高一数学培优课 平面向量中的最值、范围问题

第六章平面向量及其应用

培优课平面向量中的最值、范围问题

课标要求1.进一步掌握平面向量线性运算和数量积的计算方法.2.掌握平面向量

中最值范围问题的解决方法.

一、向量线性运算中的最值、范围

例1如图，在直角梯形ABCQ中，AB//CD,ND45=90。，AD=AB=4fCD=1,

动点尸在边BC上，且满足滔方+/滔力（〃2,〃均为正实数），求的最小值.

AB

解因为在直角梯形A8CO中，AB//CD,NQAB=90。，AO=A8=4,CD=\,

所以疝=/+日）=/一拗，

所以筋=〃*&+〃牯

=mAB+C—^AB\

=命+〃/，

由P,B,C三点共线得,

=：+小（当且仅当3〃2=4汴且m+%=1时，取等号）,

即5+5的最小值为2i普

思维升华利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然

后用基本不等式求最值.

训练1如图所示，A,B,C是圆。上的三点，C。的延长线与船的延长线交于

圆。外点D.^OC=mOA十HOB，则〃/十n的取值范围是________

答案（一1，0）

解析由点。是圆。外一点，可设防=2丽

则历=为+2丽=2①+（1—冷访.

又因为C,。，力三点共线，

令历=一〃沆（/A），

则沅二一一/一---二函%>1,//>!）,

dzaIT

所以机=-],n=——,

）\一%1

则〃2+〃=_j_-^=一】£（一1,0）.

二、向量数量积的最值、范围

例2已知△ABC是边长为a的等边三角形,P为平面ABC内一点，则两.（成+八7）

的最小值是（）

3c

A.~2a92B.一严，

C.—^a2D.—a2

答案B

解析以8C的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系,

则电,乎J,《-5,()),cQm()).

设P(x,y),则成=(一羽中a—J,而=(一%—x,

_y),PC=[^a-xy_y),

所以两+元二（一2羽一2），）,

所以中•（而+无）=—x（—2x）+ay+2)2=源+

6邛a）福.

所以当k0,y=受时，

河.（而+无）取得最小值一v2.

思维升华解决向量数量积的最值问题，一般是把该数量积转化为关于某一自变

量的函数，根据函数的性质以及满足题目条件的自变量的范围，确定函数的值域，

从而得到结论.

训练2在△A3C中，：CA|=|C8|=2,D为AC的中点，则反•访的取值范围是

答案(一1，3)

解析依题意皮•扬=比•(皮+宓)=反2+比•压=皮2一⑦•无=1_

1X2cosZBCD.

又cosN8C0£(—l,1),所以1—1X2COSN8CD=1-2COSN8CQ£(-1,3).

三、向量模的最值、范围

例3已知向量m〃在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长

为1,则|〃一劝|的最小值是（）

A.2

C比

C5

答案D

解析依题意，建立如图所示的坐标系,

贝!1。=(2,1),〜=(2,-1),

a—油=(2—2A,1+A),

\a-Xb\=N(2—27)2+(1+2)2

=^/5A2—6A+5

当且仅当人=弓3时取“=”，

所以|Q—乃|的最小值是挈.

思维升华求向量模的最值（或范围）的方法

利用平面向量数量积的概念和性质，建构关于模长的函数模型，利用三角函数或

二次函数求解模长的最值（或范围）.

训练3已知平面向量圆h的夹角为60°,且|0+"=小，则⑷+|川的最大值为

答案2

解析|°+例=小，两边平方得/+2同W|cos6（）o+从=3,

即标+同・仍|+齐=3,

变形为同•步|=(闷+步|)2—3,

甘山一(同+俗1)2

其中间•俗|W,

当且仅当同=|。|时等号成立，

*“II-LIAIVQV(闷+㈤)2

所以(MI+向)--3^，

解得⑷+|臼£(0,2].

四、向量夹角的最值、范围

例4已知闷=1,向量b满足2历一°|=50,设。与方的夹角为0,则cos。的最小

值为.

答案¥

解析V|«|=1,设4=(1,0),b=(x,y),

•a.b­a=(x—],y),

由2步一0=)。得，2yl(x—1)2+),2=尤

J®]x>0,

・・・4(x—1)2+4)2=/，

3.

4^+2x—l,

・。ab入

.・c°s。—阴一下不

x

X

；f+2x-1

・••当1=1,即％=i时，cos夕取最小值邛W

思维升华将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题，利用函数求最

值或范围.

训练4已知向量G,力满足。=（32吸一/）,步1=1,且（。一协_1_方,则〃，b的夹

角的最小值为（）

答案C

解析因为m—〃）_!_》，所以（〃一加力=0,

即ab=b\

,ab|Z>|2b\1

COS〈〃’b}=丽=|。悯=@=而

1

12户一4的+8’

又因为2尸一4//+8=2[«—也户+2]22[（啦一/y+2]=4,

所以（）<cos（〃，b）W、，

J

所以明b的夹角的最小值为今

【课堂达标】

1.已知向量血=（1,0）,城=（0,2）,MP=tMN,则当|称|取最小值时，实数t

）

AiB3

C2D.l

答案A

解析由存=f而N得丽=丽+K弧一所）,

则称=(1,0)+4(0,2)-(1,O)J=(l-r,2。，\0P\=yj(1-r)2+4^=^5r2-2r+l

则当，=!时，I舁I有最小值.

JJ

2.在矩形ABCQ中，46=2,BC=1,点E为边A8的中点，点尸为边8c上的动

点，则无•前的取值范围是(

A.[2,4]B」2,3]

C.[3,4]D.[l,4]

答案B

解析以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则。(0,1),E(l,0).

设厂(2,〃z)(0W〃?Wl),

：,DE={\,-1),DF=(2,w-1),

・•・DEDF=2-m-\~1=3~m.

••・OWmWl,・・・2.3一〃2《3,

即怎•标的取值范围为[2,3].

3.如图，在△河(7中，点。是线段BC上的动点，且病=工部+＞公，则的

xy

最小值为()

A.3B.4

C.5D.9

答案D

解析由图可知x,y均为正，且x+y=l,

所以鸿=（鸿卜+）尸5+"与

当且仅当!=当且x+），=1,即x=J

AyJ

14

则7+二的最小值为9.

入y

4.己知平面向量〃，b,c：两足〃仍=万。=。。=—1,|。|=1,仍|22,右:c=m+y力,

x,>eR,则1+)，的取值范围是.

答案[4-0

解析设。=(1,0),由。彷=。。=—1,

可设》=(—1,M，c=(—1,〃)，

因为g|2=1+加224=6223,

乂c=xa-\-yb=(x—y,my)=(—1,〃)，

\x—y=-1,

所以

[my=n,

而bc=1+/〃〃=­1=>mn=—2,

n

所以x+y=—l+2y=—l+2X而

一1一〃产

又因为m223,所以x+yg—g,—1)

------------------------课时精练------------------------

一、基础巩固

1.设0＜。＜2兀，已知两个向量成i=（cos。，sin，），丽2=（2+sin仇2—cos。），则

向量口月的长度的最大值是（）

A.^2B.小

C.3啦D.2V5

答案C

解析VPlP2=dP2-dPi=(2+sinO-cos0,2-cos。一sin0),

/.IA>2|

=7(2+sin/一cos/)？+(2-cos8-sin/)?

=110-8cosK啦.

当cos9=-1时，|R>2隋最大值3啦.

2.设0(0,0),41,0),8(0,1),点P是线段A3上的一个动点，AP=XAB,若力莉

2成.丽，则实数2的取值范围是()

1s

B.l—

2z

W1+乎D.l-建<W1+乎

答案B

解析,・♦/=疝?=(-2,2),

OP=(l-X)OA-\-XOB=(\-A,A),

OPAB^PAPB,

/.(I—z,2)-(—1,1)2(2,—2)-(A—1,1—A),

.\2Z2-424-1^0,

解得1-喙W入Wl+喙,

因为点尸是线段AB上的一个动点，

所以0WZW1,

即满足条件的实数/的取值范围是1—乎

3.在△ABC中，点。在8c上，且满足质|=；|网点E为A。上任意一点，若

1O

实数X,y满足防=x防+)，肥，则；+■；的最小值为()

xy

A.2吸B.4s

C.4+2小D.9+4也

答案D

解析因为|8Q|=58C|,BE=xBA+yBC,

所以丽=无限+4）反）.

由A,E,D三点共线可得x+4y=1,且工>0,)>0.

所以:+：=d](x+4v)=9+§+*29+2<§=9+4隹当且仅当x=y[2y且x

xyvtyj)式

+4y=l,

时取等号.

4.（多选）如图，在平面四边形ABCO中，等边三角形A8C的边长为2,ZADC=

30°,AC_LCDM为边A3上一动点，记2=成•日沅则2的取值可以是（）

B

二15

A.—4B彳

C.5D.1O

答案CD

解析如图，以点人为坐标原点建立平面直角坐标系.

设AM=t,=[0,2],

“C（l,5），。（4,（））.

」4,判

1,坐f一、同，

故2

割（一m一匕8一⑹

一亍一4,

1533

-尸

--*-什4+-

4+-24-2

=广+/+4,在[0,2]上单调递增，

故2=户+，+4£[4,10].

结合选项选CD.

5.在△ABC中，43=小，BC=2,ZB=150°,点。是AC边上的一点（包括端点）,

点M是人C的中点，则丽/•防的取值范围是（）

A.（0,B.0,1

C.R1JD.[0,1]

答案B

解析因为点加是4。的中点，

所以谕丽+；能，

因为点。是AC边上的一点（包括端点），

所以2e[o,1],

即应）一反=2丽一2反，

防=2旗+（1T）反:，

则丽应）

=（弧+城）.诙+（1-2）南

=夕册+；丽疣+/1-A）BC2.

因为AB=小，BC=2,ZB=150°,

所以丽2=3,丽.反：=-3,跆=4,

所以丽/.应）=/一夕.

因为0W7W1,则ow；—f.w）

乙乙乙

-4・

故就;•9）的取值范围是0,2.

6.已知△ABC的三边长AC=3,8c=4,A8=5,尸为A8边上任意一点，则方•（成

一反7）的最大值为.

答案9

解析根据题意，以。为坐标原点，CB,CA所在直线分别为x轴、），轴建立平

面直角坐标系，如图，

・・・A(0,3),5(4,0),C(0,0),

.,•施=(4,-3),

设能=源/1£[0,1]),

则及=或+靠=以+用=(0,3)+(42,-3A)=(4A,3—3»,2£[0,1],

:.C>(BA-BC)=CPC4

=(4九3-32)-(0,3)=9—92£[0,9],

••・茂・(或一南的最大会为9.

7.在△43C中，BC(Afi-4AC)=(),则cosA的最小值为.

答案f

解析在△ABC中，BC=AC-ABt

所以比・（油—4后）

=(AC-AB)\AB-AAC\

=-4|AC]2—丽+SABAC

=-4|AC]2-|Afi|2+5|AB||AC|COSA=0,

在△ABC中，设瑟]=b,\AB\=c,

贝』有—4b2—c2+5bccosA=0,

4庐+/244/.廿4

所以cosA=

5be5bc=亍

当且仅当2b=c时，等号成立.

7T

8.已知|g+臼=2,向量明》的夹角为彳，则同+|臼的最大值为.

答案孥

解析将|。+。|=2两边平方并化简得(|a|+|〃|)2一|a||)|=4,

2

由基本不等式得向切4|吗回)=(闷产：

3

-

4

即(|a|+|b|)2W亍

即⑷+俗尽斗^,

当且仅当⑷=物=¥时，等号成立，

所以同+1臼的最大值为芈.

9.已知筋•危=0,M是线段BC的中点.

⑴若丽|=2|危求向量筋一危与向量筋+危的夹角的余弦值；

(2)若。是线段AM上任意一点，且丽|=2|危|=2,求近・滴+沆・宓的最小值.

解因为施•病=(),所以屈J_/，

以A为坐标原点，A8所在直线为x轴，AC所在直线为)，轴建立平面直角坐标系.

⑴令照1=a,则C(0,。)，8(2〃,0),

所以油一废?=(2〃，-q),油+恁=(2ma).

设向量篇一危与向量初十危的夹角为仇

(AB-AC)­(AB+AC)

cos0—

\AB-AC\\AB-\-AC\

4a2—a23

小〃.小〃5，

⑵因为丽|=2瑟1=2,

则C(0,1),5(2,0),M。，3

设小，9,x£［0,1］,

：.OAOB+dCOA=OAiOB+OC)

=2OAOM

=21―/,

=2

5o

=2(-x^一X)

当且仅当x=5时，醇•丽+比•滋取得最小值一热

Zo

1().已知向量。=g-1),6=仅啜

⑴求与。平行的单位向量c；

(2)设x=a+(户+3)4y=-ks+"若存在，£[0,2J,使得x_Ly成立，求〃的

取值范围.

产+y2=1,

解(1)设c=(x,y),根据题意得［小y+x=o.

s

V:=———1—

x=2，人2?

解得］或＜

1

)=2,

・3惇-=(-坐，I)

或

Vc

—1),坐］

⑵・・7=(小，：・ab=0.

/.xj=0,

即一6|aF+(A+3)|例2=0.

V|a|=2,\b\=\t，产一4灯+3=0.

问题转化为关于t的二次方程尸一4灯+3=0在［0,2］内有解.

令人。=产一4口+3,

则当2ZW0,即欠W0时,・・7(0)=3,

・•・方程在［0,2］内无解；

当0V2AW2,即oawi时，

由/=16F—1220,

・・・92；

解得ZW一

当2Q2,即Q>1时，由犬2户0得4—8Z+3W0,

7

解得22士・,・Q1.

综上，实数攵的取值范围为［坐，+8).

二、综合运用

11.(多选)如图，延长线段A3到点C,使得筋=2诙，点。在线段3c上运动,

点直线A8,满足m=2以+〃m，则”的可能取值为()

D.J

A~4B.-1

答案AC

解析不妨设AB=25C=2,BD=x,x£[0,1],

由平面向量三点共线可知，

।0D~\~.OA,

2+x2o+x

f2+x-AX-A

・・・0D=^~\08—]04,

2+x

2T，〃=—,xe[0,1J,

r-(2+x)x1.,

则斗=-----4-----=-4(r-+2x)

=-4。+1)2+不x£[0，1]，

3

O

/.2〃£不，故选AC.

12.已知向量a,b,c满足Q句=0,|c|=l,\a-c\=\b-c\=y[\3y则|a—的最大值

是________

答案6

解析设A(a,0),8(0,b),C(cos仇sin。)，。为坐标原点，OA=atOB=b,OC

=c,

贝“eX|2=|“一c|2=(a—cos(9)2+sin29=13,

|CB\2=\b-c\2=cos29+S—sin9)?=13,

整理得〃2+*-2〃以^6—2床曲，=24,

所以〃2+'—24=2\/序+Z?2sin(0+8),

贝1«2+Z?2—242y]a2-\-b2,

解得一4这亚卷W6,

所以一b\max=以+层)max=6.

13.如图，圆。是边长为4的正方形A8CO的内切圆，S为圆周上一点，过S作

AB,AQ的垂线，垂足分别为M,N.设〃=麻"，q=ONOB.

（1）求的取值范围;

5—OM2

⑵求一^的最小值.

Cj\o

解（1）如图，以0为原点,平行于小的直线为刀轴，平行于04的直线为），轴

建立平面直角坐标系.

设点S(2cosa,2sina),由题可知4(2,2),3(—2,2),;W(2cosa,2),NQ,2sin

a),

p=4cosa+4,q=-4+4sina,

所以pq=16(cosa+l)(sina—1)

=16(cos