山东省济南某中学等2025-2026学年第二学期高一年级期中学情检测数学试题（含答案）

山东省济南第三中学等2025-2026学年第二学期高一年级期中学情检

测数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。

1.已知复数（，.为虚数单位），则Z的虚部为（）

1-i

A.-B.--C.iiD.-|i

2222

2.下列命题正确的是（）

A.三个点可以确定一个平面

B.一条直线和一个点可以确定一个平面

C.两条直线可以确定一个平面

D.长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体

3.在△力BC中，内角力、B、。的对边分别为。、b、c，〃=3及，c=3，C=30»则力=1）

A.30°B.45°C.45喊135°D.60°

4.圆锥so的轴截面是面积为4月的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A.32%B.16)C.8乃D.44

5.已知平面向量G=（l,0）,B=（2,2）,则向量G在石上的投影向量为（）

1-I-历

A.-bB.-bC.—hD.y/2b

242

6.在Zi/IB。中，若a=Lcos^=—，b=2,则三角形解的个数为（）

4

A.O个B.1个C.2个D.不确定

7.如图，△/18C中，点。是线段BC的中点,£是线段力。的靠近/I的三等分点，则砺=（)

3一1一

B.--AB+-ACC.--AB+-ACD.--AB+-AC

666356

8.图1为迪拜世博会中国馆，建筑名为“华夏之光”，外观取上中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状

可视为内外两个同轴圆柱.某爱好者制作了一个迪拜世博会中国馆的实心模型（如图2）,已知模型内层底

面直径为12cm,外层底面直径为16cm,且内外层圆柱的底面惘周都在同一个球面上•若该模型的表面积为

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36就cm?，则此模型外接球的体枳为（)

图I

.••二二

二二

图2

,4000a劣-400兀劣,

A.400兀cmB.--—cmC.---cmD.4000兀cm

33

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。

9.已知复数2=（4-讥3+方）（々€切口勺实部为-1，则下列说法正确的是（）

A.复数z的虚部为-5B.z在复平面内对应的点位十第三象限

C.目二屈D.复数z的共轨复数）=］一5i

10.已知向量£,否满足£=（1,2）,3=（4,-2），则下列结论正确的是（）

A：1族B.|^|=2a

C.存在非零实数%使得口+码//ZD.向量2）+1与石的夹角为土

的中点，点。

11.如图，在棱长为1的正方体力BCQ-44GA中，已知同，MP分别是棱GA，AA18c

A.PQ〃平面4DDM

B・若2'M'N,P四点共面，则行；

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C.若4=L点〃在侧面内，且/或〃平面/P0,则点/的轨迹长度为姮

36

D.若4=1，则以用为顶点，以过M、N、。三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为巴独

24

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量下.(3,1)工.(1,1)1.万+人工，若石N，则行—.

13.如图，△0/B'是水平放置的△。4B的直观图，则△。48的局长为.

14.如图，在平面四边形力6Q9中，48=5，BC=3,CD=4,4BC=NBCO=120。，则/C二，四

边形/8CO的面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知复数二=(〃/一1)-(〃/+Ju)i{iii€/?).

(1)若二为纯虚数，求〃，的值：

(2)若二为实数，求”的值：

(3)若复数二在当平面内对应的点位于第二象限，求〃，的取值范围.

16.(本小题15分)

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC〃平面P4D,BC=；AD,£是。。的中点.

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⑴求证：BC//AD；

(2)求证：CE〃平面P4以

17.(本小题15分)

如图，已知正方形N8CQ的边长为2尸为8c的中点,：17>,［工水)WXW1).

(1)若OE_L4F,求人的值；

(2)求万巨.立的取值范围•

18.(本小题17分)

已知△/［以?为锐角三角形以〃1分别为△48C三个内角4伉。的对边，且从6C+ce、8=2aCOS/4,

⑴求加

(2)若什c=5,L48C的面积为八3,求△ZBC的周长；

9

(3)若〃=1,求白力BC周长的取值范围.

19.(本小题17分)

如图1,设半圆的半径为2,点8,C三等分半圆，p,M，N分别是3,OB,0C的中点，将此半圆以。4

为母线卷成一个圆锥(如图2).在图2中完成下列各题.

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o

(1)求在圆锥中的线段MN的长；

(2)求四面体ACMN的体积：

(3)若。是/1N的中点，在线段08上是否存在一点使得平面48C?若存在，求会的自，并证明你

EB

的结论：若不存在，说明理由.

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1.【答案】A

2.【答案】。

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】ABC

10.【答案】ABD

II.【答案】ACD

12.【答案】0

13.【答案】虫+2而

476

14.【答案】7:，••，-_-_-_-_-_

4

15.【答案】解：(1)因为：(m2-1)<〃，）"〃，1/?）为纯虚数,

ULIIf—1=0

所以〈9/八，

解得：〃7=1：

(2)若二为实数，则〃『+/〃=(),

解得：〃尸0或朋二1；

(3)z所对应的点在第二象限，则|‘几：一口)(-1<ni<1

()'即(〃，>。或，〃<一1

[nr+m>

俞隼得：0<//z<1.

故加的取值范围为(0,1).

16.【答案】证明：

(1)在四棱锥P・ABCD中，BC//平面"aBCU平面力BCD

平面ABCDQ平面PAD=AD，

.-.BC//AD.

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（2）取力的中点凡连接ERBF,

•.・E是PO的中点，

则所为△P.I。的中位线，

.,.EF//AD,EF=；AD.

又由（1）可得BC〃AD,且BC=；AD,

.-.BC//EF,BC=EF,

了.四边形8CE厂是平行四边形，

.-.CE//BF,

.「CEC平面PAB,BFC平面PAB,

...CE//平面PAB.

17.【答案】解：（1）如图所示，以/为坐标原点，建立平面直角坐标系,

贝忆4(0,0)4(2,0),C(2,2)Q(0,2)/(2A,0)产(2,1),

所以加=(2入,-2),乔=(2,1),

因为DE―4F,

则屁•弄=4*2=0,解得入J：

(2)由⑴知，尻=(2A,-2),隹=(2A-2,-1),

则屁.F^=2A(2A-2)+2=4A2-4A+2=4(A]+l,

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当04,\41时,4（八一》2+]010,

即方片了云的取值范围是[1,2].

18.【答案】解：⑴在△力8c中，因为2"，M=cCO68+66C,

所以2、i】i/cxsr=HinCC5B+hin8cosC,

即25」1],“、4=3山（。+8）=35（一-/）=3力/i,

因为力w（oc）,所以疝力＞0,故（64=:,

——

则』='；

（2）因为△/出。的面积为82,

2

即-besin%=-X占x°xsin，=，所以be=6,

2232

由余弦定理得

1=12

（iI）+（-2hc（t）«J=//+c--bc=（b4c）'-3bc=25-18=7o解得a=y/7,.

所以△XBC周长为5+/；

6ca19-/1

(3)由正弦定理得「不一二下一二一二二不彳一-^^

sinDsniCsmAsin§

,2v3.2V3.万

nBnPo=----sin,,c=----suiC,

33

则Hc=^^[sinB+sii("-B)l=乂^(sin8+：skiB)=2sin(5+5,

3<53Z。

7T27r万

因为△/8C为锐角三角形，则Ov8<5,0<C=-8<5,

-J.

IT7T7V7T9;r

故夕吃，所以§<3+0〈亍

则疝(4+；.)W('3,1],

O9

故〃+b+c=l+231(3+；.)C(1+H，3],

o

故△XBC周长的取值范围为(l+\?,3].

19.【答案】解：（1）在图2中，设圆锥的底面圆半径为八

则2兀r=1X2又2兀，解得,二1，

2

因为在图1中，点〃、C三等分半圆，

所以在图2中，点B、。为网锥的底面圆周的三等分点，

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所以为等边三角形，所以一^=2r=2,所以BC二行，