第1节：数与式（含答案）

第01讲：数与式

【考点梳理】

/考点一：乘法公式的应用

/考点二：根式的求值化简

/考点三：指数与指数零的运算

/考点四：数的比较大小和估算

/考点五：数与式的应用问题

【知识梳理】

知识点一、乘法公式

【公式1】平方差公式：。2-6=3+6)3-b)

【公式2】完全平方公式：(4±32=]±2帅+/

【公式3】完全立方公式：(。土公)3=。3±3。2/?+3。从±力3

【公式4](a+b+c)2=a1+b~+c2+lab+2bc+lea(完全平方公式)

【公式5](a+h)(a2-ab+b2)=a3,+Z?3(立方和公式)

【公式6]{a-b)(a2+帅+/)="一方(立方差公式)

知识点二、指数式

(1)当时，an=aa…-a.当〃时，⑴零指数夕°=1(。工0),

⑵负指数=-L(t/^o).

an

⑶分数指数加="(4>(),,〃,〃为正整数).

n

mnnna'mn

事运算法则:(lya.a=。产〃，(2)(十V=(3)«必)”=ab(a,b>0,m,nGZ).⑷彳=a-

知识点三、根式：式子&(aNO)叫做二次根式，其性质如下：

⑴(G=。(心0)(2)证=\a\

(3)Jab=y[a♦\[b(a>0,b>0)⑷(6>0,Z?>0)

如果有炉=a,那么x叫做〃的〃次方根，其中〃为大于1的整数.

当n为奇数时，值=a，当n为偶数时，=\a\=a,a>0

一〃,〃<()•

知识点四、分式：当分式4的分子、分母中至少有一个是分式时，A就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种

BB

方法：

(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质.

【题型归纳】

题型一：乘法公式的应用

1.(2025高一•全国•专题练习)式子可恒等变形为()

A.a3-byB.a2-2ab+b2

C.a'+ab2-a2b-^D./一加+/匕一//

【答案】C

【分析】根据多项式的乘法运算即可.

【详解】(4-6)(/+〃)=/+加,

故选：C.

2.(2025高一•全国・专题练习)式子，^一4工+4+--2可恒等变形为()

A.2x-4B.4-2x

C.|x-2|+x-2D.|x+2|+x—2

【答案】C

【分析】根据二次根式的意义化简即可.

【详解】由完全平方公式知Jf-4文+4+工一2=+工一2=.一2|+二一2.

故选：C

3.(2舁26高一上•全国•课前预习)已知6是方程/+工_1=0的一个根，求代数式(〃?+1)2+(〃叶1)(〃7-1)的值.

【答案】2

【分析】由题意可得病+加=1,再结合完全平方公式、平方差公式计算即可.

【详解】二/77是方程X?+*_1=0的一个根,,-./n2+m-l=0,即〃/+〃2=1,

(/rz+l)"+(m+\)(m-\)=m2+2m+1+nr-1=2nr+2m=2(〃J+〃?)=2.

4.(2舁26高一・上海•假期作业)已知/+1_]=0，求证：*+I)3_(X_[)3=8_6X.

【答案】证明见解析

【分析】证法1:先化简(x+l)3—a—l)3=6f+2,再结合题设求证即可；

证法2：利用立方差公式及题设直接求证即可.

【详解】证法1:。+1)3-。-1)3=丁+3/+3工+1-(1一3/+3]-1)

=父+3/+3x+l-/+3/-3x+l=6x2+2,

由已知得V=l—x，故6f+2=6("x)+2=8-6x,

因此(X+1)3_*_1)3=8_6X

证法2:(xII)。(x1)3=(x+1-x+l)[(x+1)~+(x+l)(x-1)+(x-1)~]=2(x~+2x+1+Y_]+工~_2R+1)_6/+2,

以下同方法一.

题型二：根式的求值化简

5.(2&26高一上•湖北武汉•阶段练习)在可+1("4)，一0北3=()

A.16—nB.冗C.一北D.一兀一8

【答案】C

【分析】由根式和指数的运算法则计算即可.

【详解】玳-际+#(兀—4)4_0.5-=d=4+4-7t-8=-n.

故选：C.

6.(25-26高一上•宁夏银川阶段练习)若—=也—34，则实数。的取值范围为.

【答案1

【分析】根据根式的性质即可判断.

【详解1因为J(3a-1)2=而-3"，即|初一1|二1一3。，所以

解得"g.

故答案为：

7.(25-26高一上•全国•课后作业)计算出1+应)3+&1一应果的值为

【答案】2&

【分析】根据根式的性质化简求值.

【详解】'(1+回+’(1一可=1+及+卜一码=1+忘+&一1=2及.

故答案为：2后

8.(25-26高一上•全国•课前预习)化简下列各式：

T；

(2)4兀_4)?+y(兀_4丫；

(3)批3"3)4心1)；

(4)Vi?+^(1-<7)4.

【答案】(1)-2

⑵。

(3)3-3^

(4)答案见解析

【分析】利用根式的运算性质求解即可.

【详解1(1)4为=-2;

(2)((I)?+而一盯

=|九一4|十九一4

=4-7C+7C-4=0;

(3)((3〃-3)4(E)

=|3«—3|

=3(l-a)=3-3a；

（4）。+《（l—aj

=a+\\-a\,

当.21时，a+\l-c^=a+a-l=2a-\,

当avl时，4+|1—々|=4+1—4=1,

所以当“21时，疗+而工7=2。-1,

当”】时，值+而-力=1.

题型三：指数与指数幕的运算

9.（2异26高一上•全国）设。>0，下列运算中，正确的是（）

A.a2-a3=a6B.（-/）=（-叫~

C'D./

【答案】C

【详解1■中,a2a3=a5；8中,（-河=―/式）丫.0正确；°中，/

10.（25-26高一上•江西赣州开学考试）下列运算正确的是（）

A.a2-cc=a6B.（-2a~）'=-6a”

C.（3«+l）（3fl-l）=9fl2-lD.（2。3一/）+2。=2。-1

【答案】C

【分析】根据题意，由指数幕的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.

【详解1对于A,4./=/，故A错误；

对于B,（-2a2>=_8"，故B错误;

对于C,（3。+1）（3。-1）=9/-1，故C正确；

对于D.（2〃/2）+2〃=I2"一"）"2」，故D错误；

2a2

故选：C

11.（25-26高一上•河北张家口•阶段练习）回答下面两个题：

54/3」！、

⑴化简:6。34+--a3b3；

(2)若x+.—=9，求下列各式的值：

①:②£人I人4

【答案1(1)-10^

⑵①79;(2)41

【分析】(1)根据分数指数零的运算公式，即可求解；

(2)利用平方关系，根据分数指数器的运算公式，即可求解.

【详解】(1)6岳打二庐;=70/〃

(5)V3/

(2)(i)(x+x=x2+.r-2+2=81,所以x2+x~2=79；

(i.iV,,

②x2+x2=x+x~l+2=\\,且白+£5>0，

所以％+

12.(25-26高一•上海•课堂例题)(1)已知1+■=6,求x-x-的值；

(2)已知)，《，求手幸-半邛的值.

23yjx-yjy

【答案】(1)±6；(2)4卡

【分析】(1)对已知式子两边平方求出x+.N的值，再利用配方法可得答案；

(2)对所求的式子通分化简可得答案.

(\_」丫

【详解】(1)因为/+/=工+/+2=5,

/2-1V1)

所以x+x--2=l,即=1,解得.一fi=±i，

X/

可得/—42)05+X2)=1_/=±石.

(9、G+6.1&心-(*6丫

4x-y[yyfx+Jy(6-⑻(五+⑹

二巫

"一丫1_1

23

题型四：数的比较大小和估算

13.（25-26高一上•全国•课前预习）比较2,石，厉的大小，正确的是（）

A.近<2<逐B.2<厉<石

C.2<逐<5D.y/5<^/l<2

【答案】A

【分析】将2进行适当的变形即可比较大小.

【详解】•・・2=〃<石,.\2<>/5；

.近<册=2，:即<2、：即<2<旧.

故选：A.

14.（25-26高一上•全国•课前预习）7丙，2x/506,45三个数的大小关系是（）

A.7>/44<2^/506<45B.2^/506<45<7744

C.7x/44<45<27506D.45<2x/506<7x/44

【答案】B

【分析】由根式的运算比较可得.

【详解】7H=12156,45=j2025,2x/^=J2O24,

J2024vJ2025v,2156,

>/2024<45<7x/44,

故选：B.

15.（25-26高一上•重庆•开学考试）怙计x6的值应在（）

A.8和9之间B.9和10之间

C.10和11之间D.1和12之间

【答案】B

【分析】算式化简后得2+2后,由后的范围，确定算式值的范围.

【详解】［《+2石x75=2+2715,

由弓<15<16，有Jv厉<4,则7<2/<8,得9<2+2后<1。，

所以((|+2行)'6的值应在9和10之间.

故选：B

16.(25-26高一上•重庆・开学考试)怙计G(疵+佝的值在()

A.9和10之间B.10和11之间

C.11和12之间D.12和13之间

【答案】B

【分析】根据二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法解答即可得.

【详解】>/3(x/i2+V6)=x/36+718=6+372,

-.16<18<25,.\4<3>/2<5,

.二4+6<3及+6V5+6，即10<3立+6<11,

+的值在10和11之间.

故选：B.

题型五：数与式的应用问题

17.(25-26高一上•四川成都)计算：

(1)x/32-2Vl2+x/27->/8

(2)2巫乂#4■亚

⑶便+2&)(疗-2夜)

(4)X/3X(>/6-V2)-(2V2-1)2

【答案】；

⑵卡；

⑶-5；

(4)7>/2->/6-9.

【分析】(1)先化简,再加减即可；

(2)先化简然后根据二次根式的乘法、除法法则运算；

(3)利用平方差公式计算：

(4)利用乘法公式展开，然后化简合并即可.

【详解】(1)原式=4夜-46+36-2及=20-6

(2)JM^=4>/3X—-r>/2=4V3x—X—=］夜

4422

(3)原式=(6)2-(2&)2=3-8=—5

(4)N/3X(V6-V2)-(2>/2-1)2=718->/6-8+4>/2-1

=3&-后-9+4加

=7x/2-^-9

18.(25-26高一上•贵州遵义阶段练习)(1)已知x>l,X2+4=H,求x-』的值；

XX

(2)已知。2十〃2十=14,a+h+c=6,求aA+bc+ac的值.

(3)已知a-b=应+l,b-c=&-T,求1+Z?2+c2—ab—ac—be

【答案】(1)3;(2)11;(3)7

【分析】(1)借助完全平方公式计算即可；

(2)将〃+0+c=6两边同时平方即可求；

(3)由题意求出a-c=2&,将三式分别平方相加即可求.

【详解】(1)因为f+!=ll,

x

所以=X2-2+^=\\-2=9,

\X)x-

又x>l,所以0」<1,所以工-’>0,

XX

所以」=3.

X

(2)将。+"。=6两边同时平方得，+Z>2+c2+2ab+2ab+2^c=36,

因为/+Z?2+/=14,所以2ab+2ab+2bc=22,所以必+〃c+ac=11;

(3)因为4一力=JI+1,力一c=,

所以(4叫+他―。=4"=&+1+(&-1)=2及，

所以(〃一人)2=。2—2aZ?+b2=3+2夜，①

(b-c)1=b2-2bc+c2=3-2y/2,②

(a-c)2=a2-2«c+c2=8,③

①+②+③得2/+2b2+2c2-2,心一2加•一2ac=3—2及+8+3+2拉=14,

所以/+/+c2-ab-ac-bc=l.

19.(25-26高一上•福建泉州•开学考试)配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过

恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的

意义来解决一些问题.我们定义：一个整数能表示成/+〃(&匕是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例如，

5是“完美数”，理由：因为5=2?+产，所以5是“完美数”.

解决问题

(1)已知29是“完美数”，请将它写成b是正整数)的形式；

(2)若Y-6%+13可配方成"一〃?)2+/(/77、0为正整数)，贝1］切〃=;

探究问题

(3)已知S=f+4y2+4x-12)，+k(Ky是整数，4是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个4值，并

说明理由.

【答案】(1)29=22+52;(2)6;(3)13,理由见解析.

【分析】(1)根据完美数的定义即可求解；

(2)根据配方法的相关知识即可求解；

(3)根据配方法以及完美数的定义即可求解.

【详解1(1)29=4+25=2?+5?,

故答案为：29=2?+5?；

(2)A2-6x+13

=/-6X+9+4

=(X-3)2+4,

tn=3,〃=2,

.•.〃?”=3x2=6;

故答案为：6:

(3)5=x2+4/+4x-l2y+A

=x2+4x+4+4y2-\2y+9+k-\3

=(x+2)2+(2y-3)2+k-\3

•.S是“完美数”，x+2,2)，-3也是整数,

.乂可以取13.

20.(25-26高一上•江西南昌•开学考试)阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式

以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：xy+y3=(x+y)(x2-xy^y2)；

立方差公式：丁一V=(不一y)(*2+个+y2)

根据材料和已学知识解决下列问题

(1)因式分解：，-8；

(/+九+419

⑵先化简，再求值：，其中x=3.

〈X-LXX-oyX—4

(3)利用材料因式分解：F+3V-4

【答案】⑴(a-2乂标+2々+4)

(2)x+2,5

⑶(X-1)(X+2)2

【分析】(1)利用题干中的立方差公式求解即可；

(2)对式子化简求解即可；

(3)利用题干中的立方差公式因式分解即可.

【详解】(1)原式2乂/+2。+4).

3xx2+2x+4(X+2)(I)

(2)原式=

x(x-2)(x-2)(x2+2J+4)2

(A____1]-2)=2(x+2)(x-2)=上

<x-2x-2)2x-22

当x=3时,原式=5.

(3)(x3-l)+3(x2-1)=(JT-1)(X24-A+1)+3(X2-1)=(X-1)(.V+2)2.

【专题突破】

一、单选题

1.（25-26高一上•全国•课前预习）下列结论正确的是（）

A.-J(-6)~=—6B.(-6)2=9

C.J(二16)£=±16

【答案】A

【分析】根据二次根式的运算规则逐项判断可得答案.

【详解】对于A选项：一而分=-屈=-6，故A正确；

对于B选项：（-石『=（百丫=3，故B错误；

对于C选项：7（-16）2=7256=16，故C错误；

对于D选项：+居事=嗤，故D错误.

故选:A.

2.（25-26高一上•全国•课前预习）一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是（

A.a+1B.+1C.J。2+1D.1a+1

【答案】B

【分析】先根据已知自然数的算术平方根求出自然数，再求与它相邻的下一个自然数.

【详解】因为一个自然数的算术平方艰为〃，所以这个自然数是/.

所以和这个自然数相邻的下一个自然数为〃+1.

故选：B.

3.（25-26高一上•全国•课前预习）下列运算：其中结果正确的个数为（）

①a*2*-o1=a6②卜/)=。6

（3）（ab）'=a'b'④/+/=a

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据指数幕的运算法则逐项判断可得答案.

【详解1①/才=。5,①错误；

②=/x2=。6,②正确；

③（而）'=。方’，③正确；

④a5+a，="§=a"=1wa,④错误.

故选：B.

4.（25-26高一上全国课前预习）如图所示，数轴上表示2,行的对应点分别为C,8,点C是49的中点，则

点/表示的数是（）

ACB

■o~~

A.-75B.2-石C.4-&D.>/5-2

【答案】C

【分析】首先可以求出线段BC的长度，然后利用中点的性质即可解答.

【详解】由题意知AC=8C=石一2,

因为数轴上右边的数总比左边的数大，

所以点力表示的数是2-（x/5-2）=4-石.

故选：C.

5.（25-26高一上•全国•课前预习）若如+1的值在两个整数3与。+1之间，贝1］。=（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】由根式的运算结合题意可得.

【详解17i6<7i9<x/25，故4<如<5，所以5<何+1<6,

所以4=5

故选:B.

6.（25-26高一•上海•假期作业）若尸+）,2+z2=4,x+），+z=2&，贝ij不，+忘+广=（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据整式乘除的运算律，对代数式进行平方，整体代入求代数式的值.

【详解】由题意得（x+y+z『=（2五『，化简得f+y2+z2+2w+2yz+2xz=8,

因为.d+V+z?=4，代入得4+2司y+2*+2xz=8，解得肛+xz+y:=2.

故选：B.

7・（2。25高一全国专题练习）计算上+木+短+L的值为（）

491471294

•200'100'200•200

【答案】A

【分析】根据题意利用裂项相消法运算求解即可.

If11、

5血一就

8.（2025高一•全国•专题练习）式子\+—j可恒等变形为（）

A12c12C21c1I

A.――xB.-+AC.x--D.—7-1

x*厂x~x

【答案】A

【分析】根据平方差公式变形即可.

【详解］&+；］七-*）=±_*2,

故选：A.

9.（25-26高一上•安徽芜湖•自主招生）设同表示不超过石的最大整数，如［可=3,L-1.2J=-2，则

I1l+.8+4国=().

VI6-6V7JL」

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】通过将原式进行化简，然后根据题意求出每个部分的最大整数，最后求和即是答案.

]_113+V7

【详解1因[16.6币#一⑺*3-V72,2<77<3,

所以全亨<3‘于是J]:3+42

）16-6⑸L2_

又"8+46=，（而+夜）,="+&，2.4<76<2.5,1.4<>/2<1.5,

所以3.8<指+&<4,于是应+4间=[#+&]=3,

因此原式=2+3=5.

故选：A.

二、多选题

9.（23>24高一上•湖南岳阳•开学考试）在数轴上和有理数。，b,。对应的点的位置如图示，下列四个结论正确的

是（）

--a»-•---1_•h♦c।-->

-101x

A.a2-2«-3>0B.\a-b\+\b-（]=\a-c]

C.（a+〃）S+c）（4+c）>0D.cr>|Z?c-l|

【答案】ABCD

【分析】根据各有理数在数轴上的位置，判断出各数的范围，结合各选项一一判断，即可得答案.

【详解1由数轴可得,0<b<c<\,

,\«+1<0,。一3<0,

.•.片一2"3=（。-3）（。+1）>0，故A正确；

\a-b<0,b-c<0,a-c<0,

b-(\=b-a-\-c-b=c-a,

；\a-t\^\b-(\=\a-(\,故B正确:

：.a+b<0,b+c>0,c+t7<0,

.•.(a+3伍+c)(c+a)>0,故C正确;

♦.0<从<1,

/.-I<Z%?-1<0,

加」i],故D正确；

故选:ABCD.

11、（23-24高一上河南浮河阶段练习）已知十”6=3,下列名式中正确的是（）

A."6+6尸6=7B./6+〃-3*=]8

C4-坐公D/中+—^==2石

u«2+a2=V5u,0-2/

【答案】ABCD

【分析】利用完全平方，立方和展开式，指数运算计算得出结果.

【详解】A：/6+826=(46+,心）2-2，百+赤=9-2=7，故A正确；

B:/«+,不赤=(a-+a")(a-2百一1房。+//）=3乂（7_|）=]8，故B正确；

追_在/立_立丫r

忑+/+2.当=>/3+2=>/5，故C正确；

C：a2+a2=Ia2+a2=Na~

D-a"4a"+——一］1—

D•a"

-2百—I

=a.…5

a2'5-a2

3百3赤

=a^~+a~

=42+。22

=75x(3-1)=275，故D正确；

故选:ABCD.

12.（22-23高一上•江苏宿迁开学考试）下列运算中，正确的有（

A.0.2TxB.24+24=25

C.-(-3)2=9xl02022=-10

【答案】BD

【分析】根据实数的混合运算、同底数幕的乘法、幕的乘方与积的乘方、负整数指数累，

先对各选项进行计算，再进行判断即可.

对于B,24+24=16+16=32=25,故B正确；

对于C,一(一3)2=-9，故C错误；

(1A2021/1A202,

对于D,原式=--xl02O2,xl0=xIOxl0=_lxl0=_|0,故D正确.

IiojI10J

故选：BD.

13.(23-24高一上•湖北孝感开学考试)下列选项正确的有()

A.已知f-2x+l=0,贝ij代数式+工(工一4)+(工一2)(工+2)=0.

B.已知3x+l=0,贝JIJ+4—3=15.

C.若a=（x+20,b=^x+19,c=^x+2\,贝1]42+6+。2一々〃一6。一4=3.

D.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2Y-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是

9.

【答案】BC

【分析】求出x值并代入计算判断A;求出.r+，，变形计算判断B;求出。S-GC-",变形代入计算判断C;

x

利用韦达定理计算判断作答.

【详解】对于A,由f_2x+l=0,得x=l,则(x-l)-+x(x-4)+(x-2)(x+2)=-6,A错误；

对于B,由f-3x+l=0,得工+,=3,则V+[-3=(x+，)‘一3(x+1)-3=3'-3x3-3=15,B正确；

xXXX

对于C,依题意,a-b=Kb-c=-2,c-a=\,贝ij十〃十/一一尻,一白。

=^[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=^(\+22+\)=3,C正确；

rn+7/=4

对于D,令直角三角形的二直角边长分别为利〃，依题意，7,

mn=—

2

所以该直角三角形斜边长为加2+〃2=+〃)2一2加?=7^7=3,D错误.

故选：BC

14.(23-24高一上・江苏泰州•开学考试)在实数范围内定义一种运算'*"，其运算法则为=/一力根据这个法则，

下列结论中正确的是().

A.&*3=2-3夜

B.St/2+2ab+b2=0,贝

C.方程(x+2)*(x+l)=0的根是芭=-2,x2=0

D.若m,/?是实数，则"*〃+〃*m=(m-n)2

【答案】ABD

【分析】根据新定义运算一一分析即可.

【详解1对A,8小3=(&)=3五=2-3无，故A正确；

对B,a'+2ab+b=(a+b)2=0,贝=,

贝i[a*b=-ab=(-A)?—ba=匕’-ba=b*a,故B正确;

对C,(x+2)*(x+l)=0,gp(x+2)2-(x+2)(x+l)=0,

即x+2=0,解得x=—2，故C错误；

对D,〃?*〃+n*m=nr-mn+n2-mn=(m-n)~,故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

15.(25-26高一上•全国•课前预习)计算后+(密+白

155/5-15>/3

【答案】

2

【分析】根据二次根式的混合运算，先对括号内的式子进行通分,再将除法转化为乘法进行计算.

【详解1拒心+奸历♦然^

9焉

而（石-石）

（而础/叫

15（弁一⑹

=-5^3-

_1575-1573

=.

2

故答案为：'述s

2

16.（25-26高一上全国课前预习）满足夜―<石的整数x是.

【答案】2

【分析】由题意直接运算可得.

【详解】42<x<6且x是整数，

所以x=〃=2.

故答案为：2.

17.（25-26高一上•全国•课前预习）计算：小卜点(同一(后

.(3&+3)+

(V3-V2)0

【答案】4

【分析】根据根式的运算、零指数幕的概念以及平方差公式进行化简计算.

(5)4一(企尸

(x/3-x/2)°

=臂、3(&+1)+5

=(l-x/2)x(V2+l)+5

=1-2+5

=4

故答案为：4.

18.(2025高一•全国・专题练习)化简：忏归L

【答案】

【分析】分母有理化，分子、分母同乘，?运算即可.

G_J〃一1(y/nn-2dn(n-\)+n-\r—-------

【详解】由题意可得：7：¥)「\L)-f=^=-丫、——=2n-2^n(n-\)-\.

V/i+Vw-1(4n+y/n-lj[4n-4n-\)〃一(〃一1)丫

故答案为：2fl-23小-1)-1.

19.(2025高一•全国•专题练习)已知。+〃+。=4,/+从+/=8，则M+A+g的值为.

【答案】4

【分析】根据的多项式的除法结合整体思想计算即可.

【详解】易知(。+力+。)~=/+〃+c2+2(aZ?+ac+bc)=16,

所以ab+bc+ca=——-=4.

2

故答案为：4

20.(25-26高一•上海•假期作业)观察下列各式的规律：

(a-b)(a+b)=a2-b2

(a-b)^a2+ab+b2>j=a3-1/

(a-与(/+a2b+ab2+by^=ci4-b4

可得到①一与+协~+〃")=.(其中〃为正整数).

【答案】an+i-//+,

【分析】通过观察给出的三个等式，总结规律求解即可.

【详解】通过观察给出的三个等式，发现等式左边是m-与乘以一人由〃的降幕和。的升幕排列组成的多项式，

等式右边是〃的更高次累减去b的更高次幕，且次数比等式左边最高次多1,

则(a-b)[a"+an-'b++cibn-x+b")=an+}-b,,+i,

故答案为：le.

四、解答题

21.(25-26高一上•全国•课前预习)(1)已知"一"一6从=0(々，0力工0),求2+/的值

ab

(2)已知"+9/-勿+60+2=0,求2。一3〃的值.

【答案】(1)答案见解析;(2)3

【分析】(1)利用因式分解法用人表示〃，再代入计算得解.

(2)利用配方法，结合恒等式求出凡方即可.

【详解】(1)由/一时—6〃2=(),得5一3勿(〃+%)=0,解得4=36或〃=—3,

、i,bah3b1*_1

当〃=%时,—4--=—+—=—+3=3—

,ab3bb33

bab-2bI__1

当.=时，i=i=2=2

ab-2bb22,

(2)由/+9Z??—2〃+6/?+2=0，得-2。+1)+(9〃+6〃+1)=(),

即(4—l)2+(3b+l)2=0,解得4=1,b=-1,

所以2a-3/?=2xl-3(-g)=2+l=3.

22.(25-26高一上•全国•课前预习)计算：

(1)(V2-1)2+2>/2(X/3-^)(>/3+>/2);

."TAT后卜-2病.

【答案】(1)3

(2)8

【分析】根据根式的运算法则进行化简计算即可.

【详解I(1)原式=2-2夜+I+2无(3-2)=3-2四+2夜=3.

(2)原式=-2(标)2+gx2^p7+qx2V^7=—12+2+18=8.

23.(25-26高一•上海•假期作业)已知a+0+c=0,〃0+〃c+E=-g,求下列各式的值：

(1)a2+b2+c2；

【答案】(1)1

【分析】(1)(2)分析题设条件与所求式子之间的联系，结合完全平方公式求解即可.

【详解】(1)由(〃+人+。)2=+2aZ>+2〃c、+2c”=0,

则/+6+02一1=0,即/+〃+。2=1.

(2)由4力+6c+ca=-g，得a2b2+b2c2+c2a2+2abe(a+/?+c)=(.

因为a+Z?+c=0，所以///+〃，=」，

4

由(1)知，。2+〃+。2=1,

贝11/+/+/+2。％2+2从62+2/。2=1,即/+/+c4+g=i,

因此I/I1=；

24.(25-26高一•上海•假期作业)已知a,〃,c为非零实数，(片+尸+c2X/+)3+z2)=3+Z>y+cz『，求证：

—x=—y=—z

abc

【答案】证明见解析

【分析】根据题设条件，利用完全平方公式化解求证即可.

22222

［详解］由已知得+/),2+/Z2+/?2彳2+/),2+852+CX+C/+CZ

=a2x2+b2y2+c2z2+labxy+2acxz+Ibeyz,

则a2y2+a2z2+b2x2+b2z2+c2x2+c2z2=2abxy+2acxz+2bcyz,

HP(bx-ay)2+(cy-bz)2+(az-cx)2=0.

因为(力比一ay)2>0,(cy-bz)2>0,(az-c.r)'>0,

bx=ay

i°Cx>z

所以\cy=bz,即一=/=—.

abc

az=ex

25.(25-26高一上•四川成都・开学考试)何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解

答过程的例题.

例：若〃P+2〃"?+2/-6〃+9=0,求/77和"的值.

解：..用2+2〃?〃+2〃2-6"+9=0,

二.+linn+n2+n2-6/1+9=0.

.•.(/〃+〃)2+(〃-3>=0

...〃？+〃=0,〃-3=0,所以〃i=-3,〃=3.

为什么要对21进行了拆项呢？

聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请

写出你的解题过程..

解决问题：

(1)若/一4孙+5丁+2y+l=0,求/的值；

(2)已知a、b、C是VA8C的三边长，满足"+〃=10a+l2b-61,C是VA8C中最短边的边长，且c为整数，那么

c可能是哪几个数？

【答案I⑴-；

(2)2,3,4

【分析】(1)已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出片的值；

(2)由/+从=]0。+]»-61,得3,白的值.进一步根据三角形一边边长大于另两边之差，小于它们之和，贝ij

b-a<c<a+b,即可得到答案.

【详解】(1)因为一一4冷，+5)，2+2y-l=。，贝1]/一4冷，+4y2+y2+2y+l=0,

可得(