第三节 菱形-2026年中考数学一轮复习（解析版）

模块五四边形

第三讲菱形

知识梳理夯实基础

知识点1:菱形的性质

1.边：对边平行，四条边都相等

2.角：对角相等

对角线互相垂直平分

3.对角线:

每一条对角线平分一组（寸角

4.对称性：既是中心左称图形又是轴对称图形，对角线所在直线就是对称轴

知识点2:菱形的判定

1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

3.四条边都相等的四边形是菱形

知识点3:四边形、平行四边形、菱形之间的关系

一组邻边相等］

知识点4：菱形面积求法

1.由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积也可以表示为力（4表示菱形的

边长，万表示此边上的高）

2.由于菱形的对角线把菱形分成四个全等的直隹三角形，所以菱形的面积可以

用对角线乘积的一半来表示.

直击中考胜券在握

1.下列命题不正确的是（）

A.对角线互相平分且一经邻边相等的四边形是菱形

B.两组对边分别平行且一组邻边相等的」四边形是菱形

C.两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

【答案】D

【详解】

选项A,B,D正确.选项C,例如下图，满足条件

不是菱形.所以选D.

2.（2021•陕西中考）如图，在菱形A8CO中，ZABC=60°,连接AC、BD,则"的值

BD

c8

2

【答案】D

【分析】

设2C与8。的交点为O,由题意易得/ABD=NCBD="2/ABC,AB=BC,

AC人BD,BO=DO,AO=CO,进而可得M8C是等边三角形，BO=43AO,然后问题可求

解.

【详解】

解：设4?与B。的交点为。，如图所示:

AD

0ZABD=ZCBD=-ZABC,AB=BC,ACLBD,BO=DO.AO=CO,

2

团Z/ABC=60。，

13MBe是等边三角形,

团/A8O=300,A8=AC,

^\AO=—AB,

2

团-AO2=GOA，

BBD=2JJOA,AC=2AO,

,,AC2OA上

团访=淅=可；

故选D.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质、含30。角的直角二.角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、

含30。角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键.

3.（2021•四川德阳中考）如图，在菱形A8CD中，对角线AC,BD相交于点。，点E是8

中点，连接O£,则下列结论中不一定正确的是（）

B.OE=^-AB

A.AB=ADC.图。。£=团。£0D.图£。。=团ED。

2

【答案】C

【分析】

由菱形的性质可得AO?\RD,由直角二角形依性质可得OF=DF=CF=；m=；4/L

即可求解.

【详解】

解：回四边形2BCD是菱形，

^AB=AD=CD,AC^BD,故选项A不合题意，

团点E是8的中点,

®OE=DE=CE=；CD=；AB,故选项B不合题意；

00EOD=0EDO,故选项D不合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键.

4.（2020•安徽省马鞍山二模）在菱形ABCD中，对角线AC.BD交于点O,过点A作A①8C,

垂足为£,交8c于点&若AC=6,AE=2t则菱形阳CD的面积为（）

A.5B.4C.275D.3石

【答案】A

【分析】

由三角形面枳得出尝=等=在，设8C=V^x,则08=2x,在Rt008c中，由勾股定理

OBAE2

得出方程，解方程得出8c=3,即可得出答案.

【详解】

解：（3四边形A8CD是菱形，

朋68。，OA=OC=^AC=^~,

22

蜘比18C,

004BC的面积=gBCxAE=；ACxO8,

口BC_AC_布

回---=----=—,

OBAE2

设8c=^x,则O8=2x,

在RtCSOBC中，由勾股定理得：（&x）2-（2x）2=（或）2,

2

解得：x=在，

2

5

0BC=-，

2

团菱形ABCD的面积=8Cx4E=2x2=5；

2

故选:A.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理

得出方程是解题的美犍.

5.（2020•福建省三明市九年级（二检））如图，在菱形ABCD中，CESAD于点E,COSD=T,

AE=4,则AC的长为（）

A.8B.4x/5C.4屈D.4M

【答案】B

【分析】

根据三角函数、勾股定理和菱形的性质解答即可.

【详解】

团CE回AD于点E,cosD=|,

3

DE-

0cosD=-----5

CD

设DE=3x,CD=5x,

团四边形ABCD是菱形，

0CD=AD=5x>

0DE+AE=AD,即3x+4=5x,

国x=2,贝ijDE=6,CD=10,

在Rt0EDC中，

^CE2+DE2=CD\BPC£24-62=10\

0CE=8,

在Rt0EAC中，

222

{?\CE+AE=ACf即82+4?=AC?,

解得AC=4氐

故选：B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

6.（2021•四川南充中考）如图，在菱形A8CD中，ZA=60°,点E,F分别在边A8,8c上，

AE=BF=2,△/）印的周长为3#，则4。的长为（）

A.娓B.273C.G+lD.26-1

【答案】C

【分析】

连接8。，过点£作可得“£=有，AM=1,再证明团8。用加。E,可得是等边

三角形，从而得。金指，进而即可求解.

【详解】

连接BD,过点E作EMMD,

^AE=BF=2,ZA=60°,

0M£=>4Exsin6Oo=2x,AM=4Excos600=2x^-=1,

22

团在菱形A8C。中，

^\AD=AB=BC=CD,0C=a4=6O0,

团附8。和如C。均为等边三角形，

陇。8F妙=60°,BD=AD,

乂团AE=HF=2,

团团8。用04。£,

00BDF=a4Df,DE=DF,

13M0E+08DE=60°=080F+团BOE,UP：0fDF=6O°,

团△£>£厂是等边三角形，

团周长为3e，

0Df=x3^/6=-76>

l3DM=J（@—（可=6

[MD=AM+DM=1+4S.

故选C.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质以及全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和直

角三角形，是解题的关键.

7.（2021•兰州中考）如图，菱形A3c、。的对角线AC与8。相交于点0,点,E在BD上,连

接A£,CE,ZA8c=6（；。，ZBCE=15°,£。=2+26,则AO=（）

A.4B.3C.2>/2D.2

【答案】A

【分析】

根据菱形的性质以及已知条件，可得4ABe是等边三角形，可得0B=@BC，进而根据

2

ZBCE=15°,可得NECO=45。，进而可得OC=O£,根据OE=OE+OD,ED=2+2氐

AD=BC,即可求得A£>.

【详解】

•.•四边形ABC。是菱形，

/.AC±BD,AO=OC,BO=OD,AB=BC,

•••ZABC=60°,

「.△ABC是等边三角形，

•••ZACB=ZBAC=60°.OC=-BC.OB=BC-sinZACB=—BC,

22

••/BCE=15。,

/./ECO=ZACB=60°-15°=45°,

,/ACJ.13D,

.•.NC£O=45。，

OC=OE,

vDE=OE+OD=OE+OB=2+2>/3,

即LTC+3BC=2+26,

22

z.BC=4,

AD=BC=4.

故选A.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质,

综合运用以上知识是解题的关键.

8.（2021•辽宁朝阳中考）如图，在菱形488中，点&F分别在48,8上，且8E=〃£,

DF=2CF,点G,H分别是AC的三等分点，则S四边形箜形ABCD的值为（）

1I12

AcD

*9-B.6-*3-♦9-

【答案】A

【分析】

由题意可证EGE）8C,EG=2,H甩AD,HF=2,可得四边形EHFG为平行四边形，即可求解.

【详解】

解：^BE=2AE,DF=2FC,

AE1CF1

0--=—,--=-

BC2DF2

团G、H分别是AC的三等分点，

AG1CH1

团---=­，----=—，

GC2AH2

AEAG

1?1---=---,

BEGC

0EG0BC

EGAE1

121-------——，

BCAB3

同理可得HH"。，——=-

AD3

11I

四边形

rSX

3-319一

Js芟形A&7）

故选：A.

【点睛】

本题考杳了菱形的性质，由题意可证EGHBC,H侬。是本题的关键.

9.（2021•山东潍坊中考）若菱形两条对角线的长度是方程x2・6x+8=0的两根，则该菱形

的边长为（）

A.75B.4C.25D.5

【答案】A

【分析】

先求出方程的解，即可得到AC=4,BO=2,根据菱形的性质求出40和。。，根据勾股

定理求出AQ即可.

【详解】

解：解方程x?-6工+8=0.得内=2,x2=4,

即AC=4,40=2,

回四边形ABC。是菱形，

0ZAOD=9O°,AO=CO=2,BO=DO=l,

由勾股定理得AD=yjACf+DO2=V22+l2=75，

即菱形的边长为石，

故选：A.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键.

10.（202T.海南中考）如图，在菱形八“6中，点E、?分别是边“C、C力的中点，连接

AE.AF.EF,若菱形/IBC力的面积为8,则“IE/的面积为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

连接ACB。，相交于点0,AC交E尸于点G,先根据菱形的性质可得

AC1BD,OA=OC^ACBD=8,再根据三角形中位线定理可得，然后

22

根据相似三角形的判定与性质可得等=备=3,从而可得AG=、AC,最后利用三角形

的面积公式即可得.

【详解】

解：如图，连接ACS/）,相交于点0,AC交封于点G,

•••四边形A8CD是菱形，且它的面积为8,

AC1B/XOA=OC.-ACBD=8,

2

•.•点区产分别是边4C、⑦的中点，

EF//BD,EF=-BD,CF=-CD.

22

:.EF1AC,△CFGYDO,

CGCFI

-----=-----=—，

OCCD2

:.CG=-OC=-AC,

24

3

二.AG=-AC,

4

1|133

则的面积为一EFZG=-x-8。,一AC=-x8=3,

22248

故选：B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握

菱形的性质是解题关键.

11.（2021•浙江衢州中考）如图.将菱形A8C。绕点4逆时针旋转得到菱形A3CD,

NB=4兀当AC平分N3A。,时，Na与〃满足的数量关系是（）

A.乙a=2乙BB.2Za=3Z/7

C.4Za+Z/?=180°D.3Za+2Z/7=180°

【答案】C

【分析】

根据菱形的性质可得48=AC,根据等腰三角形的性质可得团8/4鼬6弓（180。-/8）,根据

旋转的性质可得（2C47=（a8Ad=Na,根据4：平分NBAC'可得团81C=mC4>Na,即可得出

4/a+N尸=180。,可得答案.

【详解】

团四边形ABCD是菱形，"=",

^AB=AC,

^BAC=^BCA=g（180。-N8）=J（180°-Z/7）,

团将菱形ABCD绕点4逆时针旋转Na得到菱形AB'C'D',

团团3。=团848'=/。，

蜘C平分N8AC,

WAC=^CAC=Za,

团鼬4C=082C+团班8'=2/a=：（180°-/夕），

04Za+Z/?=18O°,

故选；c.

【点睛】

本题考查旋转的性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题关键.

12.（2021•辽宁营口中考）如图，在平面直角坐标系中，菱形人8。的边8C与x轴平行,

48两点纵坐标分别为4,2,反比例函数），=幺经过4B两点，若菱形A8CO面积为8,

x

【分析】

过点4作皿BC,设A（,4），哈2），根据菱形的面积得到28的长度，在RtAABE中

应用勾股定理即可求解.

【详解】

解：过点4作AEJ_AC,

x

0AE=2,=——+—=——,

244

团菱形A8co面积为8,

回4c-AE=8,解得4c=4,

团AB=BC=4,

在Rl&BE中，AB1=AE2+BE2,

即42=22+^2,解得BE=2G，

同出=一84，

故选：A.

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做出辅助线是解题

的关键.

13.（2021•北京中考）如图，在矩形A8CO中，点EV分别在AC,4。上，AF=EC.只需

添加一个条件即可证明四边形AEb是菱形，这个条件可以是（写出一个

即可）.

【答案】AF=AE（答案不唯一）

【分析】

由题意易得四边形AEC厂是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解.

【详解】

解.：目四边形A8C。是矩形，

©AD//BC,

^\AF=EC,

团四边形AEb是平行四边形，

若要添加一个条件使其为菱形，则可添力口人/=4£或AE=C£或CE=CF或AF=CF,理由：一组

邻边相等的平行四边形是菱形；

故答案为=（答案不唯一）.

【点睛】

本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、

矩形的性质及平行四边形的判定是解题的关键.

14.如图，菱形ABCD的对角线AC、8。相交于点O,过点D作DHMB于点也连接OH,

若0A=6,5菱形A8CO=48,则OH的长为.

【答案】4

【分析】

由菱形的性质得出。4=OC=6,OB=OD,AC^BD,则47=12,由直角三角形斜边上的中线性质

得出。H=38。，再由菱形的面积求出8。=8,即可得出答案.

【详解】

解：回四边形48co是菱形，

团O4=OC=6,OB=ODfAWD,

[?MC=12,

团团BHD=90°,

团0/心BD,

回菱形48C。的面积=gAC・8。=；x12•80=48,

团8。=8,

0OH=^BD=4,

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，解题的关键是根掂直角

三角形斜边上的中线性质求得OH=；BD.

15.（2020•哈尔滨中考）如图，在菱形A8C。中，对角线AC,8。相交于点O,点E在线

段BO上，连接AE,若CD=2BE,ZDAE=ZDEAt石。=1,则线段AE的长为.

【答案】2立

【分析】

设BE=x,根据菱形性质可得至ljAB=AD=CD=2x,进而得到OE=gx=l,解得x值，根据勾股

定理即可求得AE值.

【详解】

解：设BE=x,

团菱形ABC。，

0AB=AD=CD=2x,

0ZZME=ZZ）^4,

^DE=AD=2x,

0BD=3x,

3

0OB=OD=-x,

2

0OE=-x=l,

2

0x=2,

0AB=4,BE=2,

^OA=>1AB2-OB2=>/7«

^AE=>1OA1+OE2=V7+T=2^Z

故答案为：2加.

【点睛】

本题考查菱形的性质结合勾股定理的应用，熟练掌握菱形性质是解题的关键.

16.（2021•贵州毕节中考）如图，在菱形A8CD中，BC=2,ZC=120°,Q为48的中点,

P为对角线BD上的任意一点，则AP+PQ的最小值为.

【答案】G

【分析】

连接4C,CQ,则CQ的长却为4P+PQ的最小值，再根据菱形ABCD中，I38CD=12O°得出班BC

的度数，进而判断出班8c是等边三角形，故团8CQ是直角三角形，根据勾股定理即可得出

CO.的长.

【详解】

解：连接4C，CQ,

团四边形A8CD是菱形，

蜘、C关于直线8D对称，

团CQ的长即为4P+PQ的最小值,

团团88=120°,

团M8c=60°,

回M8C是等边三角形，

团。是人8的中点，

团CQW,8Q=^8C=^-x2=l,

0CQ=JBC?-BQ?=V22-l2=G.

故答案为：也.

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键.

17.（2021•牡丹江市中考）菱形48CD中，48=6,SABC=60°,以4D为边作等腰直角三

角形4DF,皿MF=90。，连接8F,8。，贝帆8DF的面积为.

【答案】27+96或27-96.

【分析】

分AF在AD上方还是下方两种情况,若AF在上方,则有SABDF~S&ABD+S&ABF+S&ADF，若

AF在下方，则有SMDF=+SAW-S△也）,分别求出这三部分面积即可.

【详解】

解：当AF在A。上方时，如图，延长可交8c于E,贝IJ有l3BEF=9（r,

M8=6,M8C=60°,

08E=3,AE=3&,^^ibABCD~^CxAE=6x3\/3=1875,

团S&w)=gxl8G=9G,SMBF=-AFxBE=-x6x3=9,S/x的=gx6x6=18,

22

〉

团SBDF=S△仞。+S^ABF+S△八。尸=9石+27»

当4F在4。下方时，如图，

则S/X8W=S^ABF+~^/\ABD=27—9>/5>

故答案为：27+96或27-9石.

【点睛】

本题主:要考查了菱形的性质、以及三角形面积的和差表示，注意分类讨论是正确解答本题的

关键.

18.（2021•四川绵阳中考）如图，在菱形A8CO中，NA=60。，G为AD中点，点E在BC延

长线上，F、〃分别为CE、GE中点,NEHF=NDGE,CF=J7,贝!1八3=.

DHE

【答案】4

【分析】

连接CG,过点C作CM_L2D,交4?的延长线于M,利用平行线的性质和三角形中位线定

理可得CG=2HF=2近，由八8//CD,得NCDM=/八=60°,设DM=x,则CD=2x,CM=&,

在/?应CMG中，借助勾股定理得CG=VGM?+CM?=仿=2币,即可求出x的值，从而解

决问题.

【详解】

如图，连接CG,过点C作CM_L40,交A。的延长线于M,

•••F、H分别为CE、GE中点，

・•.FH是团CEG的中位线，

HF=gcG,

•.•四边形48CD是菱形，

AAD//BC,AB//CD,

ZDGf=Z£,

•••NEHF=NDGE,

NE=NEHF.

HF=EF=CF,

:.CG=2HF=2近,

-■AB//CD,

•••ZCDM=Z4=60°,

设DM=x,则CD=2x,CM=百x,

•・,点G为4）的中点,

DG=x,GM=2x,

在"造CMG中，由勾股定理得:

CG7GMrCM。=不^=2出,

x=2,

-'-AB=CD=2x=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合性，作辅

助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键.

19.（2021•江苏苏州•中考真题）如图，四边形"C力为菱形，43c=70。，延长4c到E,

在NQCE内作射线CM,使得NECM=15。，过点。作_LCM,垂足为尸，若。尸=石，

则对角线8。的长为.（结果保留根号）

【答案】2石

【分析】

先由菱形的性质得出N”石=70。，求得NDC尸=55。，再根据直角三角形两锐角互余得

ZC£）F=35°，连接AC交8。于点。，根据菱形的性质得/DOC=90。，NBDC=35°,根据

八八5证明=尸可得。。=。/=石，从而可求出BD=2也.

【详解】

解：连接47,如图，

团四边形48co是菱形，

^AB//CD,NDOC=9()。,BD=2DO

^^DCE=ZABC=10°

=15°

0ZDCM=55°

0£）F±CM

aZCDF=35°

团四边形48C。是菱形，

0ZCDB=-ZADC=-ZABC=35°

22

⑦NCDF=NCDO

在△COO和△8尸中，

NCDO=NCDF

NCOD=NCFD=90。

CD=CD

0ACDO0ACDF

^DO=DF=y/5

团40=200=2石

故答案为：2石.

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，连接4并证明△C0"ACZ）F是

解答此题的关键.

20.（2020•辽宁鞍山中考）如图，在菱形A4C。中，ZADC=60°,点E,F分别在4）,CD

上，且A£=叱，"与CE相交于点G,BG与AC相交于点H.下列结论:①；

2

②CG?-GIIBG;③若。P=则CK=7G尸；®SVMAftCG-BG•其中正确的结

论有.（只填序号即可）

【答案】①③④

【分析】

根据等边三角形的性质证明（MCF盟CDE,可判断①；过点F作FP0AD,交CE于P点，利用

平行线分线段成比例可判断③；过点B作BM0AG于M.BNOGC于N,得到点A、B、C、G

四点共圆,从而证明0ABM00CBN,得到S四成形ABCG=S四边形BMGN,再利用S网边形BMGN=2SBBMG求出

结果即可判断④；证明团BCH（迪BGC,得到=丝，推出GHBG=BG2.BC2,得出若等式成

BGBC

立，则仅BCG=90。，根据题意此条件未必成立可判断②.

【详解】

解:用ABCD为菱形,

0AD=CD,

0AE=DF,

0DE=CF,

00ADC=6O°,

00ACD为等边三角形，

0SD=[2ACD=6OO,AC=CD,

团团ACF豳CDE(SAS),故①正确；

过点F作FP历AD,交CE于P点.

0DF=2CF,

0FP：DE=CF：CD=1：3,

0DE=CF,AD=CD,

团AE=2DE,

0FP：AE=1：6=FG：AG,

0AG=6FG,

0CE=AF=7GF,故③正确；

过点B作BMSAG于M.BN0GC于N,

团圆AGE=[3ACG+因CAF=E1ACG+回GCF=600=团ABC,

UP0AGC+(?1ABC=18OO,

0点A、B、C、G四点共圆,

团®AGB=®ACB=60°,(Z1CGB=0CAB=6OO,

00AGB=0CGB=6O0,

0BM=BN,又AB=BC,

00ABM00CBN(HL),

回S内边杉ABCG=S四边形BMGN，

0(3BGM=6OO,

0GM=^-BG,BM=—BG,

22

团S.边杉BMGN=2SRBMG=2XJx；BGx也BG二正BG2,故④正确;

2224

130CGB-EACB-6O0,0CBG=0HBC,

00BCHE0BGC,

BCBHCH

0-----=------=------,

BGBCCG

则BGBH=BC2,

则BG-(BG-GH)=BC2,

则BG2-BGGH=BC2,

则GHBG=BG2-BC2,

当回BCG=90°时，BG2-BC2=CG2,止匕时GH-BG=CG?,

而题中国BCG未必等于90°,故②不成立，

故正确的结论有①③④，

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形

的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的

面积是解题的关键.

21.（2021•四川资阳中考）如图，在菱形ABC。中，ZBA£>=120°,OE_L8C交AC的延

长线于点£.连结AE交5。于点F,交C/）于点G.FH工CD于点H,连结。尸.有下列结

论：®AF=CF；®AF2=EFFG;③尸G:EG=4:5；④COSNGFH=^~.其中所

有正确结论的序号为.

【答案】①②③④

【分析】

利用菱形的性质和全等三侑形的判定证明①，利用AA定理证明（3FCE00FGC,从而证明②,

由含30。直角三角形的性质和平行线分线段成比例定理分析求解，从而证明③和④.

【详解】

解：在菱形48C。中，AD=DC,加。8灰。8

又MF=DF

^AF=CF,故①正确；

^DAF=^FEC

又①中已证蜘D用回COF,

物DAF=^DCF,AF=CF

酿DCF=®FEC

又回回CFGWCFG

00FCEH0FGC,

FCFG、

用而二衣'FC=EF・FG

即A尸2=m•尸G，故②正确;

团在菱形A4c。中，ZZMD=120°,

00DBC=0BDC=3O°

又回。EJ.BC

回在R他DCF中，0CDE=3O°

DC2

CE1AD_2

团在菱形48C。中,7d5~2'~BE~3

又加以38C,

AFAD2

团==一

EFBE3

由①已证AF=FC

团军二

EF3

由②己证=

设FC=2k,EF=3k

4,5,

⑦FG=-k,EG=—k

33

0FG:EG=4:5,故③正确：

由③已知空二组二

JBFBE3

设。F=2a,BF=3a

团8。=5a

同在月的8。£中，DE」BD=ha

22

在R的CDE中，CE=—DE=—a

36

CD=2CE=­a

3

在R堰DFH中,FH=；FD=a,DH=&H=瓜

^CH=—a

3

因在/?mFCH中，FC=ylFH2+CH1=-a

3

又由②③已证，FC?=EF・FG,FG:EG=4:5

设FG=4m,EG=5m,则EF=9m

解得『士缪〃（负值舍去）

/…FHa3V2T

产应心而=而=卞,故④正确

------a

9

故答案为：①②③④.

【点睛】

本题考查菱形的性质，平行线分线段成比例定理以及解直角三角形，题目有一定难度，掌握

相关性质定理正确推理计算是解题关键.

22.(2021•遂宁中考)如图，在平行四边形A8CD中，对角线4：与8。相交于点O,过点

。的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点£、F.

(1)求证：AE=CF；

(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由.

【答案】(1)见解析：(2)EF08。或EB=ED,见解析

【分析】

(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明VAOE0co产，则可得到A£=

CF：

(2)连接8F,DE,由V4OE空心6尸，得至I」。£=0F,又40=C0,所以四边形2ECF是平行

四边形，则根据E用8D可得四边形8FDE是菱形.

【详解】

证明：(1)回四边形是平行四边形

团04=0C,8E0OF

00£=0F

在MOE和团COF中

NE=NF

<ZAOE=ZCOF

OA=OC

^VAOE^VCOF(AAS)

^AE=CF

(2)当£雨8。时，四边形8FDE是菱形，理由如下:

如图：连结8F,DE

E

D

团四边形ABC。是平行四边形

回。8=。。

^VAOE^VCOF

[^OE=OF

回四边形3的是平行四边形

团E用8D,

回四边形A/Z）石是菱形

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉

相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键.

23.（2021•辽宁沈阳中考）如图，在菱形人3C。中，点M,N分别是边AC,OC上的点，

BM=-BCDN=-DC.连接人何，AN,延长AN交线段BC延长线于点E.

4t4

AD

MC

（1）求证：AABM色

（2）若4）=4,则ME的长是.

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

33

（1）根据菱形的性质可得48=AO=BC=a>,N4=ND,根据8M=：8C,DN==DC、

可得83=ON,利用SAS即可证明；

（2）根据菱形的性质可证明A4M）-A£NC,根据相似的性质可求得CE的长度，进而可求

ME.

【详解】

解:（1）证明：•.•四边形48C。为菱形，

AB=AD=BC=CD,Zfi=ZD,

33

,:BM=-BC,DN=-DC,

44

BM=DN,

在MBM和AADN中，

AB=AD

«NB=N。,

BM=DN

AAI3M=AADN（SAS）,

（2）•・,四边形ABC。为菱形,

:.AD//CEf

"DAN=KEN,

­.•ZAND=ACNE,

/.ZVWD^A£7VC,

.AD_DN

~CE~~CN'

DN=-DC,

4

AD_DN_3

CECN1

.43

••=—,

CE1

.•.C£=g,

BM=-BC,

4

:.MC=-BC=\,

4

:.ME=MC+CE=-.

3

【点睛】

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，通过菱形的性质得

到^AND^\ENC是美键.

24.(2021•广西贺州中考)如图，在四边形A8CO中，AW/6C,ZC=90°,

NADB=ZABD=；/BDC,DE交BC于点E,过点后作EF上BD,垂足为F,且EF=EC.

(1)求证：四边形48匹是菱形；

(2)若4)=4,求△4"。的面积.

【答案】(1)见解析：(2)4x/3

【分析】

(1)先利用角平分线判定定理证得4=N2,再由已知角的等量关系推出乙钻。=NL并

可得则可证明四边形43£。是平行四边形，最后由NAO/6=NAH)得A/3=力。，

即可证得结论；

(2)由菱形的性质可得OE=8E=AZ)=4,再根据角的等量关系求出N2=30。，则可利用

三角函数求得CO=OE-COS3()O=2G，此题得解.

【详解】

(1)证明：如图，

0ZC=9O°,

^EC±DC,

又用Q_L4E>,REF=EC,

回。E为N8DC的角平分线，

图N1=N2,

^ZADB=-ABDC,

2

0ZA£>B=Z1,

^ZADB=ZABD,

0ZABD=ZL

ABIIDE,

又回AD!IBC,

回四边形ABED是平行四边形，

^\ZADB=ZABD,

团AB=AD，

回四边形ABED是菱形.

(2)解：由(1)得四边形A8££＞是菱形，

^\DE=I3E=AD=4,

^AD//BC,ZC=90°,

(2]ZA£)C=90O,

X@Z1=Z2=ZADB.

0Z2=3O°,

0CD=DFcos3O°=2V3，

团S△旌。=《.8ECO=；X4X2G=46.

乙乙

【点睛】

此题主要考查了菱形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键.

25.(2021・湖北随州中考)如图，在菱形人BC。中，E,/•.是对角线人C上的两点，且A£=B.

(1)求证：△ABEISaCDF；

(2)证明四边形B田厂是菱形.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】

⑴利用S4S证明即可：

(2)从对角线的角度加以证明即可.

【详解】

(1)证明：自四边形4BC。为菱形,

团48=8,且/BAE=/DCF,

乂回人K=CF,

^/XABE^^CDF.

(2)

证明：连接40交AC于点O,

团四边形ABC。为菱形，

0ACXBD,且。为AC,BD中点、,

乂回AE=CF,

^EO=FO

田BDq互相垂直且平分，

故四边形尸是菱形.

【点睛】

本题考查了菱形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形仝等判定的基本

原理,菱形判定基本方法和性质是解题的关键.

26.（2021•湖南湘潭•中考真题）如图，一次函数y=#..力图象与坐标轴交于点4、B,

二次函数），=与/+法+c图象过A、8两点.

（2）点8关于抛物线对称轴的对称点为点C,点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存

在点Q，使得以8、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在,

请说明理由.

【答案】（1）抛物线的解析式为：丫=占_组*_0（2）a点坐标为（1,-迪）

333

或（3,0）或（-1,0）.

【分析】

（1）由直线），=曰K-&与坐标轴的交点坐标A,8,代入抛物线解析式，求出b,c坐标

即可；

（2）分8c为对角线和边两种情况讨论，其中当8c为边时注意点Q的位置有两种：在点P

右侧和左侧，根据菱形的性质求解即可.

【详解】

解：（1）对于y=与工-丛：当x=0