这种简洁的图形来表示事物之间的逻辑关系，后来被广泛地应用在数学、统计、计算机科学等各个领域2。鼓励学生课后查阅相关资料，了解韦恩图的更多应用。（六）全课总结，反思提升教师提问：通过今天这节课的学习，你有什么收获？引导学生从知识、方法、情感三个维度进行回顾。预设学生回答：我学会了用集合图（韦恩图）来表示有重复关系的数量。我知道了求两部分总数时，如果有重叠，一定要减去重叠部分。我觉得画图的方法很好，能把复杂的问题变简单。我感受到数学和我们的生活联系很紧密。教师总结：今天我们不仅学会了一个数学知识，更重要的是掌握了一种数学思想——集合思想，以及一种解决问题的有效策略——画图。希望大家在今后的学习中，也能像今天一样，遇到复杂问题时不慌张，尝试着画一画、圈一圈，用图形的力量帮助我们找到答案。七、板书设计用集合图解决问题包含关系：并列关系：重叠关系（韦恩图）：大椭圆套小椭圆大长方形内两个独立小椭圆两个相交的圆参加田径（18人）参加篮球（10人）{既参加田径又参加篮球（8人）}只田径：188=10（人）只篮球：108=2（人）核心公式：两部分之和重叠部分=实际总量18+108=20（名）答：五（1）班共有20名学生参加比赛。八、教学反思【重要】本节