基本不等式及其应用（讲义）-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区）解析卷

第4讲基本不等式及其应用•讲义（解析卷）

一、考情分析....................................1

二、知识清单......................................................................2

1.基本不等式..............................................................2

2.几个重要的不等式........................................................2

3.均值定理................................................................3

4.常见求最值模型...........................................................3

三、方法总结....................................4

考点一：基本不等式的理解与证明.............................................4

考点二：基本不等式求最值...................................................4

考点三：基本不等式的综合应用...............................................5

四、典题精讲............6

考点一：基本不等式的理解与证明.............................................6

考点二：基本不等式求最值...................................................8

考点三：基本不等式的综合应用..............................................10

一、考情分析

1.考查频次与题型

年份题号与题型分值考查内容

第18题解答约4间接考查（在解析几何题中利用基本不等式求正切值最小

2026

题分值）

第19题解答约4间接考查（在导数综合题中利用多元基本不等式放缩求最

2025

题分值）

第18题解答约3间接考查（在导数题中利用基本不等式求导函数的最小

2024

题分值）

近三年全国一卷中，基本不等式均未以独立试题直接考查，而是作为核心代数变形与

放缩工具，自然融入到解析几何、导数等解答题的压轴环节中.

2.命题角度与特色

核心考点：基本不等式的结构识别、条件验证（一正、二定、三相等）及最值求解.

命题趋势：近三年未直接考杳，而是以间接形式高频融入其他主干知识模块.基本不

等式己完全工具化，常作为解决复杂综合题（如求面积、斜率、角度的最值，或导函数的

最值）的关键步骤.

试题特点：隐蔽性极强例如2026年第18题，在求出正切值表达式后，需识别出“对

勾函数”结构并自然使用基本不等式；2024年第18题，在求导后需利用基本不等式对二

次分式结构进行放缩求出最小值.在2025年第19题的另解中，甚至出现了利用五元基本不

等式进行高阶放缩的极端考法.

3.备考策略

・强调作为基础工具的重要性，建议在复习解析几何、导数等模块时同步强化基本不

等式的应用意识.

・熟练掌握凑配法、换元法、“1”的代换等代数变形技巧，确保在综合题中能快速构

造出使用基本不等式的条件.

•严格养成检验”等号成立条件”的习惯，避免在解答题关键步骤中因取不到等号而

失分.

二、知识清单

1.基本不等式

如果Q>0,b>0,那么俪W手，当且仅当Q=b时，等号成立.其中，手叫作

的算术平均数，相叫作的几何平均数.即正数的算术平均数不小于它们的几何平均

数.

・基本不等式1：若a,bWR,则小+匕222出7,当且仅当a=b时取等号；

・基本不等式2：若则与（或a+,当且仅当a=b时取

等号.

【易错提醒】基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，

“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.连续使用不等式

要注意取等条件必须一致，否则无法同时取到最值.

2.几个重要的不等式

.a2>0(aeR),y[a>0(a>0),|a|>0(aeR).

・基本不等式：如果则.（当且仅当“Q=b”时取"=”）.

・特例：a>Oa+->2；^+->2（a,b同号）.

faba

•其他变形：

①小十^之空比（沟通两和Q+b与两平方和/+^2的不等关系式）

②ab4巨手（沟通两积必与两平方和a?+肝的不等关系式）

2

③帅三（等）（沟通两积助与两和Q+b的不等关系式）

Ja2+b2

④重要不等式串：T^T<（Q,b€R+）即调和平均值工儿何平均

值工算数平均值4平方平均值（注意等号成立的条件）.

3.均值定理

已知x,yeR+.

•如果％+y=S（定值），则专;工（等）2=?（当且仅当“x=y”时取"=”）.即

“和为定值，积有最大值”.

・如果xy=P（定值），则％+y>2yfxy=2y[P（当且仅当“x=y”时取“="）.即

“积为定值，和有最小值”.

4.常见求最值模型

•模型一：mx4-->2y/mn（7n>0,n>0）,当且仅当工=户时等号成立.

xyjm

•模型二：mx+-^―=m（x—a）4--^―4-ma>2>Jmn4-ma（m>0,n>0）,当且仅

x-a、x-a

当X—Q=旧时等号成立.

y/m

•模型三：2=-^-c<-7^-r（a>0,c>0）,当且仅当％=?时等号成立.

ax2+bx+cax+b+-2y/ac+by]a

.模型四：—（m>0,n>0,0<x<^）,

当且仅当％=；时等号成立.

三、方法总结

考点一：基本不等式的理解与证明

考法1:根据基本不等式判断大小与成立条件

•处理含不等式的充要条件判断时，举反例是说明不充分或不必要的快捷手段；证明

成立则需利用不等式的性质或基本不等式进行严密推导.

・应用基本不等式求最值或判断大小关系时，必须严格检验“一正、二定、三相等”

三个条件是否同时满足，切忌盲目套用公式.

考法2：利用几何意义理解基本不等式

•基本不等式的几何证明常依赖于圆、直角三角形等基本图形.

・通过将代数式赋予几何意义（如线段长、面积等），利用几何图形的固有性质（如

斜边大于直角边、半径大于半弦等）可直观得出不等关系结论.

考法3：利用基本不等式证明不等式

・证明不等式时，若条件为乘积形式，常将其代入目标式中转化为和的形式再进行放

缩.

•多次连用基本不等式并相乘或相加时，必须确保各不等式取等号的条件能嵯同时满

足.

•若涉及一次式与平方和的关系，柯西不等式是极其有力的工具，需注意构造对应系

数.

考点二：基本不等式求最值

考法4：利用直接法求和与积的最值

■处理“和积混合”的等式条件时，牢记两个核心转化：一是将％+y替换为2月求

积的范围；二是将砂替换为它要求和的范围.转化后解一元二次不等式即可.

・灵活运用基本不等式的各种变形形式（如〃+济之史））是快速判断和求解的关

键.

考法5：利用凑配法求最值

•对于形如伫普上的分式求最值，通用做法是令分母为3将分子用t表示，分离常数

dx+e

后转化为小+g+c的形式，最后利用基本不等式求解.

•通过观察分母特征，提取常数构造出和为定值的两项，再利用基本不等式是解决此

类题目的标准流程.

考法6：利用“1”的代换求最值

・“乘1法”是解决条件最值问题的经典技巧.当遇到Q%+by=c求%+?的最值，或

xy

己知?+：=C求取+by的最值时，均可构造“1”代入展开并应用基本不等式.

•遇到“和等于积”的条件，优先考虑两边同除以积，转化为倒数和为定值的形式，

再利用“乘1法”求解.

考法7：利用换元法与消元法求最值

・消元法是求最值的基本方法之一，将双变量问题转化为单变量问题后，再利用基本

不等式求解.

•处理齐次多项式的比值问题，常通过分子分母同除以最高次项转化为单变量问题.若

转化后仍较复杂，可寻找整体结构进行二次换元，并结合函数的单调性（如对勾函数）求

解最值.

考点三：基本不等式的综合应用

考法8：基本不等式与指对数运算结合求最值

・基本不等式与指数结合时，利用指数运算法则将和转化为指数上的乘积，如谈+

砂＞2所又进行转化.

•与对数结合时，利用对数运算法则将和转化为积，再利用基本不等式求真数的最值.

・与三角函数结合时，常利用平方和为1（如sin2%+cos2X=l）的隐藏条件进行“1”

的代换与凑配.

考法9：基本不等式与方程、不等式恒成立结合

・处理恒成立问题时，常先通过分离参数或判别式法得到参数满足的约束条件，再在

此约束下利用基本不等式求最值.

•若涉及不同次幕的乘积，可考虑拆项并使用多元基本不等式（如三元基本不等式）

进行放缩构造.

考法10：利用基本不等式解决实际问题

•在解决实际优化问题时，建立正确的函数模型是第一步，常涉及平均成本、总利润、

总造价等模型的构建.

・应用基本不等式求最值时，务必检验等号成立的条件是否符合实际意义（即是否在

自变量的取值范围内）.若不在范围内，则需结合函数的单调性在边界处取得最值.

四、典题精讲

考点一：基本不等式的理解与证明

考法1:根据基本不等式判断大小与成立条件

例1.（2026•随州・三模）已知Q>0,b>0,则“Q+b>2”是2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【思路】判断充分必要条件时，可先尝试举反例排除充分性，再通过代数变形结合基本不等式证

明必要性.

【解析】利用基本不等式2痴WQ+b,举反例，应用必要不充分条件定义的判断.・・・a>0,b>

0,Q+b>2,令Q='6=2,得工+：=三>2,则工+：<2不成立，；・“a+b>2”是‘乙+

2ab2aba

1V2”的不充分条件：Ta>0,b>0,-4-i<2,即半V2,得a+bV2ab,又<2而三

babab

Q+b,A-^7<1,・・・Q+bV2abAa+b>2,I.“Q+b>2”是“工+：V2”的

（a+b）22ab

必要条件；综上，“a+b>2"是'匕+：<2”的必要不充分条件.

【规律】处理含不等式的充要条件判断时，举反例是说明不充分或不必要的快捷手段：证明成立

则需利用不等式的性质或基本不等式进行严密推导.

考法2：利用几何意义理解基本不等式

例2.数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示图形，在等

腰直角三角形△ABC中，点0为斜边48的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设

AD=a,BD=b,用该图形能证明的不等式为（）

A・—N属(a>0,匕>0)B.-^<Va^(a>0,b>0)

C•等W0,b>0)D.a2+b2>2ab^a>0,d>0)

【答案】C

【思路】观察图形中的几何关系，识别出线段OC为斜边AB的一半，计算出OD的长度，进而在直

角三角形中利用直角边不大于斜边的性质得出不等关系.

【解析】由图知：0c=手，。。=|08-8D|=|等一切=|等在RS0CD中，

22

CD=yjOC+0D=--0C<CD,即芋WJ^^(a>0fb>0).

【规律】基本不等式的几何证明常依赖于圆、直角三角形笔基本图形，通过将代数式赋予几何意

义(如线段长、面积等)，利用几何图形的固有性质(如斜边大于直角边、半径大于半弦等)直

观得出结论.

考法3：利用基本不等式证明不等式

例3.(2024•河南•阶段练习)已知x,y,z为正数，证明:

/1、-比niHil1I1I1,x2+y2+z2

(1)右x,yz=x2y,则z一+-+2-4——-——：

(2)若2x+y+2z=9,则％24-y2+z2>9.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【思路】第一问需将目标不等式左边的倒数项通过已知条件xyz=2转化为乘积形式，再利用基本

不等式放缩；第二问观察到已知条件是•次式，目标是二次式的和，自然联想到利用柯西不等式

进行配凑.

【解析】⑴门"=2——="<手，同理可得;〈年，狂电

将以上三式相加可得：

2,2,2^y2+z2,x2+z2,x2+y2,2.2

1+/音丁+丁+丁=2+y+z2,

两边同除以2,故工+工+工二宇z2,

xyz2

当且仅当％=y=z时等号成立.

(2)由柯西不等式可得：

(224-I2+22)(x2+y2+z2)>(2x+y+2z)2,

®19(/+y2+z2)>(2%4-y+2Z)2,

•••2x+y+2z=9,

•••9(x2+/+22)>92=81,

•••/+y2+z2>9,

当且仅当;=y=I，结合2x+y+2z=9即％=2,y=l,z=2时等号成立.

【规律】证明不等式时，若条件为乘积形式，常将其代入目标式中转化为和的形式再放缩；若涉

及•次式与平方和的关系，柯西不等式是极其有力的工具，需注意构造对应系数.

考点二：基本不等式求最值

考法4：利用直接法求和与积的最值

例4.(多选)己知%>0,y>0,且久+y-%y+3=0,则下列说法正确的是()

A.3<xy<12B.x4-y>6

C.x2+y2>18D.0<-+-<-

/xy3

【答案】BC

【思路】面对含有x+y和孙的关系式，核心策略是将双变量转化为单变量.利用x+y22后可得

到关于问的一元二次不等式，从而求出xy的范围；同理，利用xyW(等了可求出工+y的范围，

进而解决其他代数式的最值问题.

【解析】对于A：由xy-3=%+yN2，方，得xy-3N2JK，当且仅当％=y时等号成立，

-2yfxy-3>0,解得BPxy>9,故A不正确；

对于B：由x+y+3=xy工(等)，得x+y+3W(等)，当且仅当％=y时等号成立，

§](%+y)2-4(x+y)-12>0,解得x+yZ6,或x+yW-2(舍去)，故B正确；

对于C：%24-y2=(x+y)2-2xy=(%4-y)2-2(x+y+3)=(十+y)2-2(x+y)-6,

令t=%+yN6,则/+y2=t2-2t—6=(t—l)2—7>(6—l)2—7=18,即/+y2>18,

故C正确；

令t=xy>9,贝壮4--=1—y>1-]=即。+工Nj故D不正确.

Jxyt93xy3

【规律】处理“和积混合”的等式条件时，牢记两个核心转化：一是将x+y替换为2同求积的范

围，二是将孙替换为用求和的范围.转化后解一元二次不等式即可.

考法5：利用凑配法求最值

例5.若%>1,则"+2-2的最小值为____________

x-l

【答案】2V5+4

【思路】观察目标分式，分子次数高于分母次数，可考虑分离常数.通过配凑分子的形式，使其含

有分母的因式，从而化为“对勾函数”的形式，再应用基本不等式.

【解析】由4>1,则%—1>O.vx2+2x+2=(%—I)2+4G—1)+5,=(力-1)+

4-4>2/(x-l)-+4=2V5+4,当且仅当％-1=工，即％=通+1时等号成立，故

x-iy、'x-ix-i

立竿的最小值为2遥+4.

X-1

【规律】对于形如喀X的分式求最值，通用做法是令分母为£,将分子用£表示，分离常数后转

化为zu+g+c的形式，最后利用基本不等式求解.

考法6：利用“1”的代换求最值

例6.(2026•十堰•一模)已知正数x,y满足x+y=xy,则％+4y的最小值为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【思路】已知条件为“和等于积”，直接求最值较为困难.将其转化为倒数和为1的形式后，将目

标式乘以这个“1”，展开后即可构造出互为倒数的两项，从而使用基本不等式.

【解析】•・•正数x,y满足x+y=xy,两边同除以xy则工+；=1,

xy

可得x+4y=(%+4y)(-+-)=1+4+—+-=5+—4--

zy\xyjxyxy

>5+2性，=5+4=9,

y

当且仅当冷泉即"2y=3时，等号成立,

••-x+4y的最小值为9.

【规律】“乘1法”是解决条件最值问题的经典技巧.当遇到ax+by=c求%的最值，或已知

“y

£+]=c求ax+by的最值时，均可构造“1”代入展开并应用基本不等式.

考法7：利用换元法与消元法求最值

例7.已知x>0,y>0,求2：：2+2?2的最大值,

/x2+4y2x2+y2

【答案】平

【思路】面对齐次分式结构，首选策略是分子分母同除以某一项进行降维换元.第一次换元将双变

量转化为单变量3通分后再次出现齐次结构，进行第二次换元令〃=t+3最终转化为关于〃的

对勾函数求最值.

【解析】••次>0,y>0,将原式分子分母同除以孙得：

2xyxy_21

x2+4y2x2+y2：+今

设t=j(t>0),・••原式化为：

212tt2t（尸+1）+t（t2+4）

2222

t+it+l-t+4t+l-（t+4）（t+1）

£t

3t3+6t_3«3+2t）

-t4+5t2+4-t4+5t2+4，

分子分母同除以产得：

3储）

M+5+专，

令〃=t+^（t>0）,由基本不等式得u>2Jt.\=2V5.

此时“+V=（£+12-4=I?一%

.•.坊原、八式—=-2_——_=-2--=—r

W4+5U+1u+u

,:函数fQ）=u+:在［2或,+8）上单调递增，

・•・当〃=2&时，/（〃）取得最小值2或+壶=芋，

此时原式取得最人值意=品=乎,

4

当且仅当t=p即1=V2,也就是x=或y时等号成立.

故最大值为平.

【规律】处理齐次多项式的比值问题，常通过除以最高次项转化为单变量问题.若转化后仍较复杂,

可寻找整体结构进行二次换元，并结合函数的单调性（如对勾函数）求解最值.

考点三：基本不等式的综合应用

考法8：基本不等式与指对数运算结合求最值

例8.（2026•铜陵・一模）（多选）下列说法正确的是（）

A.若x<l,则函数y=x+±的最小值为3B.若x+2y=3,则2”+4y的最小值

为4鱼

仁函数〉二三+3的最小值为3+2&D.若％>0,y>0,且％+2y=2,则

sinzxcos^x

Qy）max=J

【答案】BCD

【思路】综合判断各个选项，A选项需注意变量符号，提取负号后使用基本不等式；B选项利用

指数运算法则将和转化为指数上的乘积；C选项借助三角恒等式sin2x+cos2x=l进行“1”的代

换；D选项直接应用基本不等式求积的最大值.

【解析】对于A,二％V1,-1V0,

...y=x4-^=x-l+^+l=-[-(%-l)+(-^)]+l<-2j-(x-l)x(-^+l=-l,

当且仅当1一%=-二二，即％=0时，取得最大值一1,故A错误；

X-1

对于B,2X+4y>2>J2X-4y=2V2^y=2岳=472,

当且仅当2"=4"即x=2y,结合％+2y=3得X=|,y=:时，2"+4丫取到最小值为4vL故B正

确；

对于C,y=(sin2x4-cos2x)=3+2c°fx+>3+

sinzxcoszx\smzxcoszx/sinzxcoszx

2/警x哗=3+24

XJsinzxcoszx

当且仅当上争==鱼时取等号，故C正确；

smzxcoszx

对于D,当％>0,y>0,且x+2y=2时，2=x+2yN2Jx•2y=2或^^,••yfxy<y,即

xy<p

当且仅当％=2y=1时，xy取最大值(故D正确.

【规律】基本不等式常作为工具与其他模块结合.与指数结合时，利用谈+Q'Z2必行转化；与

三角结合时，常利用平方和为1的隐藏条件进行凑配.无论何种结合，均需严格检验等号成立的条

件.

考法9：基本不等式与方程、不等式恒成立结合

例9.(2026•常德・一模)己知实数b>0,若对任意的xER,/一+2-b30恒成立，

则ab的最大值为()

A4伤口8n=10V6.、476

A.—B.—C.------D.—

9993

【答案】B

【思路】首先将一元二次不等式恒成立问题转化为判别式小于等于0,得到关于a,b的不等式关系

随后，为了求M的最大值，利用三元基本不等式对a?+2b+2b进行放缩，巧妙构造出含有ab的

项.

【解析】•・•对任意的％CR,丁一⑪+2-bN0恒成立，.'・A=a2-4(2-b)W0,Wa2+4b<

8/.-b>0,要求a匕的最大值，只需考虑a>0的情况.由基本不等式可得8>a2+4b=a2+2b+

2b>3VM,2b,2b=3V4a2匕2,当且仅当小=2Z?=-,即a=任■,b=勺时等号成立..二4a2b2<

Joo

(j)3=皆，解得成三居=竽.对应选项B.

【规律】处理恒成立问题时，常先通过分离参数或判别式法得到参数满足的约束条件，再在此约

束下利用基本不等式求最值.若涉及不同次事的乘积，可考虑拆项并使用多元基本不等式.

考法10：利用基本不等式解决实际问题

例10.（2024・孝感・开学考试）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突

破4420（X）00人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.

【图片】

（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验

阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间£