高中数学基础练习题-异面直线（传统法与向量法）解析版

1.7异面:【线（传统法与向量法）

模块一：基础知识...................................................2

考点一：异面直线相关基础........................................2

考点二：传统法求异面直线夹角....................................2

考点三：向量法求异面直线夹角....................................2

模块二：题型分类...................................................3

题型一：传统法求异面直线夹角....................................3

题型二：向量法求片面直线夹角....................................8

题型三：异面直线夹角范围易错题.................................14

题型四：异面直线夹角范围与最值.................................18

题型五：一面直线夹角求参数类...................................25

模块三：综合巩固..................................................31

1.7异面直线（传统法与向量法）

模块工基础知识

考，点；•：异面直线相关丛础

1、平面内两条直线所成的角

平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）.

2、异面直线所成角

<1）定义；已知两条异面宜线a,b,经过空间任一点。作直线〃&,6〃6,

我们把泉与6'所成的锐%（或白角）叫做异面•直线a与6所成的角（或夹角）.

（2）角的范闱：异面直线所成的角J的取值范围：0°<8W900.

（3）当8=90°时，a与6互相垂直，记作a_L6.

取宜有两种情况：异而垂直和相交垂直.

3、判定两条宜线是异面比线的方法

①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内

②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号

i普言可表示为樨*於a,1Ua,屏/0M与】是异面直线（如图）.

考点工传统法求异面直线夹角

1、作角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；

2、证角：证明作出的角就是要求的角,即证明所作角的两边分别与两条异面直线平行

3、计算：求角的值，常利用解三角形得出。

可用“一作二证三计并”来概括,同时注意异面直线所成角范围是。V"<90。.

4、结论：若求出的角时锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；

若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角。

考点三向疑法求异面直线夹角

已知。，6为两异面直线，N，。与3,。分别是。，6上的任意两点，〃，力所成的角为6,则

------就•丽

®cos<AC,BD>=.————-

■\AC\\BD\

_____\AC-BD

@cos6=|cos<AC,BD>|=____

AC[\BD

模块工题型分类

遨型H传统法求异向直线夹角

1.如图，在正方体松力中,

<1）4。和，2所成的角足；

<2）4；和。G所成的角是；

（3）4。和同月所成的角是:

<4）力。和48所成的角是.

【答案】90°或145。%90。或160°或?

【好析】（1）根据正方体的性质可得加上平面々CD=DQJZC,

所以47和加所成的角是90°.

（2）•:DC//DC,所以乙4少叩为NC和0G所成的角，

由正方体的仲须得N/g45°.

（3）•:BDIIB],BDVAQ:・BR1AC,即力。和耳@所成的角是90°.

（4）・，4///%，站等边三角形，所以NC和N4所成的角是60°.

故答案为：90。或1；45。或二；90。或1；60。或g.

2423

2.如图，在空间四边形.协力中，AD=BC=2,£尸分别是必⑦的中点，若EF=出,求异面直线题,

6c所成角的大小.

【解析】如图，取47的中点G连接％FQ

因为总尸，G分别是四CD,"的中点，

所以即九4A\\.GF=\ADtEG//BC,\\.EG=^BCt

则N刃即或其补向就是异向I'[线AD,及7所成的角.

因为4H质=2,所以跖=密L

单独石△斯的平面图，可得

在等腰△呼中，过点G作就LEF¥点H,

在RtAGHE中,EX1,EH^}rEF=^-,

22

则sinN或沂=色，所以N及密600,

2

则N舐£2N及的三120’.

所以异面直线仞及7所成的加为/加的补加,

即异面1'1线M&所成的角为60。.

3.在直三棱柱43C-44G中，乙的。=?,=AC=2AB=2,。为四边形441G。的中心，则异面

直线。4与夹角的余弦值为（）

A.@B.在C.如D.在

10152025

【答案】C

【分析】利川界面Hftj所成角的定义作出所求的力,然舒利用余弦定理求解即可.

【详解】如图，延Kd5至点O,使AB=BD,延长4用至点七，使44=4后，连接DE,4。，

易证4§〃4。，则异而I'［线。4。45的夹角为/。4。，过。作尸H_L_4C,垂足为尸，

交4GJH,

连接曾广，B、H,OD,由余弦定理得5H=J4]+4H2-245AHss/B14H=0,

DF=yjAF2+AD1-2AFADcos^DAF=-Jl，所以。鸟=2,OD=2^2，

易得耳。=有，所以cos/O即J」（中二£©.=叵

2x2x620

故选：C

4.在平行六面体展8-4与。］。］中，底面4CD是菱形，ZBJD=60°,44与底面力BCD垂直，M,N

分别在助和为4上，且BD=3BM,4。］=3。力，.四=3一必=4,则异面直MN与一见所成角的余弦

值为（）

A7而R7后r3则n3旧

Xk»----------D・-------------V•------------lz•------------

34341717

【答案】B

【详解】取。河中点K连接。£、AK,

因为==D\NUKM,所以四边形D】NMK为平行四边形，

所以D///MN,所以介向I'［线MN9月5所成例为或其补加.

因为底面4BCD是菱形，NA4D=60。，."=3,

所以在AADK中，利用余弦定理得ZK=y!AD2+DK2-2ADDK-cos609=不，

乂皿=5,D1K=4KD'+DD；=后，

在“*中，利用余弦定理得8s⑷『畸*#=||等二噜'

所以异向『［MAT与所成向的余弦值为誓.

故选:B.

5.在正方体ZBCD-4印论中，E为棱阳的中点，则异面直线4E与g夹角的余弦值为()

B&C,巫D.典

A.0

2310

【答案】D

【详解】取。。1中点G,连接AG/G,延长。A至点4,使褥Z)IH=GG,连接GH.HB,

则EG//BC//44，EG=4G=44,所以四边形EGR4是平行四边形，所以4七//。口,

凶为D\H"C\G.D\H=C\G,,所以四边形与呢力是平行四边形，所以HCJ/^G,

所以HC"/4E,

所以NHCR是异面直线4E95G夹角或其补角,

设正方体校改为1,则Q3=5G=J5,

在Rt2\O3H中,BH=^jBlf+DH2=^2+=与,

/ERtgo/中,GH=MGIV+A<2=Ji+4）=冬

?5_17

在△BQH中，由余弦定理得，cosNBC】H=二一一叫，

的邦2BG北GH产10

一

所以异血”线4EOSG夹角的余弦值为雪.

故选：D

6.（补形法）正方体NBCD-44GD］中，M是43的中点，则。用与CM所成角的余弦值为______.

【答案】业足历

1515

【详解】在正方体功8-451c。右侧作出•个全券的1E方体BCEF-56旦耳，连接C耳孙，如图,

5G

E\

易知8/；//CD.B£=8,所以四边形与耳8是平行四边形，则。耳//。耳，

所以/MC不是。耳与CM所成角的千面角或补角，

不妨设正方体国CD-481GA的棱长为2a,

则/ElE方体BCE尸一片。£居中，CF1=gx2a=2J。，

在Rt&VOC中，."=诵2+（训2=岛,

在RtzVg中，肛=J（2a-（3a）2=痴7,

可2八山srMC2+CF^-MF：5。2+12，-13。29

所以在△时。耳中，3szMc耳=一「.=展w==，

2MC-CFX2xJ5ax2[3d15

所以与CM所成角的余弦值为坐.

故答案为：叵.

15

7.在三棱柱48。-48£中，/4，平而疑。，ABJ.BC,M=BC=2AB,则异而H线54c所成

角的余弦值为（）

B小

D.----r姐

【答案】D

【详解】在三棱柱皿?-48£中，&J_平面切7,AB1BC,

将三棱柱为。-4§£补成长方体ABCD-44GA，设15=1,则"=5。=2,

因为5c7/44|L3C=4A，故四边形4381为步行四边形，所以，CDJ/A.B\\,CD^A.B,

故4305c所成角为/耳（7乌或其补角，

22

住AB£DI中,B1c=4B氏+BC=切+2=2五,

222

区Di=个遇*tAD；=J#+22=",CDX=yjcDIDDi=-Vl+2=-Js,

CK+CD；-BQ；8+5-5^/lO

由余弦定理可行cosNBCR=

2cBi3-2x20x75T

因此，I'[线45亏耳。所成角的余弦值为半.

故选：D.

题型:向用就求异曲直线夹角

1.已知正四棱柱4BCD—4B]C]D]中，48=2,44=4,点石，尸分别是4G和的中点，M是线段〃尸

的中点，则直线4H和CE所成角的余弦值为（）

C•呼

17

【答案】D

【详解】如图

建“空同白角坐标系，则力（2.0,0）,.（0,0,4）,C（0,2,0）,E（l,2.4）,产（2,2,2）,

则”（1,1,3）,而=（一1，3）,而=（1.0.4）,

——AMCE-1+12A/187

则。。3包=卤高=ETTw

所以异面直线㈤/和CE所成/（|的余弦值为叵.

17

故选：D.

2.如图，在三棱台44G中，A4_L8C,平面44"，平面4BC，二面角4-3C-d的大小为45°,

AB=2,BC=4以==1.

⑴求证：平面NBC；

(2)求异面立线M与4C所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵史

5

【详解】(1)因为BC_LE4,平面44砌_L平面的

平向44万ac=AB,3cu¥面ABC,

所以BC工平面44A4,

乂因为44,BBXu平面44瓦4.

所以5C_L24,BClBBXf所以/耳期是二师向4—BC-/的平面角,

因为二面角4-皿-4的大小为45°,

所以/5月=45。.

取他中点0,连结％

在梯形44比4中，B\A〃BA,04=1=44，

所以四边形44。4是中行四边形，所以。4=幺4=1,OB.//AAlf

从血在三角形。5［中，/45。=45°,04=05=1,

所以N》4O=4RO=45。，所以/BOB】=90。，\^OBXLBA,所以乂4,氏4.

乂因为必_L8C,2a3Cu平面々C,ABcBC=B,所以XA"1■平面々C.

(2)以。为坐标蝮点，萌为K轴，十面37内过。平行「反7的I'［线为了轴，。耳为n轴，建立如图所示

的空间［向坐标系。-斗二,

则8(100),4(-1,0,1),^(0,0,1),c(l5lso),

所以数=(一2.0.1),窕=(1.1.一1),

虱丽

所以舁面M线X•j即7所成例的余弦值为网瓯舄呼•

3.如图，在四棱锥尸一数8中，PAD^ABCD,底面NBCD为正方形，PA=BC,E为CD的中点，F

为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（)

C.一空

D

999-¥

【答案】B

【详解】

如图，以点A为坐标原点，建立空间r［用坐标系，设a=2,

则4(0,0,0),5(2,0,0),P(0,02),C(2,2.0),D(0,2,0),

则E(1,2,0),F(1,1,1),

所以前=(—1,1.1),PE=(L2.-2),

BFPE应

所以cos（旃，丽）=-1+2-2

BF^E\/X39

所以，异面直线即9PE所成用的余弦值为史.

9

故选：B.

4.如图，在三棱锥M-E尸G中，ME=MG=£G=2不，EF=FG=2,平面MEGJ_平面EFG,则异

而直线ME与FG所成角的余弦值为（）

A•萼B.*T。冶

【答案】D

【详解】解法•

如图,设O,C,D分别为线段EG,MG,EF的中点，连接MO,OC,8,CD则OC〃止,OC=±ME=有，

OD//FG,。。」产G=l,

2

J.Z.COD是异曲『［线MExjFG所成的角或其补用.

,:ME=MG=EG=2S，。为EG的中点，J.MO1EG,M0=3,

VT-|ft|jWEGltlftlEFG,牛向MEJGctEFG=EG,MO_LT|ft|£FG.

设N为OG的中点，连接CN,DN,则NC_L乎而E产G,

AC/7W,M7=：MO=。，EN=亚,

222

:・NCIND,J^OF,易得5J.±；O,cosZFEO=—=—,

EF

_2xlx毡3=2

二在&DEN中，DN2=ED2+EN2-2EDXENCOSZDEN=12+

224

-y+泻

2（市）2+12--y

二OC2+OD2-CD

cos/COD=----------------------=_回

2OCxOD2xlx.734

二异曲直线由与尸G所财的余弦值为当

故选：D.

解法二

如图，设。为线段EG的中点，连接MO,FO,

,:ME=MG=EG=2M，--MO1EG,MO=3,

VT-lftlMEG1平面EFG,乎面MEGc乎面EFG=EG,AMO_L手面EFG,

VEF=FG=2,1.FO1EG,FO7,故以。为坐标原点，

OF,OG,。“所在I'［线分别为、轴、＞'轴、二轴建汇空间I'［向坐标系。-斗二,

r.E（0.-73.0）,M（0,0,3）,F（1.0.0）,G（0.->/3.0）,二俞=（0：3）,FG=（-L^0）,

3瓯即第二匹黑穿『=平

；.异面直线ME与FG所成角的余碰为号.

故选:D.

5.如图，在多面体力6CZ)EFG中，四边形49C。为菱形，月8=2,zn4B=60°,AE//CG//DF,\LDFJ.

平面D,四边形的G是E方形,则安

；异面宜线4G与DE所成力的余弦值为

【答案】4i巫总后

21

【详解】山四边形26CD为菱形，=3'可得△ABD为亚:用形，

设H为45的中点，连接。H,所以DH工AB.义DC〃AB,因此DH_LOC.

^LDF±r\i\\ABCD,故以。为端点，以。E为x轴，DC为.T轴，。尸为二轴，建汇空「可1'［角坐标系,

如图

设/E=x,CG=y,刃尸=z,AB=2,则。（0,0,0）,Z（6,T0）,B（/l,0）,C（0,2,0）,

由题意4E〃CG〃。尸，WiAEl'Y\h\ABCDrCG±'Y\h\ABCD,

设E（6.-1㈤，G（0.2.y）,从而苑=而=（0，-2.x）,

因为四边形5EFG是lE方形，所以［什巴所以［J（7^）'+F+'=>+（-2）2+’,

BG±BE［（-V3）x0+lx（-2）+yxx=0

即｛；：；=2,解得、=尸0，所以G（O.2,0）,设尸（0,0,二），

则#=（0.-2,二一0），因为|前卜@耳，所以43八产+"=亚+（一2）2+（二一际2，所以二=动，

U|JF（0,0.2>/2）,所以方=（0.0.20）,所以警=易=芈=在；

设异血直线/G与DE所成角为a,乂芯=（Y.3网斑=\第,-1网,

_.\AG-DE\卜召）X&+3X（T）+0X6|2^21

所以cosa=cosAG,DEE\=|珂陵|&-a2+3?十（0八如J）?+（-1）2+（0>21

所以异面直线NG与班所成角的余弦值为察.

故答案为：V2;也

21

题型三：异m"［线夹角范围易错题

1.三棱锥。-.4万。中，04。反OC两两乖直且相等，点P.0分别是线段8C和04上移动，且满足BPJBC,

■

则尸。和。8所成角余弦值的取值范围是(

AQ^AO,)

哼,李

A.B.

C.哈平］

D.

【答案】C

【详解】lllOA,OB,OC两两疵l'［IL和等，分别以04OB,OC为工・82轴建汇空间I'［用坐标系

如图所示，不妨取CU=2.则B(0,2.0),C(0,0,2).

设P(O,y,二)，BP=2BC，

M(O,j-2,z)=A(O,-2,2)=(O,-2A,22),

y-2=-2%

解得)=2-24,z=22./.P(0,2-22,22).

z=2%

设0(孙0,0),(lWmW2),则迎=(加,22-2,-24),

一।------1|PO-OB|2-22

乂03=(020),gs尸003卜L」=~二一

।।p0|O3|「M+4(1-4)2+4,

设l-4=r,

2________

所以।cosP0.O51=

+4(1-I>+4，

山Ml<-<2,\<m<2,WJ1<—<4,

2tt

当f=l,7〃=l时，1=1m=1同时达到最小值，此时j+4(；_i)2+4取得最小值有,

t

所以卜OS丽西仃最大值孚,此时尸(0,2,0),°(1,0,0)；

同时达到最大值，此|时小"+*—取得取大值击，

(=L,)〃=2时，1=2,y=41)2+42

2t

所以卜os而.词有最小值正，此时尸（O,Ll）,0（2,0,0）;

6

综上可得：PQ和/所成加余弦值的取值范围是挛

05

2.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-aqGA中，石是楂CG的中点，万二'赤，若异面直线*

和所成角的余弦值为哈，则异面直线劣尸与郎所成角夕的余弦值为（）

A,也B.立C.迤D.一至

10101010

【答案】B

【详解】如图，以。为原点，分别以DC,所在H线为x,j,，z轴，建立空间直角坐标系,

闪为正方体的核K为2,则出（2,0,2）,D1（0,0,2）,E（0,2,T）,N（2,0,0）,

所以率=（0,2,-1）,

乂4尸=^A+AF=AtA+AAD=（0.0.-2）+2（-2,0.0）=（-22,0.-2）

所以cos（4工乌石）=-==-==-=—/,—■==,整理到9万=1＞解7J力=:（舍去一彳），

'/14尸IRE2VF+1XV5I。33

所以而=（一2,0,1）,有=（一|,0,-2）,

4_2

所以cos（BE，4F）=-----3以=一向,故cos归立，

&丘410

故选：B.

3.正方体疑与CQ］中，E，尸分别为AG，34的中点，则异面直线NE与斤所成角的余弦值

A.叵B.拽C.一巫

15151515

【答案】D

【详解】如图，建立空间直接坐标系,设正方体的棱长为2,

因为E,尸分别为4G，§4的中点，易知，/(2,0,0),£10,1,2),

。0,2,0),F(2,2,1),所以屈=(一2,1.2),#=(2.0]),

_AECF^^

所以8S＜方,市

>-而商p--ir

因为异曲直线形与尸c所成例为锐例

所以异曲直线初VFC所成角的余弦值为,故A,B,C错误.

15

故选：D.

4.如图，将4=60。的菱形45。沿对角线双)折起，使得平面ZBD_L平面C&),则异面直线Z5与C。

所成角的余弦值为()

【答案】B

如图，取80中点为坐标原点，建立空间I'［危坐标系,

令窿=2,2（君.0.0）,3（（U0）,C（0.0.石），2）（0,-l:0）,

则方=（-收1.0）,而=（0,T-招），

/.COS<AB»=T­T=~~

2x24

..AB,C。所成角的余弦值为］

4

故选：B.

5.在四面体48中，为止三角形，D8JL平面疑C,且^3AE=AB,2CF=CD,则

异面I’［纹DE和BF所成角的余弦值等T*()

A.叵B.一跑C.返D一返

13133939

【答案】A

【详解】因为OBJ.平面ZBC,“BC为正三角形，

故以3为原点，以前，而为轴的正方向，建证空间R角坐标系，

设疑=6,则。(0。6).。(0.6.0),幺(3布,3.0),8(0.0,0),

由3亚=万，27=而，可得用24,2,0),尸(0.3,3),

所以反=(26.2.-6卜丽=(0.3,3),

历•/_T2_"

所以cos（DEBF）=

国画「2、&3啦_13

所以片面“线。2和8厂所成角的余弦值等「叵.

13

故选：A.

题型四：异面直线夹角范围与最值

1.已知尸41平面488,四边形48CD是矩形，PA=AD为定长，当43的长度变化时，异面直线R7与AD

所成角的取值范围是.

【答案】GA)

42

【详解】由题意可知：皿皿在两两正相垂忆则以A为原点，46为X轴，4)为y轴，4D为二轴，建

立空间"角坐标系,

gtPJ=AD=a(a>0),AB=b(b>0),则P(0,0,a),C(b,a,0),D(O.n.O),J(0,0,0),而=(0,«0),

PC={b,a-a),设异面直线PCljAD所成角的为0,

因为。定值，随着6的增大，而增大，所以「＞0,则口

所以异面底线尸C9川所成角的取值范用是G与，

42

故答案为：

42

2.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,

半止多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24,棱长为0

的半正多面体，它的所有顶点都在同•个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面

体所得.若点E为线段BC上的动点，则直线OE与直线所成角的余弦值的取值范围为（）

【详解】将半止多血体补成正方体，建汇如图所示的空间|'［向坐标系.

因为半:止多而体的棱长为正，故正方体的棱长为2.

所以4（2,L0）,尸（2,2,1）,B（l,0,2）,C（0,l,2）,D（l,2,2）,jF=（0,l,l）,5c=（-l,l,0）.

BtBE=ABC=(-2,2,0),2e[0,1],则上(1一儿儿2),反=(-%,/-2,0).

…/去命AFDE2-2=_1______("2)2______=_1

所以%同团二国『42必-2"232)+22

那网正码=一函匕7P

因为牙+2r+lw，“所以cos（方码w-誓；.

故直线DE与直线JF所成例的余弦值的取值范国为；,孝,

故选：C

3.如图，在长方体/3CD-44G乌中,E是/4的中点，点尸是AD上一点,45=44=2,BC=3,AF=1,

动点尸在上底面45GA匕且满足三极锥尸-麻》的体积等于1,则直线C尸与Dp所成角的正切值的最

小值^.

【详解】解：以。为坐标原点，分别以DC,所在”线为X轴，J,轴，z轴建“二空河农用坐标系,

P(w.w,2X0<w<3<0<n<2),则尸(2,G0),E格。113(320)C(020),。1(0,0,2),

FB=(1.2.0).FE=(1,0.1).CP=(w,w-2.2),函=(0.0,2),

设千面3尸石的法向黄为五=（苍E二）

.a-FB=x+2v=0

则〈一.令x=2,W!|z=-2,y=-lr

a-FE=x+z=Q

所以平二面3F》的•个法向!|：：n=（2,-l.-2）

因为方=丽一3”1),

\(j£P\_\2m-3-n\,

所以点P到平向8尸E的距肉d

同3

因为EF=jF+f=®BF=BE=4f+H=JJ，

3逝

所以在等腰△§在中，3到FE的高为=-----9

2

所以S.血=gx4x竽

113

因为吸WE=§xS_"£xd=§x：xd=l,

所以心史上=2

3

所以2川-〃=2或2m-〃=14(舍去),

设I'［线CP。。乌所成的角为8,WlJOe0(

4

4

所以cos6=

冏函|2xJ”/+5-2y+4

=_______2_______=_____22

y/m2+(2TW-4):+4一16小+20L8、2364,

所以8sM最大值为q'此时哂小，此时面】6最小,

2

闪为sin?8+8S，6=1，IL。w。，5,所以sin8

3

2

所以tan"/=手，即直线CPVOA所成角的正切值的此卜值为学,

~T

故答案为：芈

4.已知正四面体2-B8内接于半径为野的球。中‘在平面B8内有一动点尸,

且满足2P=40,则

|四的最小值是.;直线AP与直线BC所成角的取值范围为

兀71

【答案】26-2忘

3,2

【详解】在正四面体中，设/在向38内的投影为E,故七为修88的中心,

设正四而体4-88的极长为4球O的半音为R,

则BE=：xxx*=华.4E="B、BE2=卜一曲丫=华,

依题意正四血体4-38内接J、iq仝为侦的球。中，故球心。在一店k,

2

设球的、除为R,则R2=RE2+(AE-丑丫，

即(孚＞=(率＞+(等—竽丫，弥卜=6,X=0(舍去)9

则BE=26,AE=246,

乂AP=4Vl.=PE=^AP2-AE2=J(4V5)2-(2而2=2正,

故尸的轨迹为平向BCD内以E为网心，20为半卷的网，

而BE=*,'U]B,P,E三点共线时,ILP在瓦E之间时，忸尸|最小，最小值是2/-2立；

以E为阅心,届所在直线为x轴，在底面43。内过点E作站的幅线为j,轴，E4为z轴，建证如图所示

直角坐标系,

则4(002卡),B(2b.0.0)，。(-6.3.0),£＞(-^,-3.0),

设P(2近cos8,20sin6.0),8e[0,2兀)，

故万=(2y/2cos6.26sina-2向，BC=(-3后3.0),

设直线WV"线BC所成向为。。曰0,,，

APBC-676cos0+6^2sin01.z.h、

\CQS{APBC)=，=---------------厂----------------=-sin(6—),

|4P||BC|W4V22xx6623

因为6e[0,2兀),故e—二士三年)，*sin(e-§e

乂aeO.g,故cosaw0,，故ae

2

故答案为：2有-20；71兀

3,2

5.如图，四边形疑8中，幺8=应）=£14=2.87=6=应.现将4血）沿8。折起，当二面角2-8。一。

处于「＜，多］过程中，直线2。与8C所成角的余弦值取值范围是（）

66

A.产叵B.但理

88J|_88j。隹8］

【答案】D

【详解】设向睛石。前所成角为a,MHA-BD-C的千面向大小为a,

因为叱+5=但所以小。，又BC=CD,所以NBDC95C=j

----2万--------------------r~3万

ADDB=2x2xcos——=-2,BDBC=2xV2xcos—=-2

34

W1AC=AD+DB+BC,

所以|就『=|翔+55+左|2=石2+552+就2+2诟55+2而就+255就=2+475。084,

取BD中点E,j^AE:CE,^AE±BD;CElBDtZJEC=%,

AE=6CE=\,

/l-Z^EC'IsAC2=AE2+CE2-2-AE-CEcos,HfJdC?=4-20cosg,

所以Z+WJcosq=4-2-73cos02,即cose[=立^•^cosq，

44~

W5诲]

乂因为名€4，学，所以COS^E

6o

jr

因为I'［线夹角他用为O.y,所以I'［线4）93C所成加的余弦值范用是

故选：D.

6.如图所示，正方体国6-4用。］。］中，点O为底面4BCD的中心，点尸在侧而5CG4的边界及其内部

移动，若DQLOP,则异面直线乌尸与45所成角的余弦值的最大值为()

A.1B.也C.在D.在

3233

【答案】C

【详解】建立如5图所示的空间直向坐标系，设正方体的棱长为2

4(2,0,0)净(2,2，)，2(0,0,2)。(1▲0),5^=(LL-2),方=(0,2.0)

设P(a,2,b),dbw［0,2］,因为麻.丽=0,OP=(a-l.l.b)

所以。一1+1-2b=0,。=26,则P(26.2,b)

在例而4。1必内取一点。，使得0P〃H3,则0(公。/)

易知：角形D0为r的：角影，则卜8(取利=阿◎.可卜磊

|函=2,9=(26,2,b-2),|不卜，4/+4+/+4-46=^5b2-4b+S

设>，=5加_助+8，对称轴为6=-妥='=］，WJ>'mi£=5x^-4x|+8=y

即(cos序碉「备=乎邛

故选:C

题型心方面打线夹角求参数类

1.已知四棱锥P-JBCD的底面为平行四边形，3=2,DC=4,N&LD=6(r，PD_L平面.48CZ)，直

线尸。与平面尸NC所成角为30、则尸D=<)

A.20B.竽C,卓D.g

【答案】C

【详解】心=2,DCAB=4,NA4D=6(r，

由余弦定理"JOS?=DA2+AB2-2DAABcus"AD=4+16—8=12，即.45=20，

则有。*+◎42=研，所以。BD,

^PDA.'Y\i\\ABCD,以〃为原点，玩而，丽的方向为x轴，了轴，z轴正方向建立如图所小的空间l'［向

坐标系，

设PZ)=。，|lIAD—2>AB-2>/3,

得D(0,0：0),^(2.0.0),B(0.24.0),C(-2.2^3.0),P(O.O.n),

PA=(2,Q.-a)tAC=(-4,2^3,0)PD=(0;0,-67),

n-PA=2x-az=0

设平而泣。的法向标为n=设,y,z),则

n♦AC=-4x+2\[iy=0

令y=2jl,则x=3,二=：,所以w=^3,2^/3,1

H线PDlj平面HC所成角为3(T，所以

则仃3”解融=3则如半

故选：C.

2.如图，在四棱柱48cL中，底面为BCD,且底面4BCD为菱形，4&=3,AB=2,

NX3C=120。，P为8。的中点，初■在^4上，。在平面为8内运动（不与尸重合），且P0J：平面MG。

异面直线尸2与5"所成角的余弦值为乎，则tan/Z0M的最大值为___________.

【答案】撞公出

99

【详解】连接助交ZC「点O,••义4,平山L4BCD,BDu平面NBCD,则BDJ■月4,

因为四边影458为菱形，则BO_LNC,

•.•.44CUC=4,AAX>XCu'FMlPMG。，「.BOJ.平面MGC,

以点O为坐标原点，OA.OB.石的方向分别为'、>'、二轴的正方向建汇如5图所示的空间口向坐标

系,

P-£.：,0卜坊（。」,3）,

则出/0.0)、4(73.0.3),C(Y.O.O)、B(OAO).D(0,-L0).

易知平面例G。的•个法向法为w=（o.i.o）,

因为尸。工平而必G。，所以，丽/忌，

设点”（不.0j）,Jt.|io<r<3,则瓦应=（后一1」—3人

1,1已知可琳°，协叫=繇=扁==T-

因为0±W3,解得，=2,即点M（6,0,2人

设点0(3,0),则厢=Q+4J-：，O］，