湖南省娄底市部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

湖南省娄底市部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．已知复数，且，则的值分别是（

）A． B． C． D．2．已知集合，集合，求（

）A． B． C． D．3．已知向量满足与的夹角为，则（

）A． B． C．3 D．4．要得到函数的图象，只需把函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位5．已知随机事件互为对立事件，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（

）A． B． C． D．7．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为A．4 B．4 C．2 D．28．任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（

）A．1 B．0 C． D．二、多选题9．的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级：日均值在，空气质量为二级：日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（

）A．这10天的日均值的第75百分位数为60B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C．这10天的日均值的中位数为41D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差10．在中，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则一定为等腰三角形C．若，则一定为直角三角形D．若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角11．若是定义在上的函数，当时，，且对任意恒成立，则下列说法正确的是（

）A． B．是奇函数C．的图象关于对称 D．若，则恒成立三、填空题12．在中，D为边上的中点，则________（用表示）13．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492

496

494

495

498

497

501

502

504

496497

503

506

508

507

492

496

500

501

499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为_________．14．如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且为的中点．二面角的正切值最大值为________．四、解答题15．已知向量，求：(1)；(2)．16．如图，在四棱锥中，平面，，，，．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．17．2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值以及样本年龄的众数．(2)从样本中年龄为的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？(3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差．18．如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求C；(2)设D为的中点，分别在边，上取点E，F，使点C，D关于直线对称，若，，求.19．甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.(1)求甲在一局中得2分的概率；(2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率；参考答案1．D解析：因为，且，所以，所以，，所以，.2．A解析：因为集合，，所以.故选：A.3．C解析：.4．B解析：函数图象左右平移，依照左加右减的法则，把的图象向右平移个单位，可得到的图象.5．A解析：因为随机事件互为对立事件，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.6．B解析：设正方体的棱长为a，球的半径为R，则，球的表面积为，正方体的表面积为，.故选：B7．A解析：由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2S直观图，得·OB·h＝2××2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4．

故选A8．D解析：，故，由于的周期均为，因此也是以3为周期，由于，因此.9．ABD解析：首先从折线图提取10天的PM2.5日均值，按日期顺序为：30,41,32,34,40,80,78,60,45,48，将全部数据从小到大排序得：30,32,34,40,41,45,48,60,78,80，逐一判断选项：选项A：因为，故，不是整数，向上取整得到位置为，排序后第项为，因此第百分位数为，选项A正确.选项B：前5天数据为，极差为；后5天数据为，极差为，显然，B正确.选项C：10个数据的中位数是第5项和第6项的平均值，即，C错误.选项D：前5天数据全部集中在区间，波动程度很小；后5天数据分布在区间，数值差异大，波动程度远高于前5天，因此前5天的方差小于后5天的方差，D正确.10．ACD解析：对于A，在中，若，则，又，所以，故A正确；对于B，当，，时，，，满足，但不是等腰三角形，故B错误；对于C，若，则，又，所以，所以，即，因为，所以，即，所以一定是直角三角形，故C正确；对于D，设三角形最大的角为，则，又，所以，因此此三角形的最大角为钝角，故D正确.11．ABC解析：对于A，在中，令，可得，故，即，故A正确；对于B，令，则，结合，得，当时，有，即不恒为0，故必有，即是奇函数，故B正确，对于C，由于是奇函数，故，令，则，因此的图象关于对称，即的图象关于对称，故C正确，对于D，当且时，此时，显然，故D错误.12．解析：因为D是BC边的中点，所以，所以.13．/解：通过统计，可知自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的共有袋，所以袋装食盐质量在之间的概率为，根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为：.14．解析：依题意平面平面，且平面平面，平面，由题意：，所以平面，过点作于点，连接，如下图所示：由平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面，平面，可得；即可得为二面角的平面角；设，则，由的面积，得又三角形为正三角形，所以，在中，.当时取等号，即二面角的正切值最大值为.15．(1)(2)解析：（1）因为，所以．解得，所以，因此.（2）由（1）可知，，.16．(1)证明见解析；(2)．解析：（1）（1）证明：平面又而平面，平面平面．（2）解：连结，设点到平面的距离为．由（1）有平面在中，有由，有故所求点到平面的距离为．17．(1)，众数为(2)4人(3)解析：（1）由题意可得，解得，由频率分布直方图可知：众数为.（2）由频率分布直方图可知年龄为的三组观众频率之比为：，所以按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取（人）（3）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为，所以，．18．(1)(2)解析：（1）在中，由余弦定理可得.所以即，所以.又因为，所以.（2）因为，，由余弦定理得，即，所以，，连接，，则，设为，，设为y，在中，由余弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，解得，所以.19．(1)(2)解析：（1）根据题意，画出树状图，如图：

所以每局中共有种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率.（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分：则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；由（1）中树状图可知满足情况有：第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）此时概率为种情况，②