2026年高考数学一轮复习讲义：用样本估计总体（附答案）

§9.2用样本估计总体

【课标要求】1.会用统计图表对总体进行估计，会求〃个数据的第〃百分位数2能用数字特征估计总体集中

趋势和总体离散程度.

---------------------------落实主干知识---------------------------

1.百分位数

一般地，一组数据的第〃百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等

于这个值，且至少有（100-p）%的数据这个值.

2.平均数、中位数和众数

（1）平均数：x=.

（2）中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最的一个数据（当数据个

数是奇数时）或最中间两个数据的（当数据个数是偶数时）.

（3）众数：一组数据中出现次数的数据（即频数最大值所对应的样本数据）.

3.方差和标准差

n

（1）方差：52=___________________________或工£xf-x2.

ni=1

（2）标准差：5=.

4.总体方差和总体标准差

（1）一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为丫2，…，YN，总体平均数为已则总体方差

N

£（匕下产

i=1

（2）加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有无伏WN）个，不妨记为H，匕，…，匕，其中匕

k

出现的频数为2,…，k）,则总体方差为E/;<K-n2.

N

i=1

S自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“4”或“X”）

（1）对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.（）

（2）方差与标准差具有相同的单位.（）

（3）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.（）

（4）在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值.（）

2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是（）

A.平均数B.众数

C.百分位数D.标准差

3.已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84,79,84,86,95,84,87,

93,则该组数据的平均数和众数分别是（）

A.86,84B.84.5,85

C.85,84D.86.5,84

4.（2024・周口模拟）己知一组从小到大排列的数据为小2,2,4,4,5,6,b,8,8,若其第70百分位数等

于其极差，则2〃+b=.

,微点提醒

1.若X2，…，X”的平均数为a方差为那么〃?用+4,"a2-小…，〃的平均数为〃沅+〃，方差为

m2s2.

2.数据加，也，…，山与数据笛=n+a，X2'=X2+m…，先'=先+。的方差相等，即数据经过平移后方差不变.

-探究核心题型」-

题型一样本数字特征的估计

例1（1）（多选）（2024•郴州模拟）随机抽取8位同学对他们2024年数学新课标全国I卷的平均分进行预

估，得到一组样本数据：97,98,99,100,101,103,104,106,则下列关于该样本的说法正确的有

（）

A.平均数为101B.极差为9

C.方差为8D.第60百分位数为101

（2）如II是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程（单位：公里）及运营线路条数的统计图，下列判

断正确的是（）

2023年”月1。个城市地铁运营数据

9X/1

8AZXJ-K(

7nM芸

6X4

5nM)

4(X涯

3*M

I/

31篡

2nM

1nX闻

0I

A.这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多

B.这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里

C.这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4

D.这10个城市地铁运营线路条数的极差是12

思维升华计算一组〃个数据第〃百分位数的步骤

跟踪训练1(1)(多选)某次比赛通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7,12,13,17,18,

20,32,则()

A.该组数据的极差为25

B.该组数据的75%分位数为19

C.该组数据的平均数为17

D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等

(2)若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89,91,90,92,87,93,96,94,96,95,

则这组数据的众数是：中位数是.

题型二总体集中趋势的估计

例2某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习

情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高二学生的联考情

况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70),[70,90),[90,110),

[110,130),[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)求出图中。的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占的比例);

(2)估计该校学生联考数学成绩的第8()百分位数;

(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.

思维升华频率分布直方图中的数字特征

(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标.

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.

跟踪训练2某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天

体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,

100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中体育锻炼时间在[50,60)内的学生有10人.

时间/分钟

(1)求频率分布直方图中a和〃的值；

(2)估计样本数据的中位数和平均数(求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表).

题型三总体离散程度的估计

例3某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行了10次配对试验，每次配对试

验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理

后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为为，y/(/=l,2,…，10).

试验结果如下：

试验序号/12345678910

伸缩率为545533551522575544541568596548

伸缩率"536527543530560533522550576536

记z尸刘2,…，10),z”m…，zio的样本平均数为五样木方差为出

⑴求2,

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果

则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,

否则不认为有显著提高).

思维升华总体离散程度的估计

标准差(方差)反映了数据的寓散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标

准差(方差)越小，数据的离散程度越小.

跟踪训练3某校随机抽取了100名学生参加“奥运会”知识竞赛，统计得到参加竞赛的每名学生的

成绩(单位：分)，然后按［40,50),［50,60),…，［90,1()0］分成6组，并绘制成如图所示的频率分布

直方图，已知力+0.03=2a

(1)求〃的值，并估计参加竞赛的学生成绩的第30百分位数；

(2)已知成绩在［80,90)内所有学生的平均成绩为84分，方差为6,成绩在［90,100］内所有学生的平均

成绩为9X分，方差为10,求成绩在凶),100］内所有学生的平均成绩下和方差在

答案精析

落实主干知识

l.p%大于或等于

2.(1)^(XI+X24-,+X„)

n

(2)中间平均数(3)最多

n

3.(工£(灯盼2

I=1

⑵2

自主诊断

1.⑴X(2)X(3)4(4)4

2.D3.D4.10

探究核心题型

例1(l)ABD［平均数为

97+98+99+100+101+103+104+106二101,A正确；

8

极差为106-97=9,B正确；

方差为

(97-101)2+(98-101)2+•••+(106-101)2_16+9+4+1+0+4+9+25=8.5,C错误；

88

因为60%X8=4.8,故第60百分位数为101,D正确.］

(2)C［北京的地铁运营线路条数最多，而运营里程最长的是上海，A错误；

地铁运营里程的中位数是558.6+516=537.3(公里)，B错误；

2

地铁运营线路条数的平均数为

20+27+18+14+17+12+14+10+14+8­=15.4,C正确；

10

地铁运营线路条数的极差是27-8=19,D错误

跟踪训练1(l)ACD［极差为32-7=25，故A正确；

7X75%=5.25,故75%分位数为20,故B错误；

平均数为7+12+13+17+18+20+32­=17，故C正确；

7

去掉17后，这两组数据的平均数相等，故D正确J

(2)9692.5

解析这组数据从小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,95,96,96,其中96出现的次数最多，

则这组数据的众数是96,中位数是等二925

例2解(1)由频率分布直方图的性质，可得S+0.(X)4+0.()13+0()14+0.016)X20=1,

解得<7=0.003.

本次考试的及格率约为(0.016+0.014+0.003)X20=0.66=66%.

(2)得分在110分以下的学生所占的比例为(0.004+0.013+0.016)X20=0.66,

得分在130分以下的学生所占的比例为0.66+0.014X20=0.94,

所以第80百分位数位于[110,130，内，

由110+2()X鬻簪=120，估计第80百分位数为120.

0.94-0.66

(3)由题图可得，众数的估计值为100.

平均数的估计值为0.08X60+0.26X80+0.32X100+0.28X120+0.06X140=99.6.

跟踪训练2解(1)由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50,60)内的频率为言=0.1,

贝1)琮=0.01,

由各组频率之和为1,可知(0.005+D.01+2+0.025X2+0.005)X10=l,

解得b=0.03.

⑵前3组的频率之和为(0.0()5+0.()1+0.03)义10=0.45<0.5,

前4组的频率力和为0.45+0.025XI0=0.7>0.5,

所以样本数据的中位数在第4组，

设为x,

所以0.45+070)X0.025=0.5,解得,72,

估计样本数据的中位数是72,

估计平均数是(45+95)X0.05+55X0.1+65X0.3+(75+85)X0.25=72.

例3解⑴由题意得『为・州的值分别为9,6,8,,15,11,19,18,20,12,

则