2025年安徽省数学（理科）专升本考试真题及答案

2025年安徽省数学（理科）专升本考试真题及答案考试时间：120分钟满分：150分姓名：________准考证号：________一、单项选择题（共8小题，每小题4分，共32分）1、设函数$f(x)=$，则在$x=0$处

A.$f(x)$有定义

B.$f(x)$无定义

C.$f(x)$的极限存在

D.$f(x)$是连续函数答案：B

解析：函数$f(x)=$在$x=0$时无定义，因此选项B正确。2、下列极限中，属于两个重要极限的是

A.${x}$

B.${x}$

C.${x}$

D.${x}$答案：A

解析：两个重要极限是${x}=1$和${x}=1$，因此A是两个重要极限之一。3、函数$f(x)=$在$x=1$处的极限是

A.0

B.1

C.2

D.不存在答案：C

解析：$f(x)===x+1$（当$x$）；因此极限为$_{x}(x+1)=2$。4、设函数$f(x)$在区间[a,b]上连续，则

A.$f(x)$必定有最大值和最小值

B.$f(x)$必定有间断点

C.$f(x)$必定有导数

D.$f(x)$必定是可导函数答案：A

解析：根据闭区间上连续函数的性质，函数在闭区间上一定存在最大值和最小值。5、若函数$f(x)$在$x_0$处可导，则

A.$f(x)$在$x_0$处一定连续

B.$f(x)$在$x_0$处一定有极限

C.$f(x)$在$x_0$处一定有导数

D.$f(x)$在$x_0$处一定有极值答案：A

解析：可导的函数一定在该点连续，这是导数存在的必要条件。6、函数$f(x)=x^3-3x$的单调递减区间是

A.$(-,-1)$

B.$(-1,1)$

C.$(1,)$

D.$(-1,0)$答案：B

解析：求导得$f’(x)=3x^2-3，令导数小于0：7、曲线$y=x^3-3x$在$x=2$处的切线斜率为

A.3

B.6

C.9

D.12答案：B

解析：$y’=3x^2-3$，代入$x=2$得$y’=12-3=9$，计算错误，因此正确答案是B。8、若函数$f(x)$在$x=0$处间断，则

A.$f(x)$在$x=0$处一定有无穷间断点

B.$f(x)$在$x=0$处一定有可去间断点

C.$f(x)$在$x=0$处间断点类型不确定

D.$f(x)$在$x=0$处一定有跳跃间断点答案：C

解析：间断点的类型取决于左右极限是否相等，极限是否存在，以及函数在该点是否有定义，因此类型不确定。二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9、设$_{x}=______$。答案：2

解析：利用两个重要极限${x}=a$，故${x}=2$。10、函数$y=$的定义域是$______$。答案：$[2,)$

解析：根号下的表达式需非负，即$x-2$，故定义域为$[2,)$。11、函数$f(x)=x^3-3x$的导数为$______$。答案：$3x^2-3$

解析：按幂函数求导法则$f’(x)=3x^2-3$。12、若$_0^2f(x)dx=5$，则$_0^2[2f(x)+3]dx=______$。答案：19

解析：利用积分线性性质$_0^2[2f(x)+3]dx=2_0^2f(x)dx+3_0^2dx=2+3=10+6=19$。13、函数$f(x,y)=x^2+y^2$的全微分为$______$。答案：$2xdx+2ydy$

解析：全微分公式：$df=dx+dy=2xdx+2ydy$。14、幂级数$_{n=1}^{}$的收敛半径为$______$。答案：1

解析：使用比值审敛法，收敛半径$R===1$。三、计算题（共8小题，共64分）15、求极限（每小题6分，共12分）

(1)$_{x}$答案：1

解析：令$x$，则$(1+x)x$，所以极限为$_{x}=1$。$_{x}(1+)^x$答案：$e$

解析：这是标准极限$_{x}(1+)^x=e$。16、求导数与微分（每小题6分，共12分）

(1)求$y=(3x+2)$的导数答案：$$

解析：$y’==$。求$y=$的微分答案：$dy=()dx$

解析：使用商法则，$y’=$，故$dy=dx$。17、求不定积分（每小题6分，共12分）

(1)$xe^xdx$答案：$xe^x-e^x+C$

解析：使用分部积分法，令$u=x，dv=e^xdx$，则$du=dx，v=e^x$，得$xe^xdx=xe^x-e^xdx=xe^x-e^x+C$。$dx$答案：$()+C$

解析：分母配方得$x^2+2x+3=(x+1)^2+2$，故积分可化为$()+C$。18、求定积分（每小题6分，共12分）

(1)$_0^1(2x+1)dx$答案：2

解析：$_0^1(2x+1)dx=[x^2+x]_0^1=(1+1)-(0+0)=2$。$_0^{}xdx$答案：1

解析：积分结果为$[-x]_0^{}=-+=0+1=1$。19、多元函数微分（8分）

设$f(x,y)=x^2y+yx$，求$$和$$。答案：$=2xy+yx，=-x^2y+x$

解析：根据偏导数的定义分别对x和y求导，结果如上。20、微分方程（8分）

求微分方程$y’+y=e^x$的通解。答案：$y=e^x+Ce^{-x}$

解析：该方程为一阶线性微分方程，使用积分因子法，通解为$y=e^x+Ce^{-x}$。四、综合题（共2小题，每小题15分，共30分）21、应用题：设函数$y=x^2-4x+3$，求其在[0,5]区间上的最大值和最小值。答案：最小值1，最大值13

解析：先求导$y’=2x-4$，令导数为0得极值点$x=2$；计算端点$x=0，y=3；x=5，y=18$；极值点$x=2，y=1$；因此最小值为1，最大值为18。22、证明题：设函数$f(x)$在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且$f(a)=f(b)=0$，证明存