均值不等式（含答案）

第1节均值不等式

（要点提炼:\

1.二元基本不等式

2.分式不等式

3.柯西不等式

（4.权方和不等式J

一、知识点梳理

1.二元基本不等式

（1）。+822，石（〃,。＞0）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况

（2）,心《（史叱]:多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况

I2]

（3）1+序22出?，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等

式的适用范围。,。£宠

（4）利用均值小等式求最值遵循的原则：“一止二定三等“

2.分式函数求最值

⑴仆）=竺业型.

X

ZYY+/h

对干形如/（X）=——的函数，总可以变换成/（1）=4+—转化为反比例函数进行求解.

XX

（2）“6二竺女型.

cx+d

对于形如/（不）=竺士乌（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元r=cx+d,可转化为

cx+d

/（。二旦詈的形式，进而上述（1）中进行求解.

（3）y二竺二处小型.

X

形如y=的函数可通过分离常数转化为y=+的形式，进而可依靠），二X±q的图像

XXX

（即双勾函数或飘带函数）来研究，再求出值域.

2

//、ax+bx+c

（4）y=--------------型#|.|

dx+e

形如丁=竺上处工£可通过换元T=dr+e将问题转化为（3）,然后进行求解.

dx+e

共同点：让分式的分子变为常数

3.“1”的代换

mninn

已知如+用，=1（。,b均为正数），求一+一（，〃，"，x，y均为正数）的最值，或者”+勿=/加，求一+一

xyxy

的最值（见唯均为正数）.

这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求

较高，需要重点突破.

4.n元均值不等式

设4,生，…，〃〃均大于零，则记Q“+…，4=4+生；"+"”

______H=___________

3=弧—“_」_+_1十…+_L，则°>A>G>H，其中等号成立的条件是

q6凡

—…一”认，3也分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平坳

5.柯西不等式

若4.也eR（i=l,2,…则（£心（力岑）2这她/,当且仅当4=屹（1=1,2,…时等号成立.

i=lf=lf=l

2

6.权方和不等式

匕+92哼（速解“1”的妙用）

aba+b

3

二、题型归类

1.基础和积转换

例I.若实数X，〉满足：x,y>0,3xy-x-y-\=0,则冲的最小值为（）

A.IB.2C.3D.4

解析：因为3盯-x-y-l=O,所以3孙-l=x+y,由基本不等式可得3町，-1=x+），22而，

故3xy-2Jxy-1N0,解得Jxy>1或y[xy<-^（舍），即xy21当且仅当x=1y=1时等号成立，故八）,的最小

值为h故选：A.

【变式练习】

I.若〃>0,h>0,且〃〃=3a+3〃+27,贝lj〃〃的最〃、值为（）

A.9B.16C.49D.81

解析：由题意得《而=3。+38+2726痴+27,得—6而-27=（而一9）（而+3）20,解得血29，即

ah>81,当且仅当”=〃=9时，等号成立.故选：D

2.若正实数x，y满足2x+8），-p=0,则二一的最大值为（）

x+y

913I

A.-B.-C.-D.一

5679

78

解析：vx>0,y>0,2x4-8y-xy=0,=J,

），x

x+y=+=2+8+2+越22^1^^+10=18,W2二1.故选:D.

'\yx）yx\yxx+），189

2.分式不等式

例2.求函数/（幻二°°。>2）的值域.

x-2

解析：/（X）=）3X+3x«2,y）...设X—2=]，〉0）.于是问题转化为求

x—2,

4

〃（。=（'+2）_3（/+2）+3=/+1+］（/>0）的值域,由对勾函数当r=1时取等号，即

/(x)e[3,+oo).

【变式练习】

1.设工>-1,求函数），二（―+51i+2）的域小值为

x+1

思路：考虑将分式进行分离常数，青=»5）（>t2）="+1+±+5,使用均值不等式可得:

x+\X+1

y>2J（x+l）--+5=9,等号成立条件为x+l=/一=x=l,所以最小值为9,答案：9.

V7x+1尤+1

工2+3

2.已知x>l,则二上2的最小值为（〉

X-I

A.6B.8C.10D.12

解析：因为x>l,所以x-l>0,

43=（尸）：+2（1）+4=1+2+±22+2］一1），=6,当且仅的工-1='；，即工=3时等号

x-1x-\x-\V7X-}x-\

成立.故选：A.

3.“1”代换

例3.已知x>0,y>0,且21+），=d，则x+2y的最小值为（）

A.8B.8及C.9D.9拉

21

解析：因为21+丁=孙，x>0,?>0,所以一+—=1,

yx

/.x+2j=（x+2j）fL2］=I+4+型+25+2但二=9,

,'Y工y）xyVxy

当且仅当x=y=3取得等号，则X+2），的最小值为9.故选：C

5

【变式练习】

I.已知正实数满足，+〃=：5,则一4^十一9^的最小值为()

3a+2b2a+b

A.6B.5C.12D.10

解析：因为〃+8=所以3〃+33=5,而。>0,。>0,

49\(49V,,\{4(2«+b)9(a+2力))

----4------=------+-----\(a+2b+2a+b)x=-4A+9n+--+-------

。+2力2a+b5(。+2〃2a+bJy75(a+2b----2a+b]

2：113+2必噌芈乎|=5,当且仅当4(2"也9(”2成,即〃=助=：时，等号成立.故选：B

5Va+2b2a+b+2b2a+b3

Xza

1+vI

2.正实数x,y满足x+y=i,则」■+一的最小值是()

xy

A.3+2&B.2+2V2C.5D.y

解析：因为正实数x,)'满足x+y=i,所以3+L="kv+虫=2+―+土

xyxyxy

/?vrr-[x+y=\「r-

>2+2=2+2>/2,当且仅当,厂，即x=2-©y=0-l时等号成立.

Vxy[x=yJ2y

1+v1_

故一"•+一的最小值是2+2&.故选:B.

x)'

4.先换元再均值

例4.已知正实数X,y满足=1,则X+)，的最小值是_______

x+3y2x+y

_日।3〃-tn2m-n―

解析：令加=x+3y,〃=2x+y,则工=--—,y=---.从而

/-手=!(…)〔宗卜以3+：吟上1^・所以工+)，的最小值是

3+2夜

甘

6

【变式练习】

r*1,1

则-----+-的--最--小值

232〃-13b-\

解析:令丁［二%，"1=)'，则,+<==+&7=7,去分母化简得：冲—5x—y=7,所以*-1)(〉，-5)=12,

2a-13babx+1y+\

31.------------------24

所以V~~；+:^~r=3x+y=3(x—l)+(y-5)+8N2j3(x—l)()，—5)+8=20,当且仅当。=彳力=时，等号成

2a-13b-\3117T

立.故答案为：20

2-已知x>°»°且备则f的最小值为——

解析：令a=2%+l,b=y+\,因为x>0,y>0,所以a>l/>1,则尸空■尸/一，所以f,所

,.a-\.,a,3(a.Y11)3

Wx+y=_==

ba

片豆

\.ha3ha〃xJ收11bX6片产也

+1++-=+>2,一"I■­=1

2a2b2a2b〃2b,当且仅当ab即2,。=&+1,即2

时取“="，所以x+y的最小值为五.故答案为：6.

5.权方和不等式

549

例5.已知正实数”,人满足〃则二14r的最小值为（）

3a+2Z?2a+b

A.6B.5C.12D.10

解析：解法1：因为〃+〃=：,所以3。+3b=5,而a>0力>0,

49If491〜c1,八4(2a+b)9(〃+2匕)、

--------+---------=----------+--------(a+2Z?+2〃+Z?)=-4+9+

a+2b2a+b5\a+2b2a+bj5a+2b2a+b

r+2尊亨卜，当且仅当笔经卷

即a=4/?=g时，等号成立.故选：B

492232(2+3『4

解法2.——4-——=^-+—>U<=5,等号成立当且仅当〃=46=2.

a+2b2a+b〃+lb2a+b3a+3b3

7

【变式练习】

1.已知正数X,)，满足x+y=I,贝!1+2的最小值为____.

厂厂

解析：由权方和不等式，］+2=£+马之牝乂=27,当且仅当，=2时取等号，结合x+),=i可得x=

厂y厂>r(工+疔")’3

)，=2,所以，.+乂的最小值为27.

3xy

2.设x,)，£/?’,且x+y=l,则上一+——的最小值为____

x+2y+1

解析：分式和放小，考虑权方和工+工2("+)'1=’,最后考虑取等:

x+2)+1x+y+34

「VJ

“+2y+13-3

6.柯西不等式

例6.已知x,)，,zeR~且x+y+z=l则/+产+z?的最小值是()

12

A.1B.-C.-D.2

33

【答案】B

【解析】由柯西不等式可得：

(x2+),2+z2)x(i2+l2+l2)>(x+y4-z)2=1,gp3(x2+j2+z2)^l

1x=V=Z1

所以f+y2+z2共，当且仅当｛-।即X=)，=Z=；时取等号，

故八丁+z2的最小值为:，

故选：B.

【变式练习】

1.函数/(%)=3j4-3x+J3x-2的最大值为()

A.2行B.2x/3C.12D.20

8

【答案】A

4—3x>0o4Fo4

【解析】由Q''，解得彳工”（所以函数“X）的定义域为-，，

JX-22Un33T

由柯西不等式得，f（X）=3J4-3%+J3x-24附+/）（4-3x+3x-2）=2后,

3111

当且仅当万亮=五;5,即工二同时等号成立，所以/（力的最大值为2石.

故选：A.

2.由柯西不等式，当》2y+z=4时，求«+4+”的最大值为（）

A.10B.4C.2D.710

【答案】D

【解析】由柯西不等式，得（x+2y+z）（4+2+4）N（24+24+2〃）2,

当且仅当；=曰=2,即x=z=g,y=］时，等号成立.

因为x+2y+z=4,所以（6+6+Gf410,

贝故&+5+五的最大值为加.

故选：D

【过关检测】

3

1.求函数)，=d(3-2x)(0<x<：5)的最大值________

33

解析：,/0<x<—,.,.3-2x>0,=x2(3-2x)(0<x<—)=x-x-(3-2x)

22

«[X+X+：—2X)[3=],当且仅当X=3-21即%=1时，“=”号成立，故此函数最大值

2.若。>-3,则々2+64+I3的最小值为()

4+3

A.2B.4C.5D.6

9

4

解析：因为。>-3,所以。+3>0,-；>(),由基本不等式得

/+6"13=("3)-+4*士/工=4,当且仅当4+3=2,即。=T时，等号成

立,故也,a+13的最小值为4故选:B

a+3

3.已知正实数。力满足2a+8=l.则苧二的最小值为()

u~十ab

A.3B.9C.4D.8

5a+b4a+(a+b)41(41V/.xn

解析：4〃均为正实数，=-7—TT-=—r+-=—+-[(«+/?)+«]

a2+aba(a+b)a+ba\a+ba」

=4+1+4。+""5+2/4。.。+空9,当且仅当^=上女，即〃=/,=；时，等号成立.故选：B

a+baNa+baa+ba3

4.若x>0,y>0,x+3j=l,则7--的最大值为()

3x+y

A.-B.—C.—D.—

9121620

解析：因为x>0,y>0,x+3y=],

则22=2+l.=(3+_L](x+3)，i=卫+包+10N25五+10=16,当且仅当皂=之时，即％=)，=1时,

八了y%IyxJ'yx\yxyx4

等号成立；所以。<#二《白，即不?一的最大值为二，故选：C.

3x+y163x+y16

5.已知实数x，V满足/一孙+）,2=],则x+y的最大值为

A.IB.2C.3D.4

解析：原式可化为：（x+y）2=l+3wWl+3（平）2,解得—2。+>2,

当且仅当工=y=i时成立.所以选B.

6.若实数%)，满足V+V+p=],则x+y的最大值是

,,2\/3f-y.C2

A.6DB•-----C•4D.77

33

解析：/+/+冷,=l=(x+y『-孙=1「.•盯,.•.(x+y『一<J,

10

解得3(x+)，y«i,.2后.门+)，的最大值是三6.故选B.

4333

7.已知x>)>0,则二^的最小值是()

冲一y

A.2+6B.石+2C.2无+2D.2

22f-V+1

解析：£±Z=L>J_,设/-二，则/>1.

xy-Vx_jy

/X\2.

+1

于是q加=！^12=乂+2…-2.

xy-y£_jt-\t-\t-\r-1t-\

y

令y=/+1+AJQ>1),贝ij):=,一:+^+2>2^(/-1)•—+2=2+2&»

当＜2，即，=血+1，也即x=(l+行)y时，匚与•取到最小值20+2.故选：C

t-\=——xy_)：

8.已知a,b>0,a+b=5,则Ja+1+J/?+3的最大值为()

A.18B.9C.3&D.2\/3

【答案】C

【解析】由题意，(，币+N/^7<(l+l)(4+l+b+3)=18,当且仅当而7=时等号成立,

.•.当〃=5，6时，"TT+a3的最大值为3亚.

故选：c.

9.若实数x+2y+3z=l,贝!|炉+/+z'的最小值为()

A.14B.—C.29D.—

14