2026届高三数学百日冲刺小题集训12（解析版）

2026届高三百日冲刺小题集训12

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是

符合题目要求的。

],已知复数2=罂则|z|=()

A.V5B.V10c.2匹D.2同

【答案】B

-10i_10i(3-i)10+30i《>

【解析】依题意，z~3+i~~(3+i)(3-i)F=T—3I,

所以|z|=《1)2+(-3)2=同.

故选：B

【分析】根据给定条件，利用复数的乘方及除法运算求出Z,进而求出该复数的模.

2.已知命题p:V%eR,5*-2铲+1>0,命题q:WR,4cos2殉—3>0,则()

A.〃和q都是假命题B.〃是真命题，乡是假命题C.〃是假命

题，夕是真命题D.〃和6/都是真命题

【答案】C

【解析】命题p是全称量词命题，当％=0时，5^-2e^4-l=5°-2e°+l=0,所以p是

假命题；

22

命题q是存在量词命题，当%o=O时，4cosx0-3=4cos0-3=1>0,所以q是真命题.

故选：C

【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法确定给定命题真假即可.

3.已知向量由前,均为单位向量，且2j=-g,|3G+山二|6-2可，则五1=()

A.B.C.D.后

【答案】D

【解析】由向量①族,[均为单位向量，且&不=一3|3@+川=14-24

得(32+S)2=(d-2c)2,整理得9d2+b2+6ab=a2+4c2—4a-c>

即9+1+6•(-}=1+4—4G•乙所以—点

故选：D

【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律列式求解..

4.2025年11月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量

子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入

x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y,且土=6.

研发资金投入x/亿元2%1x2x3x4x5x610

1/9

性能提升评估指数y212

7i丫2为y4ys%

已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为9=1.2x+0.4.

如果去掉样本点(2,2),(10,12)后，得到的新样本的经验回归方程为夕=1.25/+心则a=()

A.0.1B.0.3C.0.5D.0.7

【答案】B

【解析】由三=6及夕=1.2x+0.4,得歹=1.2x+0.4=1.2x6+0.4=7.6,

则在新样本中,xr=^8x-2-10)=6,/=1(8y-2-12)=7.8,

所以6=/-1.25?=7.8-1.25x6=0.3.

故选：B

【分析】根据给定条件，求出区进而求出新样本的中心点，再利用经验回归方程求得答

案.

5.已知双曲线。《一3=1(。＞0,匕＞0)的左、右焦点分别为FiA过坐标原点。的直线

/HC相交于4。两点，若点A在第一象限，且|0川一IOFJMKI-2出FJ则双曲线

。的离心率为()

A.B.2C.V5D.V6

【答案】C

【解析】双曲线C:搐一3=1(Q：＞0/：＞0)的左、右焦点分别为吊(一c,0),F2(C,0),

过坐标原点。的宜线/与C相交于4,8两点，点A在第一象限，

由I。川二|。尸2],有|。川=|。尸2|=IO&I，所以△月人F2为直角三角形，M

由对称性可知|BFi|=\AF2\,则有|4FJ=2|8FJ=2\AF2],

又|4月|-|4川=2a,得|4眠|=4兄|万引=2a,

口△6和中，l^i^zl=2c,则有(4Q)2+(2Q)2=⑶产化简得5a2=C2,即冬=5,

所以双曲线C的离心率e=;=V5.

故选：C

【分析】依题意由I。川=|OF?|可得「遇JLFzA,由4月|=2出FJ可得|4月|=4a,|4Fzl=

2a,Rt△&46中由勾股定理列齐次式求双曲线C的离心率.

6.若关「x的方程mx2+4x+m=—yJm2x24-4mx+4(m＞0)有两个不相等的实数根，

则实数/〃的取值范围是()

(0,2)B.(1,2)C.(0,#)D.(1苧

【答案】A

【解析】由方程mx2+41+m=-Vm2%24-4mx4-4»得一mx2-4x-m=\mx+2|,

2/9

而m>0,则一/一—1=令函数f(x)=--一—l,g(x)=区+\],

函数/(%)的图象开I」向下，对称轴方程为％=函数g(x)的最小值为0,图象关于直线

x=一2对称，

m

在同一坐标系内作出函数y=f(x)>y-g(x)的图象，如图:

依题意，函数y=/(x),y=g(x)的图象有且只有两个交点，而它们有相同的对称轴，

因此f(―5)>0，即—1>0,又血>0,解得0Vm<2,

所以实数〃，的取值范围是(0,2).

故选：A

【分析】变形给定方程并构造函数/(乃=一/一2%一1皿。)=氏+2k作出函数图象，

由两个函数图象有两个交点求出m范围.

7.已知正数x,y,z满足910g27%=2elnJ^=61og8Z=1,则()

A.z<y<xB.z<x<yC.y<x<zD.x<z<y

【答案】B

【解析】由910g27%=2eln^/y=61og8z=1»得%=3§,y=ec,z=2z»

Wllnx=殍，仇y=—,lnz=当，令函数/(t)=>e,

当£>e时，求导得/'(t)=震VO,函数/(t)在[e,+8)上单调递减，

因此f(4)<f(3)<f(e)，而/'(4)=詈=等,则仇z<Inx<Iny,

所以z<%Vy.

故选：B

【分析】根据给定条件，求出％y,z并变形得/不=殍，上丫=空，mz=竽，再构造函数

=e,利用导数确定单调性即可比较大小.

8.已知正四棱柱力BCD-4%QDi的体积为128,88=8,4G，当外相交于点01，

£,r,6,”分别为。141，0181,01。1，。1。1上的点，=第'==4,则四棱台

EFGH-48CD的外接球的表面积为()

A.290TlB.293nC.295nD.297TT

3/9

【答案】D

【解析】正四棱柱底面力8=8,故底面积为8x8=64,体积为128,得高力=登=2,

以A为原点，48)。,力4为％y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则有A(0,0,0),8(8,0,0),C(8,8,0),D(0,8,0),4(0,0,2),%(8,0,2),C1(8,8,2),必(0,8,2),

/IC与80相交于点。，有。(4,4,0),力iQ与劣为相交于点01，有01(4,4,2),

由符=4,得E为。遇i靠近内的四等分点，有E(3,3,2),

同理，有尸(5,3,2),G(5,5,2),H(3,5,2),

下底面。是边长为8的正方形，中心0(4,4,0),

上底面EFG”是边长为2的正方形，中心3(4,4,2),

中心连线0。1垂直于底面，故四棱台为正四棱台。

四棱台—/BCD的外接球球心在直线。。1上，设球心坐标为(4,4,。，

由球心到力(0,0,0)和E(3,3,2)距离相等，

有(4-0)2+(4—0)2+(i—0)2=(4-3)2+(4-3)2+(t—2)2,解得t=一m,

2

外接球半径的平方骏=42+42+(-引=等，表面积4E?2=297兀

故选：D.

【分析】四楼台EFGH-力3co为正四棱台，外接球球心在上下底面的中心连线。。1上：建

立空间直角坐标系，利用球心到点4和点E距离相等，求出球心坐标和球的半径，可得球的

表面积.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数f(x)=cos(x-：),g(x)=sin2x/则()

A.函数/"(2%)与g(%)有相同的最小正周期

B.函数/(%)与g(x)的图象至少有一条相同的对称轴

C.函数/(x)与g(x)的图象的对称中心之间的最小距离为］

D.将函数g(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图

象向左平移:个单位长度，可得到函数f(%)的图象

【答案】ABD

【解析】对于选项A,/-(2x)=cos(2x-；),所以周期=与=71,

4/9

gM=sin2x,周期=3二豆，两者周期相同，故A正确.

对于选项B,/(%)=cos(x-9的对称轴满足=自口(七£Z),解得％=自口+；

(七6Z),

g(x)=sin2x的对称轴满足2%=]+k2n(k2eZ),解得％=：+等(k2EZ),

当自=心=0时，X=：是两者共同的对称轴，故B正确.

对于选项C,/(幻=3(无一9的对称中心满足不一合三+"(&6Z),

解得力=^+km对称中心为(手+而,0)(keZ),

g(x)=sin2x的对称中心满足2x=mn(mEZ),

解得“=詈，对称中心为(詈,0)(m€Z),

则两个对称中心的距离为旨+kir—詈|=111：+攵—三卜

当k=0,m=l时，距离为呼+An-詈卜+A=立住一三=1

此时距离为也比与更小，故C错误.

对于选项D,将g(x)=sin2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

得到y=sinx.

再将y=sinx的图象向左平移;个单位长度，得到y=sin(x+习，

而fM=cos(%一：)=cos[(x+：)—]]=sin1+9，故D正确.

故选：ABD

【分析】利用三角函数的基本公式和三角函数的周期、对称性、图象变换等性质，逐一分

析每个选项，即可判断对错.

10.已知。为坐标原点，椭圆。:《+3=1(°>0/>0)的离心率为5长轴长为4,F为

。的右焦点，第二象限的点。为椭圆上一点，。为点。关于丁轴的对称点，交)，轴于点

M,N为线段产。的中点，则()

A.b=V5

B.\MN\+\FN\=3

C.设A是。的左顶点，直线AP和AQ的斜率分别为h水2,则七&=：

D.△ON/内切圆半径的取值范围为(0,日)

【答案】AC

(2a=4

【解析】由题意可得£=1,所以Q=2,C=1/2=3,

Ia-2

所以椭圆方程为次+二=1,

43

5/9

对于A,b=皆，故A正确;

对于B,设椭圆的左焦点为G,连接P居PG,QG,

由对称性可得四边形PQFG为等腰梯形，所以|P川=|QG|,

所以|MN|+\FN\=J|PF|+：|QF|二；(|QG|+|QF|)=；x2Q=2,故B错误;

对于C,设于一2,O）,P（To，yo）,Q（Xo，yo）,

3o.3o_31

所以自=六所以用42=

NT。2-x02+x04-Xj

因为l+l=i=ya=3-；xV

2

0

所以自七=£■2二,故c正确:

0

对于D,设椭圆的上顶点为Q1，内切圆半径为r,

由^ONFFGQ可得%ONr=ROF|+\FN\+\ON\)r=|x|(|GF|+\FQ\+|GQ|)r<

尹"GQi=；x#G|.b,

即］(2a+2c)rV；x：x2cxb,即(2+4)r<g,解得r<?,故D错误.

故选：AC

【分析】先由离心率和长轴长求出椭圆方程可得A：连接PF,PG,QG,利用对称性和椭圆

的性质可判断B；设4(-2,0),尸(-勺，％)((&，%)，表示出斜率结合点在椭圆上代入化简

可得C；利用等面积可判断D.

11.己知定义域为R的函数“r)满足下列条件：(1)对任意的％y6R,都有。+y)/(A--

y)4-(x-y)/(x+y)=f{x2-y2)(2)当0<%V1时，/(x)>0.则下列结论正确的是()

A./(-1)+/(0)=0

B.函数/(%)的图象关于y轴对称

C.若X6(―8,-1)U(1,+8),则V0

D若a6R,则/(-a2-3)>/(-2)

【答案】ACD

【解析】对任意的%,yeR,都有(x+y)/(x-y)4-(%-y)/(x+y)=f(x2-y2),

对于A,令x=0,y=0,则/'(0)=0,令％=l,y=o,得/'(l)+f(l)=f(l),则/(l)=0,

6/9

令x=-l,y=O,得一/(一1)一/(-1)=/(1)=0,则/(-1)=0,因此f(—l)+f(O)=O,

A正确；

对于B,令y=x+l,%WR,得(2%+-f(2x+1)=f(-2x-1),

即一/(2工+1)=/(-2%一1),因此一f(%)=f(r),函数f(x)是奇函数,其图象关于原点

对称，B错误；

对于C,令％2_y2=i,即(％+y)(x-y)=1,取x+y=t(tHO),则％—y=；,

V

丁是4(；)十gf(O=f(i)=。，即蟹=一。/(>，当0>1时，/(;)>0,

则华V0,此时/(£)<().当£〈一1时，由奇函数的性质得/(t)>0,则华V0,

因此£W(―8,-1)U(1,+8),V0,C正确：

对于D,令％+y=m,％-y=九，则7n/(7i)+zi/Xm)=f(nm),当mziHO时，与^+

/(m)=/(mn)

mmn'

任取均右£(1,+8),与<小，竽一等二粤一等=冬+等一等=篙晨会，

xxxx

九2占7人71九1人717ii2i

由1<%<不，得£>1，则/'偿)<0,而卷>°，因此等一等V0,

即3〈色<0,此时-3>一色>0,而%2>/>1，则一/'。2)>—/(与)，即

X2X1*2

/(&)

因此函数/'(无)在(1,+8)上单调递减，由奇函数性质得/1(%)在(-8,-1)上单调递减，

由aER»得一M—3<—3<—2<—1»则/'(一小—3)>f(—2),D正确.

故选：ACD

【分析】根据给定条件(1)，利用赋值法，结合奇偶函数的定义及性质计算判断AB；令

x2-y2=1,x+y=t(t*0),x-y=p由条件(2)并结合奇函数性质判断C：由条

件(])可得华+等=黑1,再利用单调函数的定义并结合(2)确定函数f(x)在

(1,+8)上单调性，进而利用奇函数性质判断D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知正项等比数列｛的｝的前〃项和为右,且a2a34-5a|=S3a3,则数列｛即｝的公比为—.

【答案】2

222

【解析】由题意可得Qiq-axq+5(%q)2=a/1+q+g)•arqf

因为%>0,Q>0,

两边同时除以Q河2可得#5=i+q+q2,解得q=2.

故答案为：2.

【分析】由等比数列通项公式及前几项和公式，计算可得.

13.已知0£Y-y£psin(x+y)7t0,且tan(x+y)=cos(x—y),cos2x=|sin(x+y)则

7/9

sin2(x—y)=.

【答案】K

【解析】令。=%+y,0=%—y,则04夕4],sina：#0,,且2%=a+/?,2(x-y)=2/?,

由+y)=cos(x-y),cos2x=-sin(x+y)可得=cos£,即sina=cosacosp,

①

又cos(a+夕)=^sina,即cosacos/?-sinasin^=|sina,②

由①②两式可得s