北师大版高中数学必修第二册-从位移的合成到向量的加减法

§2从位移的合成到向量的加减法

借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量

最新课标

加、减运算及运算规则，理解其几何意义.

2.1向量的加法

出川川川川川川川川川川川川川I川M川川川川h琳伽G南团即陶・|课面|债|习|伽川伽州州卅伽卅州伽州卅川州咖川伽，

［教材要点］

要点一向量的加法

定义求两个向量和的运算，称为向量的加法

前提已知两个______的向量〃，h,在平面内任取一点4

作法作丽=0BC=/>,连接4C

有向线段通表示的向量即为“与力的和，记作________,即。+方

向量加法的三结论

=AB+BC=_

角形法则c

图形

NaB

前提已知两个________的向量〃，b,在平面内任取一点O.

作法作就=〃，而=b,以。4。8为邻边作“Z4C8.

结论以。为起点的向量比就是向量〃与〃的和，即玩=_

向最加法的平

行四边形法则

图形

(JGA

规定对于零向量与任一向量a,我们规定“+0=0+。=。

1.在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的

终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终

点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量

是从同一点出发的不共线向量.

2.三角形法则与平行四边形法则的适用条件

三角形法则平行四边形法则

适用条件

两向量位置关系两向量共线或不共线均可只适用于两向量不共线的情况

一个向量的终点为另一个

两向量起点、终点的特点两向量起点相同

向量的起点

要点二向量加法的运算律

1.交换律：a+b=

2.结合律：（a+b）+c-

1.当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立.

2.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：

一质点从点A出发，方案①先走过的位移为向量市再走过的位移为向量6,方案②先

走过的位移为向量6,再走过的位移为向量定则方案①②中质点A一定会到达同一终点.

3.多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如何+6)+管+日)=(6+

d)+(a4-c)：a+b+c4-c+e=［d+(a+c)］+(b+e).

［教材答疑］

［教材P对思考交流］

矩形中，记丽=〃，|通|=3,AD=/>,|AD|=1,

则同一网W|Q+4W|4|+同

当a,6共线时等号成立.

［基础自测］

1.判断正误(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)两个向量的和可能是数量.()

(2)两个向量相加就是它们的模相加.()

(3)MN+NP=MP.()

(4)向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量.()

2.［多选题］在平行四边形力8c。中，下列结论中正确的是()

A.AB=DC

B.AP+AB=AC

C.AB=BD+AD

D.AD+CB=O

3.a、力为非零向量，且,+例=同+同,则()

A.a〃"且。与力方向相同B.a、力是方向相反的向量

C.a=—hD.m〃无论什么关系均可

4.化简下列各向量：

(1)AB+BC=.

(2)PQ+0M+Q0=.

,川川川川川川卅川川川川川川川川川川川C川川川I川川川川h国国团困・I喇堂I解饱I则伽伽伽――

题型一向量加法法则的应用——师生共研

例1(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出岳

⑵如图②，用向量加法的平行四边形法则作出

①②

方法归相

用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第

二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”，且两种方法中，第一个向量的起点可任

意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置.两向量关线时，三角形法则仍适用，平行四

边形法则不适用.

跟踪训练1已知向量mb,c,如图，求作“+〃+c.

题型二向量的加法运算——师生共研

例2化简下列各式：

(1)BC+AB：

(2)而+CD4-BC；

(3)AB+DF+CD+BC+FA.

方法归的

向量加法运算律的应用原则及注意点

(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向

量加法的结合律调整向量相加的顺序.

(2)注意点：①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；②

向量的和仍是向量；③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的.

跟踪训练2如图，在平行四边形力8。中.

(1)AB+AD=

(2)AC+CD+D0=

(3)AB+AD+CD=

.........♦・

(4)AC+BA+DA=

题型三向量加法的实际应用——师生共研

例3在静水中船的速度为20m/min,水流的速度为10m/min,如果船从岸边出发沿垂

直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.

作出船的速度与水流速度示意图.

变式探究本例中的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方

向的正切值(相当于河岸的夹角).

方&归他

应用向量解决平面几何问题的基本步骤

(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.

(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答

向量问题.

(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.

易错辨析忽视向量共线情况出错

例4已知非零向量小b,c,以表示mb,c的有向线段构成三角形的充要条件是。

+A+c=0,这个判断正确吗？

解析：不正确

因为。，〃共线时，即使〃十分+。=()成立，

但不能构成三角形.

当叫h,。不共线时，”+〃+c=0,则以表示a,b,。的有向线段能构成三角形.

易错警示

易错原因纠错心得

解决向量问题时不要忽视特殊情形，如零向量、向量司向、

忽视了向量共线的特殊情况.

向量反向、向量相等.

§2从位移的合成到向量的加减法

2.1向量的加法

新知初探•课前预习

［教材要点］

要点一

不共线a+bAC不共线a+b

要点二

l.b+a

2.。+(b+c)

［基础自测］

1.(1)X(2)X(3)V(4)X____________

2.解析：A,B,DJE确；C错误，因为靠=心+丽云而+而.

答案：ABD

3.解析：只有〃〃6且。与b方向相同时才有|〃+力|=同+网成立，故A项正确.

答案：A

4.解析：(I)丽+前=A2.

(2)PQ+0M+QO=PQ+Q0+OM=PO+OM=PM.

答案：⑴熊(2)PM

题型探究•课堂解透

题型一

例1解析：⑴在平面内任取一点O.作靠=a,丽=从再作向量而，0B=fl+6.

(2)如图，在平面内任取一点O,作加=a,0B=/>,再作平行丽的前=〃，连接BC,

则四边形。NC8为平行四边形，OC=a+Z>.

跟踪训练1解析：在平面内任取一点O,作鼐=〃，而=力，BC=r,如图，则由向量

加法的三角形法则，得丽=。+力，前=a+b+c.

题型二

例2解析：⑴前+第=语+配=岚.

(2)I)B+CD+BC=(DB+BC)4CD=DC+CD=O5K,DB+CD+BC=(DB+CD)4BC=

(CD+DB)+BC=CB+BC=O.

(3)AB+DF+CD+BC+FA

=AB+BC+CD+DF+FA

=AC+CD+DF4-FA

=AD+DF+FA

=AF+FA

=0.

跟踪训练2解析：⑴丽