初升高数学暑假预习讲义：不等式的性质（原卷版及解析）

暑假预习专题第8讲不等式的性质

预习航标

关键词学习目标导航

1.能够准确理解并阐述不等式的基本性质，包括对称性、传递性、可加性、可乘性

等，清晰区分等式性质与不等式性质的差异。

不等式的性质

2.熟练掌握运用不等式的性质对不等式进行变形，如移项、乘除运算等操作，

作差法

能够正确求解简单不等式，并准确表示其解集。

作商法

’3利用不等式的性质证明一些简单的代数不等式，理解证明过程中的逻辑推理

和依据。

学习重点：熟练掌握运用不等式的性质对不等式进行变形，如移项、乘除运算等操作，能够正确求解简单

不等式，并准确表示其解集。

学习难点：利用不等式的性质证明一些简单的代数不等式，理解证明过程中的逻辑推理和依据。

1、不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，为后续分式不等式、基本

不等式等打基础。本章节中的作差法也是后续证明函数单调性的重要思想；在今后的学习过程中应注重

基础，重视通法，养成良好的分析问题的习惯.

2、不等式的性质

(1)对称性：

(2)传递性:a>bfb>cd>c：

(3)可加性：a>b^n+c>b-\-c,a>b,c>d=4+c>/?+d；

(4)可乘性：a>b,c>0^ac>bc；a>b,c〈0nac<bc；a>h>0,c>d>0=ac>bd；

(5)可乘方：a>b>^iH>b'\nGN,n>2)；

(6)可开方：。>/?>0=缶>抵(zzGN,n>2);

(7)a>b,ab>0=!>—<—；«>/?>0,0<c<d=>—>—.

abcd

3、比较两式大小的方法常见的有两种：作差法、作商法

作差法：第一步：作差；

第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；

第三步：定号，重点是能确定是大于0,还是等于0,还是小于0.

最后得结论.概括为“三步，一结论％这里的“变形”一步最为关键.

注意1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时,

再作差，予以比较；

注意2：如果式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号；

此时要注意分类合理恰当.

◊知I识I精I讲

知识点01不等式的性质

1、对于两个实数a、b,

如果b-a是正数，就称b大于。，记为b>a；

如果b-a是负数，就称b小于〃，记为〃；

如果b-a是零，就称b等于a,记为b=a.

这就是说b=a<^>b-a=0；这是研窕一切不等式的基础,

。、〃力>aoa〈人显然，对于任意给定的两个实数

★知识剖析

的左边反映的是实数的大小关系，右边反映的是实效的运算性质，合起来就是实数的大小与运

算性质之间的关系.（2）从基本事实可知，比较两个实数的大小，只需比较它们的差与0的大小c

2、不等式的性质:

（1）传递性设。、8、c均为实数，如果，且b>c，那么〃>c.

（2）加法性质设。、分、c均为实数，如果a>b,那么a+c>b+c.

（3）乘法性质设。均为实数，如果a>b,且c>0，那么〃c>bc；

如果。，且c<0,那么ac<bc.

特别提醒

性质名称性质内容

移项法则a+b>coa>c-b

同向可加性a>h,c>d=>a+c>h+d

同向可加性的推论a>b,c>d=>a+c>b+d

同向同正可乘性a>b>Ofc>d>G=ac>bd

同向同正可乘性的推论a>b>Orc>J>O=>-j>—

正数乘方性a>b<=>an>b"NA>02^>0,ne?n...

正数可开方性a>b>0=>\fa>\[b(neN,〃..2)

【经典例题】

[例1]34-25高一上•上海里疝・期末）已知非零实数广〃满足则下列不等式二定成文的是（7

A.>b~lB.a2>b~C./D.\a^h\

【技巧归纳】运用不等式的性质，结合特殊值法和作差法比较大小，对每个选项逐一分析判断其是否

一定成立.

【例2】（24-25高一上•上海.期末）若实数b,c满足力>0,c<0,则（）

A.ac>lx：B.—>—C.a+c<b+cD.—>—

caab

【技巧归纳】利用特殊值、不等式的性质、作差比较法等知识来确定正确答案.

【例3】E25高一上•上海・期末）已知9是正实数，那么“叱既引的一条件

（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分，，、“既不必要也不充分”）.

【技巧归纳】由.力是正实数，可知2'1"工^<,进而化简可得结果.

【对点练习】

【练习1］（24-25高一上•上海•期末）若avAvO下列不等式中：①?<1：②网>|。|；③&<二；④L：,

bb~aab

成立的有（）个A.1B.2C.3D.4

【练习2］（24-25高一上•上海•期末）已知。，beR,且满足a>A,则下列不等式中恒成立的是（）

A.->1B.c.D.a2>b2

【练习3］（24-25高一上•上海•期末）若〃>匕>0,c<d<Ot则一定有（）

A.cid>beB.ad<beC.ac<bdD.ac>bd

【练习4】（2425高一上•上海虹口・期末）设，力为实数，则"是二丁，的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【练习5］（24-25高一上•上海闵行•期末）设。、b、。、d为实数，下列命题中成立的是（）

A.如果G>&,那么B.如果出?>收，那么Z?>c

C.如果a>〃，c>d,那么D.如果a>〃，->-7,那么@>乌

caca

知识点02用不等式比较代数式的大小

1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法

①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论；

②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论；

③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论.

2.介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：

若a>>c,则。〉c；若avh.h<c,那么avc.其中b是介于。与c之间的值,

此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值.

3、证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差，

则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的枳或商，则采用作商比较法.

特别提醒

菜而乍差比较法，将示至太无君而斑勺会序作亲:庶后落箕就亍出雪体葭衩-放寂丽丽示薪西丽薪E

可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是儿个因式之积或完全平方式，

这样有利于判断符号.

【经典例题】

【例4】（24-25高一上•上海杨浦•期中）下列关于不等式的命题是假命题的序号为____.（1）若,<：<（）,

ab

则a+bvO,ab<b2；（2）用反证法证明。=0或h=0时可假设R#0；（3）若a,b为正数，则a+b3>a2b+ab';

（4）设尤yeR,若国+|x-4|+|）|+|y-2|46,则孙的取值范围为[0,6].

【易错提醒】利用不等式的性质和作差法可判断（1）和（3）；通过逻辑推理可判断（2）；利用特殊值法

可判断（4）.

「【例5】（24-25高一上•上海•期中）若xwR,设尸=f+3,Q=2x,则P、。的大小夹系为尸Q.

【易错提醒】作差计算尸—Q,根据差值即可比较大小.

【例6】设。=近，力=3—6，则“h（填入“〉”或“V”）.

【易错提醒】由久〃均大于0,可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案.

【例7】已知。21,试比较〃和N=&—的大小.

【易错提醒】方法I:采用作商比较法，结合分母有理化即可求解;

—=yJa+\+Va,—=\/a+xla-\—>—>0

方法2：先计算MN,从而可得MN,进而可求解.

【对点练习】

【练习6］（24-25高一上•上海嘉定•月考）给出下列命题：①若皿则

②若则a_c>A-d；③对于正数〃，若〃>>，则2<处场.其中真命题的序号是

aa+m

【练习7］（24-25高一上•上海宝山・月考）（1）已知xeR,比较4+3x-I与7x-3的大小;

（2）已知a>0,Z?>0,若a+Z?>4,求证：丁、■和一^^中至少有一个大于;.

b+24+22

【易错提醒】（1）运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可；

b/

（2）用反证法，假设"2一2,"2-2,推出。+〃<4矛盾，即得证.

【练习8］已知实数。，〃满足一1W〃+Z?S1；\<a-b<3,求：3。一6的取值范围.

过关检测

1.（24-25高一上•上海•期末）已知l<x<3,-2v），v4,则4一），的取值范围是,

2.（24-25高一上•上海宝山•期中）已知xe（-1,2）,ye（3,4）,则x+y的范围是

3.（24-25高一上•上海・月考）对任意。，,方程,一4十卜一q二〃7和|工一4一«-q=〃在［-2,2］上

均有解，则〃7+〃的取值范围为

4.（24-25高一上•上海杨浦•期中）若实数x,），均在［-2,1］的区间内，则外的取值范围为.

7

5.（24-25高一上•上海•期中）已知—则。一幼的取值范围为________.

2

6.（24-25高一上•上海宝山・月考）已知命题甲：\,命题乙：…则甲是乙的一条件.

xy>4

7.（24-25高一上•上海・月考）已知。，b,ceR,则下列命题哪些是正确的

①若ac2>be2»则。>〃；

②若|〃_2|>卜_2|,则（。_2）2>伍_2）:

③若贝

abc

④若。>0,/?>0,a+b>4,ab>4,则a>2,/?>2；

⑤若a>〃，c>d,则a-c>4；

⑥已知a>〃>c,且.+〃+<?=（）,则>ac.

8J24-25高一上•上海宝山•月考）若a,〃,ceR,a>b,则下列不等式成立的是（）

A.-<-B.a2<b2C.:>?D.«|c|>Z?|c|

ahc~+\c~+\

9.设a,bwR,则“a+〃>4”是“a>l且。>3"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.（24-25高一上•上海杨浦・月考）已知a,4cwR,且a>〃，则下列不等式正确的是（）

A.ac>bcB.a2>b2C.a>b3D.—<—

ab

11.（23-24高一•上海•月考）已知aN-l,求证：+\>a2+a.

12.（23-24高一•上海力考）已知《>>，c>d.求证：ac+lxl>ad+bc.

13.（24-25高一上•上海•月考）已却。<匕<0,c<d<0,求证

14.（24-25高一上•上海・月考）（1）已知c<d<0,求证：—<-^-

a-cb-d

（2）已知bc-WNO,bd>0,求证：字4号.

bd

15.（24-25高一上•上海黄浦•期中）设。，b,c,d是四个正数.

⑴己知…，比较鬻与值的大小；

(2)若(a+1)9+l)(c+l)(d+l)vl6,求证：。，b,c,d中至少有一个小于1.

16若a>b>0,求证：/护>(曲斤・

17.⑵-22高一上・上海徐汇・月考)已知f<。，试比较善与合的大小.

18.(25-26高一上•育才中学•期中)设a,b,c,d是四个正数.

(1)已知a>b,比较舞与部勺值的大小；

a+ZDD

(2)若(a+l)(b+l)(c+l)(d+l)<16,求证：a,b,c,d中至少有一个小于1.

19.(24-25高一上•上海•月考)解关于％的不等式：〃?(X+3)VX+〃7.

(1)当解集为空集时，〃?=：(2)当解集为非空集时，解不等式.

20.(24-25高一上•上海•月考)对于四个正数x，y，z,w,如果:<?,那么称(工,)，)是(z,w)的“下位序列”.

⑴对于2,3,7,11,试问（2,7）是否为（3,11）的吓位序列”，请说明理由；（2）设均为正数,

且（。⑼是（c,d）的“下位序列”，试判断：5,（，需之间的大小关系，并说明理由；

（3）已知正整数〃满足条件：对集合W|Ov〃?v2022,〃?eN｝内的每个元素川，总存在正整数〃，

使得（科2022）是化川的“下位序列”，且化冷是5+1,2023）的“下位序列”,求〃的最小值.

21.（23-24高一上.上海普陀・期中）设f是不小于1的实数.若对任意1刁，总存在

使得(a+c*+d)=l，贝称这样加满足“性质⑴分别判断/>2和时是否满足“性质I”；

Icq

(2)先证明:若〃/Ng,且〃+^之£,则并由此证明当;W2时，对任意。为4―U],总存在

乙乙乙

q,耳目一1刁，使得(a+cj9+4)21；(3)求出所有满足“性质1”的实数i

暑假预习专题第8讲不等式的性质

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01预习航标~析目标•明方向：预习导航精准定向

02教材全解-建框架•精讲解：知识体系系统梳理

03过关检测分练考点•强落实：过关检测全面巩固

预习航标

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1.能够准确理解并阐述不等式的基本性质，包括对称性、传递性、可加性、可乘性

等，清晰区分等式性质与不等式性质的差异。

不等式的性质

2.熟练掌握运用不等式的性质对不等式进行变形，如移项、乘除运算等操作，

作差法

能够正确求解简单不等式，并准确表示其解集。

作商法

’3利用不等式的性质证明一些简单的代数不等式，理解证明过程中的逻辑推理

和依据。

学习重点：熟练掌握运用不等式的性质对不等式进行变形，如移项、乘除运算等操作，能够正确求解简单

不等式，并准确表示其解集。

学习难点：利用不等式的性质证明一些简单的代数不等式，理解证明过程中的逻辑推理和依据。

1、不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，为后续分式不等式、基本

不等式等打基础。本章节中的作差法也是后续证明函数单调性的重要思想；在今后的学习过程中应注重

基础，重视通法，养成良好的分析问题的习惯.

2、不等式的性质

(1)对称性：

(2)传递性:a>bfb>cd>c：

(3)可加性：a>b^n+c>b-\-c,a>b,c>d=4+c>/?+d；

(4)可乘性：a>b,c>0^ac>bc；a>b,c〈0nac<bc；a>h>0,c>d>0=ac>bd；

(5)可乘方：a>b>^iH>b'\nGN,n>2)；

(6)可开方：。>/?>0=缶>抵(zzGN,n>2);

(7)a>b,ab>0=!>—<—；«>/?>0,0<c<d=>—>—.

abcd

3、比较两式大小的方法常见的有两种：作差法、作商法

作差法：第一步：作差；

第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；

第三步：定号，重点是能确定是大于0,还是等于0,还是小于0.

最后得结论.概括为“三步，一结论％这里的“变形”一步最为关键.

注意1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时,

再作差，予以比较；

注意2：如果式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号；

此时要注意分类合理恰当.

o知I识I精I讲

知识点01不等式的性质

1、对于两个实数a、b,

如果b-a是正数，就称b大于。，记为b>a；

如果b-a是负数，就称b小于〃，记为〃；

如果b-a是零，就称b等于a,记为b=a.

这就是说b=a<^>b-a=0；这是研窕一切不等式的基础,

。、〃力>aoa〈人显然，对于任意给定的两个实数

★知识剖析

的左边反映的是实数的大小关系，右边反映的是实效的运算性质，合起来就是实数的大小与运

算性质之间的关系.（2）从基本事实可知，比较两个实数的大小，只需比较它们的差与0的大小c

2、不等式的性质:

（1）传递性设。、8、c均为实数，如果，且b>c，那么〃>c.

（2）加法性质设。、分、c均为实数，如果a>b,那么a+c>b+c.

（3）乘法性质设。均为实数，如果a>b,且c>0，那么〃c>bc；

如果。，且c<0,那么ac<bc.

特别提醒

性质名称性质内容

移项法则a+b>coa>c-b

同向可加性a>h,c>d=>a+c>h+d

同向可加性的推论a>b,c>d=>a+c>b+d

同向同正可乘性a>b>Ofc>d>G=ac>bd

同向同正可乘性的推论a>b>Orc>J>O=>-j>—

正数乘方性a>b<=>an>b"NA>02^>0,ne?n...

正数可开方性a>b>0=>\fa>\[b(neN,〃..2)

【经典例题】

[例1]34-25高一上•上海里疝・期末）已知非零实数广〃满足则下列不等式二定成文的是（7

A.>b~lB.a2>b~C./D.\a^h\

【答案】C

【详解】对于A选项，对于1>川，即L.当〃=2,人=1时，工="7=1,此时，<!，所以

abalbab

不一定成立.故A错误：对于B选项，对于T>从.当a=l,〃=-2时，满足。>力，此时a1=\b2=4,a2<b2,

所以a?>从不一定成立.故B错误;对于C选项,对于/>//.因为/=（。-。）（/+4〃+〃'），

又/+"+/=（〃+2）2+空恒大于0,已知〃>人即〃_〃>（）,所以/—护>o,即一定成立；

24

故C正确；对于D选项，对于仁印”.当〃=1,b=-2时，满足“>〃，但1。|=1,\b\=2,\a\<\b\,

所以1。1>1川不一定成立；故D错误；故选：C.

【技巧归纳】运用不等式的性质，结合特殊值法和作差法比较大小，对每个选项逐一分析判断其是否

一定成立.

【例2】（24-25高一上•上海・期末）若实数〃,b,。满足a>0>0,c<0,则7）

A.ac>hcB.->-C.a+c<b+cD.

caab

【答案】D

【详解】依题意，a>b>（）,c<0,所以ac<Z?c,A选项错误；

a=2,b=\,c=-\,则q=一2<2=《，B选项错误；根据不等式的性质可知a+c>/?+c,C选项错误；

ca2

cch-a八，八,、“2ccb-a_cc0〜

---——■一c,其中b—av0,a〃>0,c<0,所以——■―c>0=—>—>D选项正确：故优：D.

ababababab

【技巧归纳】利用特殊值、不等式的性质、作差比较法等知识来确定正确答案.

【例3】（24-25高一上•上海•期末）已知9是正实数，那么“心〃”是的_____条件

ab

（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分“）.

【答案】充要

【详解】因为，力是正实数，所以，2<：o纥gvOo8-acO。/^],

abab

所以是的充要条件；故答案为：充要

ab

1Ib-a..

•__<----<0

【技巧归纳】由外〃是正实数，可知，bab,进而化简可得结果.

【对点练习】

【练习1］（24-25高一上•上海•期末）若av〃vO下列不等式中：豌<1；②同训；③，*④

成立的有（）个A.IB.2C.3D.4

【答案】A【分析】根据不等式的性质一一判断即可.

【详解】因为。<6<0,所以，>1,故①错误；|。|>例>（）,故②正确；吊>时>0,即

所以故③错误；因为所以故④错误；故选：A

b'a'ab

【练习2］（24-25高一上•上海•期末）已知。，beR,且满足。>〃，则下列不等式中恒成立的是（）

A.—>1B.ay>/?'C.>仕］D.a1>b1

【答案】B【分析】通过取。=1,力=-2,即可判断出选项A,C和D的正误，对于B,通过作差，即可求解.

22

【详解】取〃=1/=-2,显然满足a>6,此时2=一2<1,•丫=_L<4=（1Y=H■丫，a=\<4=b,

。⑴2{2）⑴

所以选项A,C和D错误，对于选项B,因为//=（。一力）（"+时+从）=（。一〃）„+；川,

乂a>b,所以a-2>0,（a+g〃）>o,得至11/一/寸>0，即所以选项B正确，故选：B.

【练习3］（24-25高一上•上海州末）若a>〃>0,c<d<0,则一定有（）

A.cid>beB.ad<beC.ac<bdD.ac>bd

【答案】C【分析】利用不等式的基本性质即可判断.

【详解】因为c<dv（）,所以一c>-6/>0,乂〃>〃>（）,所以一公?>一〃4>0,所以：ac<bd；故选：C

【练习4］（24-25高一上•上海虹口・期末）设，⑦为实数，则是“工>!”的（）条件.

ab

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解.

【详解】由a<〃<0,得反之，->7»可以为〃〉0>人

abab

所以“av/xO”是“」>!”的充分不必要条件；故选：A

【练习5］（24-25高一上•上海闵行・期末）设。、b、c、d为实数，下列命题中成立的是（）

A.如果扬，那么”>力B.如果而>ac,那么/?>c

C.如果a>b,C>d,那么4-C>。一dD.如果->4»那么

【答案】A【分析】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项，

取特殊值可判断原命题的真假.【洋解】对于A,若，;>的，则显然“>力成立，选项A正确；

对于B,若ab>ac,当时，b>c,当avO时，b<c,选项B错误；对于C,令。=3力=幺。=5,4=1,

满足，c〉d,但是。一。=一2,。一"=1,不满足a-c>〃一d,选项C错误;对于D,令a=3,8=一2」=1二=一2,

ca

满足。>力，但是g=3,§=4,不满足q>与，选项D错误，故选：A.

cdcdcd

知识点02用不等式比较代数式的大小

1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法

①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论；

②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论；

③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论.

2.介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：

若。,b,b>c,则a>c；若。vb,b<c,那么a<c.其中b是介于。与c之间的值，

此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值.

3、证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差，

则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商，则采用作商比较法.

特别提醒

家用作亲匕匕较法，将不辱式无天甫边的无字作亲,礁后蒋扰进行盅雪的变形:放缩:用刷甬示薪而彳莪桂:

可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，

这样有利于判断符号.

【经典例题】

【例4】（24-25高一上•上海杨浦期中）下列关于不等式的命题是假命题的序号为____.（1）若』<4〈。，

ab

则〃+/?v（）,ab<b~；（2）用反证法证明a=O或b=0时可假设〃原0；（3）若a,b为正数，则a+b3>a2b+ab2;

（4）设+ywR,若N+|x-4|+M+|y-2的6,则以的取值范围为[0,6].

【答案】（3）（4）

【详解】对于（1），由,<?<0得方<。<0,贝h，+〃vO成立目而>0,故及一ab=b（b—a）>0,

ab

即向v/成立，因此（1）为其命题；对于（2）,当他工0不成立时，有而=0成立，即。=0或6=0,

故（2）为真命题；对于（3）,/+/—（。力=。~（々一。）+3（〃—a）=（a—力）（"一力2）=（〃-/?）-（〃+〃），

显然，当时，/+//>〃d+加2不成立，故（3）为假命题：对于（4）,假设x=4,），=2,此时

忖+|.r-4|多卜，|+"-2|=6,满足k]+卜一4|+|），|+"-21V6,?=*不满足-qw[0,6],故（4）为假命题；

故答案为：（3）（4）

【易错提醒】利用不等式的性质和作差法可判断（1）和（3）：通过逻辑推理可判断（2）；利用特殊值法

可判断（4）.

「【例5】724-25高一上•上海・期中）若xeR,设P=f+3,Q=2_r，则P、。的大小关系为PQ.

【答案】>

【详解】由题。一。=（/+3）-2x=x2-2x+3=（x-1『+2>0恒成立.所以P〉Q：故答案为：》.

【易错提醒】作差计算P-Q,根据差值即可比较大小.

【例6】设6=3—6，则“b（填入或“V”）.

【答案】>

【详解】4

a>b；故答案为：>.

3-J3（3V3）（3IV3j66b

【易错提醒】由。、〃均大于0,可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案.

【例7】已知“21,试比较加=、石工1-五和"=右-6^1的大小.

【答案】M〈N

【详解】（方法1：作商法）因为。21,所以用=，71-&>0,N=G-arZ>0.

所以《一半亘者—小空”,因为GTT+4>&+Gi>0,所以勺■<1,即MvN；

Nyja-yja-iJa+l+JaN

（方法2：有理化法）所以M=而\一«>0卅=&-屈M〉U,

乂品寻所以1>]>（）,所以M<N.

MN

【易错提醒】方法1:采用作商比较法，结合分母有理化即可求解;

,从而可得卷W>°,进而可求解.

—=Ja+1+4ay—=>Ja+Ja-1

方法2；先计算MN

【对点练习】

【练习6］（24-25高一上•上海嘉定•月考）给出下列命题：①若则，<4；

ab

②若〃>/“>〃，则"c>/）-d；③对于正数亿瓦，〃,若心力，则2<处%.其中真命题的序号是

ua+in

【答案】①③【分析】利用特殊值、不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】①若〃〃则，一:=室<0,，<],所以①正确；

ababab

②若如4=2,〃=1,。=-1,0=-2,则。-£=〃-4=3,所以②错误；

,,,bb+inab+bm-ab-ani（b-a）m

③正数a，尻，〃，若则--------=------7----;---=-7-----

aa+ma（a+m）a（a+ni）

b-a<0jn>0,a>0,a+m>0,所以2-竺竺<o,2〈丝？，所以③正确；故答案为：®@.

aa+mau+m

【练习7]（24-25高一上•上海宝山・月考）（1）已知xeR,比较2/+3XT与7x-3的大小;

（2）已知。>0,b>0,若a+〃>4,求证：丁日一和上；中至少有一个大于

b+2a+22

【答案】（1〉+3x—IN7x—3;（2）证明见详解

【详解】（1）V（2X2+3X-1）-（7X-3）=2X2-4X+2=2（A-1）2>0,A2x2+3x-l>7x-3；

⑵假设热弓，长弓，小>。力>0,「“+2>。，加2>。,

助Wa+2,两式相加得，a+b<4,这与a+b>4矛盾，所以假设错误.

所以热和号中至少有一个大于（

【易错提醒】（1）运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可;

---4-----4-

（2）用反证法，假设匕+22,。+22,推出。+//4矛盾，即得证.

【练习8】已知实数满足一1Wa+1；\<a-b<3,求：3a的取值范围.

x+y=3

【解析】设：3a-b=x(a+Z?)4-y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b<

x-y=-\>=2

由①+(§)x2得：一l+2W(a+Z?)+2(a—b)V1+3x2即：IK3〃一〃W7.

说明：此题的一种典型错误做法，

如下：v-l<a+^<l,l<a-^<3,/.0<2a<4,即：0<a<2

-\<a+b<\-3<b-a<-\0<3a<6,0<-Z?<2,

即：一2<〃40

-4<2/?<0:.O<3a-b<S

此蟀法的错误原因是因为。与〃是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的,当a+方取到最大值

或最小值时，不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围；避免出错的方法是通过

待定系数法“整体代入”，见解题过程.

始过关检测（

1.（24-25高一上•上海•期末）已知l<x<3,-2v），<4,则工一），的取值范围是.

【答案】-\<x+y<7【分析】借助不等式的性质计算即可得.

【详解】由1<XV3,-2<y<4,则一l<x+y<7；故答案为：-l<x+y<7.

2.（24-25高一上•上海宝山•期中）已知xe（—1,2）,ye（3,4）,则工+），的范围是.

【答案】（2,6）【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围.

【详解】由xe（T2）,ye（3,4）,得x+），e（2,6）,所以x+y的范围是（2,6）：故答案为:（2,6）.

3.（24-25高一上•上海•月考）对任意a,Z?e［-l,l］,方程上一4十,一4二/〃和,一4一,一目=〃在［-2,2］上均

有解，则机+〃的取值范围为

【答案】［。,6］【分析】根据绝对值函数的性质和方程的解法以及不等式的性质，可求得〃?+〃的取值范围.

【详解】因为方程打一4+,一4=〃?和|工一司一,一闿二〃，所以〃2+〃=2,一小，因为a,Z?e［-l,l］,

所以-IKaMl,即一IW-aWl,因为任意a,Z>G［-1,1］,方程,一4+,一耳二〃?和年一同一卜一司二〃

在卜2,2］上均有解，所以2,2］,gp-2<^<2,RiJ0<|x-d|<3,即0421-446,

所以m+〃的取值范围为［0,6］,故答案为：［0,6］.

4.（24-25高一上•上海杨浦•期中）若实数x,y均在［-2,1］的区间内，则"的取值范围为.

【答案】［-2,4］【分析】根据X、P的符号分类讨论，再利用不等式的性质求范围.

【详解】由题意得—24x41,-2<y<l；当0<xWl,0<yWl时，0<^<1；

当一2<x<0,-24），<。时，（）<-x42,0<-y<2,此时0cAy<4；

当0<x«l,-2KyvO时,0<-v<2,所以0<一孙42,即一2KMy（）：

当一2Wx<0,OvyWl时，0<-,r<2,所以0〈一町W2,HP-2<AT<0；

当工=0或y=0时，邛=0；综上所述：一24d44,故答案为：［-2,4］.

7

5.（24-25高一上•上海•期中）已知一2工。工3,2工〃KQ,则加的取值范围为.

【答案】【分析】根据不等式的性质得解.

7

【详解】因为一2WaW3,2工〃4］,所以一7K—第K-4,所以一94。一2/?《一1,故答案为：［-9,-1］.

x+y>4fx>2

6.（24-25高一上•上海宝山•月考）已知命题甲：\,命题乙：、，则甲是乙的一条件.

xy>4［丁>2

【答案】必要不充分【分析】根据题意，利用充分，必要条件的判定方法，结合特例和不等式的性质，

即可求解.【详解】当x=i,y=7时，满足命题甲：I"+’：,此时命题乙不成立，即充分性不成立；

xy>4

x>2

■c成立时，可得命题甲一定成立，即必要性成立，所以甲是乙的必要不充分条件，

{），>2

故答案为：必要不充分

7.（24-25高一上•上海•月考）已知。，b,CGR,则下列命题哪些是正确的.

①若aM>〃，，贝ija"；②若一2|>自一2|，则（〃一2『>（〃一2丫；③若a>c>0,贝/<:<L④若a>0,

b>0,a+Z>>4,ab>4,则。>2,/?>2；⑤若♦>〃，c>d,贝i」a-c>b-d；

⑥已知a>〃>c且a+b+c=O,则M>ac.

【答案】®@®©【分析】根据不等式的性质、函数的单调性、特殊值等知识确定正确答案.

【详解】①，若ad>尻•？,则c2>（），所以a>〃，所以①正确；

②，若H一2|>|〃一2|，两边平方得（。一2>>他—2）1所以②正确；③,当x>0时，函数产，单调递减，

所以若4>方>C>O,则』<4<L所以③正确；④，若"0.8>0,4+匕>4,必>4,则可能〃=12=4,

abc

所以④错误；⑤，若a>b,od,^2>1,-1>-2,有2-（-1）二1一（一2）二3,所以⑤错误；

©,已知。>人>。目.。+〃+。=0,所以。>0,cv。，由b>c两边乘以正数。，得ab>ac,所以⑥正确；

故答案为：①®©⑥.

8.124-25高一上•上海宝山•月考）若a,〃,ceR,a>b,则下列不等式成立的是（）

A.-<-B.a2<b2C.:>?D.fzld>Z?|d

abe+1c-+1

【答案】C【分析】取特殊值，结合小等式性质判断.

【详解】对于A：取a=l,b=-l,满足〃但不满足故A错误：

ab

对于B：取a=l,b=-\,满足a>6，但不满足故B错误;

对于C：因为c?+l21>0,则<>0,又a>〃，所以-#7>工，