指数【七大题型】-人教A版高中数学必修第一册（原卷版）

专题4.1指数【七大题型】

【人教A版(2019)]

＞题型梳理

【题型1根式与分数指数塞的互化】.............................................................2

【题型2根式的化简求值】......................................................................2

【题型3指数幕的运算】........................................................................4

【题型4指数基的化简、求值】.................................................................4

【题型5指数式的给条件求值何题】.............................................................4

【题型6指数鼎等式及呆的方程问题】............................................................6

【题型7指数累等式的证明】....................................................................7

A举一反三

【知识点1根式与分数指数幕】

1.根式

(i)〃次方根的定义与性质

定义一般地，如果/=〃，那么x叫做。的〃次方根，其中n＞\,且〃£N*

(1)当〃为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根

是一个负数，这时，。的〃次方根用符号近表示；

(2)当〃为偶数时，正数。的〃次方根有两个，这两个数互为相反

性质

数，记为±五；

(3)负数没有偶次方根；

(4)0的任何次方根都是0,记作＜/0=0

(2)根式的定义与性质

定义式子胸叫做根式，〃叫做根指数，〃叫做被开方数

'。(〃为奇奇)，(遍)”=a(〃wN•，且力＞1)

性质泞=<、同(〃为偶数)’

2.分数指数基

整数指数累指数分数指数累

塞中

正整数指数'幕：

的指正数的正分数指数辕：

数从m

a-a......a(/?eN*)(T=>0,〃八〃GN*,〃>1)

n冷整数

负整数指数暴：拓展正数的负分数指数累：

到了

w11

有理an=—=(a>0,w,/7GN*,n>1

数

规定：0的。次方没有意义；规定：0的正分数指数幕等于0:0的负分

非零整数的（）次方都等于1数指数冢没有意义

注：分数指数塞是指数概念的又一推广，分数指数累是根式的一种新的写法，不可理解为蔡个

相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幕是表示相同意义的量：只是形式不同而已.

【题型1根式与分数指数第的互化】

【例1】（23・24高二下•四川南充・期末）将7i=（a>0）表示成分数指数静，其结果是（)

a-Va^

5

A.02B.

C.加D.02

【变式1-1]（24-25高一上•全国,课后作业）化简'（黑?（其中心0,Q0）的结果是（）

A.彳B.-彳

3b3b

81a”481a4b4

(23-24高一上.全国,单元测试)化简Ja•VQ?•VH=()

【变式1-2]

37£127

A.加B.aSC.a五D.aza

【变式1・3】（23-24高一・全国•课后作业）下列根式、分数指数哥的互化中，正确的是（）

A.—V%=(―x)~(工工0)B.x-3=V%

D.浮=*(y<0)

【题型2根式的化简求值】

[ft2]（23-24高一上.贵州贵阳•阶段练习）若附<0,则化简aR+b的结果是（）

A.-1B.0C.1D.2

【变式2-1]（23-24高一上.新疆乌鲁木齐•阶段练习）把代数式（a-1）•忌中的移到根号内，那么

这个代数式等于（）

A.—V1—aB.y/a—1C.y/1—aD.—va-T

【变式2-2](23-24高一上•江苏连云港•期中)下列各式正确的是()

Z2

A.V8=V(-8)B.J(3-n)2=3-IT

C.\[a^=|a|(n>l,nGN*)D.(Va)n=a(n>l,nGNx)

【变式2-3](23-24高一上•全国,课后作业)化简(1一a)骁需的结果是()

A.Va^lB.-Va^lC.y/T^aD.

【知识点2指数导的运算】

1.有理数指数森的运算

(1)规定了分数指数幕的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数塞的运算性

质对于有理数指数哥也同样适用，即对于任意有理数，，s,均有下面的运算性质：

①4"=7•+«a>0,「jWQ)；

②W)'=a，s3>0,r,s£Q)；

③(〃〃)「="'(4>0乃>0/£Q).

(2)指数幕的几个常用结论：

①当a>()时，/>0；

②当。翔时，a°=l,而当a=0时，无意义；

③若4，=a，(a>0,且时1),则r=s:

④乘法公式仍适用于分数指数哥.

2.无理数指数基及实数指数累

(1)无理数指数辕

一般地，无理数指数暴a〃3>0,a是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数弃屋(eO)中指数x

的取值范围从整数逐步拓展到了实数.

(2)实数指数辕的运算性质：

整数指数塞的运算性质也适用于实数指数塞，区别只有指数的取值范围不同.

整数指数塞底数、指数实数指数第底数、指数

的运算性质的取值范围的运算性质的取值范围

a,n-a"=a',,+nmai£Z,a仁Rar-a'=ar+s”RjgLa>0

nmmn(ar)s=qr

(a)=am,n£Z,aeR，;5仁R,且a>()

nr

(")"=a"b〃£Z,a£R,b£R(ab)"=a'breR,且a>0,b>0

3.指数嘉运算的一般原则

(1)指数基的运算首先将根式、分数指数幕统•为分数指数基，以便利用法则计算，还应注意：①必须

同底数塞相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母乂含有负指数.

【题型3指数嘉的运算】

【例3】（24-25高一上•全国•随堂练习）下列运算结果中，正确的是（）

A.a2-a3=a5B.（—a2）3=（—a3）2C.（Va—1）°=1D.（—a2）4=a6

【变式3-1］（23-24高二下.浙江期末）若m满足22m=4仆，则小的值为（）

A.1B.2C.-1D.0

【变式3-2］（24-25周一上•全国,课后作业）对于a>0,b>0,以下运算正确的是（）

A.ar-as=arsB.（ar）s=ars

C.Q）r=arbrD.arbs=（ab）r+s

y

【变式3-3］（23-24高一上•上海嘉定•期末）已知2、=3,2、=5,则22>G的值（）

A.9+V5B.yC.6V5D.9西

【题型4指数塞的化简、求值】

【例4】（23-24高一・上海•课堂例题）化简下列各式:

⑴（。3+0广6（其中a>0）

（其中Q>0,/?>0）.

【变式4-1］（23-24高一上•重庆永川・期中）分别计算下面两题

（嘉2

⑴化简：-FLa-ibl

（2）化简求值俱了x偿）°5-〃-26+事.

【变式4-2］（23-24高一.上海.课堂例题）化简下列各式（其中a>0,b>0）：

（2嬴：）（-6嬴1）

/r—\2+V5广

⑵年-电）・炉一代.

【变式4-3］（23-24高一上.山西临汾.期中）（I）计算正守一6）一*+（%乂戊）6；

（2）化简Ja^Va_3+7Va-8-Va^（a>0）.

【题型5指数式的给条件求值问题】

【例5】（23-24高一上•辽宁丹东•期中）已知正实数a满足晟一。4=1.

（1）求a+的值：

（2）求金宅的值.

a2+a2

【变式5-1］（23-24高一上•四川乐山・期中）解答以下两个小题:

_3

⑴求停好+X如X谆的值；

-1

(2)若Q+a=3,求a，+a-，的值.

【变式5-2］（23-24高一上.江苏无锡・期中）（I）计算:（J”—2J（厉一2尸-x我+（-3）。.

（2）若。+。一】=3,求下列式子的值：

©az-a-z

②温+a4

【变式5-3］（23-24高一上•浙江裸后作业）（I）已知》=。一3+夕2,化简网2-2af+。-6.

（2）设、+加=4,%=a+3a赤,y=b+3aMW,求（％+y户+（%—y”的值.

【题型6指数塞等式及幕的方程问题】

［例6］（24-25高一上•全国•课后作业）方程=前勺解是（）

A.-V2B.--C.V2D.—

22

【变式6-1］（23-24高一・江苏•课后作业）方程4"-2"-2=0的解为（）

A.0B.1C.2D.3

【变式6-2］（23-24高一上.浙江台州•开学考试）若x>Ly>0,且满足%、=%匕则％+y的值

为（）

911

A.1B.2C.-D.—

22

【变式6・3】（2024高一.全国.专题练习）方程5X