高考数学一轮复习 第三章 第1节 导数的概念及运算-含解析

第三章一元函数的导数及其应用

第1节导数的概念及运算

9课标要求1.掌握导数的概念、掌握基本初等函数的导数2通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用

导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.

一厂《«««主干梳理基础落实_:------------------c

知识梳理

1.导数的概念

对于函数月G）,设自变量x从X0变化到xo+Ax,相应地,函数值y就从/（XO）变化到/（XO+AY）.这时,x的变化

量为八,>'的变化量为△.闫Go+Ax）/（Xo）.

⑴如果当加-0时,平均变化率?无限趋近于一个确定的值，即?有极限,则称）可⑺在广检处可导，并把

这个确定的值叫做问（X）在户X0处的口（也称为②一七），记作国或），1x=x0,即

Hm

，（3=△四。崇=Ax-0AX

⑵当户xo时,/Go）是一个唯一确定的数.这样，当x变化时,就是x的函数,我们称它为产/G）的导函

数（简称导数）.闫&）的导函数有时也记件y',即r（x）=yf=Um，（>竽-，（

△x-*0Ax2

2.导数的几何意义

函数产/⑺在A-AV»处的导数的几何意义就是曲线）=f（x）在点P（xo,/Uo））处的切线的因；，相应的切线方

程为国1.

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

/a）=c（c为常数）/(x)=E)

/(x)二尸(«£R，且a#0)/(x)=EJax

/(X)=sinx/（A）=E

f(x)=cosX-Cr)=回-sin

/(x)=ax(«>O,且aW1)/(工)=回£

/(x)=O]

/(x)=log<lA(«>0,且aW1)

/G)回

/Cv)=ln.v

4.导数的运算法则

若，a),gG)存在,则有

(y(x)±g(x)]'=®/，」；

[/(x)g(x)]'=底；

陶'=3蓝片％⑺皿

[cf(x；y=^f(.r).

5.复合函数的定义及其导数

⑴一般地，对于两个函数产/G)和〃=g(x),如果通过中间变量〃,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为

函数问(〃)与“g(x)的复合函数,记作y二—.

⑵复合函数产/(晨外)的导数和函数y=/(〃)，u=g(x)的导数间的关系为产闻’,即y对x的导数等于y

对〃的导数与"对x的导数的乘积.

I常用结论与易错提醒，

1.一个常用结论

奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.

2.”在点A处的切线”与“过点A处的切线”的不同

(1)在点A处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.

(2)过点4处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.

断自测

1.思考辨析(正确的打“M”，错误的打"x”)

⑴/(A0)是函数产/G)在A-=X0附近的瞬时变化率.(7)

⑵函数/(x)=sin(-_¥)的导数/(x)=cos尤(*)

⑶求丁(松)时,可先求/Go),再求/(即).(*)

(4)曲线厂/G)在某点处的切线与曲线厂/G)过某点的切线意义是相同的.(*)

2.(多选)(人A选修二P81练习T1改编)下列求函数的导数正确的是(3C)

A.[ln(2x+l)r=*

B.⑵+log2X)'=24n2+焉

C.(xsinx)-sin.r+.rcosx

D/lnz\,_1-lnx

解析对于A,[In⑵+1)]'=二,所以A错误；对于B,⑵+logM),=2vln2+三,所以B正确；对于C,(xsin

2x+loxln2

x,.匕匕八1--rTA.-u•工'f\nx\,--x-Inxi-lnx%；_AU,<>'生__

x)=sinx+xcosx,所以C正确；对于D,(^―J=—=所以KD错i天D.故选BC.

3.(人A选修二P81练习T2改编)设f(x)=ln(3-2x)+cos2x,则/(0)=->

•5

解析因为/(x)=^5|^-2sin2x,所以/(0)二—|.

4.(人A选修二P81T7改编)函数/(x)=e*号在户1处的切线方程为c-Hv-2.

一「《«««考点突破能力提升>»»»»——：--------------

考点一导数的运算

[例1](1)(2026・陕西咸阳月考)已知/G)=x+H则岫巫户”二(A)

A.l+eB.l-e

C.e-1D.-l-e

解析因为f(x)=x+e\所以7W=1+e、,所以/⑴=1+e,则阿/⑴-；。-八勺⑴=1+e,故选A.

(2)已知函数八外的导函数为/(外，且满足/(x)=V+/f(1)+2*1,则/⑵等于(C)

A.lB.-9

C.-6D.4

解析因为/(功=/+4(])+然-1,所以/6)=3/+均(1)+2,则/⑴=3X12+"(I)+2,解得/(1)=-5,所以

/Cr)=3f-1Ox+2，所以/⑵=6.故选C.

⑶函数/(x)=2cos(-2x+习,其导函数为/(x),贝11/信)=2.

解析因为于(x)=2cos(—2x+§)=2cos(2x—/),所以/(x)=-4sin^2x一，所以H=一4sin(2x塔一

*2

I思维升华〉

求导数的方法

(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

⑶复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

⑷对解析式形如/3=/'(即)屋外+力3(松为常数)的函数求值问题，解题思路：先求导数F(x),然后令

解关于了(松)的方程，即可得到/«)的值，进而得到f(x)JG)再进行求解.

【跟踪训练1](1)(多选)下列求函数的导数正确的是(AC)

A.(xV)'=3feX+xV

B(2sinx),_2xcosx-4sinx

C.(sin2x)-2cos2x

D.D=-sinx-e-cosx

解析对于A,(A3。')三(x?)'e'S,(eA)-3x2et+x3ev,A正确；对于B,

(钓=X"sin%；；?(%)/_2xcosx^4sinx^g错误；对于C,函数J=sin2x可视为函数产sinI,t=2x的复合

函数，函数产sin/关于变量/的导函数)，'=cost,函数r=2x关于变量x的导函数r'=2,所以(sin2v)=cos

2x-2=2cos2x,C正确；对于D,函数产©被、可视为函数产e',/=-cosx的复合函数，函数产e’关于变量，的导

函数y-e\函数r=-cosx关于变量工的导函数f'=sinx,所以(e<os-sinx,e<os*,D错误.故选AC.

(2)(多选)下列式子的求导运算正确的是(BCD)

x2-2lnx

=~彳-

B.(x3-2x+l),=3x2-2rln2

2

=-(X-l)2

D.卜in2Gx+,)1=2sin(4x+

12

解析对于A,(臂)'=三：=三詈,A错误;对于B,(7-2，+1”=3/21n2,B正确；对于C,—

磊)'=(S)'=-六，C正确;对于D,卜心(2冗+gr=2sin(2%+»cos(2%+》2=

2sin(4%+g),D正确.

考点二导数的几何意义

角度1求切线方程

[例2](1)设函数/(x)=x++的图象与x轴相交于点P,则该曲线在点P处的切线方程为(C)

A.j=-xB.y=-x-l

C.y=0D.y=r-1

解析令x+A:=0,即x(x+2)+1=0,即(x+1)2=0,解得X=-1,故P(-1,0)J⑺=1--^—，则/(-1)=1--^=0,

x+2」(x+2)2」(-1+2)2

则其切线方程为y-/(-l)=/(-l)(x+1)，即.v=0.故选C.

(2)曲线)=1中|过坐标原点的两条切线的方程为y二1,y-，，(人•

解析由题意可知，函数的定义域为｛.小#0).易证函数)=ln|x|为偶函数，当x>0时,y=lnx,设切点坐标为

(孙Inxo),因为丁'二工,所以切线斜率依y'lx=xo=—,故切线方程为y-lnxo=—(x-xo),又知切线过原点(0,0),所

以-ln*o=-l,所以xo=e,故切线方程为)，-12(x-e),即尸4.由偶函数图象的对称性可知，另一条切线方程为产-

e•e

*故曲线产ln|x|过坐标原点的两条切线方程为产，和产

角度2求切点的坐标或有关的参数(考教衔接)

【例3】(1)(2025•全国一卷)若直线)，=2x+5是曲线产e、+x+a的一条切线，贝U册4.

解析解法一：对于尸e'+x+a,其导数为y'=e，+1,又直线）=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2,故令

），K、十I=2,即ev=1,解得入=0,将.『0代入切线方程产筋十5,可得）=2x（）+5=5，所以切点坐标为（（）,5）,因为切

点（0,5）在曲线y=cx+x+a上，所以5=e°+0+〃，即5=1+々,解得〃二4.

解法二：对于产e'+x+a,其导数为），三e*+1,设y=2r+5与y=ex+x+a的切点为（松,Jo），则卜o=2x。+5,解得

Iyo=ex°+%o+Q,

a=4.

⑵（2022•新高考［卷）若曲线）=（x+a）e'有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是，--」4，.

解析因为）=（x+a）e',所以），'=金+。+1）上设切点为A&）,（工（）+加眇。），。为坐标原点，依题意得，切线斜率

%=y'lx=xo=（xo+a+l）e*。="°+"）e°,化简,得诏+函-〃=0.因为曲线）=（x+a）e'有两条过坐标原点的切线，所

以关于川）的方程诏+aro-a=O有两个不同的根，所以/=。2+4。>0,解得a<-4或a>0,所以。的取值范围是（-oo,-

4）U（0,+oo）.

【教材原题】（人A选修二P82T11）设曲线产e2-在点（0,1）处的切线与直线2.v-y+l=0垂直,求a的值.

【点评】教材题和高考题都是已知曲线的切线情况求参数问题.教材题考查的是基础，重点考查对导数几

何意义以及直线垂直斜率关系的基本应用.相比教材题，高考题在考查角度上有所拓展.2022新高考I卷题目

涉及根据切线的数量确定参数的取值范围，需要学生具备一定的数形结合思想;2025全国一卷题目则直接利

用切线方程与曲线的关系求解参数，对学生分析已知切线方程并提取关键信息（斜率、切点满足的关系等）

的能力有更高要求.

|思维升华〉

（1）求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y=/G）在点P（M/（XO））处的切线

方程是）4（松）=「（XO）（XJO）；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.

（2）处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数:①切

点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.

【跟踪训练2】（1）（2025•广东洪江二模）已知函数/（x）=e、+2r,则曲线）可（x）在点（0J（0））处的切线方程

为（B）

A.）=2x+1B.y=3x+1

C..y=1xD._v=3x

解析由/（x）=e、+2*得f（x）=e+2,则/（0）=1/（0）=3,所以曲线月。）在点（0J（0））处的切线方程为

）=3x+l.故选B.

⑵（2026•辽宁省部分重点中学协作体考试）过原点且与曲线产rsinx相切的直线有（C）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

解析设切点为（xo.xosinxo）,因为曲线v=xsinx,所以v,=sinX+ACOSX,所以也把包=sinxo+xocos&,所以xo=O

xo

或cosxo=0,当XQ=O时，切线斜率上0,所以切线方程为y-0=0（x-0）,即产0；当cosx（）=0时,尸少EM£Z,当

''2

xo=弓时，切线斜率上1,所以切线方程为y-0=1(x-0),即y=x；当xo=；时，切线斜率七-1,所以切发方程为v~0=-

I(A-0),即.尸-x,所以切线有3条.故选C.

考点三曲线的公切线问题

[例4](2024•新课标I卷)若曲线尸e'+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=\n(x+})+a的切线，则a=.

解析解法一：由曲线产e'+x,可得y-cr+1,

在点(0,1)处的切线的斜率为e°+l=2,

切线方程为y-\=2x,即y=2x+\.

曲线y=e^+x在点(0,1)处的切线也是曲线产1n(x+1)+a的切线，

设曲线尸h】(x+l)+。的切点的横坐标为向,可得切线的斜率为;=2,可得沏二=，

,XO+12

将松=§代入产2什1,可得切点坐标为(一/0),

又切点在曲线y=ln(x+l)+a上，所以0=ln(-卷+1)+〃,解得a=\n2.

解法二(切线重合)：由曲线)，=e'+x,可得y'=ev+1,

在点(0,1)处切线的斜率为e°+l=2,

切线方程为y-l=2t,即y=2x+\.

设切线与曲线＞=ln(x+1)+a相切的切点为Uo,ln(Ao+l)+fl),

由两由线有公切线得y,.二2,解得Xo=-则切点为(一号,ln：+a),

切线方程为产2(x4-+In|+t?=2j+1+67-1n2,

根据丙切线重合，得a-ln2=0,解得a=In2.

I思维升华，

公切线问题的求解方法

(1)求两条曲线的公切线，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线

与直线相切，列出关系式求解.

(2)公切线条数的判断问题可转化为方程根个数的求解问题.

【跟踪训练3](1)已知直线y=kx+b既是曲线产Inx的切线，也是曲线尸-In(-x)的切线,则iA)

A..k=-b=0B.^=l,b=0

ef

C.k=-,b=-1D.^=1,b=-\

e

解析设直线与曲线尸Inx的切点为(笛,hixi)且即＞0,

与曲线y=-\n(-x)的切点为(12,-In(%))且工2＜0,

又(Inx)—,[-ln(-x)]

XX

故曲线y=\nx在点(xi,hixi)处的胡线方程为y-lnx\=—(x-xi),即y=—+lnx\-l,曲线y=-\n(-x)在点(M-In(-X2))

xixi

处的切线方程为y+\n(-%2)=--(x-X2),即广，■+1-In(及)，

JX2,必

1

则卜1一X，

llnx1-1=1—lll(—X2)>

解噬二

故k=—=b=\nX]-1=O,故选A.

.qe

⑵曲线f(x)=2y与g(x)=2+lnx的公切线方程为0.

解析设曲线/(x)=2\[x上的切点为A(xi,2后■)(xi>0)，曲线g(A)=2+lnx上的切点为B(x2,2+1nx2)(.r2>0).

因为f(x)二,g，(x)所以公切线的斜率上三=工,所以X2二后.

7XXyjX\"2

公切线的方程为y-(2+lnX2)=—CV-A2),即5=—+In力+1,

*,x2

将(M,2d)代入公切线方程得2a7=—+I11X2+I,

x2

由工2二7^7,得inV^i—i=o.

令h(.V)=lnx-x+1,x>0,贝ijh'(x)=--l,

x

当0<x<l时,l(x)>0；

当x>l时,〃'(x)<0,故函数〃(x)在S.1)上单调递增.在(1.+00)上单调递减.

故A(X)max=/l(l)=0,

所以伍二1,工尸1,故公切线方程为y=x+1,即x-y+1=0.

课时作业

［基础巩固］

一、单项选择题

1.⑵)25•安徽宣城模拟)已知函数/G)的导函数是JG),且满足/W=2VTd)+lnp则/(1)=(D)

A.-cBeC.-2D.2

解析由题意得,.「(X)="⑴40="⑴+x・(一妥)="(1廿,所以/⑴=？⑴-1,解得/⑴=1.所以

X

/(4)="+皿1,则/(1)=2+1111=2.故选D.

2.若曲线产Hnx+/(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是［甥),则。=(B)

A.；B.JC.-D.|

24842

解析由题知,)，'=?+2》22属(当且仅当三=2%时，等号成立)，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是

*所以斜率k?后则百=2而，解得故选B.

L3Z/8

3.(2026•山东聊城月考)曲线产Hnx在E处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(D)

A.4B.3C.lD.1

解析对函数y=x\nx求导得y-lnx+l,故所求切线斜率为^=ln1+1=1,切点坐标为（1,0）,所以曲线y=x\nx

在x=I处的切线方程为.y=x-l，该切线交x轴于点（1,0）,交y轴于点（0,-1）,因此，曲线.y=xlnx在x=l处的切

线与丙坐标轴所围成的三角形的面积为"=点故选D.

4.（2025•广西南宁三模）过点4（1,1）的直线）与曲线月n（.1）+2相切于点B,则|AB|=（B）

A.lB.V2

C.2D.2V2

解析依题意，设3（xi,V）,由尸In31）+2得则yi=ln（xi-l）+2,

x-l

则;=吆金半二,化简得In（不-1）=0,解得乐=2,故3（2,2）,

Xfl%1-1

故/B|=J（2—1）2+（2—I）=VI故选B.

5.（2025•北京市第二中学二模）已知过点A（m0）作曲线产（l-x）e'的切线有且仅有1条,则所（C）

A.-3B.3

C.-3或1D.3或1

解析设切点为（xo,（1-xo）e&）,由三知得＞'=-xe',则切线斜率k=-x（）ex°，切线方程为y-（1-xo）e'J=-Xoex°（x-

xo）,直线过点A（a,0）,则-（1-枇）讲。=一%汜%。•（4-X0）,化简得珞（〃+l）x（）+l=0,因为切线有且仅有1条，所以

A=（a+1）2-4=0,化简得々2+2a-3=0,即（a+3）（a-1）=0,解得a=-3或1,故选C.

6.直线/与曲线产e'+l和广*均相切,则/的斜率为（B）

A.：B.lC.2D.e

2

解析由产e'+l,可得产炉；由产e'1可得上/，设两个切点的坐标分别为（不，铲】+1）和（应铲2+1）,直线/

的斜率k=eXl=eX2+1,故X\=X2+1,即xi所以k=―—―,1=—=1,即直线/的斜率为I.

x2-xlT

二、多项选择题

7.下列求导运算正确的是（AC）

A.若产（x+1）Inx,则y-ln.r+^+1

B（8S'=-sin?

仁仁-2'）'=册2加2

D.（g）号

解析对于A,若｝=（x+l）lnx,则y-lnx+—=Inx+Ll,故A正确；

XX

对于B,（cos款=0,故B错误；

对于C,岛-2）=岛），-2如2=号2%2,故C正确；

对于D,（ln2x）考一故D错误•

8.若函数产/G）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称）可（外具有厂性质.下

列函数中具有了性质的是（AD）

Aj=cosxB.y=lnx

C.y-exD.y-x2

解析由题意，若月G)具有了性质，则存在礼及，使得l.对于A,因为/(x)=・sinx,所以存在

Xi=^,3=三使得/(XI)/(x2)=-1,故A正确；对于B,因为,「(X)=->0,所以不存在Xl,X2,使得/(XI)/(x2)=-1,故

v

B错误；对于C,因为f(x)=e>0,所以不存在为,如使得r(Xi)/(A2)=1,故C错误；对于D,因为/(x)=2v,所

以存在为=1,x2=-\，使得/译)/(X2)=4即X2=1,故D正确.故选AD.

三、填空题

9.(2026•北京西城质检)在平面直角坐标系xOy中，点八在曲线产Inr匕且该曲线在点八处的切线经过点

(-e,-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标为(e,l).

解析设A(〃?,〃)，则曲线)=lnx在点A处的切线方程为y-n=-(x-m).又切线过点(e・1),则〃+1=-加+e).又

n=lnm,解得〃尸e,〃=l.故点A的坐冰为(e,I).

10.若直线，既和曲线G相切，又和曲线C?相切,则称/为曲线C和C2的公切线.己知曲线G：/U)=ev-l和曲

线C2:^(x)=l+inx,请写出曲线G和C2的一条公切线方程:「V洛案不「，戊八

解析设公切线与Ci：/(x)=ev-1相切的切点为(xi,eX1-l),与C2：g(x)=l+lnx相切的切点为｛xi,I+Inx2).

由f(x)=eT,得/(xi)=eX1，则公切线方程为y=eX1(x-xi)+eX1-l,

即y=eX1x+(1-xi)eX1-1；

由gG)得g'3)则公切线方程为(x-X2)+lnX2+1,

XX2%2

万〔_1

即y=—,x+\n工2,所以,小'

Q[(1—/龙5-1=\nx2,

故曲线G和C2的公切线方程为y=x或y=ex-1.

四、解答题

11.已知函数/(x)=-/+x+1,g(x)=e'2K+1.

(1)求曲线y=f(x)过点(1,1)的切线方程；

(2)若曲线何G)在点(1,1)处的切线与曲线产g(x)在尸R)处的切线平行,求i的直

解(1)由导致公式得/(x)=-3/+1,

设切点坐标为(必,州)，切线方程为y-\=k(x-\),

po-1=々(%0-1),

由题意可得(yo=-就+&+L

(k=-3x1+1,

&二1,

解得先=L或

k=-2

从而切线方程为2r+y-3=0或x-4y+3=0.

⑵由(1)可得曲线广/&)在点(1,1)处的切线方程为>=-2v+3,

由g'(x)=-2e/l可得曲线产g(功在户4£R)欠的切线斜率为/⑺=-2e3+1

由题意可得-2e2+J-2,解得《，

此时切点坐标为6,1),故曲线产g(x)在x=：处的切线方程为)，-1=-2卜一3，

即y=-2x+2，符合题意，所以t=-.

12.已知函数/(x)=x-l+S(a£R,e为自然对数的底数).

⑴若曲线9G)在点(1J(1))处