2025年河南省中考数学试卷（含答案解析）

2025年河南省中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）

1.（3分）（2025•河南）在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4个，那么该队失3个球记作

()

A.+3个B.-3个C.+4个D.-4个

数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（〉

3.（3分）（2025•河南）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度

大约只有（）.000074〃心，比蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.0（）0。74”用科学记数法表示为（）

A.0.74x10'34B.7.4xl0-4C.7.4x10-5D.74xl()-6

4.（3分）（2025•河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数,

1

A.100°B.110°C.120°D.130°

5.（3分）（2025•河南）一元二次方程f-2x=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

6.（3分）（2025•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,△力8C的三个顶点均在网格线

的交点上，点。，E分别是边。与网格线的交点，连接。£则OE的长为（）

X2-21

7.（3分）（2025•河南）化简1~----的结果是（）

x-11-x

A.x+1B.xC.x~1D.x-2

8.（3分）（2025•河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分

别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河’的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上

洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽''和"山’'的概率是（）

甲

甲

甲

耳

木H

骨

骨

骨

文

也

克

文

文

文

美

山

丽

涧

।

1

BC

6-

9.（3分）（2025•河南）如图，在菱形48CZ）中，N8=45。，4B=6,点E在边BC上,连接4区将△力

沿4E折叠，若点8落在8。延长线上的点尸处，则3的长为（）

A.2B.6-3V2C.2V2D.6/一6

2

10.（3分）（2025•河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的

变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数H与车速u加/?）之间的函数关系如图所示.下列说法

A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为（）.9

B.当婚七60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小

C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71,车速应不低于60加?/人

D.若车速从25QM?增大到60切?/力，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）（2025•河南）请写出一个使VT方在实数范围内有意义的x的值：.

12.（3分）（2025•河南）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各

随机抽取20株进行测最，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为s甲2=3.6,$乙2=5用，则这两

种小麦长势更整齐的是（填“甲”或“乙”）.

13,（3分）（2025•河南）观察2v,4?,6?,8x4,-,根据这些式子的变化规律,可得第〃个式子为.

14.（3分）（2025•河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研

究“割圆术”时的一个图形，而所在圆的圆心为点。，四边形48CQ为矩形，边CQ与0O相切f点七，

连接ZABE=15°,连接OE交4B于点F.若48=4,则图中阴影部分的面积

为•

15.（3分）（2025•河南）定义：有两个内角的差为90。的三角形叫做“反直角三角形”.如图，在△48C中，

AB=AC=5,BC=8,点尸为边8C上一点，若△/PC为“反直角三角形”，则8尸的长

为.

3

A

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.（10分）（2025•河南）（1）计算：V8+（IT-1）°-V3xV3；

7

（2）化简：（《十1〉-A（x+2）.

17.（9分）（2025•河南）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十

届全国学生“学宪法讲宪法”活动.某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随

机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、

分析，部分信息如下.

得分统计图

统计量年级

七年级八年级

平均数7.867.86

中位数a8

众数7b

优秀率38%C

根据以上信息，回答下列问题.

（1）表格中的“=,b=,c=.

（2）你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由.

18.（9分）（2025•河南）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含30。角的三

角板。48的直角边CM落在），轴上，含45。角的三角板。4C的直角顶点C的坐标为（2,2）,反比例函

4

数（》＞°）的图象经过点c.

（1）求反比例函数的表达式.

（2）将三角板。48绕点。瞰时针旋转90。，48边上的点。恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点

四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心。（保留作图痕迹，不写作法）.

CE.求证：四边形4OCE是平行四边形.

20.（9分）（2025•河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种

苹果.已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之

和为800元.

（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价.

（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数.求

该公司最少需花费多少元.

21.（9分）（2025•河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪

5

念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下.

根据以上信息，解决下列问题.

(I)由标杆的影子。尸的长和标杆。石的长相等，可得CO=C4,请说明理由.

(2)求纪念碑48的高度.

(3)小红通过间接测量得到CO的长，进而求出纪念碑48的高度约为185〃.查阅资料得知，纪念碑

的实际高度为19.64〃?.请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因

(写出一条即可).

22.(10分)(2025•河南)在二次函数^=012+队-2中，x与y的几组对应值如表所示.

X...-201•••

y・・・-2-21・・・

(1)求二次函数的表达式.

(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象.

(3)将二次函数的图象向右立移〃个单位长度后，当0S正3时，若图象对应的函数最大值与最小值的

差为5,请直接写出〃的值.

6

5

4

3

2

'\

-5-4-3-2：02345x

rf

浮

H3

亚i

-5

23.（10分）（2025•河南）在乙408中，点。是N/C用的平分线上一点，过点C作CO_LO以垂足为点。,

过点。作力E1O4垂足为点E,直线OC交于点凡过点。作CG_LOE,垂足为点G.

（I）观察猜想

如图1,当N4O8为锐角时，用等式表示线段CG,OE,。。的数量关系:

（2）类比探究

如图2,当N/O4为钝角时，清依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成

立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论,并证明.

（3）拓展应用

OD

益的值•

图1佟12

7

2025年河南省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案BDC.CABABDc

一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）

1.（3分）（2025•河南）在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4个，那么该队失3个球记作

（）

A.+3个B.-3个C.+4个D.・4个

【考点】正数和负数.

【专题】实数；数感.

【答案】B

【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案.

【解答】解：如果某班足球队进4个球记作+4个，

那么该队失3个球记作-3个，

故选：B.

【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键.

2.（3分）（2025•河南）数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（）

8

c.D.

【考点】几何体的展开图.

【专题】展开与折叠；空间观念.

【答案】。

【分析】根据圆锥的展开图是一个扇形和一个圆判断即可.

【解答】解：由圆锥的展开图可知，这个几何体是圆锥.

故选：

【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的展开图是解答本题的关键.

3.（3分）（2025♦河南）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度

大约只有0.000074〃]/5,比蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000374”用科学记数法表示为（）

A.0.74x104B.7.4x10-4c.7.4x!0-5D.74x106

【考点】科学记数法一表示较小的数.

【专题】实数；符号意识.

【答案】C.

【分析】科学记数法的表示形式为。xi（r的形式，其中IWIHVIO,〃为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值21（）时，〃是

正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数.

【解答】解:0.000074=7.4xl0'5.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为4X10〃的形式，其中iwidvio,〃

为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

4.（3分）（2025♦河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，

则所量内角的度数为（）

9

A.100°B.110°C.120°D.130c

【考点】多边形内角与外角.

【专题】正多边形与圆.

【答案】C

【分析】由量角器可知，N1=120。，再利用对顶角相等求解即可.

【解答】解：如图，延长80,

B

由量角器可知，/力。。=120。，

：.ZBOC=ZAOD=\20°,

即所量内角的度数为120%

故选：C.

【点评】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键.

5.（3分）（2025•河南）一元二次方程f-2x=（）的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

【考点】根的判别式.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

10

【答案】A

【分析】根据△>（），即可判断根的情况.

2

【解答】解：由条件可得△=（-2）-4X1X0=4>0,

••・方程有两个不相等的实数根，

故选：A.

【点评】本题考查了一元二次方程跟的判别式，熟练掌握该知识点是解题关键.

6.（3分）（2025•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,△力8C的三个顶点均在网格线

的交点上，点。，E分别是边84。与网格线的交点，连接。E,则OE的氏为（）

【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质.

【专题】三角形；图形的全等；推理能力.

【答案】B

【分析】证明△/。/会/XBOG（44S）,得力D=BD,同理4£=",再证明OE是△48C的中位线，即

可得出结论.

【解答】解：如图，由题意可知，BC=AF=BG=2,ZAFE>=ZBGD=90°,

又♦:NADF=NBDG,

：./\ADF^^BDG（44S）,

:・AD=BD,

同理：AE=CE,

是△Z8C的中位线，

：,DE=^BC=\,

故选：B.

11

【点评】本题考查了三角形中,立线定理以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一角形中位线定

理以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.

X2-21

7.（3分）（2025•河南）化简——---的结果是（）

x-11-x

A.x+1B.xC.x-1D.x-2

【考点】分式的加减法.

【专题】分式：运算能力.

【答案】A

【分析】将原式变形后将分子相减，然后约分即可.

【解答】解：原式=善+占

%2-1

~~x^T

,（X+l）（X-l）

―

=x+l,

故选：A.

【点评】本题考杳分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键.

8.（3分）（2025♦河南）甲骨文是我国己发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分

别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河’的四张R片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张k片背面朝上

洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山''的概率是（）

甲

甲

E甲

木

骨

骨

骨

曲

文

文

文

文

美

山

明

河

111

---

A.B.64D.2

【考点】列表法与树状图法；概率公式.

【专题】概率及其应用；应用意识.

【答案】B

【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽''和"山”的结果数，再利

用概率公式可得出答案.

【解答】解：列表如卜.:

美丽山河

美（美，丽）（美，山）（美，河）

丽（丽，美）（丽，山）（丽，河）

111（ill,美）（山，丽）（山，河）

河（河，美）（河，丽）（河，山）

共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有：（丽，山），（山，丽），

共2种，

・••这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为三=7.

IN0

故选：B.

【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题

的关键.

9.（3分）（2025•河南）如图，在菱形48CO中，NB=45。,AB=6,点E在边BC上,连接力已将△48E

沿力E折叠，若点8落在8c延长线上的点尸处，则b的长为（）

A.2B.6-3V2C.2V2D.672-6

【考点】翻折变换（折叠问题）：菱形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】D

【分析】根据菱形的性质求出力8=8。=6,根据折叠的性质求出力E18凡BE=EF,解直角三角形求

出月产=2BE=6企，再根据线段的和差求解即可.

【解答】解：•・•四边形力8CQ是菱形，AB=6,

:,AB=BC=6,

根据折登的性质得，AELBF,BE=EF,

13

VZ5=45°,

AZBAE=9Q0-45。=NB,

:,AE=BE=与AB=3班,

:・BF=2BE=6五,

:.CF=BF・BC=6近-6,

故选：D.

【点评】此题考查了折叠的性质、菱形的性质，熟记折叠的性质、菱形的性质是解题的关键.

10.（3分）（2025•河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的

变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数以与车速v（4加〃）之间的函数关系如图所示.下列说法

A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9

B.当叱区6（）时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小

C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71,车速应不低于

D.若车速从254〃也增大到60%〃?/人则这款轮胎的摩擦系数减小0.04

【考点】函数的图象.

【专题】函数及其图象：几何直观.

【答案】C

【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确.

【解答】解；由图象可得,

汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为（）9故选项力说法正确，不符合题意；

当婚咚60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，以选项夕说法正确，不符合题意；

要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71,车速应不超过60桁湖，故选项C说法错误，符合题意；

若车速从25A7〃小增大到60切泌，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04,故选项。说法正确，不符合题意;

故选：C.

【点评】本题考查了函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键.

14

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）（2025•河南）请写出一个使7^二不在实数范围内有意义的x的值：0（答案不唯一）.

【考点】二次根式有意义的条件.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】0（答案不唯一）.

【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可.

【解答】解：若古行在实数范围内有意义，

则5-x>0,

解得烂5,

即x的值可以是0（答案不唯一），

故答案为：（）（答案不唯一）.

【点评】本题考杳了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.

12.（3分）（2025•河南）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各

随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为s甲2=3.6,5乙2=5.8,则这两

种小麦长势更整齐的是甲（填“甲”或“乙

【考点】方差：算术平均数.

【专题】统计的应用；数据分析观念.

【答案】甲.

【分析】根据方差的定义求解即可.

【解答】解：•・'甲2=36s乙2=5.8,

:.S甲2Vs乙2,

••・这两种小麦长势更整齐的是甲，

故答案为：甲.

【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个

量.方差越大，则平均值的离数程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳

定性越好.

13.（3分）（2025•河南）观察2》，4»,6?,8x4,-,根据这些式子的变化规律，可得第〃个式子为2〃/.

【考点】规律型：数字的变化类；单项式.

【专题】规律型.

【答案】2M.

15

【分析】已知式子，得到第〃个式子为2〃・一,即可得到答案.

【解答】解：第1个式子：2X=1X2・/,

第2个式子：4A-2=2X2-X2,

第3个式子：6X3=3X2«X3,

第4个式子：8X4=4X2*X4,

观察发现,第〃个式子为2〃/,

故答案为：2〃/.

【点评】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现•般规律是解题关键.

14,（3分）（2025•河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研

究“割圆术”时的一个图形，盘所在圆的圆心为点O,四边形力8。。为矩形，边。。与。0相切于点区

47T

连接4K,^ABE=\5°,连接OZ?交44于点八若38=4,则图中阴影部分的面积为f-2\/5一.

【考点】切线的性质：扇形面积的计算；矩形的性质.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

47r

【答案】7-2g.

【分析】根据切线的性质得到O£_LCQ，根据矩形的性质得到48〃。。，得到根据垂径定理

求出力凡解直角三角形分别求出04、OF,根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案.

【解答】解：•・•边8与O。相切于点八

：.OE±CD,

•••四边形力AC。为矩形,

:.AB//CD,

J.OEVAB,

：,AF=FB=^AB=1X4=2,

16

由圆周角定理得：ZAOE=2ZABE=30°,

：.OA=2AF=4,

由勾股定理得：0F=7。空一”2=山2-22=26,

贝US用影部分=S皿形AOE-SAAO/-3^^4_1x2x2，5=等-2^3,

47r_

故答案为：—-2x/3.

【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、矩形的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径

是解题的关键.

15.（3分）（2025•河南）定义：有两个内角的差为90。的三角形叫做“反直角三角形”.如图,在△C5C中,

2511

AB=AC=5,8C=8,点尸为边8c上一点，若△4PC为“反直角三角形”，则8P的长为.

42

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质.

【专•题】多解填空题；三角形.

■25A1

【答案】二或

42

【分析】分情况讨论：①当//尸C-NC=90。时，过点力作力。J_8c于点。，由等腰三角形的性质得

4BBD

到8。=。。=4,证明△4。8s△以&得到t=不，即可求出8尸的长：

BPAB

②当N4PC-NC4P=90。时，过点P作8c交彳。于点由等角对等边得到4M=PA/,再证明

△CMPs^CAD,设CP=X,进而得出PM=1X,CM=1V,根据4C=4W+CM=/M/+CM,求出x的值，

即可求出8P的长；

③当NC4P=NC+90。时，利月锐角三角函数，得出NC>30°,N84CV120。，即此种情况不存在；

④当NC4P=N4PC+90。时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解.

【解答】解：・・"8=4。=5,

:,NB=/C,

*：NAPC=NB+NBAP,

：.NAPONB,

，Z/4POZC,

17

若△4PC为“反直角三角形”，

①当NXPC・/。=90。时，过点力作力。_L8C于点。,

：.BD=CD=^BC=4,

：,AD=7AB2-BD2=3,

•:NB=NC,

AZJPC-NB=NBAP=90。,

•:/B=/B,N/1DB=NR4B=9O。,

:AADBS4PAB,

.ABBD

••丽二布’

•_54

•♦__=一,

BP5

・・・吁得

②当N/f产C-NC4P=90°时，过点P作PM1BC交AC于点M,

/.ZAPC-ZAPM=ZCPM=90°,

：,ZCAP=ZAPM,

：.AM=PM,

■:PM1BC,ADLBC,

:.PM〃AD、

：.XCMPs»CAD、

.CPPMCM

'*'CD='AD=元’

®CP=x,贝IJ8尸=8-x,

18

：,AC=AM+CM=PM+CM=^x+^x=5,

44

.5

.»x=于

：.BP=8-^=~

③当NC/1P=NC+9O。时，如图，在C8上截取C£=/if,连接/E,过点/!作/1OJ_8c于0,过点上作

EFLAC于F,

A

rBDEC

则NE4C=NC,/ADE=NPAE=9G0,

又；/AED=/PEA,

:AAEDSAPEA,

AEED

•t•—

PEAE

,:CE=AE,EF1AC,

/.JF=CF=ijC=1,

VZJZ)C=ZEFC=90°,ZC=ZC,

:.ACEFSACAD,

5

.££_££即生一2

ACCD54

25

：.CE=^-=AE,

7

：,DE=CD-CE=

同理可得："EDSAPEA,

25

.竺一丝叩空.亘

^AE~DE'即至一Z'

88

19

又*：BE=BC-CE=——

o568

；.PE>BE,即点P在C8的延长线上，不符合题意：

④当NC4P=N/1PC+90。时，

;当点尸与点8重合时，NXPC最小，此时N4PC=N8>30。，

同③理可证，此种情况不存在；

综上可知，BP的长为手或斗，

42

故答案为：与或二.

42

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和用质等知识,

理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关犍.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.（10分）（2025•河南）（1）计算：妮+（ir-1）0-V3xV3：

（2）化简：（x+1）2-x（x+2）.

【考点】整式的混合运算；实数的运算.

【专题】实数；整式：运算能力.

【答案】（1）0；

（2）1.

【分析】（1）利用立方根的定义，零指数幕，二次根式的乘法法则计算后再算加减即可：

（2）利用完全平方公式，单项式乘单项式法则展开，然后去括号并合并同类项即可.

【解答】解：（1）原式=2+1-3

=3-3

=0：

（2）原式=x2+2x+l-（X2+2J）

=『+2x11-，2A

=1.

【点评】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

17.（9分）（2025•河南）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十

届全国学生“学宪法讲宪法”活动.某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随

机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、

分析，部分信息如下.

20

得分统计图

统计量年级

七年级八年级

平均数7.867.86

中位数a8

众数7b

优秀率38%C

根据以上信息，回答下列问题.

(1)表格中的。=7.5，b=8,e=22%

(2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由.

【考点】众数；中位数.

【专•题】统计的应用；数据分析观念.

【答案】(1)7.5,8,22%；

(2)七年级学生对宪法法治知识的掌握情况更好，理由见解析(答案不唯一).

【分析】(1)根据中位数、众数的定义可得。、6的值，先求出八年级测试成绩在9分或9分以上人数

所占百分比可得c的值；

(2)可从中位数、众数、优秀率角度分析求解.

【解答】解：⑴•・•七年级测试成绩的第25、26个数据是7和8,

即八年级测试成绩的中位数竽=7.5,

八年级测试成绩8分出现的次数最多，

工八年级测试成绩的众数8=8,

八年级测试成绩在9分或9分以上人数所占百分比为(6+5)+50xl00%=22%,

21

.•・c=22%,

故答案为：7.5,8,22%；

（2）七年级学生对宪法法治知识的掌握情况更好，理由如F：

•・•八年级测试成绩的优秀率小于七年级，

，七年级学生对宪法法治知识的掌握情况更好（答案不唯一）.

【点评】本题考查了众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是解题的关键.

18.（9分）（2025•河南）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xQy中，其中含30。角的三

角板O力8的直角边。4落在y轴上，含45。角的三角板CMC的直角顶点C的坐标为（2,2）,反比例函

数歹=5（x>0）的图象经过点C.

（1）求反比例函数的表达式.

（2）将三角板048绕点。顺时针旋转90。，48边上的点。恰好落在反比例函数图象匕求旋转前点

【考点】待定系数法求反比例函数解析式：等腰直角三角形：坐标与图形变化-旋转：反比例函数图象

上点的坐标特征.

【专题】平面直角坐标系；反比例函数及其应用.

【答案】（1）y=3（2）。（-1,4）.

【分析】（1）把C的坐标为（2,2）代入反比例函数、=§。>0）,即可得到答案；

（2）求解。。2=22+22=8,证明4C=C。，求解力。=VCO2+/C2=4,如图，△048旋转到△。底尸

的位置，。点对应G点；可得0E=O4=4,结合。的对应点6在、=:的图象上，可得£G=1,进一

人

步求解即可.

【解答】解：（1）•••含45。角的三角板。1C的直角顶点C的坐标为（2,2）,反比例函数y=§（%>0）

的图象经过点C,

・・・A=2x2=4,

22

，反比例函数的表达式为：y=%

（2）VC（2,2）,

,0^=22+22=8,

•・•含45。角的三角板。IC为等腰直角三角形，N4CO=90。,

：.AC=CO,AO=VCO2+AC2=4,

如图，旋转到△。£厂的位置，。点对应G点，

**yG=1»

：,EG=\,

由旋转可得：AD=GE=\,

工。（-1,4）.

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理

解题意是解本题的关键.

19.（9分）（2025•河南）如图，四边形/13C。是平行四边形，以8c为直径的圆交力。于点E.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）.

（2）若点七是力。的中点，连接。力，CE.求证：四边形47CE是平行四边形.

【考点】作图一复杂作图；平行四边形的判定与性质.

【专题】作图题；几何直观；推理能力.

【答案】见解析.

23

【分析】（1）作线段8c的垂直平分线，垂足为。，点。即为所求;

（2）证明/E=CO,4£〃CO即可.

【解答】（1）解：如图，点。即为所求：

（2）证明：•・•四边形力8C都是平行四边形，

：・AD=BC,AD//BC,

•・,£是的中点，。是8C的中点，

VAE=DE=C）C=OB,

'：AE//OC,

・•・四边形彳。"是平行四边形.

【点评】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题.

20.（9分）（2025•河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种

苹果.已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种军果的售价之

和为800元.

（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价.

（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数.求

该公司最少需花费多少元.

【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用

24

意识.

【答案】（1）甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元；

（2）该公司最少需花费1080元.

【分析】（1）设甲种苹果每箱的售价为。元，乙种苹果每箱的售价为力无，根据2箱甲种苹果和3箱乙

种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元；列出二元一次方程组,

解方程组即可；

（2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12-x）箱，根据乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数，

列出一元一次不等式，解得应6,再设该公司需花费w元，根据题意列出w关于x的一次函数关系式，

然后由•次函数的性质即可解决问题.

【解答】解：（1）设甲种苹果每箱的售价为。元，乙种苹果每箱的售价为6元，

根据题意得:

解得：记墨；。,

答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元；

（2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12-x）箱，

根据题意得：12-xSx,

解得:A>6,

设该公司需花费元，

根据题意得：w=100x+80（12-x）=20x+960,

V20>0,

随x的增大而增大，

・•・当x=6时，w有最小值=20x6+960=1080,

答：该公司最少需花费1080元.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键

是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一

次函数关系式.

21.（9分）（2025•河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪

念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下.

活动主题测量纪念碑的高度

25

实物图和测量示意图

测量说明如图，纪念碑位于有台阶的平台8c上，太阳光下，其顶端力的影子

落在点。处，同一时刻，竖直放置的标杆。E顶端E的影子落在点尸处，

位于点〃处的观测者眼睛所在位置为点N,点N,E,力在一条直线上，

纪念碑底部点B在观测者的水平视线上.

测量数据DE=2Am,DF=2.\m,DM=lm,MN=1.2m.

备注点凡M,D,C在同一水平线上.

根据以上信息，解决下列问题.

（1）由标杆的影子。尸的长和标杆OE的长相等，可得CO=C4,请说明理由.

（2）求纪念碑48的高度.

（3）小红通过间接测量得到CO的长，进而求出纪念碑力4的高度约为185〃.查阅资料得知，纪念碑

的实际高度为19.64〃?.请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因

（写出一条即可）.

【考点】相似三角形的应用.

【专题】图形的相似；应用意识.

【答案】（1）见解析：

（2）纪念碑力4的高度为19.8m.

（3）小红的结果误差较大，理由见解析.

【分析】（1）根据平行投影的性质可得喋=黑，即可证明结论；

CDDF

（2）令BN与DE的交点、为H,则四边形4COH和是矩形，设证明也

EHNH

得到不7=求出x的值即可；

ABNB

（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可.

【解答】解；（1）