2026年高考数学复习：重难突破（二十一）中点弦问题（设而不求与点差法）（三类重难点题型）原卷版+解析

重难专攻（二十一）中点弦问题

目录•重难点题型分布

重难点题型1椭圆中的中点弦问题

.置磋写而谢筱丁领到交残吊箭诵瓯丁爹薮甬:凝想:我下筋法薨迪由烹字「芸后根施荚标布]

，况处理该式子。!

\主要有以下几种问题：\

\（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；j

;中点M（%e。），％=五产，肾二”2、:

22

椭圆中的中点弦解题步骤：

第一步：若A（R，X）,6（占,%）是椭圆=十[=1（。〉/7>0）上不重合的两点，则b~,

ab~r2v2

誓+乌=1

第二步：两式相减得5+-与）+（y+%孕一％）二0,

a~b~

第三步：上二匹是直线A8的斜率女，（士玉，江匹）是线段48的中点（%,%），化简可得

xx-x222

X+%)'「%,此种方法为点差法。

特别提醒：

;若AB是椭圆=+4=1（。＞8〉0）上不垂直于x轴的两点，。是AA的中点，。为椭圆的中心，则直:

a~b~

IiiI

Ii

•线A8与OP的斜率之积为定值

a2

・i■,■・■・・・■・■・・・■・・・・・■・・・・・■・・・・・■・■・■・・・•・・■・■・■・■•■・■・■・■・■・・・・■・■・・・■・・・■・■・・・■・■・・・■・■・■・・・・・・■・■・・・・•■・■・■・■・■・■・■・■・・・■・■・・・■・■・■・■・■・・・■・・・■・■・・・■・■・・・i•

.22

1.（2024•陕西铜川•三模）已知原点为O,椭圆C:=+与=1（稣〃＞0）与直线/：X一）叶1=（）交于A4两点，

a'b'

线段A8的中点为M,若直线QM的斜率为-；，则椭圆。的离心率为（）

A.iB.@C.上1D.近

2223

2.（2024・陕西安康•模拟预测）已知椭圆C：二+[=1（]＞力＞0）,过点加（毛,兄）作倾斜角为£的直线与。交

a~D4

于A,8两点，当M为线段48的中点时，直线OM（。为坐标原点）的斜率为-g,则C的离心率为（）

A.克B.3C.在D.如

3333

3.（2024•江西鹰潭•一模）已知椭圆E：5+卷=1（。＞〃＞0）的左焦点为尸，如图，过点尸作倾斜角为60。

的直线与椭圆E交于A,8两点，M为线段A8的中点，若5^M|=|O曰（。为坐标原点），则椭圆E的离

4.（23-24高二上•浙江杭州•期中）已知椭圆/+的右焦点和上顶点分别为点F（cO）S"）

和点A,直线/:缶-丁-4=0交椭圆于2，Q两点，若尸恰好为aAP。的重心，则椭圆的离心率为（）

A.立B.空C.旦D.也

3332

5.（2025・天津宁河•模拟预测）已知椭圆+£=过点（-夜』），长轴长为2石，过点C（TO）且

斜率为4的直线/与椭圆相交于不同的两点A、B.

⑴求椭圆的方程；

（2）若线段A8中点的横坐标是求直线/的斜率；

⑶在x轴上是否存在点M,使+是与后无关的常数？若存在，求出点〃的坐标：若不存在,

3^+1

请说明理由.

6.（2025•湖北襄阳•模拟预测）已知椭圆「：—+^-=1,左右焦点分别为匕，F2,上下顶点分别为4,B,

43

左右顶点分别为C,D,又P,。是「上异于椭圆顶点的两点.

⑴若点。在第一象限且满足-A3。的面积比△£工。的面积大，求点Q的横坐标的取值范围；

（2）若线段PQ的中点坐标为求直线PQ的方程；

X乙）

⑶记点A在直线PQ上的射影为点〃，且直线CP的斜率是直线DQ的斜率的3倍，试判断：过点A、H、O

（。为坐标原点）三点的圆是否为定圆?若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.

重难点题型2双曲线中的中点弦问题

■・■•SM・••・・・・•・•・•■・・（・•・•・••・・・•■■・■•・・・・••・・■・■・■•■■・・■■•・•・・■・・••・•・••■・^B••・・■•・•・•■•■・・••・•■・•・・■•・•・••・・・••・・・•■・・・•・•・•・•■・ay

双曲线用点差法，式子可以整理成：]二,：（另+y2）（,-%）=1=^~.A

（M+/）（王一工2）卜Xo

1.（2025•湖南邵阳•三模）已知直线/：y=3x+l与双曲线£二-二=1（00/>0）相交于A,R两点,且弦

a~b~

（34、

的中点是M-不一三，则此双曲线E的渐近线方程为（）

A.y=±yf2xB.y=±-xC.y=±2xD.y=±45x

2.已知双曲线E:£-京=1（。>0状>0）的右焦点为尸（5,0）,过点产的直线交双曲线E于A、B两点、.若AB

的中点坐标为（6,-2）,则E的方程为（）

A.二一£=1B,t—£=1

520169

C.上一上=1D.上―？=1

9161510

3.（2025•山西临汾•二模）已知双曲线E:二-与=1（。>0/>0）的左焦点为F,过点尸且倾斜角为45的直

ab~

线与E的左支交于AB两点，M为线段A3的中点，若|M目=4行|OF|（0为坐标原点），则双曲线E的离

心率是.

4.已知双曲线££-1=1（〃>0力>0）,斜率为-:的直线与E的左右两支分别交于AB两点，点。的坐

a~b-9

标为（-1/），直线4。交E于另一点C,直线8尸交E于另一点Q.若直线CO的斜率为-，则E的离心率

为.

5.（2025•安徽•模拟预测）己知双曲线E:Y_[=1的一条渐近线被圆£:（x+2/+/=a\a>0）截得的弦

长为2标,点人的坐标为（2.0）,点。在圆匕上，线段P"?的垂直平分线交线段于点Q.

⑴求动点Q的轨迹曲线C的方程；

（2）斜率为/的直线〃?交双曲线£于点A,B,若弦A8的中点M恰好在曲线C上，求点M的坐标；

⑶记双曲线E与曲线C在第一象限的交点为MN£N尼的平分线为〃，在曲线C上是否存在不同的点s,r,

使得点关于直线〃对称？若存在，求出S,7,所在直线方程，若不存在，请说明理由.

6.（2024•河南新乡•二模）已知"2,0）是双曲线£：［一*.=1（〃>0,〃>0）的右焦点，过点尸的直线/与E交

a'b~

于A.8两点（不同于E的顶点），当直线/过点C（-1,-3）时，C恰为A8的中点.

⑴求E的方程；

\DF\

⑵设M,N分别为E的左、右顶点，AM与BN交于点RAN与BM交于点Q,若。为尸。的中点，证明相

为定值，并求出该定值.

重难点题型3抛物线中的中点弦问题

设直线和曲线的两个交点A（』,y）,例为，）’2），代入抛物线方程，得y：=2p百；）/=2%；，

I

I

将两式相减，可得（乂一%）（乂+旷2）=2〃区一々）；整理得：上二”=口一

再一看凹+）‘2

..........................................................................................................................................................i

1.（2024•山西临汾•二模）已知抛物线C:）尸=4%,过点的直线/与C相交于4,B茯点,且M为

弦48的中点，则直线/的斜率为（）

13

A.--B.——C.—1D.—2

24

2.如图，已知抛物线氏丁=2度（〃>0）的焦点为尸，过尸且斜率为1的直线交E于A,/1两点，线段48

的中点为M，其垂直平分线交x粕于点C，的_1），轴于点川.若四边形0。必义的面积等于8,则E的方程为

C.丁=4瓜D.y2=8K

3.（2024・广东•模拟预测）已知。为坐标原点，点A8在抛物线E:.，=4y上，^,OAOB=0,OD=OA+OB.

记点。的轨迹为曲线G,若直线/与曲线G交于M,N两点，且线段MN中点的横坐标为1,则直线MN的

斜率为.

4.已知抛物线。：/=2"（〃>0）的焦点为尸，Q（2,3）为C内的一点，M为C上任意一点，且|M@+眼目

的最小值为4,则〃=；若直线/过点Q,与抛物线C交于A,B两点，且Q为线段/W的中点，则△Q48

的面积为.

5.（2025•浙江台州•二模）已知抛物线「：）？=2*（〃>0）的焦点为尸（1,0）,直线/与抛物线「交于A,B

两点，且/呜1）为线段A8的中点.

⑴求抛物线「的标准方程；

⑵求直线/的方程；

⑶过点。（皿1）（〃2<0）作抛物线「的两条切线，分别交/于C,D两点,求,.QC。面积的最小值.

6.（2024•陕西渭南•模拟预测）已知。为坐标原点，抛物线C:），2=2pM〃>0）的焦点为尸，点A（A）,2p）在C

上，且sin/Q4F=^色.

⑴求C的标准方程；

（2）已知直线/交C于M,N两点，且的中点为（2,1）,求直线/的方程.

重难专攻（二十一）中点弦问题

'目录•重难点题型分布

【喊过B随0邮丢

ZHINENQJIANCE

重难点题型1椭圆中的中点弦问题

・・■・一•・・■・・・・・•■•・・・・■・・・・・・・・・■・・・・•・・・・・・・•・・・・・・・・■・・•・・■・・・・・・・・・・・・•■・■・・・■・・・・・■・・・・・・・・・・・・・・・・・・・■・・•・・・•・・・•■・・・・・・・・・■・・•・・■・・•■・■・・・■・・・・・■・■・

直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情!

况处理该式子。\

主要有以下几种问题：\

（1）求中点坐标：（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；

中点M（%，尤），/=\-,先二；-

椭圆中的中点弦解题步骤:

22

X.V.,

22匕+*=1

第一步：若A（内，y）,3（々,），2）是椭圆=+与=1（。>%>°）上不重合的两点，则，ar)

ah~二+江=1

/b2

第二步：两式相减得0L上空口2+SLt&孕二22=0,

ab~

第三步：江”■是直线的斜率々，（小玉，江三）是线段4B的中点（%,%），化简可得

七一工2

江&匚&=—♦=&•&=-《，此种方法为点差法。

X）+xX）x

2-x2cr0a~

特别提醒：

;若AB是椭圆=+4=1（。>8〉0）上不垂直于x轴的两点，。是AA的中点，。为椭圆的中心，则直:

a~b~

I从I

!线A8与。户的斜率之积为定值一夕

・i■,■・■・・・■・■・・・■・・・・・■・・・・・■・・・・・■・■・■・・・•・・■・■・■・■•■・■・■・■・■・・・・■・■・・・■・・・■・■・・・■・■・・・■・■・■・・・・・・■・■・・・・•■・■・■・■・■・■・■・■・・・■・■・・・■・■・■・■・■・・・■・・・■・■・・・■・■・・・i•

.22

1.（2024•陕西铜川•三模）已知原点为O,椭圆C:=+与=1（稣〃>0）与直线/：X一）叶1=（）交于A4两点，

a'b'

线段A8的中点为M,若直线QM的斜率为-；，则椭圆。的离心率为（）

A.iB.@C.上1D.近

2223

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数

【分析】设同&,））6（%%），则由点差法求解离心率即可.

【详解】设人（不）1）攻马,必），则知（^^,号左

护=(y—%)(乂+%)

，两式相减可得一

/(%72)(王+々)

故选：B

2.（2024•陕西安康•模拟预测）已知椭圆C：J+，=l（4>/7>0）,过点/（9%）作倾斜角为5的直线与。交

于A,8两点,当M为线段A8的中点时，直线OM（。为坐标原点）的斜率为-g,则C的离心率为（）

K&B.2C.有D.石

3333

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数

【分析】利用点差法可得近二&=-空，由如目二21二&,%=&=-1可得耳」，川求椭圆的

2

x,-x2a~y0xt-x2x03a3

离心率.

江+£=1

a2b2

【详解】设孙必），所以，

X?yl.

—+-^-=-=1

a2h2

两式相减得与+0=0,即鱼坐5=上M,

a-b~crb2

七+%=2.，所以（斗一电）--「（》一必）儿整理得三~簧

又

71+%=2%，、片—b1

又小吒…处，如号=《所以』》（-3），所吟j

所以椭圆C的离心率6=

故选：D.

3.（2024•江西鹰潭•一模）已知椭圆E：〉方=1（。>〃>0）的左焦点为尸，如图，过点尸作倾斜角为60。

的直线与椭圆E交于A,3两点，M为线段AB的中点，若5忻M|=|O曰（。为坐标原点），则椭圆E的离

【答案】B

【难度】0.65

【知以点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数

【分析】根据题意求出M点坐标，再利用点差法求得上，进而可得椭圆离心率..

a~

【详解】依题意，椭圆的左焦点为*-c,0）,\FM\=~\OF\=^-cf

JJ

过M作MM'_Lx轴，垂足为M',由NMKW=60°,

a\FM，\=^\FM\=^c,M

设Aa，yjB（"K）,则有正&=tan6（r=G,土马=一2°,江&=立。，

Xf210210

v

由¥+*=L*生i,两式相减得a+wff）+（，+烈—）=。,

u'b~a~b~a~b~

.

则有小尹吟斗事港4

a~（菁+匕）（％-8）_2°3

5

所以吒=「？=「!¥,

故选：B.

4.（23-24高二上•浙江杭州•期中）已知椭圆?+*=1Q〃>0）的右焦点和上顶点分别为点小⑼。>c）

和点A,直线/：gx-y-4=0交椭圆于尸，Q两点,若尸恰好为△APQ的重心，则椭圆的离心率为（）

A.正B.迫C.旦D.也

3332

【答案】A

【难度】0.4

【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率

t2

【分析】首先设PQ的中点M,由力:差法得七/“=-%,再根据重心的性质求得点M的坐标，联立求得

椭圆的离心率，再结合条件人〉c,即可求解.

【详解】设险,%）,。（%必），P。的中点为点”（%，%），

,M2

y

1

-+-

72二I

力

<,两式相减得a+”2）q―/）+a+）

,2月R—H=0

y

2

+-=i"

*2

沙

、

化解得（（：；累;））二号即2"=与得"”4

所以《"=一翼

2a

F(GO),4(0,3，由尸恰好为A4PQ的重心,

3c

则A〃=2五M，即(。,询=2(七一。,%)，得飞二至,^o=--b

.-b

即例仔k=丁，

，V).OM3c

所以-笋-2,贝1」2/=3辰，平方后得2/=96好=9(。2-/)。2,

3(

42

9cJ9a2c2+2a,=0,即9e+2=0o（3?-1）（3^-2）=0,

解再：e=或e=g>

33

由条件。〉C,得〃2>c2,即/一°2>—得0<e<立，

【点睛】方法点睛：本题考查了求离心率的方法，①可以直接求出0C求出离心率，②由条件构造关于0C

的齐次方程，即可求解离心率.

5.(2025•天津宁河•模拟预测)已知椭圆捷+白1(〃＞。＞0)过点(-⑸)，长轴长为2后过点。(-1,0)且

斜率为％的直线/与椭圆相交于不同的两点A、B.

⑴求椭圆的方程；

⑵若线段44中点的横坐标是求直线/的斜率；

⑶在x轴上是否存在点M,使M4MB+阳，是与k无关的常数？若存在，求出点例的坐标；若不存在,

.5/C+1

请说明理由.

x*y

【答案】⑴彳+5=1

3

(2)

⑶存在，且点M（!，O

【难度】0.4

【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题、由弦中点求

弦方程或斜率

【分析】（1）由已知条件可得出关了。、力的方程组，解出〃2、"的值，即可得出椭圆的方程；

（2）设点A（x，y）、*天,），2），则司+/=-1，利用点差法可得出-后（乂+%）=-；，结合点（一；,"&

在直线y=&（x+l）上，可得出）i+%=&，代入-&（）l+%）=-：可得出〃的值；

（3）假设在x轴上存在点M（m,0）满足题设条件，设点以不乂）、Ww，%），将直线/的方程与椭圆方程联

立'列出韦达定理,利用平面向量数量积的坐标运算结合MAMB+岛为定值乙可得出

3m2+6/n-l-3r=0

求出机的值，即可得出结果.

MT=O

2a=245

可得T，因此椭圆方程为丁丁1,即X”2r

【详解】（1）由题意可得21

（2）设点4（内,乂）、*三外），则为+々=-1，

因为.V］；，这两个等式作差可得卜；一¥）+3（弁一£）=0,

即44=皿…）T

X］-XjXj-x2X1+x23

由题意可知,直线AA的方程为y=Nx+l），

线段他的中点（一；,巧区（在直线），=Mx+l）上，所以，汉"=，，可得,+%=&，

所以-%（乂+%）=-二=-;，故&=±近，故直线/的斜率为土立.

J33

（3）在x轴上存在点用］,。］,使+是与攵无关的常数.

证明：假设在x轴上存在点”（〃7,0），使是与々无关的常数，

因为直线/过点C(TO)且斜率为K所以，直线/的方程为y=k(x+l),

由F+3y=5得(3公+1)/+6炉彳+3%2-5=0.

y=A(x+l)'/

设A(x”yJ、/..)，2),则内+毛=/中2=*二%

3&十13K+1

因为MA=(X1-m,y),MB=(x2-///,y2),

5

所以MA-M8+=(x-m)(x-m)+yy+

3犬+1l1l2

2

=(xi-m)(x2-m)+k(xi+\)(x2+\)+—^—

3k+1

12

=(1+%2)%*2+(42一机)(芭+x2)+ni+k+—7—

3人।1

=(|+公)^1^+(公一〃?)^1+"尸+/+^

'‘3公+1'73^2+13k2+\

-k2+6mk2+3m2k2+m2

3r+1

-k2+6mk2+〃/

设常数为J,则

3k2+\

整理得(3>+66-1-3/*+〃/―/=0对任意的攵恒成立,

3〃广+6m—1—3r=01

{qA，解/Tl得zrI〃2=Z，

m~-r=06

即在x轴上存在点M”,o',使MA.MB+丁一是与々无关的常数.

\6；3公+1

6.(2025・湖北襄阳•模拟预测)已知椭圆「：—+^-=1,左右焦点分别为6,外,上下顶点分别为A,B,

43

左右顶点分别为C,。，又P,。是「上异于椭圆顶点的两点.

⑴若点。在第一象限且满足-48。的面积比△ZKQ的面积大，求点Q的横坐标的取值范围；

⑵若线段P。的中点坐标为求直线P。的方程；

⑶记点A在直线尸。上的射影为点从且直线CP的斜率是直线。。的斜率的3倍，试判断：过点人、H.（）

（。为坐标原点）三点的圆是否为定圆?若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.

【答案】

(2)3x+2^—4=0

\\

（3）定圆,x+-小-立

2JI-2

【难度】0.65

【知识点】直线的点斜式方程及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数、由弦中点

求弦方程或斜率

【分析】（1）由结合三角形的面积公式可得石|%|>|%|，再由椭圆的方程代入计算，即可

得到结果；

（2）由点差法代入计算，即可得到结果；

G）联立直线。。与椭圆方程，即可表示出点。的坐标，然后联立直线CP与椭圆方程，表示出点P的坐标,

从而表示出直线PQ的方程，即可得到直线P。过定点Fx（-1,0）,

从而得到结果.

【详解】（1）设。（如y）（%>o,%>o）,由sA8Q>S65。,得忻用闻,

所以石闻即3x：>>3

乂因为3L+K=1,所以0<y：=3-啦<3片，

434

解得孚<小<2,即点。的横坐标的取值范围为（竽,2

(2)设M,尸（耳，》），。（七。2），

，两式相减作差可得上K+比』•=（），

43

」（N+.q）（N-巧）4—，“4

13

又所以&>Q=—不，

乙乙

由直线的点斜式可得y-g=-T(x-1)，

化简可得3x+2y-4=0,

所以直线P0的方程为标+2)，-4=0；

►C(-2,0),0(2,0),

人

设在线CP的方程为y=3k(x+2),

直线。。的方程为y="(x2),A<(),

x2v2_

+"

联立TT,消y得(4&2+3)/-16&2/+16公-12=0,

y=g-2)

则2%"母芸'所以“弘

^TKID4k2+3

(8/一6一12%”’8好一6T2、、

所以%=攵〔而5一24r+3'以°、4攵2+3‘4r+3/

xy

+,消得二+公”+公一

联立TT"y(121)/+48484=o,

y=3&(x+2)

48公-4

则-2与=

12公+1

2

所以3=二券二2,所以％=3女(-24k+2.12%

12k+14公+3

-24公+212k

故P

12^+1J2^2+l

-\2k\2k

4公+3-12犬+14%

'i%*%，即hw时，kpQ=

8A2—6—24公+21—火

4k?+312/+1

则直小线也n八的A/方、程—为”y-+12kE:小4k（1一8g5_j6'）

AL

即y=iT（x+i），过定点E（T，O），

I-4k

当/=4,即好=；时，此时小="=-1,

直线尸。过定点£（T,0）,

设H（x。），因为A"_LP。，A010F1,所以过点A,H,O（。为坐标原点）三点的圆即为过点4,6,

O｛。为坐标原点）三点的圆，

因为（x+l）x+y（y-⑹=0过原点，点耳（TO）,点A（0,⑹,

所以过点A,H,0（。为坐标原点）三点的圆是定圆X+；）+>'一曰］=1-

重难点题型2双曲线中的中点弦问题

;双曲线用点差法，式子可以整理成：1='.（另+%）（乂-％）ni=k。迎

b~（x}+x2）（X]-x2）b~x0

■i■・■•■・・・■・■・・•■・■•・•■・・・■•・•■・■・■・■■•■・■・・•・・■・■・■・・•■・・•■・■・・•■・■•・•■・■・・・■•・•■・・,■・■・・・・・■・・・■・■・・•■・■•・•■・■・■・■・・•■・■・■・■・・•■・■・・•■・■・・・■・・•■・■・・・■・■・■•・i

1.（2025•湖南邵阳•三模）已知直线/：y=3x+l与双曲线£:-二=1（4>0*>0）相交于A,B两点，且弦

a~b~

（34、

的中点是M,则此双曲线E的渐近线方程为（）

A.y=±y/2xB.y=±gxC.y=±2xD.y=±y/5x

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数

【分析】利用点差法，求即可求双曲线的渐近线方程.

【详解】设A（x，yJ,8（七,必）,

K_E=i

则":h\,两式相减得8-F）"也）-七十旦县包=0,

（y+%）（y一%）（内+勺）二。-8x36,

即^3—0,即勺=2

丁一溟一°。4

所以双曲线的渐近线方程为y=±g、=±2x.

故选：C

2.已知双曲线£!-5=1（00/>0）的右焦点为尸（5,0）,过点尸的直线交双曲线七于A、B两点.若AB

的中点坐标为（6,-2）,则£的方程为（）

B.

A》如169

D.

1510

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、由弦中点求弦方程或斜率

-=

2

【分析】设A（%,y）、8（生%），由，%利用点差法求解.

-F=

【详解】解:设A（XQ，J、8（0乃），

若AB/x轴，则线段A8的中点在％轴上，不合乎题意,

x+x=12

因为线段A8的中点坐标为（6,-2）,则，i2

y+%=-4，

4"-:4b=\1，两式相减得2292

则年一5K一%=0，

工』=]h2

/b1

其一%y+先_）'”O

则

X1-X,X)+.V,2-X；

x2

31-.V2_-2-0=-2,所以，C=q.0=_2xU

因为

a~再一9%+&123

b22

6-2=15

所以，3，解得

b2=\0'

c2=a2+b2=25

因此，双曲线E的标准方程为；-加

故选：D.

3.（2。25•山西临汾・二模）已知双曲线£*袅叱。吠。）的左焦点为八过点尸且倾斜角为45的直

线与E的左支交于A8两点，M为线段A8的中点，若|Mr|=4及|OF|（。为坐标原点），则双曲线E的离

心率是_____.

【答案】生5/1逐

55

【难度】0.65

【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由韦达定理或斜率求弦中点

【分析】联立直线A8与双曲线的方程，求出点M坐标，由给定关系求出离心率.

【详解】设双曲线E的半焦距为c,则/（-c,0）,直线45方程为），=X+C,

y=x+c

由恨2//肖去＞得面"优+2加+"+1。,

a'~b2>0/、2ac、2b'c

△=4a，>0'设A（%，X），及"J,则

、2匕b2C、2@2。

于是点M（-•），|MF|=.（c-）+（一一7—7T，'—=4J2C，

a2-b2ta2-b2a2-b2a1-b-d-b-

解得5=所以双曲线E的离心率e=，3=半.

故答案为：巫

5

4.已知双曲线£:「-==1（。＞0/＞（））,斜率为-g的直线与E的左右两支分别交于A3两点，点p的坐

a~b~9

标为（-覃），直线”交E于另一点C,直线42交E于另一点Q.若直线。。的斜率为则E的离心率

为

【答案】叵

3

【难度】0.4

【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数

i_X

/b2=1

【分析】设A4,%）,3（%为），，线段46的中点代入双曲线的方程中可得《，两式相

/b1

减得g=-3,可得加=-OK2

咚・山①，设。。3，%），以8，乂），线段C。的中点N（公,）R）,同理得

A1A2y

为=-零/②，FhkAB=kCD,得P,M,N一点共练从而求得4c2=51,由此可求得双曲线的离心率.

a

设人（内,y）,3（电,乃）,，线段AB的中点M（%,yM）,

内+占_护x^_1

,两式相减得M）”>2/加9

所以加=号/①,

GA2_

设。（不，必），。（七，居），线段8的中点NC5，w）,同理得以=-4-丫②，

a

因为38二七。，所以AB//CD,则P,M,N三点共线,

9b29b21

所以学4二"，将①②代入得：7'"F，T

a

十।”内十।,1

人YM十14+1

9b2

即（x,w-，（1-丁~）=0,

所以«2=9从=9（r-«2）,即9c2=Kkr，

所以，存半

故答案为