2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷02【测试范围：人教A版选择性必修第二册和选择性必修第三册】（全解全析）

高二数学下学期第三次月考卷02（全国通用）

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如雷改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版选择性必修第二册和选择性必修第三册全部。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.（X-；）的展开式中V的系数为（）

5

D.

4

【答案】D

【详解】（X—g）5的展开式中含/的项为C%2（—g）3=—（x2,

所以所求系数为-3

2.一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记”第一次取

到红球”为事件上“第二次取到白球”为事件反则尸（别力）=（）

2।34

A.§B.-C.-D.-

【答案】B

p1-1A1A1"I

【详解】依题意得产（4）=旨=>P（48）=卡=市，

3

H明-1

-10---

P⑷32

5一

1/15

3.数列「骂「

A.

【答案】D

【分析】对数列的前几项变形，找出规律，从而写出数列的一个通项公式.

【详解】数列遮」「遮

2244

所以数列的一个通项公式勺=T

4.设/'(X)是/⑴的导函数，已知〃x)=2/'⑴x-W+inx+i,则/⑴二()

3

A.vB.1C.-D.2

22

【答案】D

【详解】由已知，/(x)=2,r(l)x-x2+lnx+l=>.r(x)=2,r(l)-2^+-=>.r(1)=2/，(l)-2+l

X

zz>f(l)=l=>/(x)=2x-j2+In.¥+!=>/(!)=2-1+0+1=2.

5.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能

是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有()种.

A.144B.288C.480D.672

【答案】B

【详解】先排4个歌舞节目，有A：种排法，排好后会产生5个空位(包括两端)，

然后将2个机器人表演节目插入除第一个以外的空位，有A；种排法，

所以满足条件的排法有=24x12=288种.

6.已知公比为整数的等比数列｛q｝的前〃项和为J，且4+%+%=4(,+,+,]=7,则()

A.55=15B.=«7-3

ny

C.邑=2/+1D.Sn-an=2--\

【答案】D

2/15

【详解】设｛（｝的公比为以由%+。2+%=4（,+,+_1］得（1+2）=也?D,所以

16的qj17aq

。2=qq=±2.

当%=2时，4+/=5,4%=4,解得％=1,%=4或%=4,%=1.

又q是整数，所以q=lM”=2j

当出=一2时，4+%=9M%=4,解得《=三弊，此时9号不是整数，

1_

所以〃“=2"7,£=----=2"-1同=31,56=63,%-3=61,A,B错误；

1—2

2%+1=2"+1——i=2i-l,所以C错误，D正确.

7.已知甲、乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩乙班成绩

入N仇。?2），其密度曲线如图所示，则有（）

A.从〈人且。|<%

B.从且5>巴

C.尸（*470）=。（丫275）

D.?（y>75）>?（7>75）

【答案】C

【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值〃：且。越大，曲线越矮胖，。越小曲线越瘦

高

从图中可知：X的对称轴为x=?0,丫的对称轴为“=”，因此4=70V〃2=75；X曲线更矮胖，因此

2>%，故选项A、B错误；

由正态分布的对称性:P（X<^）=P（X<70）=0.5tP（y>/z2）=P（r^75）=0.5,c正确;

3/15

P.：y>75)=0,5,而从=70<75,所以尸(X275)<0.5,因此P(X)75)〈尸(丫275),D错误

8.己知函数/W=ex-〃lnx-l在［1,2］存在单调递增区间，则实数。的取值范围为()

A.(-=c,2e2)B.~,c)

C.(-8,2C1D.(一8,e］

【答案】A

【详解】考虑问题的否定，函数/(x)=ex-“lnx-l在［1,2］上不存在单调递增区间，

则对于Vx«l,2］,r(x)=e'-N&0恒成立，

X

分离参数得a2xer在［1,2］上恒成立，则。>(*).

'/IllHX

令A(x)=xex,求导得//(x)=e'+xe'=e'(l+x),

f

当h(x)>0fM%)单调递增，

所以“力2=2«2,所以22e?

所以原命题成立的条件为a<2/

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.(新背景)下列命题中正确的是()

A.决定系数正越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好

B.若回归方程为y=-0.45x+0.6,则变量y与x成负相关

C.某校高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从N(1705),随机选择一名该校高三年级的男生，则

尸(175<、<180)=0.2718(若犬~人［〃,02),则尸(〃一bEX0〃+b)乏0.6827,

-2。4X£〃+2。卜0.9545)

D.样本相关系数，•的取值范围为［TJ,1/1刻画了样本点集中于某条直线的程度，当，=0时，只表明

成对样本数据间没有线性相关关系

【答案】ABD

4/15

E(x-y)2-yr

【详解】决定系数R2=i-T-----------越大，对应分式T--------越小，分母为定值(对已知数据而言，与

X3一歹了

1-1f-l

经验回归方程无关)，则分子残差平方和£(乂-夕)2越小，模型拟合效果越好，故A正确；

/-I

由回归方程y=-0.45x+0.6可知，两个变量呈现线性相关，且随着x的增大，)，减小，所以变量y与x成负

相关.所以B正确：

因为学生身高近似服从正态分布"(170,5?),故均值为4=170,标准差为。=5,而范围175Vx<180在均

值170的右侧距离。到2b之间的区间，所以根据正态分布对称性可知：

P(175<X<l80)=；[/>(〃-2bWXW〃+2b)-P(〃—bVX4〃+o)],所以可得

P(175<Y<180)=；(0.9545-0.6827)=0.1359,故C错误；

样本相关系数，的取值范围为[fl],m刻画了样本点集中于某条交线的程度(线性相关性)，当/•=()时，只

表明成对样本数据间没有线性相美关系，但是不排除其他相关关系，故D正确.

10.已知数列｛q｝的前〃项和为2,且S,,=/+〃，则()

A.数列｛4｝是等差数列

B.2s2“=5”+凡

C.数列的前〃项的和为电

1〃J22

1।

D.的前〃项的和小于7

【答案】ACD

【详解】对于A：根据题意，q=S=2,当,时，q,=S“-=n2++(〃-1)]=2〃,

所以｛%｝满足所以数列｛%｝是等差数列，正确：

显然工不正确；

对于B：2s2“=8〃2+4”,S“+S3„+〃+9〃2+3〃=10/r+4〃,2s2”5,+$”，

V

对于C：因为S.=〃2+〃，所以：L=〃+l,所以其前〃项的和为〃(2+〃讨)="+也.正确；

222

对于D：因为。”一2〃，所以=(4

々M+：2〃x2(〃+l)4(〃n-\-\)

所以的刖〃项的和为1+xf1+，,，+~

正确•

%川4(2)4U3J4卜？/74-1)4(n+\)4

5/15

3

11.已知函数/(x)=hiv-av,直线/：N=-sx+ln2,则下列说法正确的是()

A.若/(x)的极大值点为1,则”=1

B.若/(x)=-2在定义域上有唯一解，则把0

C.当。=2时，曲线产彳(x)恒在直线/的下方

D.若点P是曲线片f(x)上任意一点，点。是直线/上任意一点.设点P,。间的距离为d,则当。=2

时，d的最小值为也

13

【答案】ACD

【详解】v/(x)=lnx-ax,，/卜)的定义域为(0,+8)

，/、1l-ax

(x)=——a=----

XX

对于A,•••/(》)的极大值点为1,⑴=0,即1一4=0,解得0=1

当。=1时,//(x)=——

・•・当0c<l时，/(X)单调递增；当X>1时，/'(x)<0,/(X)单调递减

.「=1是/")的极大值点，故A选项正确.

对于B,由/(力=-2可得Inx—ax=—2,可求得〃匚E

x

设名(力=叵匕，则:k(lnx+2)-nx-2-lnx-1

x旦(X)=P=.r=~

令g'(x)=0,则一Inx-1=0,解得x二,

e

当0<x<：时，g'(x)>0,g(x)单调递增：当时，g'(x)<0,g(x)单调递减

•,收(力在工二:处取得极大值，也是最大值，g(J=e

当时，g(x)-e；当XTXO时，g(x)->0

.•.当/(x)=-2在定义域上有唯一解时，。=e或。《0,故选项B错误.

对于C,当〃=2时，f(x)=\nx-2x

设/?(K)=/(x)-|--A+ln21=lnx-2x-|--x+In2=Inx--x-ln2

6/15

则小)」12-x

X2~~27

令〃(x)=0,解得x=2

f

当0<xv2时，h\x)>Ot单调递增；当x>2时，//(x)<0,A(x)单调递减

.•・当力(工)在x=2处取得极大值，也是最大值，A(2)=ln2-l-ln2=-l<0

/./?(x)<//(2)<0,即一(一■1x+ln2)<0

/./(x)<-gx+ln2

••・曲线y=/(x)恒在直线/的下方，故选项c正确.

对于D,当a=2时,f(x)=lnx-2x,则八,，一2

33

直线八y=—：r+ln2的余斗率为一g

313

令「(力=_；,即__2=-7,解得》=2

2x2

当x=2时，/(2)=ln2-4,则曲线y=/'(')在点(2,ln2-4)处的切线与直线/平行

・•・直线/:y=-'|x+ln2,...直线/:3x+2y-21n2=0,

/、|3x2+21n2-8-21n2|22屈

贝I」点(21n2-4)至IJ直线/的距离d=J--------------------------[==曾

V3"+2"VI313

・•・d的最小值为名叵，故选项D正确.

13

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在数列｛叫中，a,=1,且(〃+2)a»产〃％,则它的前30项和$3。=.

【答案】|y

【分析】将递推关系进行变形，通过累乘法推导出通项公式，再利用裂项相消法求和即可.

【详解】因为(〃+2)%=〃％,则可以变形为：T二噩，

n

a.a.a1123n-\I11

所以〃22时，------------=T--T,T-------=/-------77,

aja212345〃+ln(n+\)n〃+l

又“卜总所以(41

n+\

7/15

所以«S,Q=(1)+(---)+••，+(------)=1----=.

3022330313131

13.(新考法)《九章算术》是中国古代数学的经典著作，其中“方程章”主要研究线性方程组问题，其核心思

想与现代线性代数中的矩阵初等变换有异曲同工之妙.现有问题：三人共募捐100文钱，已知每个人捐钱数

量不少于1文且最小单位为1文，则三人捐钱数量的所有情况种数为.

【答案】4851

【详解】问题相当于将100个相同的元素分给3个人，每人至少I个，

只需用隔板法，用2块板将100个元素隔成3份即可，所以共有C1=4851种情况.

14.若关于4的方程(xe1f+(2-a)xe*=2〃仅有一个实数根，则实数。的取值范围为.

【答案】{-e-i}U[0,+8)

【详解】由xb+(2-，可得+(2-a)xe，=2a,

令d则产+(2-a)f-2。=0,即(/+2乂，一。)=0,所以/二一2或

令"x)=xe、，则/'(x)=(x+l)e「，

所以当时/'(x)<0,当x>-l时/。)>0,

所以/(x)在(-吗-1)上单调递减，在(T+功上单调递增，

所以小―I,

当xvO时/(x)<0,当x>0时/(x)>0,且xf-oo时/(x)->0,XT田时/(x)->+a,

则”x)的图象如下所示：

因为关于x的方程/^+(2-〃*=2讹-，仅有一个实数根，

所以/=-2或"〃有且仅有一个实数根，

显然y-2无解，所以1有且仅有一个实数根，

即丁=/(“与y有且仅有一个交点，所以。2()或。=-C-L

8/15

即实数。的取值范围为｛YT｝=[0，+8).

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入,某村办企业研发了一种新手工产品，为确定

合适的定价，统计了不同定价x(元)与网上月销量y(万件)的数据如下:

X1012141618

y87654

(1)求相关系数八并说明其意义;

(2)建立y关于x的线性回归方程;

(3)若月销量不低于5万件可保证盈利，根据I可归方程预测定价最高可定为多少元？(取整数)

(参考数据:£>,=70,£乂=30,X<=1020,£X2=190,为孙.=400)

i=lr=1J=li=li=l

^x^-nx-yf(W-项乂一刃

(参考公式：6---------，'=L--------：--------

疗JZU-T)2Z(Z-V)2

/=IV1=11=1

【答案】⑴-1.000，X与y完全负相关(2)夕=13-0.5x(3)16元

立匕

【详解】(1)

7=-^—=14y=-^—=6"

55

400-5x14x6

=-1.000,

V1020-5X142XV190-5X62

故工与^完全负相关.

400-5x14x6-20…

(2)------------=----=—0.5

1020-5x(14)240

故1=了一(-0.5亍)=6+05x14=13,回归方程为。=13-0.5x.

(3)由题设此时13-0.5x25,故xV16,故定价最高为16元.

16.(15分)已知数列｛4｝的前〃项和为S”，且满足邑=2/-3,2用(〃€1<)

(1)求数列｛%｝；

9/15

(2)设“=”:匕,求数列也｝的前〃项和人

77(/7+1)4

33

【答案】⑴见=(3〃+3)2(2)]；声

【详解】(1)解：由数列｛勺｝的前〃项和为S”，且S“=2%-32”,

当"=1时，可得。1=5]=2〃[-3・2”1,可得。1=12,

当心2时，勺=邑一时=2%—3・2川一(2%—3・2")=2a-

^a-2an.=3-2\可得"_2=3,

1n«-1•।J2列2〃

所以数列佟｝是首项为16,公差为d=3的等差数列,

所以整=6+(〃-l)x3=3〃+3,所以％=(3〃+3)21

(2)解：由(1)知：4=(3〃+3卜2”,

可得力.("2)4_(〃+2)-3(〃+1).2”3(〃+2)=31_______1_

'"71(/1+l)24n+,w(M+l)2-4rt+,〃(〃+1>2"+24W-Z"-'5+l)・2”

所以［=；［(再一立)+(立—/)+…+(〃2"T―(〃+I).2"H

二3I)二33

~4［(n+l)-2n~4(〃+1).22

17.(15分)已知函数/(x)=e、-ln(x+t7)(4wZ).

⑴当a=l时，求曲线尸/⑴在点(O,/(O))处的切线方程;

(2)当a=1时，判断/")的单调性，并求出/(》)的极值;

(3)若/(x)NO,求。的最大值.

【答案】⑴y=1(2)/(力的单调递减区间为(TO),单调递增区间为(0,+8)；x=0时,/(X)取得极小值

/(。)=1

(3)2.

【详解】(1)当a=l时，/(x)=e*—ln(x+l),r(x)=e、—击，

则/(o)=i,/'(o)=o,

所以曲线J，=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=L

10/15

(2)由(1)知/'(x)=e、--+

V7x+\x+1V)

令g(x)=(x+l)e，-l(x>-l),贝ijg[x)=(x+2)e'>0,

所以g(x)在(T+8)上单调递增.

又g(0)=0,所以当x«7,0)时,g(x)<0,即，(工)<0

所以/(力在区间(TO)I二单调递减;

当iw(O,+8)时，g(x)>0,即/'(x)>0,

所以/(x)在区间(0,+8)上单调递增,

所以当x=0时，/⑴取得极小值/(O)=L

(3)/(x)=ev-ln(x+tf)>(),即ln(x+a)恒成立,等价于x+aMe。"恒成立,

即aWedr恒成立.

令p(x)=e。_xj=e",^•<7(z)=e/-lnr(/>O),(y/(/)=e/-y,

易知夕'⑴在“(0,+8)上单调递增，且/(m=e"2<0,q[l)=e-l>0,

使得/(。)=e'。—；=0,即呼=；Jo=In；=-ln/

所以存在0

’0•0’0

当”(O,%)时,q(t)<ot当f«fo，+oo)时,Z(/)>0

所以9(，)在区间(04)上单调递减，，/(1)在区间&,+8)上单调递增，

所以初min=夕&)=e'--lmo=；-1叫=；+《；＜

*0’0\Z)

又『二；+"在上单调递减，所以y=；+卜

(s\，5、

即Mm"2.5,所以P(X)minW2,5,

又因为aeZ,所以。的最大值为2.

18.(17分)某智慈城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点,初始时有2个节点在线(假设在线的不再

宕机)，3个为宕机(停摆，不能正常工作).每个月系统随机等概率地巡查1个节点：若该节点为宕机，则

修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为2(0＜夕＜“；若该节点

11/15

已在线，则仅进行维护.用工表示第〃个月后在线节点数，£（浦）表示其数学期望.

⑴当P=；时，求尸（乂=3）；

（2）证明：E（Xn^=[}-^\E（Xn}+p.

（3）已知每个宕机节点每个月会造成2万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第1个月开始的"个月内

的经济损失的总期望.

<\/t+l-

165-p-51-K

【答案】（1）W（2）证明见解析（3）[I5）（万元）

P

【详解】（1）初始状态X0=2,即2个在线、3个宕机.

2

第1个月选中在线节点的概率为），此时乂=2；

31

选中宕机节点的概率为M，其中修复成功的概率为P=3,此时M=3；

2

修复失败的概率为此时X=2.

所以尸（M=2）=1+H=gP（X,=3）=|xl=l

J口JJJJ

P（Y2=3|%.=2）=|xl=l,P（^2=3|%,=3）=|+|X|=1|.

所以尸（莅=3）=尸（M=2）•尸=3氏=2）+尸（弘=3）.尸（占=3因=3）

41113413251

=­x—I—x—=1=—=—,

555152575753

故当P=；时，P（*2=3）=；.

（2）由题意知A；.的可能取值有2、3、4、5,

所以/>（〃=2）=/（匕=2）猿+|（1_川=。_称卜（兄=2）,

P（心=3）=|+|（l-p）P（X〃=3）+|pP（X.=2）=（l-§）P（X“=3）+当P（X.=2）,

尸（七+i=4）=1+P（X”=4）+“产（X”=3）=（l-£|尸（王=4）+§。（％=3）,

P（X,,「5）=1%1-p）P（X“=5）+；pP（X“=4）=尸（X”=5）+”（X.=4）,

所以E（Zj=2-P（Xz=2）+3-P（Xw=3）+4P（Xz=4）+5-P（X向=5）

12/15

=2+,卜化=2）+（3+明产=3）+（4+身?（尤=4）+5P（X“=5）.

因为尸（3=2）+尸（％=3）+?（乂=4）+?（匕=5）=1,

所以，=〃•[尸（X“=2）+P（X,=3）+P（X“=4）+P（X“=5）],

所以（1-£],（*”）+〃=（1一£|[2尸（匕=2）+3P（Z=3）+4P（X“=4）+5尸（匕=5）]+p

=：2一引P（X。=2）+（3一用Pl：X“=3）+（4—£）P（%=4）+（5—p）P（X.=5）

+p[P（X.=2）+P（X.=3）+P（%=4）+P（X“=5）]

=（2+明P（X.=2）+（3+制Pl"=3）+（4+£|尸（七=4）+5尸（X“=5）,

所以七（七+J=（I-E）E（X.）+P.

⑶因为刈凡与/一雪以七开/兀设以工号+人卜一/田王江为，

\JI〉/

所以E（X,+J+2=（1-幻£（乂）+八/3

所以-§"p,2=-5,E（X,+J-5=（1J）[E（X，，）-5],

所以伊（左）-5｝是以1-（为公比的等比数列，

J

23~|33

E（X0）=2,E（X0）-5=-3,£（X,）=2y+-（l-p）+3x-p=2+-p,

故£（%）-5=*-3=-3口-电，

/、〃-1/、4

所以典人）-5=[＞（吊）-5]0-2=-3f1-fJ'

所以E（X“）=5_3（1_§）

第，，个月的期望宕机节点数的期茎为5-E（X.）=5-=3（1十

每台宕机节点每月损失2万元，故笫〃个月的经济损失的期望为2x3（l-]）”二6（/.

设从第1个月开始的〃个月的经济撮失的总期望为4,

13/15

19.(17分)已知函数/(力=一：八2+x-lnx,aeR.

⑴若曲线尸/⑴在点处的切线与直线V=2x+1平行，求〃的值;

(2)讨论/(X)的单调性；

(3)若〃x)存在两个极值点%/2(%<、2)，且/(X2)-/a)>\-ln2,求。的取值范围.

【答案】(1)—2

(2)当a=0时，函数/(“在(0,1)上单调递减，在(L+8)上单调递增：当a之如寸，函数/(力在(0,*o)上单

调递减；当0<a<；时，函数/5)在(1上单调递增,在(小和

42a2a2a

(上士玉,+oo)上单调递减；当°<0时，函数在(上手亘,一]上单调递增，在(0,上MH9)上单

2a2aJ2a

调递减.

2

⑶。

【详解】(I)由/(•¥)=-；&一十》一Inx求导得r(x)=-"+l-L

ZX

依题意，/'(1)=_〃+1_]=2,解得Q=-2

(2)因函数/(x)=-；&d+x-k戊的定义域为(0,y)，

\.1ax2-x+l

frll(x)=-ax+1——=----------,

xx

当a=0时，f'(x)=--,当0<工<1时，/'(x)<0,当x>l时,//(.¥)>0,

X

即此时函数/(X)在(0,1)上单调递减，在(1，+8)上单调递增；

当。>0时，若a],ar-x+120恒成立，则/'("工。，即函数/(%)在(。,转)上单调递减；

若0<a<：,由ar?-x+1=0解得x=——J——>

42a

由「")>0可得上正逅<工<上正至