北师大版数学八年级下册第五单元《分式与分式方程》单元检测培优卷

北师大版数学八年级下册第五单元分式与分式方程单元检测培优卷

一、选择题（每题3分，共24分）

1.代数式（1—离＞（1—1）的值一定不为（）

A.3B.2C.ID.0

2.关于x的分式方程昌=竽鸟无解，则〃?的值为（）

X—DX

A.3B.2C.-3D.-2

3.粤港澳大湾区拥有密集的交通网络，如港珠澳大桥、深中通道、虎门大桥等.一辆跨境货车从珠海

前往香港，通过港珠澳大桥（全长约55公里），若货车的平均速度提高10km/h,则通行时间可减少

0.1小时.设货车原来的平均速度为xkm/h,则可列方程为（）

B.5555

x+lCx

uA禹=°」D・+盖=°」

2b

4.已知正实数a,b,c满足k—：—,,"盘务’则言+而++的值为

x=2b+3c'，y-3c+a

).

A.1B-IC.9D.3

1111

5.已知yi==p且"则"024为（）

人JL不，”=厂石，*==方沙=-%_］，

A・告B.1-xrX—1D•芸

6.下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（）

姓名：李明班级：八（2）班得分：一

判断题（每小题20分，共100分），对的打7”，错的打“X”.

①代数式等牛都是分式（X）

。y

②当yH2时，分式力有意义（0

③若分式吗尚的值为0,则工=±33）

④式子5=骨!从左到右变形正确（4）

⑤分式庐是最简分式3）

a2b+abA

A.40B.60C.80D.100

7.若/-%-2=0,则不一~2的值为（）

（X2-X）-l+v^

A.IB.1C.2/3D.6或卓

533

8.已知关于X的分式方程Q_舞_6）+白=/无解，且关于）'的不等式组1y-工装：4）有

旦只有三个偶数解，则所有符合条件的整数〃?的乘积为（）

A.1B.2C.4D.8

二、填空题（每题3分，共15分）

9.若=1,则华=.

10.若分式岩的值为0,则x=.

11.已知AA2,则分式黯昌为-------.

12,将分式1和击分别记为M,N,请按下列步骤操作：第一步，先计算M+N,结果记为Mi，再

计算M—N,结果记为Ni；第二步，先计算Mi+Ni，结果记为M2,再计算Mi—Ni，结果记为N2;

第三步，先计算M2+N2,结果记为M3,再计算M2—N2,结果记为N3；…继续操作下去，则

=.若Mi2=192,则N12的值是.

13.如果关于％的分式方程等+黑=2有非负整数解，一次函数y=（7n+4）x+m—3的图象过

一、三、四象限，则所有符合条件的整数m的和是.

三、解答题（共7题，共61分）

14.先化简，再求值：勺管4+岛7+1）,请从一2、一1、0、I、2中选择一个合适的值代

入求值.

15.嘉淇准备完成题目：解分式方程：&=2-县，发现数字团印刷不清楚.

（I）他把“团”猜成5,请你解方程：三=2-建一：

X—55-X

（2）他妈妈说：',你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解通过计算说明原题中

“既是几？

16.已知a2+b24-c2=1»0G+[)+匕0+()+c(:+=-3,求a+b+c的值.

。2+匕

17.已知>0,b>0*且求的最大值。

QQ+6=2,a2+b2

18.下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题.

题目，某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元

购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同，问甲、乙两种图书的单价各是多少元？

方法分析问题列出方程

解法一设…….，等量关系：甲图书数量=乙悭书数量2000_1200

x~x-20

20001200

解法二设....等量关系：甲图书单价-乙图书单价二20F--------=20

（1）解法一所列方程中的x表示,解法二所列方程中的x表示.（填序号）

①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量，

（2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价。

（3）若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本且进行销售，甲种图书的售价为65

元一本，乙种图书的售价为40元一本，那么甲乙两种图书各购进多少本时获利最多？最大利润是多

少元？

19.【阅读材料】对于两个不等的非零实数Q,b,若关于％的分式生喑出的值为零，则解得勺=

a，x2=b.又因为。-0产-6）=9叶ab=.+苧_3+协所以关于%的方程％+?一

（a+b）=0的解为勺=a,x2=b.例如：方程％+竽一（1+2）=0的解为勺=1,x2=2.

（1）【理解应用】方程%*=3+1的解为勺=，x2=.

X5

（2）【知识迁移】若方程％十5=9的解为Xi=a，X=b,求小+户的值；

X2

（3）【拓展提升】若关于久的方程丘Z=k的解为/=亡+1,切=£+2,求必一轨+8t的值.

X

20.项目学习方案：

项

0元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），

情购买花卉、插花、摆放盆栽等任务.

景

素

采购小组到市场上了解到每枝力种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花

材

卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍.

任小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为％,由题意得方程：①；小组

务成员乙设②，由题意得方程：2乂券二患.

素插花时，技术小组成员内发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成

材(9-m)盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间

相同.

任

务求m的值

素摆放盆栽时，设计小组成员丁为使校园更加美丽，计划利用已经插好的480盆小盆栽和

材360盆大盆栽搭配C,。两种园艺造型，共30个，已知搭配一个C造型需小盆栽12盆，大

盆栽15盆，搭配一个。造型需小盆栽18盆，大盆栽10盆.

任

务求符合题意的搭配方案有几种？请你设计出来；

(1)任务一中横线①处应填,横线②处应填

(2)完成任务二.

(3)完成任务三.

答案解析部分

1.【答案】C

【知识点】分式的混合运算；解分式方程

【解析】【解答】解：(1-焉).(1一)

_m+1-1m—1

m+1m~

_tn—1

-m+1'

Vm+l/O,且n#0,即mr・l且m/).

A、当番三|=3时，m-1=3(m4-1),解得：m=-2,成立，故选项A不符合题意；

B、当票标|=2时，m-1=2(m+1),解得：m=-3,成立，故选项B不符合题意；

C、当黑|=1时，m-l=m+l,无解’故选项C符合题意；

D、当黑1二°时，加一1=°，解得：机=1，故选项D不符合题意；

综匕代数式的值一定不为1.

故答案为：C.

【分析】将代数式化简得到。，根据分式的性质可求得m/-lRm#).再分析各选项的可能性，确

m+1

定无法取到的值即可.

2.【答案】C

【知识点】分式方程的无解问题

【解析】【解答】解：上、=竽2,

X—53-X

・・•关于X的分式方程昌=等学无解，

当x=3时，原方程无解。

把原方程去分母，得：2x=-mx-3,

移向，合并同类项，得：(m+2)x=-3

把x=3代入原方程,得：3(m+2)=-3,

m=-3.

故答案为：Co

【分析】根据原分式方程无解，可得出分母为0时的x的值x=3,然后x=3代入去分母之后的整式

方程中，即可求得E的值。

3.【答案】D

【知识点】列分式方程

【辞析】【解答】解：设货车原来的平均速度为xkm/h,

由题意可得：告一禹=0.1

人人IJLvz

故答案为：D

【分析】设货车原来的平均速度为xkm/h,根据题意建立方程即可求出答案.

4.【答案】A

【知识点】分式的化简求值•倒数法

，•-a2b__3c

【解析】【解答】解:tX-2b^fy=5^，z=

.12b+3c1_3C+Q1a+2b

•y=一y—z=^F~

,l2b311=3c+a,a+2b

+1=±£+1~2b~++1

・1+xa+2b+3c1+y_3C+Q+2b1+za+2b+3c

=-a-'-7---2b~~'—=—3^—

.x_ay=2b

••京=a+2b+3c'1+y-a+2b+3c'1+z—a+2b+3c

•上.+*+，_=---+-=2b—+___3_c_

•*1+x1+y1+za+2b+3ca+2b+3ca+2b+3c=1

故答案为：A

【分析】先取倒数，再等号两边加1,化简，再取倒数，再整体代入代数式即可求出答案.

5.【答案】C

【知识点】分式的混合运算；用代数式表示数值变化规律

【解析】【解答】解：・・・y尸1

人rJL

._11_r-1

,疗巧71_战=。，

1i

y3fq_x-l=2~x,

~x=2

111

ii

y5f=后「，

i_i

y6十可一二行二丫3,

由此类推，2024=674x3+2,

得丫2024=丫2=三1，

故答案为：C.

【分析】分别用式子表示出yi、y2、y3、y,、ys、y6……的结果，再根据规律得到结果。

6.【答案】B

【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念

【解析】【解答】解：①代数式等不是分式，答对

②当yH2时，分式黄2有意义，答对

③若分式国茶的值为0,则冈-3=0,且x・3#),解得：x=-3,答错

X—5

④式子5=霜从左到右变形错误，答错

⑤分式鸟£是最简分式，答对

a2b+ao

，答对三道，得分为20x3=60

故答案为：B

【分析】根据分式的定义，分式值为0及有意义的条件，分式的性质，最简分式的性质逐项进行判

断即可求出答案.

7.【答案】C

【知识点】分式的化简求值；分母有理化

【解析】【解答】VX2-X-2=0,

/.x2—x=2,

%2-%+28

2+2>/3

~22-1+73

2+2V3

=3+73

_(2+2/3)(3-V3)

=(3+/3)(3-73)

6+673-273-6

9-3

2/3

=~~3~f

故答案为：C.

【分析】

本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟知分式的化简方法是解题关键.根据已知条件得到

x2-x=2,再将好一工=2整体代入所求式子中计算，再计算到圣绛时，需对分母进行分母有理

化,分子分母同时乘以(3-⑸,再根据实数的乘法运算法则计算即可得到答案.

8.【答案】B

【知识点】解分式方程：分式方程的增根；一元一次不等式组的特殊解

【褥析】【解答】解：分式方程去分母得：mx4-2(%-6)=3(%-2),

整理得：(771—1)久一6=0,

分式方程无解的情况有两种，

情况一：整式方程无解时，即m-1=0时，方程无解，

•*.m=1：

情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即42或尸6,

①当A=2时，代入(m—1)%—6=0,得：2m-8=0

解得:得片4.

②当A=6时，代入(m—l)x—6=0,得：6m—12=0,

解得：得〃-2.

综合两种情况得，当〃7=4或〃7=2或m=1,分式方程无解；

解不等式［_工£：4),

Iy>-8

根据题意该不等式有且只有三个偶数解，

・•・不等式组有艮只有的三个偶数解为-8,-6,-4,

-4</«-4<—2»

0</«<2,

综上所述当，〃二2或772=1时符合题目中所有要求，

，符合条件的整数m的乘积为2x1=2.

故答案为：B.

【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种

是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定〃?的值，据此求解。

9.【答案】|

【知识点】分式的值

【解析】【解答】解：••m二9,

・,•设a=3k,b=2k,

将a=3k,b=2k代入里,得里=五黎二垓，

nbZkZ

故答案为：I.

【分析】由已知条件可设a=3k,b=2k,然后代入空中化简即可.

D

io.【答案】-3

【知识点】分式的值为零的条件

【蚱析】【解答】•・.分式生二的值为零，

・「阳—3=0,

**1%-30'

解得x=-3.

故答案为：・3

【分析】根据分式值为0的条件：分母不等于0,旦分子为0,建立方程和不等式求解即可。

11.【答案】z

【知识点】分式的化简求值•整体代入

【解析】【解答】解：WT=2,

二管=2,即2Pq=q-p,

.3p-pq-3q

"2p+pq-2q

二一3(q-p)-pq

~-2(q-p)+pq

—3・2pq—pq

~-2•2pq+pq

二7Pq

:3pq

7

=r

7

故答案为:3-

【分析】根据等式变形可得2Pq=q-p,然后整体代入计算解答即可.

12.【答案】1；48

X

【知识点】解分式方程

【解析】【解答】解：Mi=M+N,M=M-N,

M^=+心=2M,刈=Mi—％=2/V,

M3=M2+N2=2M+2N,N3=M2-N2=2M-2N,

=M3+&=4M,N4=%—N4=4/V,

由此总结规律，当n为偶数时，有M“=2^xM,Nn=或xN,

4

“4=4M=

若%2=2%="=192,则x=1

6464a

・・・%2=市=丁=4718,

3

故答案为：±48.

X

【分析】依照步骤操作，得到规律：当n为偶数时，有M〃=2?XM,N“=29XN,代入规律计算

得解.

13.【答案】-4

【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】解：

•：y=(zn+4)x+m-3的图象过一、三、四象限，

.fm4-4>0

•1m-3V0，

/.-4<m<3.

解隗+哭

=2

去分母，得x-(m+l)=2(x-2),

解得x=3-m.

•••原分式方程有非负整数解，

/.x=3-m/2,BP,

综上所述，-4<m<3且mRl,

.•・m=-3时、x=3-(-3)=6,符合题意；

m=-2时，x=3-(-2)=5,符合题意；

m=-l时，x=3-(-l)=4,符合题意;

m=0时，x=3-0=3,符合题意；，

m=2时,x=3-2=l,符合题意.

・••符合题意的整数m有：-3,-2,-1,0,2,

和是-3-2-1+0+2=4.

故答案为：-4.

【分析】整数m要符合的条件有：使分式方程有解(非增根，隐含条件)，且解为非负整数，使一次

函数的图象过一、三、四象限；首先用m表示出分式方程的解，求出使分式方程的解非增根时，m

的取值范围，再根据一次函数的图象求出m的求值范围，取两者的公共部分；最后验证这个部分哪

些整数m使分式方程的解是非负整数.

14.【答案】解：原式=在百二坦土辿任

x+1'x+1

_(%—2)2x+1

x+1-(x+2)(x-2)

x-2

=一率，

当尤=1时，原式=

【知识点】分式的化简求值-择值代入

【解析】【分析】先对原式进行化简，包括处理括号内的分式加法、将除法转化为乘法、因式分解和

约分，再根据分式有意义的条件选择合适的X值代入求值.

15.【答案】(1)解：方程整理得：&=2+国，

去分母得：x=2(x—3)+5,

解得：工=1,

检验：把代入得：X-3H0,

二分式方程的解为x=1.

(2)解：设原题中，0,是a,方程变形得：&=2十备，

去分母得：x=2(x—3)4-a,

由分式方程无解，得到x=3,

把尤=3代入整式方程得：a=3.

答：原题中“"'是3.

【知识点】解分式方程：分式方程的增根

【解析】【分析】3)去分母，化分式方程为整式方程，再解整式方程，并进行检验即可得出方程的

解；

(2)设原题中“团”是Q,化分式方程为整式方程，根据分式方程无解，可得出x=3,把x=3代入原方

程，即可求得a=3.

(I)解：方程整理得：各=2+具，

去分母得：x=2(x-3)+5,

解得：x=1,

检验：把％=1代入得：x-30,

二分式方程的解为x=1.

(2)解：设原题中“吃是a,

方程变形得：言=2+品，

去分母得：x=2(%—3)+a,

由分式方程无解，得到x=3,

把尤=3代入整式方程得：Q=3.

答：原题中“既是3.

16.【答案】解：.・.aG+9+bG+：)+cG+H=-3

,',aG+i+9+6G+5+z)+cS+5+9=o

Afa+b+c)Q+|+|)=0

・・・a+b+c=O或W-=o.

4L1,1.1\ab+bc+ac八

右一+工+-=0n,m即----r------=0

aDcabc

则ab+bc+ca=0,

*.*(a+h+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1

/.a+b+c=il

综上所述，a+b+c=O或±1.

【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质；分式的化简求值•拆项变形法

【解析】【分析】由题意可得(a+b+c)G+H；)=O,则a+b+c=O或：+*+：=0,当：+肛

1=0>即她给”=0时，根据分式值为()的条件可得ab+bc+ca=O,再将a+b+c平方化简即可求

出答案.

17.【答案】解：设Q=1+亡，6=1—31<r<1,

I.IHa2+b_(l+t)2+l-t_1理型+2_1t+1

则再法一(1+於(1一接一/西丁―2(1+再V

令m=t+1e(0,2),

.t+1_m_m_]]_«2+l

2-

Np+l(7n-i)+i布-2丁+2m+^-2272-22，

当且仅当捞=鱼时取等号，

t-riua2+b/I/1,72+lx72+3

所以装彳2(丁)二丁，

当且仅当a=yf2,b=2-&时取等号

【知识点】分式的化简求值-整体代入

【解析】【分析】可以通过将b用2-a表示，转化为单变量函数求极值问题，再利用导数法确定最大

值的位置.

18.【答案】(1)①；(3)

(2)解：解法一：竿=逸，

方程两边同乘x(x-20),得2000(x-20)=1200x

解得x=50,•

经检验：x=5O是原方程的解，且符合题意，••

.,.x-20=5()-2()=30,

答：甲、乙两种图书的单价分别为5。元、3。元:

解法二：2000-1200=20,

xX

方程两边同乘X,得2000-1200=20x,

解得x=40,

经检验：x=40是原方程的解，且符合题意,

幽=50,1^00=30,

义X

答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元；

(3)解：设甲种图书购买的数量为m本，则乙种图书购买的数量为(60-m)本，

根据题意得50m+30(60-m)<2500,

解得m<35

设总获利为w元，

贝I」w=(65-50)m+(40-30)(60-m)=5m+600

V5>0,

・・・w随m的增大而增大，

・••当m=35时,w最大为775元，

此时60-m=25,

答：购买甲种图书种35本，购买乙种图书25本时，最大利润为775元」

【知识点】分式方程的实际应用；一元•次不等式的应用：•次函数的实际应用-销售问题

【解析】【分析】(1)根据等量关系中代数式的含义即可求出答案.

(2)解分式方程即可求出答案.

(3)设甲种图书购买的数量为m本，则乙种图书购买的数量为(60-m)本，根据题意建立不等式，解

不等式可得mW35,设总获利为w元，求出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.

19.【答案】(1)3,1

(2)解：二•方程%+°=9的解为勺=Q，x2=b,

X

•••Q+b=9,ab=5,

•••a2+b2=(a+b)2—2ab=92—2x5=71；

(3)解：•••关于工的方程二=k的解为=t+1,%2=1+2,

7

%+k的解为=£+1,x=t+2,

X2

•••f+1+£+2=k,(t+l)(t+2)=7,

.%2t=k—3,产+3t=5,

后)7=5，

整理得：k2=29

将2t=k-3代入/一4k+8£，得

/一4k+8£=/一轨+4(k-3)=k2-12»

/c2-4/C+8C=29-12=17

【知识点】完全平方公式及运用；分式方程的解及检验

【解析】【解答】（1）解：•.♦%+弛一（@+匕）=0的解为;q=Q,x?=b,

X

.,•%+[=3+号，即x+1—（3+=0,的解为向=3,%2=i,

故答案为:3,i；

【分析】（1）根据题意即可求出答案.

（2）根据题意可得・•・a+b=9,ab=5,根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.

（3）由题意可得％+工=上的解为勺=£+1,犯=£+2,则由方程的解得到2t=k一3,£?+

X

3£=5,则有（容）2+苦3=5,整理得/=29,再将2t=k-3代入户一软+班整理即可求出

答案.

（1）解：vx+——（a+b）=0的解为％]=Q,X2=b,

X

・♦・%+[=3+4,即％-（3+,）=0,的解为皿=3,%2=i,

故答案为:3,1；

(2),方程％+'=9的解为=a，x2=b,

•••Q+b=9,ab=5,

•••a2+b2=(a+b)2-2ab=92-2x5=71；

⑶••・关于x的方程£±Z=k的解为Xi=t+L%2=t+2,

AT

7

-=k的解为=t+1,x=t+2,

X2

.•.£+1+£+2=k,(£+l)(t+2)=7,

2t=/c-3,t2+3t=5,

M早)2+亨=5，

整理得:必=29

将2t=k-3代入必一4k+8t，得

k2-4k+8t=k2-4k+4(k-3)=k2-12,

/c2-4/c+8t=29-12=17

800320

20.【答案】(1)圆；=2、下＞；每枝力种花卉单价为y元

T■十J

(2)解：•••单位时间内可完成比盆小盆栽的插花任务或完成(9-m)盆大盆栽的插花任务,

・•・完成小盆栽的播花任务的效率为二，完成大盆栽的插花任务的效率为;,

my—TH

••・完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，

35X—=10x5^—,解得m=7,

m9-m

经检验，m=7是原分式方程的解，

:.m=7.

(3)解：设搭配一个C造型需要几个，则。造型需要(30—九)个

由颓音俎］12九+18(30-n)<480

由题思得，(i5n+10(30-n)<360

解得：104九工12,

故方案有三种：

①搭配C造型为10棵小盆栽，则搭配。造型为2()棵大盆栽，

②搭配C造型为11棵小盆栽，则搭配。造型为19棵大盆栽，

③搭配C造型为12棵小盆栽，则搭配。造型为18棵大盆栽；

【知识点】分式方程的实际应