高中数学必修一知识清单

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【集合与常用逻辑用语】

1、一般地，我们把研究对象统称为元素，把i些元素组成的总为叫做集合。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

3、如果。是集合A的元素，就说。属于集合A,记作如果。不是集合A中的元素，就说。不属于

集合A,记作。纪4。

4、数学中一些常用的数集及其记法

数学中一些常用的数集及其记法

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N：

全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；

全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；

全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q;

全体实数组成的集合称为实数集，记为R。

5、把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。

6、一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征尸（x）的元素x所组成的集合表示为

{xw川尸（x）},这种表示集合的方法称为描述法。

7、一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B

的子集，记作4q8（或读作“A包含于B”（或“B包含A”）。

8、一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元

素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。也就是说，若且b=4,则A=IK

9、一般地，我们把不含任何元索的集合叫做空集，记为0,并规定：空集是任何集合的子集，

10、如果集合4口8,但存在元素XW5,且x史力,就称集合A是集合B的真子集，记作A5B（或B崔A）。

集合子集的个数

若一个集合的元素有〃个，①它的子集个数有2"个：②它的真子集个数有2〃-1个；③它的非空子

集个数有2"-1个；④它的非空真子集有2”-2个。

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11、一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作力U4(读

作“A并B”)，即

4U8={x|x£4MrG8}。

12、一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作力C1B(读

作“A交B”)，即

13、一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称

为集合A的补集，记作，即CuA,即

CuA={x\xA}。

14、集合之间的基本关系

(1)任何一个集合是它本身的子集，即4［力：

(2)对于集合A,B,C,如果力qB,且那么力qC。

(3)A\}A—A；/U0=4;

(4)AC\A=A；^A0=0o

15、一般地，“若p,则夕”为真命题，是指由〃通过推理可以得出夕。这时，我们就说，由p可以推出夕，

记住夕=>夕，并且说，夕是夕的充分条件，夕是夕的必要条件.

16、将命题“若p,则夕”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若g,则夕”，称这个命题为原

命题的逆命题。

17、如果“若p,则q”和它的逆命题“若小则〃”均是真命题，印既有夕=外又有4=>.，就记作4<=>.，

此时〃既是q的充分条件，也是</的必要条件，我们说〃是的充分必要条件，简称为充要条件。显然，

如果夕是4的充要条件，那么夕也是〃的充要条件。

18、短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示。含有全称量词的命题，叫做

全称量词命题。通常，将含有变量x的语句p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范雇用M表示，

那么全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立"可用符号简记为Vx£",pa)。

19、短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号F”表示。含有存在量词的命题,

叫做存在量词命题。存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立"可用符号简记为女£”,p3。

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20、一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变

成“并非所有的”“并非任意一个“等短语即可。也就是说，假定全称量词命题为“Vx£”,p(x)”，则它的否

定为“并非Vx也就是“小eM,p(x)不成立L通常,用表示“p(x)不成立”。

21、对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：

全称量词命题：VxcM,p(x),它的否定：3XG

也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题。

22、一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需要把“存在一个”“至少有一个““有些“

等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可。也就是说，假定存在量词命题为

则它的否定为“不存在xw/W,使p(x)成立"，也就是“Vx£A/,p(x)不成立”。

23、对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：

存在量词命题：入£〃,〃(]),它的否定：Vx6Mr?*)

也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题。

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【一元二次函数、方程和不等式】

1、一般地，Pa,beR,有力+722",当且仅当。二b时，等号成立。

特别地，如果。>0,b>0,我们用〃、、份分别代替上式中的a,b,可得

疝q,

2

当且仅当。=力时，等号成立。我们把它称为基本不等式。

其中空2叫做正数。，b的算术平均数，叫做正数。，方的几何平均数。

2

2、基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、基本不等式的适用要求是公式中的4〉0,方>0,而且它们的和或者积为定值，最后是存在使得等号成

立的数值，我们把这三个特征简称为“一正二定三相等

4、基本不等式的推广

如果。>(),/)>(),c〉()，a+b+cN3^,当且仅当时等号成立。

如果。>0,b>0,c>0,d>0,a+b+c+d>abed,当且仅当a=Z)=c=d时等号成立。

5、不等式有如下性质：

定理内容

性质1如果〃>力,那么力<〃：如果/?<〃，那么〃>/?<,即。

性质2如果。>b,b>c,那么〃>c。即。>人，b>cna>c。

性质3如果a>b,那么〃+c>b+c。

性质4如果。>b,c>0,那么。c>/?c；如果。>力，c<0,那么4c<bc。

性质5如果。>/>,c>d,那么a+c>/>+d。

性质6如果。>力>(),c>d>0,那么Qc>/>d。

性质7如果。>6>0,那么a">b"(nwN,nN2)<

6、一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元

二次不等式的一般形式是

尔+Ar+c〉()或ax2+/xr+c<0,

其中a,h,。均为常数，

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7、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

A>0△=0A<0

LV

Jv=ax2+bx+c

（6t>0）的图像

「

1LO\x^x2x

"01X

OX2++c=0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根x，%

没有实数根

X1,x(X]<x)，bx

（4Z>0）的根22(…=2/

ax2+bx+c>0（h,

{x\x<xe或¥>X?}{…②/R

">0）的解集

ax2+bx+c<0

{x|X1<x<x2}00

'：a>0）的解集

8、求解一元二次不等式，通常是先画出^=62+/次+。的图像，然后如果是求解》>0,实质上是求解图

像在x轴上方部分的横坐标的集合；如果求解y<0,实质上是求解图像在x轴下方部分的横坐标的集合。

通常我们可以用口诀来记忆，“大于找上方，小于找下方”。

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【函数的概念与性质】

1、一般地，设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数X,按照某种确定的对应关系/,

在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称/：/—3为从集合A到集合B的一个函数，记作

y=/（x）,x£/.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做

函数值，函数值的集合｛/（x）|xw4｝叫做函数的值域。显然，道域是集合B的子集。

2、设。，6是两个实数，而且〃我们规定：

（1）满足不等式力的实数x的集合叫做闭区间，表示为［〃，/＞］：

（2）满足不等式4cx＜力的实数x的集合叫做开区间，表示为（。，by,

（3）满足不等式。工工＜方或。的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为［。，切、（。，/7］：

这里的实数与都叫做相应区间的端点。

不等式数轴表示集合表示区间表示

-k——

a<x<b{x|t7<X<Z))[a,b]

abx

a<x<b------4•{x\a<x<b}（〃，b）

abx

a<x<b-1------>{x\a<x<b}[a，b]

abx

a<x<bu___{x\a<x<b}(a,b]

abx

3、实数集R可以用区间表示为（-8,+oo）,“8”读作“无穷大”，在它前面加上符号，

“-8”读作“负无穷大”，“+OO”读作“正无穷大”。

我们可以把满足工之。的实数x的集合，用区间分别表示为［〃,+8）表示，类似地，x＜h,x＜b

可以分别用（。，+8）,（YO,h］,（-00,b）来表示。

4、由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。因为值域是由定义域和对应关

系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也

相同，那么这两个函数是同•个函数。常见的同•函数有：

①y—V?和y=x：②y—V?和y=|x|。

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5、一般地，设函数/(x)的定义域为/,区间Dq/：

如果V$,^ED,当西＜小时，都有/(X)＜/(々)，那么就称函数/(x)在区间D上单调递增。特

别地，当函数/(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。

如果V%,X2GD,当苞＜当时，都有/(苞)〉/(马)，那么就称函数/a)在区间D上单调递减。特

别地，当函数/(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。

6、一般地，设函数/*)的定义域为/,如果存在实数M满足：

(1)VXG/,都有/(x)WM；(2)Hx0e/,使得/UM。

那么，我们称M是函数y=/(x)的最大值。

7、一般地，设函数/(X)的定义域为/,如果都有一X£/,且/(-X)=/'(X),那么函数/'(X)就

叫做偶函数。

8、一般地，设函数/(x)的定义域为/,如果Vxe/,都有-XE/,Hf(-x)=-f\x),那么函数/(x)就

叫做奇函数。

奇函数偶函数

1(a.f(a))

(~a,f(_a))^_1_L^a'f⑸)

,厂一

图像

a

“。'-ao|ax

(-a,f(-a))|

对称性关于原点对称关于y轴对称

若定义域有0,则/(0)-0；若定义域有o,则/(0)是极大值或极小值：

性质

/(x)+/(r)=0f(x)=f(-x)

如果在(一8,0)单调递增，则在(一8,+8)

在定义域内不可能是单调函数

增减性上递增：同理，在(-00,0)单调递减，则在(F,

+oc)上递减。

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9、在定义域允许的情况下,

当/(X)，g(x)都是偶函数,则/(x)g(x)是偶函数;

当/(X)，g(x)都是奇函数,则/(x)g(x)是偶函数：

当/(X)是奇函数，g(x)是偶函数，则/(x)g(x)是奇函数。

10,一般地，函数y=叫做常函数，共中X是自变量，a是常数V对于存函数，我们只研究a=1,2,

3,1,一1时的图像与性质。

2

2

y=x2y=x3-1

y=x2y=x

kI

Jk

图像V

十(0«I5

定义域RRR[0,4-CO)(,0)U<0,+00)

值域R[0,4-co)R[0,+co)(Y,0)u(0,4-00)

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

(-oo,0)减(-co,0)减

单调性增增增

(0,+00)增(0,+8)减

11、幕函数的相关结论：

(1)函数y=x,y=x2,y=x\y=/和>=工-1的图形都经过点(],i)；

(2)函数y=x,y=y=%7是奇函数，函数y=Y是偶函数；

(3)在区间(0,+8)上，函数y=x,j；=x2,y=y=x5单调递增，函数>二工7单调递减;

(4)在第一象限内，函数y='T的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。

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【指数函数与对数函数】

1、一般地，如果x"=q,那么x叫做。的〃次方根，其中〃>1,且〃£N”。

2、负数没有偶次方根。0的任何次方根都是0,记作而=00

3、式子板叫做根式，这里〃叫做根指数，。叫做被开方数，根据〃次方根的意义，可得（a）"二々。

4、当〃为奇数时，叱=a；当〃为偶数时，^=\a\=\o

-a,a<0

5、我们规定，正数的正分数指数累的意义是（。>0,〃?，〃£N*,/?>1）.正数的负分数指

m1_1

数鼎的意义是。：二a>0,m〃wN"，/?>1)o

6、0的正分数指数塞等于0,0的负分数指数嘉没有意义。

7、对于任意实数尸、S,均有下面的运算性质:

(1)das=a's(rz>0,r,scR)

(2)(〃')'="'(4〉0,尸，s£R)

(3)(abY=arbr(a>0,b>0,reR)

8、一般地，函数y（。>0,且。wl）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R。

9、指数函数的图象和性质

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10、一般地，如果a'=N(。>0,且。工1),那么数X叫做以。为底N的对数，记作x=log：,N,其中。

叫做对数的底数，N叫做真数。

11、通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把logioN记为IgN。以无理数c=2.71828…为底的

对数称为自然对数，并把log,,N记为InN。

12、根据对数的定义，可以得到对数和指数间的关系：

当。>0,且。=1时，a'=Nox=log“No

13、负数和0没有对数；log"=0,log/=l。

14、对数运算性质：如果。>0,且awl,M>0,N>0,那么

(1)\oga(MN)=logaM+logflN；

M

⑵l°g“=l°gaM-l°g。N

n

(3)log(,M=//log(/M(77G/?)

15、对数换底公式：log'=3殳2(。>0,且owl：/>>0；c>0,且cwl)

log,"

16、一般地，函数y=k)g,x(。>0,且4W1)叫做对数函数，其中指数X是自变量，定义域是(0,+8)。

17、对数函数的图象和性质

18、一般地,awl)互为反函数,

它们的定义域和值域互换。

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19、对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。这样，函数y=f(x)

的零点就是方程/(x)=0的实数解，也就是函数y=/(x)的图象与x轴的公共点的横坐标。所以，

方程/(x)=。有实数解

Q函数y=/(x)有零点

o函数的图像与x轴有公共点

20、函数零点存在定理一般地，如果函数y=/(x)在区间［〃，6］上的图象是一条连续不断的曲线，且有

<0,那么，函数y=/(外在区间(。)内至少有一个零点，即存在cw(。，6),使得J\c)=0,

这个c也就是方程/(X)=0的解。

21、对于在区间［4,切上图象连续不断且/(。)/3)<0的函数y=/(x),通过不断地把它的零点所在区

间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，讲而得到零点近似值的方法叫做二分法。

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【三角函数】

1、我们规定，•条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负

角，如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。这样我们就把角的概念推广到了任意角。

2、一般地，我们有：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合

S={邮=a+A360。，AEZ}

即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。

3、我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度。

根据这个规定，在半径为厂的圆中，弧长为/的弧所对的圆心角为Qrad,那么

r

4、一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。

5、扇形的公式：

(1)l=aR；(2)S=-aR\(3)S=-IK.

22

其中R是圆的半径，a为圆心角，/是扇形的弧长，S是扇形的面积。

6、一般地，任意给定一个角aER,它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y,

都是唯一确定的。所以，点P的横坐标X、纵坐标y都是角a的函数。

7、设a是一个任意角，awR,它的终边0P与单位圆相交于点P(x,y),

我们把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina,即)，=sina；

把点P的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa,即1=(：051：

把点P的纵坐标与横坐标的比值』叫做a的正切，记作tana,即上=tana(xH0)；

xx

可以看出，当a=%+女］£Z)时，a的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0,所以、=tana无

2x

意义。除此之外，对于确定的角a,2的值也是唯一确定的。所以2=tana(xwO)也是以角为自变量，

xx

以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数。

8、由三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数的值相等，

9、同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角a的正切。

即sin2x+cos2x=1♦

sinx/兀i、

=tan。。

cosx

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10、诱导公式一〜六

公式一公式二公式三

sin(a+h2〃)=sinasin(^+a)=-sinasin(-a)=-sir.a

cos(a+k•2^)=cosacos(〃+a)=-cosacos(-a)=cosa

tan(a+k•2〃)=tanatan(^+cr)=tanatana=-tana

公式四

公式五公式六

sin(〃-a)二sina

sin(y-a)=cosasin(y+cr)=cosa

cos(万一a)=­cosa

,JI、.7t、,

cos(y-a)=sinacosz(y+a)=-sina

tan(^-a)=-tana

11-三角函数的图象与性质

函数y=s\nxy-cosxy=tanx

[12

y

1

1

图象<•号2：、万2,丁

Z..9..少i

R.L.^kiZ工-1

定义域RR{x\x^—+k/r,kGZ}

值域[-U][-U]R

单zJ7t.7T..r

增区间\lk7l-—,2k^^—],kGZ[2k兀一）7,2k兀],keZ\K7T——,K71+-GZ

22

调

减区间[2^+^,2to+y]^eZ[2〃万,2〃江+乃],左eZ无

性

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对对称轴X-=k/u+^keZx=k兀,keZ无

称

对称中7Tkrr

(k/r,O),kGZ(k兀+5,o)X$z(0),AeZ

性心乙

最小正周期2万27171

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12、和（差）角公式

cos(a+/?)=cosacos-sinasinpcos(a-P)=cosacos/?+sinasinp

sin(a+0)=sinacos/?+cosasin0sin(a-/?)=sinacos/?-cosasinp

/c、tana+tan?tan«-tan/?

tan(a+ft)=---------------tan(a—尸)=

1-tanatanft1+tancrtanp

13、倍角公式

sin2a=2sinacosacos2«=cos2«-sin2a=2cos2a-\=1-2sin2a

r2tana

tan2a=-------；-

l-tan-a

14、简单的三角恒等变换

用C