2026年山东省临沂市高考数学二模试卷（带答案解析）

2026年山东省临沂市高考数学二模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知复数z满足（1+i）z=l-3八则同=（）

A.5B.3C.V5D.V3

2.（5分）已知集合4={）同1认=0},B={A|COSA=1）,贝！J（）

A.\fx（）EA»x（）EBB.3X（）E5,XO^A

C.Vxi,X2W/1，D.VXI»X1E.B,x\+xiEA

3.（5分）已知（x-3）4=ao+a]（x-I）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+4a4（x-1）4,贝lj〃1+。2+。3+。4=（）

A.-15B.-16C.-80D.-81

iv<1

4.（5分）抛三枚质地均匀的硬币，记正面朝上的数量为随机变量X,定义随机变量丫=''一，则E

（X,X>2

（D=（）

13715

A.3B.-C.-D.—

848

5.（5分）己如四边形44co为平行四边形，AE=2EB,尸为4C与DE的交点,则命=（）

3■*2T3T2T

A.-^AB+^ADB.-AB--AD

2-♦32r2r

C.-^AB+^ADD.-AB+-AD

>355

6.（5分）若雪为函数/（%）=COS（3%）（3〉0）的一个零点，且/（X）的最小正周期&（71,21T）,则3

=（）

7513

A.-B.-C.-D.—

4424

7.（5分）已知实数x,y,z满足％•3才=y2/og2y=z3,og2Z=1，则（）

A.x<y<zB.z<y<xC.y<z<xD.x<z<y

8.（5分）已知椭圆£•苴+番=1的左、右焦点为Q,尸2,离心率为学点（建，办在椭圆E上，尸是

椭圆E上的动点，以鹤为直径作圆M直线QV与圆N交于点。（点。不在椭圆内部），MQFi-QF2=

（）

A.1B.V3C.2D.3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

第1页（共20页）

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）一组从小到大依次排列的样本数据7,9,a,10,14的平均数等于众数，则（)

A.4=9B.中位数为10

C.方差为5D.第75百分位数为1（）

/2

（多选）10.（6分）己知曲线一+入v二1与直线y=2x-4只有一个公共点，则〃?，〃可能的取值为（）

mn

A.，n=9,n=~36B.rn=~5,〃=2OC.///=4,/z=8D.rn=2,〃=8

（多选）11.（6分）等面四面体亦称等腰四面体，是一种特殊的四面体，它是每条棱与其对棱总相等的四

面体，它的四个面是全等的锐角三角形.如图，等面四面体川修。的表面展开图是一个锐角三角形力“乂3

及其三条中位线（小，山，加重合到点力），若BC=2,三角形4MM3的面积为8,则（）

A.其对棱力&CO相互垂直

B.当班）=CO时，其体积为厚

C.当8。=哀时，其外接球的直径长为学

5V3

D.当8。=。。时，其“外接圆锥”（8,C,。在底面圆周上，力在侧面上）的高为丁

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共1S分。

12.（5分）已知函数/（X）=X3-3X2-2,若函数/（田7）为奇函数，则7=.

13.（5分）直线/：工-尸•加=0与圆C：¥+/-2.「4产1=0交于48两点，且△48。的面积为2,则“

14.（5分）今有一批数量庞大的瓶装饮用水，假设这批水的某项矿物质含量偏差值（单位：毫克/升）5

N（10,0.52）（尸（p-o）^0.6827,P（p-2oW*Wu+2o）^0.9545,P卬-3。WfWp+3

。）40.9973,现从中随机抽取n瓶，这〃瓶水中恰有K瓶的矿物质含量偏差值彳位于区间（9.5,11.5）.当

K=30时，试以使得。（K=30）最大的〃值作为〃的估计值，则〃为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）已知中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,sin^=a-ct^sB.

Z0

第2页（共20页）

（I）求角c；

（2）已知c=K,△AB。为锐角三角形，求2a-b的取值范围.

16,（15分）某科技公司研发了一款智能服务机器人，用于商场的导购、配送与巡检服务.为优化机器人

的调度效率与服务质量，公司开展了相关测试与优化工作.

（1）下表为机器人连续5天的工作时长（小时）与服务订单数），（次数）的数据关系.

时长（X）12345

服务次数（y）1220273338

若服务次数y与工作时长x具有线性相关关系，请预测第6天机器人工作时长为7小时时，服务订单数

大约有多少？

（2）机器人在服务过程中可能出现故障，两个机器人为一组，每次一个机器人执行服务任务，若服务

中无故障，则继续执行下一次服务，若出现故障，则换另一位机器人执行.甲、乙两机器人一组，第一

13

次执行服务时.，甲、乙上场的概率均为予已知甲每次服务无故障的概率为F乙每次服务无故障的概率

席

（i）求第2次执行服务的是机器人甲的概率；

（ii）求第〃次执行服务的是机器人乙的概率.

2二1（々一幻（％一刃

附：回归方程y=以+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=

（x/-x）2

如乌一字a=y-bx,参考数据：2空4％=455,£匕fe-x）2=10.

E21xf-Tix

17.（15分）已知四边形488为等腰梯形（如图1）,AB//CD,AB=2CD=2AD=4,£为＜8的中点,

将△彳OE沿直线OE翻折至△尸DE位置（如图2）,且PB=7IU.

（2）求点B到平面PDC的距离;

第3页（共20页）

(3)设"为棱PC上的动点，当与平面PDC所成角最大时，求平面8COE与平面夹角的正

切值.

18.(17分)已知函数/(x)=ln(x+1),g(x)=/.

(1)关于x的不等式g(x)</(x)+〃有解，求。的取值范围；

(2)V/z/GR,3nE(0>+°°)>有g(m)=/(〃)成立，证明：〃-〃?>1；

(3)V5»tE(0»+8),令夕(X)=f(x)g(x),证明：p(j+Z)>p(5)+p(/).

19.(17分)将抛物线列记为｛C,J：y2=2升乜，ne/V\其焦点列为｛EJ,过焦点Q的直线与抛物线。

交于小(xi,y\),B\(xif,y\')两点，点/i在x轴上方，点41在x轴下方，点O为坐标原点，连

f

接0小，。31并延长分别与G(〃22)交于4tCxn,yn)，8〃(xj,yn)两点.

(1)已知直线由Bi的斜率的二*求直线4届的斜率加

(2)已知直线/闰的倾斜角为a,且cosa=:，记国6+1的面积为

(i)求数列｛〃S〃｝的前〃项和7〃；

(ii)求所有满足方程&S“+49=1的正整数对(〃，女).

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2026年山东省临沂市高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.(5分)已知复:数z满足(1+力z=l-3/,则|z|=()

A.5B.3C.V5D.V3

【解答】解：复数z满足(1+0z=1-3/,

则Z-L_(l-3i)(lT)_-2-较__1_2.

人]+i-(1+0(1-0一2一1"

所以由复数模的公式可知，|z|=V(-l)2+(-2)2=V5.

故选：C.

2.(5分)已知集合4={Msinx=0},8={x|cosx=1},则()

A.VxoG/i,XQEBB.3XOG^,XO^A

C.Vxi，xzEA,X\+X2EBD.VXI，XIEB,XI+JQW力

【解答】解:由题意可知,集合/={x|sinx=O}={x|x=E,keZ)t集合6={x|cosx=1}={x|x=2E,

kWZ},

对于4集合4={%氏=上兀，卜€2},集合8={X|X=2AF,AWZ},集合8中的元素是集合力中A为偶数

时的元素，

即B号A,

所以存在但xo2氏故,4错误；

对于8,因为8学4所以对于任意都有不存在XOW8,使得XOC/1,故8错误；

对于C,已知71={x|%=kzr,kEZ},任取xi，xiEA,设jq=Z：E，x2=k2R,h，kzEL,

贝|JXl+X2=%lTT+k2TT=(41+依)TT,

当为+%2为奇数时，X1+X2C5，例如所=1，42=2,XI+X2=3TIW4,故。错误：

对于。，己知8={X|X=24TT,kEZ},任取X],xiEB,设XI=2AE，X2=242口，ki，42EZ,

则Xl+%2=2%m+2后TT=2(-1+42)IT.

因为％l，kz£Z,所以依+心口，那么XI+X2=2(%|+内)n满足sin(,vi+x2)=0,即XI+X2€4，故。正确.

故选：D.

3.(5分)已知(%-3)4=ao+m(x-1)+ai(x-1)2+«3(x-1),+。4(x-I)4»贝U。1+。2+。3+。4=()

A.-15B.-16C.-80D.-81

第5页(共20页)

【解答】解：设y=x・l,贝iJx=yH,

题中等式可化为(y-2)4=ao+qi.y+a2炉+43)3+。4./>

取y=0,可得(0-2)4=w,即40=16,

取y=l,可得(1-2)4=4()+°|+42+。3+。4，即。0+41+。2+。3+。4=1，

所以“1+42+43+04=(。0+41+〃2+〃3+。4)-a()=1-16=-15.

故选：A.

'1V<1

4.(5分)抛三枚质地均匀的硬币，记正面朝上的数量为随机变量X,定义随机变量丫=''一，则《

(X,X>2

(D=()

13715

A.3B.——C.-D.——

848

【解答】解：抛三枚质地均匀的硬币，记正面朝上的数量为随机变量X,

X服从二项分布B(3,1),X的可能取值为0,1,2,3,

1113

3%c1z3

==-=一3k(-=-

2夕28

2133

==crX=

2)3x2-J

8,

1,X<1

定义随机变量丫=

.X,X>2

贝ij£(D=1•尸(X=O)+1・P(X=l)+2•尸(X=2)+3・P(X=3),

代入得E(V)=1xi+lx1+2x1+3xi=^.

故选:B.

5.(5分)已知四边形48CQ为平行四边形，AE=2EB,F为4c与DE的交点,贝IJ8F=()

3■*2T3-2-

A.-^AB+^ADB.-AB--AD

2T3r2T2T

C.-^AB+^ADD.-AB+-AD

J口

【解答】解：四边形/8CQ为平行四边形，AE=2EB,/为力。与QE的交点,

T2T

可得：4£=可48.且4F,C三点共线，F,E三点共线.

设4F=/L4C设为实数),因为44c。是平行四边形，所以4c=48+40,所以力尸=2(力B+力。).

因为。，尸，£三点共线,所以存在实数4使得。尸一〃。£

第6页(共20页)

又因为DF=AF-AD=X(AB+AD)-AD=XAB+{X-1)AD,

TTT2TTTT2Tt

DE=AE-AD=^AB-ADt所以;L4B+(4—l){0=〃((ZB—4D).

故卜=1〃，解得入二,

U-i=-^5

所以余=5(6+访)=|6+看/{3.

根据向量减法的三角形法则，BF=AF-AB,

可得：BF=^AB+^AD-AB=-^AB+AD.

故选：A.

47rTT

6.(5分)若W为函数/(%)=C0S(3X-石)(3>0)的一个零点，且/'(x)的最小正周期氏(n,2TT),则3

=()

7513

A.-B.-C.-D.—

4424

【解答】解：已知?为函数/(X)=COS(3X—Q(3>0)的一个零点，

•J

所以/(萼)=cos(等3-分=0,则?3—^="+三，keZ.

所以3=得忆+4，kEZr

已知/(工)的最小正周期&E2n),贝IJTTV•V2TT.

解不等式Trvg,得3V2：

6)

2TT

解不等式一<2n,所以co>l.

(1)

综上，1<3<2.

Q1?1q

因为3=彳k+],kd,且1<co<2,当k=1时，3=4乂1十,=4，

满足lVo)V2.因此3的值为:.

4

故选：B.

7.(5分)已知实数x,y,z满足x•3*=y2,og2y=z3[og2Z=1，则()

A.x<y<zB.z<y<xC.y<z<xD.x<z<y

【解答】解：由题意知，入QXu/og2y=9108»=1,

第7页（共20页）

1

所以由工・3》=1,得3三g

因为函数y=3'在（0,+8）上单调递增，），=9单调递减，

人

所以方程有唯一解，且在（0.I）；

由/log2y=I,代入尸VL得（戊）2•Iog2>/2=1,所以产vZ

令h（z）=z3log2z,该函数在（I,+°°）上单调递增，

3

因为/?（1）=0<1,h（V2）=（V2）*log2V2=V2>I,所以1VzV四；

综上，xVzVy.

故选：D.

Y2n2百l1

8.（5分）已知椭圆£•3+左二1的左、右焦点为尸1，尸2,离心率为三，点（百，/）在椭圆£上,P是

椭圆E上的动点，以尸Q为直径作圆M直线ON与圆N交于点0（点。不在椭圆内部），则Q%2=

（）

A.1B.V3C.2D.3

【解答】解：由题意，椭圆离心率。=5=*，故c=*a,

22

又“2=l）+c,得小=/.

1X2V2

将点（百，2）代入椭圆方程获+庐=L

3131?2

7+市=1=7+7=1=。=4,b=1,

x2

椭圆方程为]+丁=1,焦点匕（一百，0）,F2（V3,0）.

11

由中位线定理，\ON\=^\PF2\,又|QN|=*|PF]|,

2

\0Q\=\0N\+\NQ\=^（\PF1\+|PF2|）=a=2,故点。在圆A+/=4上.

故选：A.

第8页（共20页）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)一组从小到大依次排列的样本数据7,9,10,14的平均数等于众数，则()

A.a=9B.中位数为10

C.方差为5D.第75百分位数为10

【解答】解：对于平均数7=7+9+个10+14=丝普7«14.

由于平均数等于众数，

当。=9,数据为7,9,9,10,14,众数为9,平均数工=警=9.8。9,不满足条件：

当。=10,数据为7,9,1(),1(),14,众数为10,平均数±=,=10,满足条件：

因此。=10,数据为7,9,1(),1(),14,故力错误；

对于以数据共5个，中位数为第3个数，即10,故4正确；

对于0项，方差于二(7-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(10-10)2+(14-10)2

5

9+1+0+0+1626广c44,「上处、口

=------g------=引=5.2,故。错陕；

对于。，由于i=5XO.75=3.75,所以第75百分位数为第4项10,故。正确.

故选：BD.

x2v2

(多选)10.(6分)已知曲线一+—=1与直线y=2x-4只有一个公共点，则m,n可能的取值为()

mn

A.m=9，n=-36B.m=-5,〃=20C.=4,〃=BD.m=2,〃=8

X2y2I?

【解答】解：对于选项力，w=9,n=-36时，联立--=1与y=2x-4得16%-52=0,解得％=丁,

936，

第2v2

故六一三二1与N=2L4只有一个公共点，满足要求；所以力选项正确.

936

y2x2

对于选项4,〃?=-5,〃=20时，联立方一三=1与-4,

可得-16x-4=0,解得x=-/故哈一!=1与y=2x-4只有一个公共点，满足要求：所以4选项

正确.

/v2

对于选项C,m=4,〃=8时，联立一+—=1与y=2r-4得3A2-&丫+4=(),A=64-12X4X),故

48

3/-8x+4=0有两个不相等的实根，

X2v2

即丁+—=1与y=2r-4有两个公共点，所以。选项错误；

4o

第9页(共20页)

22

对于选项。，加=2,〃=8时，我立:■+j=1与），=2x・4得/・入+1=0,A=4-4=0,故W-Zt+l

28

=0有两个相等的实根，

22

即j+1与y=2x・4只有一个公共点，所以。选项正确.

2o

故选：ABD.

（多选）11.（6分）等面四面体亦称等腰四面体，是一种特殊的四面体，它是每条棱与其对棱总相等的四

面体，它的四个面是全等的锐角三角形.如图，等面四面体力8C。的表面展开图是一个锐角三角形力14力3

及其三条中位线（小，小，加重合到点4），若BC=2,三角形小力乂3的面积为8,贝IJ（）

B.当4。=。。时，其体积为〒

C.当80=擀时，其外接球的直径长为

D.当8。=。0时，其“外接圆锥”（8,C,。在底面圆周匕力在侧面上）的高为丁

4

【解答】解：根据题意可将该等面四面体嵌入长方体中，如图：

因为长方体的对角线不一定垂直，所以对棱片8,。。不一定相互垂直，故力错误：

对于B,若BC=2,三角形出力》3的面积为8,则三角形8c。的面积为2,

所以三角形4。的高为2,由于4。=。。，则BO=CD=有，

b2+c2=5

设对应长方体的长宽高分别为a,b,c,则Q2+82=5，解得：a=V2,b=V3,c=V2,

aL+c2=4

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所以等面四面体的体积V=V2xV3xV2-|xixV2xV3xV2x4=^,故4正确;

对于C,当80二割寸，S^BCD=1x2x|xSinz.DBC=2,所以=

因为NQ8C为锐角，所以cos/O8C=彦，

所以DC=^22+（1）2-2x2x|x|=^p,

俨+C?得p=V3

设对应长方体的长宽高分别为。，瓦C,则《小+/=?，解得：］匕=孚，

la2+c2=4Q=1

>Ja2+b2+c2

由于等面四面体的外接球，即为对应氏方体的外接球，其半径/?=

2

所以外接球的直径长为7-,故C正确；

对于。，当4Q=C。时由8选项可得：BD=CD=V5,a=&,b=近,c=或,，等面四面体的体积

为亍’

设点A到平面BCD的高为

2J3\

所以一^一=-xhx2,所以h=V3,

由于=看=4±

所以△8。外接圆的半径一盒耳,

设圆锥的高为〃,，所以次号解得心空故。正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12,（5分）已知函数/（X）=9-3/-2,若函数/（仆/）为奇函数，则t=-1

【解答】解：因为困数/«）=/十3/-2,

第11页（共20页）

所以/(x+/)=(x+t)3+3(x+/)2-2=?+3(Z+1)x2+3t(N-2)户户+3P-2,

又函数/(田7)为奇函数，

所以二次项系数为0,即z+l=0,解得尸-1,

验证：/'(x・1)=r・3x,为奇函数，故尸7.

故答案为：-1.

13.(5分)直线/：x-产〃?=0与圆C：/+/-2工-=0交于力，4两点，且的面积为2,则

=3或-1.

【解答】解：圆C：/+f-2x-4尸4=0化为(X-I)2+(y-2)2=4,可知圆的圆心C(l,2),圆的

半径r=2：

.直线/：x-y+/“=0与圆C：f+y2-2x-4y+l=0交于4,8两点,△48C面积S=2•|4B|•d=2（J

为圆心到直线的距离），

由|4B|=2VP=/=2A/^F,得S=4-24W-d=2,即（/斤寸=2,解得d=&；

x->机=0的距离d=旦二等以=V2,

圆心到直线/：即-1|=2,解得nt=3或m=1.

V2

故答案为：3或-1.

14.(5分)今有•批数量庞大的瓶装饮用水，假设这批水的某项矿物质含量偏差值(单位：亳克/升)5

N(10,0.52)(P(|i-。)^0.6827,P(四-2。WfW〃+2。)处0.9545,P印-3。WfWp+3

。)^0.9973,现从中随机抽取〃瓶，这"瓶水中恰有K瓶的矿物质含品偏差值马位于区间(9.5,1L5).当

K=30时，试以使得P(K=30)最大的〃值作为〃的估计值，则〃为35.

【解答】解：因为E~N(10,0.52),则p=10,。=0.5,

因为9.5=10-0.5=p・o,11.5=10+1.5=口+3。，

所以P(9.5VgV11.5)=P(n-oVfVu+3。)

_P(〃一店仁〃+<7)+P(〃-3。牵〃+3。)_0.6827+0.9973_..

-2=2=uA.o49

所以从〃瓶水中随机抽取，每瓶水的矿物质含量偏差值位于X间(9.5,11.5)的概率为0.84,

不位于该区间的概率为1-0.84=0.16,

所以K〜4(”，0.84),根据二项分布的概率公式P(K=k)=C和k(i-p)n-k,

可得P(K=30)=甯0.843。0二6计3。，

要使P(K=30)最大，则需满足右仁3o!>P(K-31V

I广(八一DU)W厂I八一□1J

由尸(K=30)2尸(K=29)可得：噌0.84300.16"-3°N臂0.8429().可时29,

第12页(共20页)

整理得0.84(w-29)>30X0,16,

解得心竿a34.71,

由尸(K=30)2P(K=31)可得:(?3008430016n-30>c3108431016n-31t

整理得0.16X3130.84(n-30),

解得后舞V35.90,

因为”为正整数，所以〃=35.

故答案为：35.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知△48。中，内角力,B,C的对边分别为a,b,c,sin^=a~C^sB.

(1)求角C：

(2)已知c=百，△力8c为锐角三角形，求2a-力的取值范围.

【解答】解：⑴・：si*=a—c\sB,由正弦定理可得$呜=包必慈评”

/.sinBsin^=sin(B+0—sinCcosB,

C

/.sinBsin2=sinBcosC,

=cosC,=1-2sin2^,

解得sin苧=£或-1(舍去)，

A(乙

•C_n

••--,

26

・「_TT

-c=y

7T&bCa

(2)VC=5-,c=V3,A——=--=--=-^=-=2,

3sinAsmBsinC型_

2

••6/—2sirL4,b=2sin8,

2a—b=4sinA-2sinB=^sinA—2sin(A+号)=4sinJ-2(sinJcos—+cos/isin—)=3sinJ—V3cosJ

=2V3sin。-都

•・•△NBC为锐角三角形，

f0<71<y7r7r

叫27rnf解得4V5，

[o=竽-A62

第13页（共20页）

可得0V/1一5V*,**0V*si?zG4—看）

BP2a-be（0,3）.

16.（15分）某科技公司研发了一款智能服务机器人，用于商场的导购、配送与巡检服务.为优化机器人

的调度效率与服务质量，公司开展了相关测试与优化工作.

（1）下表为机器人连续5天的工作时长（小时）与服务订单数y（次数）的数据关系.

时长（X）12345

服务次数31220273338

若服务次数y与工作时长x具有线性相关关系，请预测第6天机器人工作时长为7小时时•，服务订单数

大约有多少？

（2）机器人在服务过程中可能山现故障，两个机器人为一组，每次一个机器人执行服务任务，若服务

中无故障，则继续执行下一次服务，若出现故障，则换另一位机器人执行.甲、乙两机器人一-组，第一

次执行服务时，甲、乙上场的蹴率均为已知甲每次服务无故障的概率为|,乙每次服务无故障的概率

（i）求第2次执行服务的是机器人甲的概率；

（ii）求第〃次执行服务的是机器人乙的概率.

",""yn（x；-x）（y；-y）

附：回归方程'=以+Q中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为8=餐「~中一

St=i（Xi-x）

%］吗［呼a=y-bx,参考数据：£：=］%必=455,£久(z,-x)2=10.

第1孑一位

,缶〃免T岳〃(1\Hig百白？n•组—1+2+3+4+5_-12+20+27+33+38,

【解答】解：(1)由题意可得，x=-----------------=3,y=--------------------------=2o6,

22222

X?=I+2+3+4+5=55,鼠1x,yt=455,

h_S/L1nxy_455-5x3x26_65_1口

为/版=55-5X32=K^=6.5,

AA

a=9一位=26-6.5x3=6.5,

所以y=6.5%+6.5,x=7时，y=6.5x7+6.5=52；

(2)(i)设“第〃次服务的是甲”为事件4““第〃次服务的是乙“为事件8”,

则P(4)=。(/)=4,

第14页（共20页）

31,112

则P(&)=P(4M1)P(&)+P(42|B1)P，1)=5X2+5X2=5;

(ii)记p〃=P(&),由题知，当〃22时，

324—I

P(&M〃_D=1-耳=引p(区宁P(4_D=P(&I)=1-P“_1，Pl=2,

由全概率公式知，

24

Pn=P(%)=P(稣Mn-l)P(4-l)+=5X(1-pn-i)+5p“_i，

._22

••Pn=^Pn-1+宁

•2_2,2、..2_12_1

••Pn-3-5(Pn-i-3)»-Pl-3-2-3--6*n0,

故数列｛Pn-|｝是首项为Y，公比为|的等比数列，

,尔-RYx《)f

P(5n)=Pn=

217

即第〃次服务是机器人乙的概率为；--X(2)1.

365

17.(15分)已知四边形力8c。为等腰梯形(如图1),AB//CD,AB=2CD=2AD=4,£为48的中点,

将△/7)£沿直线DE翻折至△尸DE位置(如图2),且PB=V10.

(2)求点8到平面POC的距离；

(3)设M为棱尸。上的动点，当EM与平面PQC所成角最大时，求平面8CQE与平面夹角的正

切值.

【解答】解：(1)证明：由力B〃CO,AE=BE=CD=2,AD=BC=2,

可知四边形BEDC为菱形，

因此。石=力。=/£=2,AADE为等边三角形,ZJED=60°,翻折后PE=2,NPED=6D°,

取OE中点。，连接P。，

第15页(共20页)

p

因为为等边三角形，故PO_LO£,且P0=百，

在△8OE中，BO1=BE2+OE2-2XXXcos1200=4+1-2x2x1x（-1）=7,

所以P^BO2=3+7=10=P52,

故POLBO.

因QEC4O=O,DE,BOu平面

故PO_L平面BCDE,又POu平面PDE,

故平面平面BCDE.

（2）以。为原点，分别以O£,OC,OP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则。(-1,0,0),E(1,0,0),。(0,逐,0),8(2,8，0),P(0,0,圾,

所以。3=(1,0,V3),且=(1,V5,0),CB=(2,0,0),

设平面PQC的法向量为三=(工，y,z),

则耳修,则仔•g=、+信=。，

(n1DC{n'DC=x+V3y—0

令y=l，得%=一百，z=l,故n=(-VJ,1,1),

所以点B到平面PDC的距离为d=屿且=绛=空.

|n|V55

(3)设茄=4而，则M的坐标为(0,晶人,V3-V3/1),

所以EM=(-LV3A,V3-V3A),

第16页（共20页）

设直线EM与平面尸。。所成角为a,

则sina=日扁="一,

、|n||FM|病〃+6不-6入

当又另时，直线与平面POC所成角最大，

此时〃的坐标为(0,字，学)，

EM=(-1,号,歙晶=(1,V3,0),

设平面EBM的法向量为蓝=(%,y,z),

则和1曲则行,"二-"+苧丫+苧z=0,

(蔡_L£8[m.EB=x+V3y=0

令y=l，Wx=—V3,z=-3.故m=(—V5,1,-3),

平面8CZ)£的法向量可取2=(0,0,1),

所以平面E8用与平面BCDE夹角的余弦值为

门\ani\33713

2丽=kk

所以sinb=J1—(需)2=穿，

所以1加9=黑=M

2

即平面BCDE与平面EBM夹角的正切值为三.

18.(17分)已知函数/(x)=lnG+l),g(x)=­

(1)关于x的不等式g(x)<f(x)+a有解，求a的取值范围；

(2)VzzzER>3/76(0>+°°)»有g(w)=/(〃)成立，证明：

(3)V5,re(0,+8),令夕(x)=f(x)g(x),证明：p(5+/)>p(s)+pCt).

【解答】解：⑴g(x)<f(x)+a有解，即需(x)-/(x)]w/w,设〃(x)=g(x)~f(x)=

eY-In(x+1),

九⑺=ex-Sph'(x)在(-1,0)上小于0,在(0,+8)上大于0,

・•・/?(x)在(-